Thông tin tài liệu
Bộ giáo dục đào tạo Viện Khoa học công nghệ việt nam Viện Toán Học Lê Xuân Dũng Chặn cho số quy Castelnuovo-Mumford môđun phân bậc liên kết môđun k - Buchsbaum Luận văn thạc sĩ toán học Chuyên ngành: Đại số lý thuyÕt sè M· sè: 60.46.05 Ng−êi h−íng dÉn khoa học: GS.TSKH Lê Tuấn Hoa Hà Nội-2007 lời cảm ơn Luận văn đợc hoàn thành dới hớng dẫn tận tình, chu đáo nghiêm khắc GS TSKH Lê Tuấn Hoa Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến với thầy Lê Tuấn Hoa Tác giả xin chân thành cảm ơn GS TSKH Ngô Việt Trung GS TSKH Nguyễn Tự Cờng đà tạo điều kiện cho tác giả tham gia sinh hoạt khoa học viện Toán học Hà Nội Tác giả xin chân thành cảm ơn giúp đỡ ban Giám hiệu trờng Đại học Hồng Đức đà tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trình học cao học Đặc biệt, tác giả xin đợc bày tỏ lòng biết ơn đến ban Chủ nhiệm khoa Khoa học tự nhiên đồng nghiệp tổ Đại số đà tạo điều kiện thời gian giúp tác giả Hà Nội học tập Tác giả xin chân thành cảm ơn quan tâm, động viên nghiên cứu sinh Trần Nam Trung, Đào Thanh Hà, Nguyễn Văn Hoàng, Nguyễn Công Minh, Đoàn Trung Cờng cử nhân Trần Bá Hải, Hoàng Lê Trờng Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn vô hạn đến Bố, Mẹ ngời thân yêu thơng, cổ vũ, động viên, chăm lo chu tác giả an tâm học tập nghiên cứu Tác giả Lê Xuân Dũng Mục lục mở đầu môđun k -Buchsbaum 1.1 Vành môđun Cohen-Macaulay suy réng 1.2 Sè k-Buchsbaum ChØ số quy Castelnuovo-Mumford 2.1 Các đặc trng sè chÝnh quy 2.2 ChØ sè chÝnh quy môđun phân bậc liên kết ChØ sè chÝnh quy ®èi với môđun k -Buchsbaum 3.1 Trờng hợp tổng quát 3.2 Trờng hợp iđêan tham số Tài liệu tham khảo 6 13 16 16 20 25 25 30 34 Më đầu Chỉ số quy Castelnuovo-Mumford bất biến quan trọng đại số giao hoán Nó cung cấp thông tin độ phức tạp cấu trúc đại số phân bậc Nếu E môđun phân bậc hữu hạn sinh đại số Noether phân bậc chn R th× chØ sè chÝnh quy Castelnuovo-Mumford reg(E) cđa E đợc định nghĩa số nguyên m nhỏ cho HRi + (E)n−i = víi mäi n m + i 0, HRi + (E) môđun đối đồng điều địa phơng thø i cđa E víi gi¸ R+ = ⊕i>0 Ri Mục đích luận văn trình bày lại cho dạng khác số chặn cho số quy Castelnuovo-Mumford môđun phân bậc liên kết môđun M vành địa phơng (A, m) ứng với iđêan m- nguyên sơ a : M Ga (M ) = an M/an+1 M n0 Bài toán chặn reg(Ga (M )) lần đợc Rossi, Trung Valla [12] giải cho trờng hợp a = m vµ M = A, dùa vµo mét bÊt biÕn gäi bậc mở rộng D(A) Sau Linh [8] đà mở rộng cho trờng hợp tổng quát: Chặn reg(Ga (M )) theo chiỊu cđa M vµ bËc më réng D(a, M ) cđa M øng víi a KÕt qu¶ đợc phát biểu [8, Theorem 3.4] nh sau: Cho M A-môđun hữu hạn sinh với d = dim M ≥ vµ D(a, M ) lµ bËc mở rộng M ứng với iđêan a Khi ®ã, (i) reg Ga (M ) ≤ D(a, M ) − nÕu d = 1, (ii) reg Ga (M ) ≤ 2(d−1)! D(a, M )3(d−1)!−1 − nÕu d Trong luận văn, trình bày lại phơng pháp chứng minh kết Tuy nhiên, thay nêu lại kết quả, đa dạng khác chặn (xem Định lý 3.1.1) Kết không đẹp gọn nh [8, Theorem 3.4], nhng ngợc lại tính toán dễ dàng Giả sử M môđun hữu hạn sinh vành địa phơng (A, m) đợc gọi môđun k-Buchsbaum tồn số nguyên không âm k cho mk Hmi (M ) = víi mäi i < d Nh− vËy, k = ứng với M môđun Cohen-Macaulay k = ứng với M môđun giả Buchsbaum áp dụng kết Định lý 3.1.1 ta thu đợc chặn cho môđun k-Buchsbaum Chặn theo bất biến Buchsbaum I(M ) (Hệ 3.1.2) Bằng cách tiếp cận thay đổi đôi chút, nhận đợc chặn không phụ thuộc vào I(M ) nhng lại phụ thuộc vào số mũ rút gọn (Định lý 3.1.3) Khi a = Q iđêan tham số, [9] đà nhận đợc kết lí thú, reg(GQ (A)) bị chặn đại lợng không phụ thuộc vào Q Chặn chứa bất biến I(A) Chúng nhận thấy phép chứng minh cho môđun Cohen-Macaulay suy rộng Trên sở chặn đợc reg(GQ (M )) qua k, chiều số bội M (Định lý 3.2.2) Bây giờ, xin giới thiệu cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, tài liệu tham khảo, luận văn chia làm ba chơng Chơng chia làm hai phần Mục 1.1 trình bày khái niệm môđun CohenMacaulay suy rộng tính chất bất biến I(M ) (Bổ đề 1.1.8, Định lý 1.1.9, Hệ 1.1.10 Hệ 1.1.11) Mục 1.2 thiết lập chặn cho I(M ) theo số k-Buchsbaum M (Định lý 1.2.8 Hệ 1.2.9) Chơng chia làm hai phần Mục 2.1 giới thiệu khái niệm đặc trng số quy Castelnuovo-Mumford số quy hình học môđun phân bậc tổng quát Mục 2.2 trình bày tính chất số quy môđun phân bậc liên kết Chơng chơng luận văn, gồm hai phần Chặn cải biên reg(Ga (M )) cho trờng hợp tổng quát đợc đa mục 1.1 (Định lý 3.1.1) Trong trờng hợp M môđun k- Buchsbaum kết tơng ứng đợc nêu Định lý 3.1.3 Mục 3.2 thiết lập chặn cho reg(GQ (M )), Q iđêan tham số bất kú cđa M, theo bÊt biÕn k, chiỊu vµ sè bội M (Định lý 3.2.2) Chơng môđun k -Buchsbaum Trong chơng này, trình bày số khái niệm môđun Cohen-Macaulay (C-M) suy rộng, số k-Buchsbaum tính chất cần thiết cho chứng minh định lý chuơng 1.1 Vành môđun Cohen-Macaulay suy rộng Trong toàn luận văn này, xem (A, m) vành địa phơng Noether M A-môđun hữu hạn sinh Nếu cần thiết ta thay A A/Ann(M ), nên không tính tổng quát ta luôn giả thiết dim M = dim A = d Ký hiÖu Hmi (M ) môđun đối đồng điều địa phơng thứ i M với giá m (xem định nghĩa tính chất [1]) Môđun M đợc gọi A-môđun C-M suy rộng `(Hmi (M )) < với i < d Vành A đợc gọi vành C-M suy rộng A đợc xem môđun C-M suy rộng Giả sử x1 , , xd lµ hƯ tham sè cđa M Q = (x1 , , xd ) Ta đặt I(Q, M ) := `(M/QM ) − e(Q, M ), đó, ký hiệu e(a, M ) số bội M ứng với iđêan định nghĩa a, I(M ) := sup{I(Q, M )|Q iđêan tham số M } Định lý sau cho số đặc trng môđun C-M suy rộng Định lý 1.1.1 ([6, Definition 2.2] [14, Lemma 1.1]) Các điều kiện sau tơng đơng (i) M môđun C-M suy rộng (ii) I(M ) < (iii) Tồn số nguyên dơng n cho (x1 , , xi−1 ) : xi ⊆ (x1 , , xi−1 ) : mn víi mäi hƯ tham sè x1 , , xd cđa M vµ i = 1, , d (iv) Tồn số nguyên không âm k cho mk Hmi (M ) = víi mäi i d A-môđun M thoả mÃn tính chất (iv) đợc gọi môđun k-Buchsbaum hay k-Buchsbaum môđun Số nguyên k thoả mÃn tính chất (iv) đợc gọi số k-Buchsbaum M Bổ đề 1.1.2 [14, Lemma 1.2.(iv)] Nếu M môđun C-M suy rộng Mp môđun C-M dim Mp = dim M − dim(A/p) víi mäi p ∈ Supp(M )\{m} Bỉ đề 1.1.3 [13, Appendix Lemma 15] Giả sử M môđun C-M suy rộng với dim M = d Khi ®ã, I(M ) = d−1 X d−1 i=0 i `(Hmi (M )) Bỉ ®Ị 1.1.4 [2, Proposition 4.5.2] Giả sử M 6= môđun hữu hạn sinh chiều d a iđêan định nghĩa M Khi ®ã, d!`(M/an+1 M ) e(a, M ) = lim n nd Iđêan b a A đợc gäi lµ rót gän cđa a (øng víi M ) có số nguyên không âm n cho an+1 = ban (an+1 M = ban M ) (xem [2] vµ [11]) Mét rót gän cđa a (øng víi M ) đợc gọi tối tiểu a không thực chứa rút gọn khác cđa a (øng víi M ) NÕu b lµ mét rót gän cđa a (øng víi M ) th× sè mị rót gän cđa a ®èi víi b (øng víi M ) đợc định nghĩa rb (a) = min{n ≥ | an+1 = ban } (rb,M (a) = min{n ≥ | an+1 M = ban M }) Bỉ ®Ị 1.1.5 [2, Corollary 4.5.10] NÕu A cã trờng thặng d vô hạn a iđêan m-nguyên sơ bất kỳ, tồn hệ tham số x1 , , xd cña M cho Q = (x1 , , xd ) iđêan rút gọn tối tiĨu cđa a øng víi M vµ e(Q, M ) = e(a, M ) Từ bổ đề trên, ta suy iđêan rút gọn tối tiểu a (ứng với M ) iđêan tham số A/m vô hạn Tiếp theo, ta có kết quen biết sau Bổ đề 1.1.6 Cho M A-môđun hữu hạn sinh chiều d, Q iđêal tham số M n số nguyên không âm Khi đó, n + d `(M/Qn+1 M ) ≤ `(M/QM ) d Dấu đẳng thức với n xảy M môđun C-M Chứng minh Giả sư Q = (a1 , , ad ) Khi ®ã ta có đồng cấu : B := (M/QM )[x1 , , xd ] −→ ∞ M Qn M/Qn+1 M, n=0 xác định xi Q/Q2 , toàn cấu Do đó, `(M/Qn+1 M ) ≤ `(B0 ⊕ B1 ⊕ ⊕ Bn ) n+d V× B0 ⊕ ⊕ Bn cã sè đơn thức sinh bậc nhỏ n d nªn n+d `(B0 ⊕ ⊕ Bn ) ≤ `(M/QM ) d Suy n + d `(M/Qn+1 M ) ≤ `(M/QM ) d 22 Bỉ ®Ị 2.2.4 [9, Lemma 2.2] Cho x ∈ a\ma cho dạng khởi đầu x x phần tư läc chÝnh quy cđa G = Ga (M ) Ký hiƯu L = HG0 + (G) Khi ®ã, tån số nguyên m cho pG (n) hG/L (n) ≤ `(an+1 M : x/an M ) + `(an+m+1 M : xm /an+1 M ) víi mäi n ≥ reg Ga (M/(x)M ) Chứng minh Cố định n reg(Ga (M/xM )) Theo Bỉ ®Ị 2.2.2, hG (n) = HM/xM (n) − `(an+1 M : x/an M ) Theo Bỉ ®Ị 2.2.3, ta thÊy r»ng pG (n) ≤ HM/xM (n) Suy pG (n) − hG (n) ≤ `(an+1 M : x/an M ) Do x phần tử lọc quy nên tồn m cho L = : (x )m Điều dẫn đến `(Ln ) = `((an+m+1 M : xm ) ∩ an M/an+1 M ) ≤ `(an+m+1 M : xm /an+1 M ) Do ®ã pG (n) − hG/L (n) = pG (n) − hG (n) + `(Ln ) ≤ `(an+1 M : x/an M ) + `(an+m+1 M : xm /an+1 M ) Ta biÕt r»ng chØ sè chÝnh quy cña Ga (M )/x∗ Ga (M ) vµ Ga (M/xM ) nói chung khác Tuy nhiên, số quy hình học chúng Bổ đề 2.2.5 [8, Lemma 3.1] Cho x ∈ a\ma cho dạng khởi đầu x x G phần tư Ga (M )-läc chÝnh quy Khi ®ã, g-reg(Ga (M )/x∗ Ga (M )) = g-reg(Ga (M/xM )) Chóng ta biÕt r»ng g-reg(Ga (M )) ≤ reg(Ga (M )) Tuy nhiên, có thêm giả thiết depth(M ) > xảy dấu bất đẳng thức 23 Bỉ ®Ị 2.2.6 [5, Corollary 5.3] NÕu depth M > th× reg(Ga (M )) = g-reg(Ga (M )) TÝnh chÊt trªn sÏ gióp chóng ta nghiªn cøu chØ sè chÝnh quy cđa Ga (M ) mét c¸ch thuận lợi Giả sử L môđun cực đại M có độ dài hữu hạn Đặt M = M/L Khi ®ã, depth(M ) > Theo Bỉ ®Ò 2.2.6, reg(Ga (M )) = g-reg(Ga (M )) Trong lúc mối quan hệ reg(Ga (M )) reg(Ga (M )) đợc cho bổ đề sau Bổ đề 2.2.7 Cho L môđun cực đại M có độ dài hữu hạn M = M/L Khi ®ã, (i) reg(Ga (M )) ≤ reg(Ga (M )) + `(L) (ii) Giả sử A có trờng thặng d vô hạn Nếu M môđun k-Buchsbaum với k > th× reg(Ga (M )) ≤ reg(Ga (M )) + r + (2k − 1)d, ®ã r = rQ,M (a) víi Q lµ rót gän tèi tiĨu cđa a øng víi M Chøng minh (i) Xem [8, Lemma 3.3] (ii) Ta cã M M Ga (M ) = (an M + L)/(an+1 M + L) ∼ an M/(an+1 M + an M ∩ L) = n≥0 n≥0 Do đó, tồn toàn cấu tự nhiên phân bậc từ Ga (M ) đến G(M ) với hạch nã lµ M M K= (an+1 M + an M ∩ L)/an+1 M ∼ (an M ∩ L)/(an+1 M ∩ L) = n≥0 n≥0 V× `(Kn ) ≤ `(L) < ∞, víi mäi n, nªn reg(K) = max{n | Kn 6= 0} Theo HƯ qu¶ 1.2.3, ar+(2k−1)d+1 M ∩ L ⊆ Q(2k−1)d+1 M ∩ L = 24 Suy reg(K) ≤ r + (2k − 1)d Tõ d·y khíp −→ K −→ Ga (M ) −→ Ga (M ) theo Bổ đề 2.1.4 (i) ta đợc reg(Ga (M )) max{reg(Ga (M )), reg(K)} ≤ reg(Ga (M )) + reg(K) Tõ ®ã dÉn ®Õn kết luận (ii) Bổ đề 2.2.8 Giả sử M A-môđun hữu hạn sinh a iđêan m-nguyên sơ, Q lµ rót gän tèi tiĨu cđa a øng víi M Đặt r = rQ,M (a) Khi đó, reg(Ga (M )) ≤ reg(GQ (ar M )) + r Proof NÕu r = 0, bất đẳng thức hiển nhiên Nếu r ≥ Khi ®ã, Ga (M ) = M/aM ⊕ ⊕ ar−1 M/ar M ⊕ GQ (ar M ) V× `(ai M/ai+1 M ) < ∞, víi mäi i ≤ r − 1, nªn ta cã reg(Ga (M )/GQ (ar M )) ≤ r XÐt d·y khíp ng¾n −→ GQ (ar M ) −→ Ga (M ) −→ Ga (M )/GQ (ar M ) −→ Theo Bỉ ®Ị 2.1.4 (i), reg(Ga (M )) ≤ max{reg(GQ (ar M )), reg(Ga (M )/GQ (ar M ))} ≤ reg(GQ (ar M )) + reg(Ga (M )/GQ (ar M )) Từ ta đợc kết luận bổ đề Chơng Chỉ số quy môđun k -Buchsbaum Kết chơng đa chặn cho số quy môđun phân bậc liên kết môđun k-Buchsbaum Không tính tổng quát ta giả sử A có trờng thặng d vô hạn, a iđêan m-nguyên sơ, M A-môđun hữu hạn sinh chiều d ký hiệu M := M/Hm0 (M ) 3.1 Trờng hợp tổng quát Bậc mở rộng D(M ) khái niệm đợc Doering, Gunston Vasconcelos [3], [17] đa nhằm đo độ phức tạp cấu trúc môđun Đại lợng phản ánh tốt tính chất thành phần phân bËc so víi bËc cỉ ®iĨn (sè béi) Rossi, Trung Valla [12] đà thiết lập chặn cho chØ sè chÝnh quy reg(Gm (A)) theo chiỊu cđa A bậc mở rộng D(A) Linh [8] đà mở rộng kết cho trờng hợp tổng quát Ga (M ) nh đà giới thiệu phần mở đầu Trong chơng này, đa chặn khác Trên thực tế phơng pháp chứng minh không khác so với phơng pháp chứng minh [8, Theorem 3.4] Điểm khác ta không chuyển D(a, M ) Chặn theo max{` Hm0 (M/(x1 , , xi )M ) |0 ≤ i ≤ d−1} víi (x1 , , xd ) lµ rót gän tèi tiĨu cđa a øng víi M Tuy max{` Hm0 (M/(x1 , , xi )M ) |0 ≤ i ≤ d − 1} tính chất đẹp nh D(a, M ), nhng ngợc lại ta tính toán 25 26 đợc Đó nội dung định lý sau Định lý 3.1.1 Giả sử a iđêan m-nguyên sơ Q = (x1 , , xd ) rót gän tèi tiĨu cđa a øng víi M cho dÃy phần tử khởi đầu x1 , , x∗d G lµ d·y Ga (M )- läc chÝnh quy Đặt := max{` Hm0 (M/(x1 , , xi )M ) |0 ≤ i ≤ d − 1} Khi ®ã, (i) reg(Ga (M )) ≤ `(M/QM ) + µ − nÕu d = 1, (ii) reg(Ga (M )) [`(M/QM ) + 2à](d1)! ì [1 + `(M/QM )](2d−3)(d−2)! − nÕu d ≥ Proof NÕu d = M môđun C-M Theo Bổ đề 2.2.7 (i), reg(Ga (M )) ≤ reg(Ga (M )) + `(Hm0 (M )) reg(Ga (M )) + Mặt khác, theo Bổ đề 2.1.6, ta có reg(Ga (M )) ≤ e(Ga (M )) − = e(a, M ) − = e(a, M ) − = e(Q, M ) − ≤ `(M/QM ) − (theo Bổ đề 1.1.5) Vì vậy, reg(Ga (M )) `(M/QM ) + µ − NÕu d ≥ 2, chøng minh quy n¹p theo d Ta cã Q = (x1 , , xd ) víi x = x1 ∈ a\ma phần tử M -chính quy có phần tử khởi đầu x G Ga (M )-lọc quy §Ỉt N := M /xM , m := reg(Ga (N )) nÕu d = vµ m := max{reg(Ga (N )), [`(M/QM ) + 2µ](d−2)! [1+`(M/QM )](2d−5)(d−3)! −1}, nÕu d > Khi đó, theo Bổ đề 2.2.5 Bổ ®Ò 2.1.7, g-reg(Ga (M )/x∗ Ga (M )) = g-reg(Ga (N )) ≤ m 27 DƠ dµng nhËn thÊy d(Ga (M )/x∗ Ga (M )) = ≤ m áp dụng Định lý 2.1.8, ta có g-reg(Ga (M )) ≤ m + pGa (M ) (m) − hGa (M )/K (m) ≤ m + pGa (M ) (m), K môđun cực đại có độ dài hữu hạn Ga (M ) Đặt Q0 = (x2 , , xd ), ®ã `(N/Q0 N ) ≤ `(M/QM ) Tõ Bỉ ®Ị 2.2.3, pGa (M ) (m) ≤ HN (m) = `(N/am+1 N ) ≤ `(N/Q0m+1 N ) m+d−1 ≤ `(N/Q N ) (theo Bæ ®Ò 1.1.6) d−1 m+d−2 m+d−2 ≤ `(M/QM ) + d−1 d−2 Do ®ã reg(Ga (M ) ≤ reg(Ga (M )) + µ = g-reg(Ga (M )) + (theo Bổ đề 2.2.6) m+d−2 m+d−2 ≤ m + `(M/QM ) + + µ d−1 d−2 Víi d = 2, ta cã reg(Ga (M )) ≤ m + `(M/QM )(m + 1) + Theo (i) định lý, m `(N/Q0 N ) + µ − ≤ `(M/QM ) + µ − Suy reg(Ga (M )) ≤ `(M/QM ) + µ − + `(M/QM )[`(M/QM ) + µ] + µ ≤ [`(M/QM ) + 2µ][`(M/QM ) + 1] − Víi d ≥ 3, nÕu `(M/QM ) = M môđun C-M Q = m = a nên theo Bổ đề 2.2.1, ta có reg(Ga (M ) = NÕu `(M/QM ) > m 2, nên với d = 3, ta suy m+2 m + `(M/QM ) ≤ `(M/QM )(m + 1)2 − 28 Víi d > 3, chó ý r»ng m+d−2 m + d − ≤ md−1 vµ ≤ (d 1)md2 d1 d2 Điều suy reg(Ga (M ) ≤ m + `(M/QM )[md−1 + (d − 1)md−2 ] + µ Ta cã m + `(M/QM ) md−1 + (d − 1)md−2 ≤ `(M/QM )(m + 1)d1 Từ dẫn đến, với d ≥ 3, reg(Ga (M )) ≤ `(M/QM )(m + 1)d1 + Sử dụng giả thiết quy nạp theo d, ta đợc m [`(M/QM ) + 2à](d2)! [1 + `(M/QM )](2d5)(d3)! Do đó, h (d−2)! reg(Ga (M )) ≤ `(M/QM ) (`(M/QM ) + 2à) id1 h id1 (2d5)(d3)! ì (1 + `(M/QM )) +µ−1 ≤ [`(M/QM ) + 2µ](d−1)! [1 + `(M/QM )](2d−3)(d−2)! Nếu M môđun C-M suy rộng, theo Bổ đề 1.1.7 (iii), I(M ) Do ta có hệ sau Hệ 3.1.2 Giả sử M môđun C-M suy rộng Q lµ rót gän tèi tiĨu cđa a øng víi m Khi ®ã, (i) reg(Ga (M )) ≤ `(M/QM ) + I(M ) − nÕu d = 1, (ii) reg(Ga (M )) ≤ [`(M/QM ) + 2I(M )](d−1)! × [1 + `(M/QM )](2d−3)(d−2)! − nÕu d ≥ 29 Nếu biết đợc số k-Buchsbaum M , ta nhận đợc chặn không phụ thuộc vào I(M ) nhng chặn lại phụ thuộc vào số mũ rút gọn Định lý 3.1.3 Cho M môđun k-Buchsbaum víi k > 0, Q lµ rót gän tèi tiĨu cđa a øng víi M vµ r = rQ,M (a) Khi ®ã, (i) reg(Ga (M )) ≤ 2r + 2k − nÕu d = 1, (ii) reg(Ga (M )) ≤ (2d+1 k + 3r)(d−1)! × [1 + `(M/QM )](2d−3)(d−2)! − nÕu d ≥ Proof NÕu d = M C-M Theo Bổ đề 2.2.7, reg(Ga (M )) ≤ reg(Ga (M )) + r + 2k − Theo Bỉ ®Ị 2.2.8 ta cã reg(Ga (M )) ≤ reg(GQ (ar M )) + r Theo giả thiết suy Q iđêan tham số M nên iđêan tham số ar M Vì ar M M môđun C-M chiều 1, theo HƯ qu¶ 2.2.1, reg(GQ (ar M )) = 0, từ ta đợc reg(Ga (M )) 2r + 2k − NÕu d ≥ 2, chøng minh tơng tự nh chứng minh (ii) Định lý 3.1.1 với ý sau: M môđun k-Buchsbaum Với x phần tử tham số M , theo Bổ đề 1.2.7 ta thấy M/xM môđun 2k-Buchsbaum cã rQ0 ,M/xM ≤ r, ®ã Q = (x, x2 , xd ) vµ Q0 = (x2 , xd ) Theo Bỉ ®Ị 2.2.7 (ii), suy reg(Ga (M )) ≤ reg(Ga (M )) + r + 2d k Nên ta cần chứng minh với = r + 2d k th× reg(Ga (M )) ≤ [r + 2µ](d−1)! [1 + `(M/QM )](2d−3)(d−2)! − 30 Nếu a iđêan tham số a = Q r = 0, ta có hệ sau Hệ 3.1.4 Giả sử M môđun k-Buchsbaum với k > Q iđêan tham số bÊt kú cđa M Khi ®ã, (i) reg(GQ (M )) ≤ 2k − nÕu d = 1, (ii) reg(GQ (M )) ≤ (2d+1 k)(d−1)! [1+`(M/QM )](2d−3)(d−2)! −1 nÕu d 3.2 Trờng hợp iđêan tham số Nếu M = A Q iđêan tham số M [9, Theorem 2.3] đà đa chặn reg(GQ (A)) không phụ thuộc vào Q Phân tích phép chứng minh nhận thấy kết trờng hợp môđun, nghĩa Cho M môđun C-M suy rộng, Q iđêan tham số bất kú cña M, ta cã (i) reg(GQ (M )) ≤ max{I(M ) − 1, 0} nÕu d = 1, (ii) reg(GQ (M )) ≤ max{(4I(M ))(d−1)! − I(M ) − 1, 0} nÕu d ≥ Mơc ®Ých chÝnh phần này, đa chặn reg(Ga (M )) chØ phơ thc vµo k, d vµ e(M ), k số k-Buchsbaum M Trớc hết ta xét mệnh đề sau Mệnh đề 3.2.1 Cho M môđun k-Buchsbaum với k > Q iđêan tham số M Khi ®ã, (i) reg GQ (M ) ≤ 2k − nÕu d = 1, (d−1)! (ii) reg GQ (M ) ≤ 2d k + 3I(M ) − I(M ) − nÕu d ≥ Chøng minh NÕu d = 1, (i) đợc suy từ Hệ 3.1.4 (i) NÕu d ≥ 2, ta chØ cÇn chøng minh cho M ThËt vËy, ta cã I(M ) = I(M ) + `(L), 31 ®ã L = Hm0 (M ) Theo Bỉ ®Ị 2.2.7 (i), reg(GQ (M )) ≤ reg(GQ (M )) + `(L) (d−1)! − I(M ) − + `(L) ≤ 2d k + 3I(M ) (d−1)! ≤ 2d k + 3I(M ) − 3`(L) − I(M ) + `(L) − + `(L) (d−1)! ≤ 2d k + 3I(M ) − 3`(L) − I(M ) + 2`(L) − (d−1)! ≤ 2d k + 3I(M ) − I(M ) − Do ta giả thiết depth M > Khi ®ã, theo Bỉ ®Ị 2.2.6, reg GQ (M ) = g-reg GQ (M ) Gi¶ sư Q = (x1 , , xd ) vµ x = x1 Do trờng thặng d A vô hạn, nên ta chọn x cho dạng khởi đầu x x phần tử GQ (M )-lọc quy Đặt n := reg(GQ (M/xM )) Suy g-reg(GQ (M/xM )) n Theo Định lý 2.1.8 Bổ đề 2.2.4, tồn số nguyên m cho g-reg(GQ (M )) ≤ n + `(Qn+1 M : x/Qn M ) + `(Qn+m+1 M : xm /Qn+1 M ) áp dụng Hệ 1.1.11, ta đợc n+d−2 n+d−1 g-reg(GQ (M )) ≤ n + I(M ) + I(M ) d−2 d−2 ≤ n + (n + 1)d−2 I(M ) + (n + 2)d−2 I(M ) Nếu d = 2, theo bất đẳng thức ta cã g-reg(GQ (M )) ≤ n + 2I(M ) 32 Theo Bổ đề 1.2.7, M/xM môđun 2k-Buchsbaum, từ trờng hợp (i) định lý, suy reg(GQ (M/xM )) ≤ 2.2k − = 22 k − 1, DÉn ®Õn g-reg(GQ (M )) ≤ 22 k + 2I(M ) − (d−1)! = 2d k + 3I(M ) − I(M ) − NÕu d > 2, dùng quy nạp theo d, ta giả thiết r»ng (d−2)! reg(GQ (M/xM )) ≤ 2d−1 (2k) + 3I(M/xM ) − I(M/xM ) − Theo Bỉ ®Ị 1.1.7, I(M/xM ) ≤ I(M ) nªn (d−2)! reg(GQ (M/xM )) ≤ 2d k + 3I(M ) − I(M ) − V× vËy (d−2)! n + I(M ) + ≤ 2d k + 3I(M ) 33 Khi ®ã, g-reg(GQ (M )) ≤ n + (n + 1)d−2 I(M ) + (n + 2)d−2 I(M ) = n + (n + 1) ≤n+ d−2 d−2 X d−2 I(M ) + (n + 1)d−2−i I(M ) i i=0 d−2 X d−1 i=0 ≤n+1+ i+1 (n + 1)d−2−i I(M ) − I(M ) (v× d > 2) d−1 X d−1 i=1 i (n + 1)d−1−i I(M )i − I(M ) − ≤ [n + + I(M )]d−1 − I(M ) − ≤ h (d−2)! id−1 k + 3I(M ) − I(M ) − d (d−1)! ≤ 2d k + 3I(M ) − I(M ) − Kết mục định lý sau Ta thấy chặn reg(GQ (M )) định lý tốt so với chặn Hệ 3.1.4 Định lý 3.2.2 Giả sử M môđun k-Buchsbaum với k > Q iđêan tham số M Khi ®ã, (i) reg(GQ (M )) ≤ 2k − nÕu d = 1, (d−1)! (ii) reg(GQ (M )) ≤ 3(d − 1)(2k)d e(M ) + 2d k − 3d + − (d − 1)(2k)d e(M ) + 2kd d Proof (i) Đợc suy tõ MƯnh ®Ị 3.2.1 34 (ii) Theo Bỉ ®Ị 2.2.7 (ii), reg(GQ (M )) ≤ reg(GQ (M )) + (2k 1)d Do M môđun k-Buchsbaum nên theo §Þnh lý 3.2.1, ta cã (d−1)! reg GQ (M ) ≤ 2d k + 3I(M ) − I(M ) − Theo HƯ qu¶ 1.2.10, I(M ) ≤ (d − 1)[(2k)d e(M ) − 1], suy (d−1)! reg(GQ (M )) ≤ 2d k + 3(d − 1)((2k)d e(M ) − 1) − (d − 1)((2k)d e(M ) − 1) − DÉn ®Õn (d−1)! reg GQ (M ) ≤ 3(d − 1)(2k)d e(M ) + 2d k − 3d + − (d − 1)(2k)d e(M ) + 2kd Tài Liệu Tham Khảo TiÕng ViÖt [1] M Brodmann and R.Y Sharp (1998), Local cohomology - an algebraic introduction with geometric applications, Cambridge University Press [2] W Bruns and J Herzog (1993), Cohen-Macaulay rings, Cambridge University Press [3] L R Doering, T Gunston and W Vasconcelos (1998), " Cohomological degrees and Hilbert functions of graded modules", Amer J Math 120, 493-504 [4] L.T Hoa (1995), "Bounds for the number of generators of generalized Cohen-Macaulay graded rings", J Algebra 178, 302-316 [5] L.T Hoa (1996), "Reduction numbers of equimultiple ideal", J Pure Appl Algebra 109, 111-126 [6] L.T Hoa and C Miyazaki (1995), " Bounds on Castelnuovo-Mumford regularity for generalized Cohen-Macaulay graded rings", Math Ann 301, 587-598 [7] L.T Hoa and W Vogel (1994), " Castelnuovo-Mumford regularity and hyperlane sections", J Algebra 163, 348-365 35 36 [8] C.H Linh (2005), "Upper bound for Castelnuovo-Mumford regularity of associated graded modules", Comm Algebra 33, 1817-1831 [9] C.H Linh and N.V Trung (2006), "Uniform bounds in generalized Cohen-Macaulay rings", J Algebra 304 (2), 1147-1159 [10] H Matsumura (1986), Commutative Ring Theory, Cambridge University Press [11] D.G Northcott and D Rees (1954), "Reductions of ideals in local rings" Proc Camb Phil Soc 50, 145-158 [12] M.E Rossi, N.V Trung and G Valla (2003), " Castelnuovo-Mumford regularity and extended degree", Trans Amer Math Soc 355, no 5, 1773-1786 [13] J Stă uckrad and W Vogel (1986), Commutative ring theory, Cambridge University Press [14] N.V Trung (1986), " Towards a theory of generalized Cohen-Macalay modules", Nagoya Math J 102, 1-49 [15] N.V Trung (1987), " Reduction exponent and degree bound for the defining equations of graded rings", Proc Amer Math Soc 101, 229236 [16] N.V Trung (1998), " The Castelnuovo-Mumford regularity of the Rees algebra and the associated graded ring", Trans Amer Math Soc 350, 2813-2832 [17] W.V Vasconcelos (1998) , Cohomological degrees of graded modules Six lectures on commutative algebra (Bellaterra, 1996)", 345-392, Progr Math 166, Birkhauser, Basel [18] W.V Vasconcelos (2003), "Multiplicites and reduction numbers", Compositio Math 139, 361-379
Ngày đăng: 17/07/2023, 23:57
Xem thêm:
