Chỉ số chính quy castelnuovo mumford và bậc số học của iđêan đơn phức

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH BÙI THỊ NGỌC MINH CHỈ SỐ CHÍNH QUY CASTELNUOVO-MUMFORD VÀ BẬC SỐ HỌC CỦA IĐÊAN ĐƠN THỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC LONG AN - 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH BÙI THỊ NGỌC MINH CHỈ SỐ CHÍNH QUY CASTELNUOVO-MUMFORD VÀ BẬC SỐ HỌC CỦA IĐÊAN ĐƠN THỨC Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS ĐÀO THỊ THANH HÀ LONG AN - 2018 Mục lục Chương 1: Kiến thức chuẩn bị 1.1 Vành môđun phân bậc 1.2 Chiều Krull 1.3 Iđêan nguyên tố liên kết 1.4 Hệ tham số, số bội 10 1.5 Môđun đối đồng điều địa phương 11 1.6 Khái niệm số quy Castelnuovo - Mumford 13 1.7 Bậc số học 14 Chương 2: Chỉ số quy Castelnuovo - Mumford bậc số học iđêan đơn thức 16 2.1 Mối quan hệ reg(I) adeg(I) 16 2.2 Chặn cho reg(R I) 22 LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành luận văn, cố gắng thân tơi cịn nhận hỗ trợ, giúp đỡ tận tình thầy, giáo Viện Sư phạm Tự nhiên trường Đại học Vinh Đặc biệt, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến cô Đào Thị Thanh Hà - Viện Sư phạm Tự nhiên trường Đại học Vinh Cô dành nhiều thời gian q báu, tận tình hướng dẫn tơi suốt trình thực luận văn, rèn luyện cho tác phong nghiên cứu khoa học Dù cố gắng song luận văn không tránh khỏi thiếu sót Vì tơi mong nhận đóng góp thầy, giáo bạn để luận văn hồn thiện Tơi chân thành cảm ơn! Long An, tháng năm 2018 Bùi Thị Ngọc Minh MỞ ĐẦU Cho R = K[X1 , , Xn ] vành đa thức phân bậc chuẩn M R-môđun phân bậc hữu hạn sinh: M = Mi i∈Z Chỉ số quy Castelnuovo-Mumford M số i reg(M ) := inf t | Hm (M )n−i = với n > t, i ≥ i Hm (M ) môđun đối đồng điều địa phương phân bậc thứ i với giá iđêan cực đại m = (X1 , , Xn ) Chỉ số quy Castelnuovo-Mumford đóng vai trị quan trọng khơng Đại số giao hốn mà Hình học Đại số Ta xem độ đo phức tạp môđun Giả sử I iđêan vành đa thức R = K[X1 , , Xn ], số quy reg(I) cho ta chặn bậc xoắn I , chẳng hạn D ≤ reg(I) D kí hiệu bậc sinh cực đại I Nội dung luận văn trình bày lại phần báo [6] Lê Tuấn Hoa Ngô Việt Trung Phần báo nói vấn đề chặn reg(I) theo adeg(I) Định lý sau chứng minh Định lý 2.1.1 Giả sử I iđêan đơn thức R Khi đó: reg(I) ≤ adeg(I) Phần thứ hai báo đưa chặn cho reg(R/I) adeg(I) theo bậc sinh tối tiểu I Giả sử in(I) kí hiệu iđêan khởi đầu I thứ tự từ Từ reg(R/I) ≤ reg(R/inI) adeg(I) ≤ adeg(inI) (xem chẳng hạn [7]) dẫn đến việc ta tập trung vào iđêan đơn thức Trong trường hợp ta có chặn tốt nhiều cho reg(I) theo D Định lý 2.2.4 Giả sử I iđêan đơn thức R với hệ sinh tối tiểu {m1 , , ms } Giả thiết deg(m1 ) ≥ · · · ≥ deg(ms ) Đặt u = min{s, n} Khi reg(R/I) ≤ deg(m1 ) + · · · + deg(mu ) − u Áp dụng Định lý 2.2.4 cho iđêan khởi đầu iđêan tùy ý I suy hệ sau cho ta chặn cho reg(R/I) adeg(I) theo bậc ca cỏc phn t ca mt c s Gră obner I Hệ 2.2.5 Giả sử I iđêan tùy ý R Gọi {g1 , · · · , gs } sở Gră obner ca I i vi mt th t t tùy ý Giả thiết rằng: deg(g1 ) ≥ · · · ≥ deg(gs ) Đặt u = min{s, n} Khi reg(R/I) ≤ deg(g1 ) + · · · + deg(gu ) − u Trong suốt luận văn không nói thêm R vành đa thức n biến trường K Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày số khái niệm sở Đại số giao hoán có sử dụng luận văn như: Vành mơđun phân bậc, Iđêan nguyên tố liên kết, Chiều Krull, Chỉ số quy Castelnuovo - Mumford, Bậc số học Nội dung chương tham khảo từ tài liệu [1], [2], [3] 1.1 Vành môđun phân bậc 1.1.1 Định nghĩa Vành R gọi Z − phân bậc R = Ri i∈Z xét nhóm cộng Ri Rj ⊆ Ri+j , với i, j ∈ Z Hơn nữa, Ri = với i < R gọi vành phân bậc dương hay N − phân bậc Môđun M vành Z − phân bậc R gọi Z− phân bậc M= Mi xét nhóm cộng Ri Mj ⊆ Mi+j , với i, j ∈ Z i∈Z Nếu M môđun phân bậc vành phân bậc R, gọi phần tử x Ri (hoặc Mi ) phần tử bậc i, ký hiệu deg(x) = i Ta qui ước bậc phần tử số nguyên tùy ý Như vậy, a ∈ R, x ∈ M phần tử deg(ax) = deg(a) + deg(x), ax = Từ định nghĩa ta suy R0 vành R thành nhần phân bậc Mi R0 − môđun Nếu x ∈ M x = xi + xi+1 + + xj với xk ∈ Mk , i ≤ k ≤ j, i, j ∈ Z xk (có thể xk = 0) gọi thành phần thành phần phân bậc k x Mỗi phần tử có biểu diễn thành tổng thành phần phân bậc Cho S vành vành R (không thiết phân bậc) Khi người ta gọi R S − đại số Nếu a1 , , an ∈ R, kí hiệu S[a1 , , an ] tổ hợp tuyến tính S phần tử ap11 , , apnn với (p1 , , pn ) ∈ Nn Tập rõ ràng tập R Có thể xem vành đa thức a1 , , an biến độc lập Nếu tồn a1 , , an ∈ R để R = S[a1 , , an ] R gọi S − đại số hữu hạn sinh 1.1.2 Định nghĩa Vành phân bậc dương R = Ri gọi vành phân i≥0 bậc chuẩn R0 R = R0 [R1 ] 1.1.3 Ví dụ Vành phân bậc chuẩn hay gặp vành đa thức A[X1 , , Xn ] A vành, với Ai tổ hợp tuyến tính đơn thức có bậc tổng thể i với hệ số thuộc A Như đa thức tổng đơn thức có bậc tổng thể I iđêan A[X1 , , Xn ] sinh đa thức Chẳng hạn: (i) Mọi iđêan đơn thức (ii) X Y + X Y Z + XY Z , X Y Z − X Y Z + Y Z iđêan vành K[X, Y, Z] Khi I iđêan vành đa thức A[X1 , , Xn ] vành thương A[X1 , , Xn ] I ví dụ khác vành phân bậc chuẩn (vành thương phân bậc chuẩn) 1.1.4 Định nghĩa Gọi môđun N ⊆ M môđun hay môđun phân bậc thỏa mãn ba điều kiện tương đương sau: (i) N sinh phần tử (ii) Với x ∈ N, thành phần thuộc N (N ∩ Mi ) (iii) N = i∈Z 1.1.5 Định nghĩa Cho M N hai môđun phân bậc vành phân bậc R Đồng cấu R − môđun f : M −→ N gọi đồng cấu (hay phân bậc) với i ∈ Z, f (Mi ) ⊆ Ni 1.1.6 Mệnh đề Nếu f đồng cấu hạch (hạt nhân) kerf ảnh imf mơđun Nếu có dãy khớp −→ M −→ N −→ L −→ môđun phân bậc với đồng cấu nhất, ta có dãy khớp sau, với i ∈ Z −→ Mi −→ Ni −→ Li −→ 1.2 Chiều Krull 1.2.1 Định nghĩa Một dãy giảm iđêan nguyên tố vành giao hoán R P0 ⊃ P1 ⊃ ⊃ Pn gọi xích nguyên tố độ dài n Cho P ∈ spec(R), cận tất độ dài xích nguyên tố với Po = P gọi độ cao P kí hiệu ht(P ), nghĩa ht(P ) = sup { độ dài xích nguyên tố với P0 = P } Cho I iđêan R, độ cao I định nghĩa ht(I) = inf {ht(P ) P ∈ spec(R), P ⊇ I} Cận tất độ dài xích nguyên tố R gọi chiều Krull vành R, kí hiệu dimk (R) đơn giản dim(R) Cho M R − mơđun Kí hiệu: AnnR (M ) = {a ∈ R aM = 0} = {a ∈ R ax = 0, ∀x ∈ M } Khi AnnR (M ) iđêan R gọi linh hóa tử mơđun M dim(R/AnnR (M )) gọi chiều Krull mơđun M , kí hiệu dimR (M ) đơn giản dim(M ) 1.2.2 Ví dụ a) dim K = với K trường, K có iđêan K , iđêan nguyên tố K b) dim Z = iđêan nguyên tố vành số nguyên Z là P Z với P số nguyên tố, iđêan P Z với P ngun tố iđêan cực đại Từ xích nguyên tố Z có độ dài lớn có dạng ⊂ P Z c) Xét vành đa thức biến K[X, Y, Z] với K trường Ta có: dim K[X, Y, Z] (X ) ∩ (X, Z ) = 1.3 Iđêan nguyên tố liên kết 1.3.1 Định nghĩa Cho M R − môđun Một iđêan nguyên tố P R gọi iđêan nguyên tố liên kết M tồn phần tử = x ∈ M cho P = : R x = AnnR (x) = {r ∈ R | rx = 0} Tập tất iđêan nguyên tố liên kết M kí hiệu AssR (M ) Ass(M ) Như vậy: Ass(M ) = P ∈ spec R | P = Ann(x) với x ∈ M Sau số tính chất tập iđêan nguyên tố liên kết 1.3.2 Mệnh đề Nếu M R − mơđun Noether Ass(M ) tập hữu hạn 1.7.1 Định nghĩa (xem [1], Định lý 2.2.1) Bậc số học M số adeg(M ) = multM (P )e(R P ), P ∈AssM multM (P ) = l(Hm0 P (MP )) độ dài bội P M Chú ý l(Hm0 P (MP )) < ∞ tập Ass(M ) hữu hạn nên tổng hữu hạn Trong định nghĩa P chạy tất iđêan nguyên tố liên kết, bậc thông thường deg(M ) tính theo cơng thức tương tự, tổng lấy iđêan nguyên tố có chiều cao 1.7.2 Mệnh đề (Xem [1], Mục 2.2) Cho M R-mơđun Khi deg(M ) = multM (P )e(R P ) P ∈AssM dim R P =d Vì vậy, deg(M ) ≤ adeg(M ) dấu xảy tất iđêan nguyên tố liên kết M có độ cao 15 Chương Chỉ số quy Castelnuovo - Mumford bậc số học iđêan đơn thức Chương đề cập đến vấn đề chặn reg(I) theo adeg(I), chặn cho reg(R I) theo bậc sinh tối tiểu I với I iđêan đơn thức Nội dung chương trình bày lại phần báo [6] 2.1 Mối quan hệ reg(I) adeg(I) Trong phần chứng minh Định lý 2.1.1 đặc trưng lớp iđêan đơn thức không trộn lẫn với reg(R I) = adeg(I) − 2.1.1 Định lý Giả sử I iđêan đơn thức R Khi đó: reg(I) ≤ adeg(I) Trước hết ta có số bổ đề sau 2.1.2 Bổ đề Giả sử I iđêan tùy ý x dạng tuyến tính R Khi reg(R I) ≤ max reg R I : x + 1, reg R (I, x) Chứng minh Từ dãy khớp x −→ R I : x−−−−→ R I −→ R (I, x) −→ Vì vậy, với i ≥ ta có dãy khớp môđun đối đồng điều địa phương: i HM R I: x i −→ HM R I q−1 i −→ HM R (I, x) q q Từ định nghĩa số quy Castelnuovo-Mumford ta suy điều cần chứng minh 16 2.1.3 Bổ đề Giả sử I iđêan tùy ý x phần tử tùy ý R Khi i) adeg(I : x) ≤ adeg(I) ii) adeg(I : x) ≤ adeg(I) − x thuộc iđêan nguyên tố liên kết tối tiểu I Chứng minh Cho iđêan nguyên tố P tùy ý R, phép nhân với x cảm sinh đơn ánh RP (I : x) RP −→ RP IP Vì theo định nghĩa multI (P ) ta có multI : x (P ) ≤ multI (P ) Từ ta suy i) Nếu x thuộc iđêan nguyên tố liên kết tối tiểu P I , RP IRP có độ dài hữu hạn (I, x)RP IRP , ảnh RP (I : x) RP RP IRP iđêan thực Vì multI : x (P ) = l (I, x)RP IRP < l RP IRP = multI (P ) Do ta suy ii) Kết sau suy từ [[7], Bổ đề 3.3 Bổ đề 3.4] 2.1.4 Bổ đề Cho I iđêan đơn thức m đơn thức R Khi đó: adeg(I, m) ≤ adeg(I)deg(m) Chứng minh Định lý 2.1.1 Giả sử I iđêan đơn thức R Nếu adeg(I) = 1, I iđêan nguyên tố Trong trường hợp này, reg(I) = adeg(I) = Nếu n = 1, I iđêan (X1t ) Trong trường hợp này, reg(I) = adeg(I) = t Vì ta giả thiết adeg(I) > n > Chọn biến X thuộc iđêan nguyên tố liên kết tối tiểu I Theo Bổ đề 17 2.1.2, ta có (1) reg(I) ≤ max reg (I : X) + 1, reg (I, X) Chú ý I : X iđêan đơn thức Quy nạp theo giá trị bậc số học ta giả thiết reg(I : X) ≤ adeg(I : X) Sử dụng Bổ đề 2.1.3 ii) ta có (2) reg(I : X) + ≤ adeg(I : X) + ≤ adeg(I) Đặt S = R (X) J = (I, X) (X) Khi S vành đa thức k với n − biến J iđêan đơn thức S Qui nạp theo n ta giả thiết reg(J) ≤ adeg(J) Ta có reg(I, X) = reg(J) adeg(I, X) = adeg(J) Vì (3) reg(I, X) ≤ adeg(I, X) ≤ adeg(I), bất đẳng thức cuối suy từ Bổ đề 2.1.4 Kết hợp (1), (2), (3) ta có: reg(I) ≤ adeg(I) Ví dụ sau ([9, ví dụ 2] [10, ví dụ 4.2 (b)]) chứng minh Định lý 2.1.1 không iđêan I tùy ý mà không sinh đơn thức Ví dụ Giả sử I = x21 , x1 x2 , x22 , x1 xt4 − x2 xt3 , t ≥ Khi I iđêan nguyên sơ với adeg(I) = reg(I) = t + Vì adeg(I) nhỏ reg(I) Tiếp theo ta tìm điều kiện bất đẳng thức Bổ đề 2.1.3 ii) Bổ đề 2.1.4 trở thành đẳng thức 2.1.5 Bổ đề Giả sử I iđêan đơn thức iđêan nguyên tố liên kết nhúng Giả sử X biến R mà thuộc iđêan nguyên tố liên kết P I Khi adeg(I : X) = adeg(I) − 18 thành phần P −nguyên sơ I có dạng Xi1 , , Xir , X t , t ≥ 1, P iđêan nguyên tố liên kết I chứa X Chứng minh Theo giả thiết iđêan nguyên tố liên kết I tối tiểu I Vì vậy, từ chứng minh Bổ đề 2.1.3 (ii) ta thấy adeg(I : X) = adegI − điều kiện sau thỏa mãn : (i) l((I, X)RP /IRP ) = l(RP /IRP ) − (ii) l((I, X)RP /IRP ) = l(RP /IRP ) với iđêan nguyên tố liên kết P tùy ý I cho P = P Điều kiện có nghĩa (I, X)RP = P RP hoặc, tương đương (Q, X) = P , Q kí hiệu thành phần P - nguyên sơ I Từ Q iđêan đơn thức, (Q, X) = P Q có dạng (Xi1 , · · · , Xir , X t ), t ≥ Điều kiện thứ hai có nghĩa (I, X)RP = RP hoặc, tương đương X ∈ / P với iđêan nguyên tố liên kết tùy ý P = P I 2.1.6 Bổ đề Giả sử I iđêan đơn thức X biến tùy ý R Giả sử I = ∩Qi phân tích nguyên sơ tối tiểu I Khi (I, X) = ∩(Qi , X) phân tích nguyên sơ tối tiểu (I, X) adeg(I, X) = adeg(I) Chứng minh Rõ ràng (I, X) ⊆ ∩(Qi , X) Ngược lại, m iđêan đơn thức tùy ý ∩(Qi , X) không chia hết cho x, m ∈ Qi với i từ m ∈ I Do (I, X) = ∩(Qi , X) Giả sử Pi iđêan nguyên tố liên kết Qi Khi (Pi , X) iđêan nguyên tố (Qi , X) iđêan (Pi , X) - nguyên sơ Từ đó, tập iđêan nguyên tố liên kết (I, X) chứa tập iđêan nguyên tố (Pi , X) Đặt S = R (X), J = (I, X) (X), Pi = (Pi , X) (X) Ta xét S đại số R J phép co (contraction) I Vì vậy, có đơn cấu từ S J đến R J mà ảnh Pi Pi Từ đó, ta có: mult(I,X) (Pi , X) = multJ (Pi ) ≤ multI (Pi ) 19 Nếu adeg(I, X) = adeg(I) mult(I,X) (Pi , X) = multI (Pi ) Vì vậy, mult(I,X) (Pi , X) = multI (Pi ) với i tất iđêan nguyên tố (Pi , X) khác Từ mult(I,X) (Pi , X) = multI (Pi ) > 0, (Pi , X) phải iđêan nguyên tố liên kết (I, X) Từ đó, kết luận (I, X) = ∩(Qi , X) phân tích nguyên tố tối tiểu (I, X) Bây giờ, ta chứng minh kết sau 2.1.7 Định lý Giả sử I iđêan đơn thức R mà khơng có iđêan ngun tố liên kết nhúng Khi reg(I) = adeg(I) với iđêan nguyên tố liên kết P I , ta có liên kết X cho thành phần P - nguyên tố I có dạng (Xi1 , · · · , Xir , X t ), t ≥ P iđêan nguyên tố liên kết I mà chứa biến X Trong trường hợp này, (I) bậc sinh cực đại I Chú ý có ví dụ chứng tỏ điều kiện reg(I) = adeg(I) không kéo theo I thành phần ngun sơ nhúng Một ví dụ đưa sau chứng minh Định lý 2.1.7 Chứng minh Giả thiết reg(I) = adeg(I) Giả sử P iđêan nguyên tố liên kết tùy ý I Giả sử X biến R mà thuộc P Theo chứng minh Định lý 2.1.1, ta có đẳng thức (1) Có nghĩa reg(I) = max{reg(I : X) + 1, reg(I, X)} Nếu reg(I) = reg(I : X) + 1, Áp dụng Định lý 2.1.1 Bổ đề 2.1.3(ii) ta có reg(I : X) ≤ adeg(I : X) ≤ adeg(I) − = reg(I) − = reg(I : X) Vì adeg(I : X) = adeg(I) − Theo Bổ đề 2.1.6, thành phần P - nguyên sơ I phải có dạng (Xi1 , · · · , Xir , X t ), t ≥ 1, P iđêan liên kết I mà chứa X 20 Nếu reg(I) = reg(I, X), áp dụng Định lý 2.1.1 Bổ đề 2.1.4, ta có reg(I, X) ≤ adeg(I, X) ≤ adeg(I) − = reg(I) = reg(I, X) Vì adeg(I, X) = adeg(I) reg(I, X) = adeg(I, X) Giả sử Q thành phần P -nguyên sơ I Theo Bổ đề 2.1.6, (P, X) iđêan nguyên tố liên kết (I, X) (Q, X) thành phần (P, X)- nguyên sơ của (I, X) Quy nạp theo n ta giả thiết (Q, X) có dạng (Xi1 , · · · , Xir , Y t ), t ≥ 1, (P, X) iđêan nguyên tố liên kết (I, X) mà chứa Y Vì Q có dạng (Xi1 , · · · , Xir , Y t ), theo Bổ đề 2.1.6, P iđêan nguyên tố liên kết I mà chứa Y Đây điều kiện cần Định lý 2.1.7 Ngược lại, giả thiết iđêan nguyên tố liên kết P I , có biến X cho thành phần P - nguyên sơ I có dạng (Xi1 , · · · , Xir , X t ), t ≥ P iđêan nguyên tố liên kết I mà chứa biến X Khi multI (P ) = t Giả sử kí hiệu m tích tất X t Rõ ràng m phần tử sinh tối tiểu I có bậc cực đại Ta biết deg(m) ≤ reg(I) Mặt khác, theo Định lý 2.1.1, ta có reg(I) ≤ adeg(I) = deg(m) Vì reg(I) = adeg(I) = deg(m) 2.1.8 Ví dụ 1) I = (X1 , X2 ) ∩ (X1 , X3 ) ∩ (X4 ) = (X1 X4 , X2 X3 X4 ) Ta có reg(I) = adeg(I) = Iđêan I thỏa mãn tất điều kiện Định lý 2.1.7 2) I = (X1 , X2 ) ∩ (X3 , X4 ) ∩ (X2 , X3 ) = (X1 X3 , X2 X3 , X2 X4 ) không thoả mãn tất điều kiện Định lý 2,1,7 Chẳng hạn P = (X2 , X3 ) có X2 ∈ (X1 , X2 ); X3 ∈ (X3 , X4 ) Ta có reg(I) = 2, adeg(I) = 3) I = (X1t ) ∩ (X1t+1 , X2 ) = (X1t+1 , X1t X2 ), = Q1 ∩ Q2 Q1 (X1 ) - nguyên sơ 21 t≥1 Q2 (X1 , X2 ) - ngun sơ Vì I có thành phần ngun sơ tối tiểu Q1 thành phần nguyên sơ nhúng Q2 Tuy nhiên reg(I) = adeg(I) = t + 2.2 Chặn cho reg(R I) Kết sau xuất phát từ kết gần Bruns Herzog [ 4, Định lý 3.1(a) ] Chứng minh phần tử đơn thức ma trận giải tự tối tiểu iđêan đơn thức chia hết cho bội chung nhỏ hệ sinh đơn thức 2.2.1 Định lý Giả sử I iđêan đơn thức R với hệ sinh đơn thức tối tiểu {m1 , · · · , ms } Giả sử F bội chung nhỏ m1 , · · · , ms Khi reg(R I) ≤ deg(F ) − ht(I) Chứng minh Không tính tổng quát, giả sử biến Xi xuất đơn thức mj Khi đưa đơn thức khơng chứa bình phương (xem [8 , chương 2]) Với j = 1, · · · , s mj = mj = a Xi ij , aij > 0, ta thay mj đơn thức Xi Yi1 · · · Yi(aij −1) , Yi1 , · · · , Yi(aij −1) biến Đặt = max{degXi (mj ); j − 1, · · · , s} Đặt S = k[X1 , Y12 , · · · , Y1(a1 −1) , · · · , Xn , Yn1 , · · · , Yn(an −1) ] J = (m1 , · · · , ms ) Khi J iđêan đơn thức khơng chứa bình phương S Ta có R I∼ = S (J, X1 − Y11 , · · · , X1 − Y1(a1 −1) , · · · , Xn − Yn1 , · · · , Xn − Yn(an −1) ) X1 − Y11 , · · · , X1 − Y1(a1 −1) , · · · , Xn − Yn1 , · · · , Xn − Yn(an −1) dãy quy S J Vì dim S J = a1 + · · · + an − n + dim R I = degF − ht(I) reg(S J) = reg(R I) 22 Mặc khác, ta có reg(S/J) ≤ dim (S/J) theo [ 8, Chương 2, Bổ đề 2.5 i).] Từ đó, ta có reg(R/J) ≤ deg(F ) − ht(I) Sau hệ Định lý 2.2.1 2.2.2 Hệ Giả sử I iđêan đơn thức R với đơn thức sinh tối tiểu {m1 , , ms } Giả sử F bội chung nhỏ m1 , , ms Giả sử J iđêan sinh tích nhiều q đơn thức từ m1 , , ms cho ht(I) = ht(J), q > Khi reg(R/J) ≤ qdeg(F ) − ht(I) Bây từ Định lý 2.2.1 ta suy Định lý 2.2.4 Sau ta cần ước lượng cho chiều vành thương iđêan đơn thức 2.2.3 Bổ đề Giả sử I iđêan đơn thức R với hệ sinh đơn thức tối tiểu {m1 , , ms } Giả thiết biến Xi xuất đơn thức mj Khi dimR/I ≤ deg(m1 ) + + deg(ms ) − s Chứng minh Nếu n = 1, ta có I = (m1 ) R vành đa thức biến ⇒ dimR I = ≤ deg(m1 ) − Nếu n > 1, không tính tổng quát giả sử Xn chứa iđêan nguyên tố liên kết có chiều cao I Khi dimR I = dimR (I, Xn ) Ta giả thiết m1 , , ms , t < s đơn thức không chia hết cho Xn Vậy biến xuất đơn thức X1 , , Xp , p < n Giả sử S = k[X1 , , Xp ] J iđêan sinh đơn thức {m1 , , mp } Khi dimR (I, Xn ) = dimS J + n − p − 23 Quy nạp theo n ta có dimS J ≤ deg(m1 ) + + deg(mt ) − t Do tất đơn thức mt+1 , , ms chia hết cho Xn biến Xp+1 , , Xn−1 xuất đơn thức mj , j > t, ta có: deg(mt+1 ) + + deg(ms ) ≥ (s − t) + (n − p − 1) Từ dimR/I = dimS J + n − p − ≤ deg(m1 ) + + deg(mt ) − t + (n − p − 1) = deg(m1 ) + + deg(mt ) − t + n − p − ≤ deg(m1 ) + + deg(mt ) + deg(mt+1 ) + + deg(ms ) − (s − t + n − p − 1) − t + n − p − = deg(m1 ) + + deg(ms ) − s 2.2.4 Định lý Giả sử I iđêan đơn thức R với hệ sinh đơn thức tối tiểu {m1 , , ms } Giả thiết deg(mn ) ≥ ≥ deg(ms ) Đặt u = min{s, n} Khi reg(R I) ≤ deg(ms ) + + deg(mu ) − u Chứng minh Chúng ta cần điều chỉnh bất đẳng thức sau: Yêu cầu: Giả sử F bội chung nhỏ {m1 , , ms } Giả sử g1 , , gt đơn thức I cho F ước G G bội chung nhỏ g1 , , gt Khi reg(R I) ≤ deg(g1 ) + + deg(gt ) − t Để chứng minh yêu cầu ta đặt I = (g1 , , gt ) Như chứng minh Định lý 2.2.1 ta liên kết với I iđêan đơn thức không chứa bình phương J = dim S J (g1 , , gt ) vành đa thức S cho = deg(G) − ht(I) deg(gi ) = deg(gi ), i = 1, , t Vì vậy, 24 sử dụng Định lý 2.2.1 Bổ đề 2.2.3 ta có reg(R I) ≤ deg(F ) − ht(I) ≤ deg(G) − ht(I ) ≤ deg(g1 ) + + deg(gt ) − t = deg(g1 ) + + deg(gt ) − t Ta ln chọn g1 , , gt ∈ {m1 , , ms } cho t = u Từ deg(gi ) ≤ deg(mi ), i = 1, , u, ta có reg(R I) ≤ deg(m1 ) + + deg(mu ) − u Ví dụ: Giả sử t ≥ ≤ c < n Cho I= t−1 t−1 X1t , , Xct , X1 Xc+1 , , X1 Xnt−1 , , Xc Xc+1 , , Xc Xnt−1 Ta có: ht(I) = c t−1 I : X1 = X1t−1 , X2t , , Xct , Xc+1 , , Xnt−1 t−1 t−1 (I, X1 ) = x1 , X2t , , Xct , X2 Xc+1 , , X2 Xnt−1 , , Xc Xc+1 , , Xc Xnt−1 Từ dãy khớp X −→ R I : X1 −−−−1−→ R I −→ R (I, X1 ) −→ Ta chứng minh theo quy nạp theo c     n(t − 2) + c    i max j HM R I = = −∞   j    1 + c − n i = i = 0, n i = n − c Vì reg(R I) = n(t − 2) + c Rõ ràng số đơn thức hệ sinh đơn thức tối tiểu I s > n Và ta có u = min{s, n} = n deg(m1 ) + + deg(mn ) = deg(m1 ) + + deg(mn ) − n = t + t + + t − n = n(t − 1) n 25 Do c < n nên n(t − 2) + c < n(t − 1) hay reg(R I) < deg(m1 ) + + deg(mu ) − u 2.2.5 Hệ Giả sử I iđêan tùy ý R Gọi {g1 , · · · , gs } l mt c s Gră obner ca I i vi thứ tự từ tùy ý Giả thiết rằng: deg(g1 ) ≥ · · · ≥ deg(gs ) Đặt u = min{s, n} Khi reg(R/I) ≤ deg(g1 ) + · · · + deg(gu ) − u 26 Kết luận Luận văn trình bày vấn đề [6] chặn reg(I) theo adeg(I), chặn cho reg(R I) theo bậc sinh tối tiểu I với R vành đa thức trường K I iđêan đơn thức Kết chặn reg(I) theo adeg(I), mối quan hệ reg(I) adeg(I) (Định lý 2.1.1, Định lý 2.1.7), chặn cho reg(R I) theo bậc sinh tối tiểu I (Định lý 2.2.4, Hệ 2.2.5) 27 Tài liệu tham khảo A Tài liệu tiếng Việt [1] Đào Thị Thanh Hà (2010), Chỉ số quy Castelnuovo - Mumford số lớp môđun, Luận án Tiến sĩ Toán học, Trường Đại học Vinh [2] Lê Tuấn Hoa(2003), i s mỏy tớnh - C s Gră obner , NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội [3] Nguyễn Huỳnh Ngọc Tú (2014), Chỉ số quy Castelnuovo - Mumford mơđun tắc mơđun khuyết, Luận văn thạc sĩ Toán học, Trường Đại học Vinh B Tài liệu tiếng Anh [4] Brun W Herzog, J (1995): On multigraded resonlutions Math Proc Camb Phil Soc 118, 245 - 257 [5] Eisenbud D Goto S (1984): Linear free resolutions and minimal multiplicities J Algebra 88, 89 - 133 [6] Le Tuan Hoa, Ngo Viet Trung (1998), On the Castelnuovo-Mumford regularity and the arithmetic degree of monomial ideals Math Z 229, 519 537 [7] Sturmfels, B., Trung, N V., Vogel, W (1995): Bounds on degrees of projective schemes Math Ann 302, 417 - 432 [8] Stuckrad, J., Vogel, W (1986): Buchsbaum rings and applications, Bertin Springer [9] Stuckrad, J., Vogel, W (1988): Castelnuovo bounds for locally Cohen Macaulay schemes Math Nochr 136, 307-320 28 [10] Vasconcelos, W (1996): The degrees of graded modules In: Proceedings of Summer School on Commutative Algebra, Ballaterra, Vol II, p.p - 141 196 CRM pubblication 29 ...BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH BÙI THỊ NGỌC MINH CHỈ SỐ CHÍNH QUY CASTELNUOVO-MUMFORD VÀ BẬC SỐ HỌC CỦA IĐÊAN ĐƠN THỨC Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 46 01 04 LUẬN... Castelnuovo - Mumford 1.7 Bậc số học Khái niệm bậc số học đưa Bayer Mumford Ta có định nghĩa bậc số học R-môđun M sau 14 1.7.1 Định nghĩa (xem [1], Định lý 2.2.1) Bậc số học M số adeg(M ) = multM (P... phân bậc thứ i với giá iđêan cực đại m = (X1 , , Xn ) Chỉ số quy Castelnuovo-Mumford đóng vai trị quan trọng khơng Đại số giao hốn mà Hình học Đại số Ta xem độ đo phức tạp môđun Giả sử I iđêan