Chặn trên chỉ số chính quy castelnuovo mumford (tt)

Viện Khoa học Công Nghệ Việt Nam Viện Toán Học ************ Lê Xuân Dũng Chặn số quy castelnuovo-Mumford Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 62.46.01.04 tóm tắt luận án tiến sĩ toán học Cán hớng dẫn khoa học: GS TSKH Lê Tuấn Hoa Hà Nội - 2013 Mở đầu Chỉ số quy Castelnuovo-Mumford bất biến quan trọng đại số giao hoán hình học đại số Nó cung cấp nhiều thông tin độ phức tạp cấu trúc đại số phân bậc Chỉ số quy Castelnuovo-Mumford đời từ công trình đờng cong xạ ảnh G Castelnuovo đợc D Mumford (1966) phát biểu định nghĩa cho đa tạp xạ ảnh Nếu E môđun phân bậc hữu hạn sinh đại số phân bậc chuẩn R số quy Castelnuovo-Mumford reg(E) E đợc định nghĩa số m nhỏ cho HRi + (E)n = với n m i + i 0, HRi + (E) đối đồng điều địa phơng E với giá R+ = i>0 Ri Chỉ số quy Castelnuovo-Mumford E chặn bậc cực đại hệ sinh tối tiểu E Cho (A, m) vành địa phơng, I iđêan m-nguyên sơ M A-môđun hữu hạn sinh Ký hiệu I n M/I n+1 M Fm (I) := GI (M ) := n0 I n /mI n n0 Ngời ta gọi GI (M ) môđun phân bậc liên kết M ứng với I Fm (I) nón phân thớ I ứng với iđêan cực đại m Việc nghiên cứu số quy Castelnuovo-Mumford GI (M ) Fm (I) cho biết nhiều thông tin cấu trúc M I Chẳng hạn sử dụng reg(GI (M )) ta ớc lợng đợc kiểu quan hệ (relation type), số mũ rút gọn số quy Hilbert (postulation number) M theo I, sử dụng reg(Fm (I)) ta biết đợc dáng điệu số phần tử sinh I n n Do mục đích luận án giải hai toán sau: Bài toán Chặn số quy Castelnuovo-Mumford cho môđun phân bậc liên kết Bài toán Chặn số quy Castelnuovo-Mumford cho nón phân thớ Năm 2003, Rossi-Trung-Valla giải Bài toán cho trờng hợp M = A I = m Sau đó, năm 2005 C H Linh giải cho trờng hợp tổng quát Luận án tiếp tục theo cách khác nhau: mở rộng kết Rossi-Trung-Valla C H Linh cho môđun lọc, chặn theo độ dài môđun đối đồng điều địa phơng theo hệ số Hilbert Trong trờng hợp môđun M phân bậc, luận án thiết lập đợc chặn cho số quy Castelnuovo-Mumford môđun phân bậc liên kết theo reg(M ) Đây việc làm mang tính tổng quát hay tơng tự hình thức Nhờ việc nghiên cứu Bài toán cho môđun lọc tùy ý, luận án giải đợc Bài toán (xem Chơng 4) Việc chặn theo hệ số Hilbert độ dài môđun đối đồng điều địa phơng giúp xác định đợc mối quan hệ hệ số Hilbert (xem Chơng 5) Khái niệm I-lọc tốt M = {Mn }n0 M đợc giới thiệu N Bourbaki (1972) Atiyah-Macdonald (1969) Chúng chặn cho reg(G(M)) theo bậc mở rộng D(I, M ) M ứng với I (xem Định lý 2.1.4) Kết đạt đợc tổng quát nói chung tốt so với kết C H Linh (2005) Phơng pháp để đạt đợc kết đợc đa báo Rossi-Trung-Valla (2003) Đóng góp luận án giải số kĩ thuật hỗ trợ xem xét môđun lọc tổng quát Cũng tiếp tục ý tởng đó, Định lý 2.3.1 đa chặn cho reg(G(M)) theo độ dài môđun đối đồng điều địa phơng số môđun thơng môđun M ban đầu Khi M môđun phân bậc I iđêan nhất, thay cho bậc mở rộng D(I, M ) sử dụng đại lợng khác không nhỏ mà dễ tính toán reg(M ) Trong trờng hợp tổng quát, ta sử dụng đợc phơng pháp Rossi-Trung-Valla (2003), I cha chứa phần tử để phần tử khởi đầu phần tử lọc quy G(M) Để vợt qua đợc khó khăn này, địa phơng hoá để đa trờng hợp địa phơng, kết hợp với kết Chardin-Hà-Hoa (2011), chặn đợc reg(G(M)) theo reg(M ) (xem Định lý 2.2.5) Nếu I iđêan sinh phần tử bậc, ta áp dụng đợc phơng pháp Rossi-Trung-Valla (2003) Khi ta nhận đợc chặn khác reg(G(M)) theo reg(M ) tốt (xem Định lý 2.2.8) so với chặn Định lý 2.2.5 nêu Các hệ số Hilbert môđun M ứng với iđêan m-nguyên sơ I bất biến thông dụng Do chặn reg(G(M)) theo hệ số Hilbert vấn đề đợc nhiều ngời quan tâm Sử dụng kết Brodmann-Sharp (1998) V Trivedi (1997), ta suy đợc reg1 (G(M)) bị chặn theo hệ số Hilbert e0 (M), , ed1 (M), reg1 (G(M)) đợc gọi số quy hình học môđun phân bậc liên kết đợc định nghĩa nh sau: reg1 (G(M)) := min{m | HGi + (GI (M ))n = với n m i + i 1} Có ví dụ bất biến không đủ để chặn reg(G(M)) Do đó, phải sử dụng thêm ed (M) đa đợc chặn cho reg(G(M)) (xem Định lý 3.1.7) Chặn Định lý 3.1.7 nhìn chung lớn, cỡ hàm mũ d! Vì vậy, vấn đề mà quan tâm tìm chặn tốt theo hệ số Hilbert cho reg(G(M)) Trong luận án xét trờng hợp lọc I-adic dim(M ) = Sử dụng thêm b số nguyên lớn thỏa mãn IM mb M , Định lý 3.2.11 đa đợc chặn thực tốt Chúng xây dựng đợc ví dụ, chứng tỏ chặn chặt Không đặc trng đợc chặn Định lý 3.2.11 đạt đợc Nếu M môđun Cohen-Macaulay, Định lý 3.2.14 đa đặc trng thông qua mối liên hệ e0 (I.M ) e1 (I, M ), qua chuỗi Hilbert-Poincaré tính Cohen-Macaulay GI (M ) Nếu M không môđun Cohen-Macaulay đặc trng đợc thông qua chuỗi Hilbert-Poincaré (xem Định lý 3.2.16) Nh nói trên, việc chặn cho reg(G(M)) môđun lọc tạo khả ứng dụng Trong luận án này, áp dụng để giải Bài toán Sử dụng dãy khớp ngắn liên hệ nón phân thớ môđun phân bậc liên kết môđun lọc khác Rossi-Valla (2010), áp dụng Định lý 4.2.3 Định lý 4.2.4, reg(Fq (M)) đợc chặn theo bậc mở rộng D(I, M ) (xem Định lý 4.3.2) áp dụng Bài toán nghiên cứu mối quan hệ hệ số Hilbert Trong trờng hợp vành môđun Cohen-Macaulay, N G Northcott (1960) M Narita (1963) e1 (I, A) 0, e2 (I, A) Sau đó, C P L Rhodes (1971) chứng tỏ kết cho I-lọc tốt M môđun M Hơn Kirby-Mehran (1982) chứng minh đợc e1 (I, M ) e0 (I,M ) ) e2 (I, M ) e1 (I,M Sau đó, kết tiếp tục đợc nghiên 2 cứu nhiều tác giả khác Tuy vậy, mối quan hệ hệ số Hilbert Năm 1997, Srinivas-Trivedi V Trivedi đạt đợc kết ngạc nhiên với M môđun Cohen-Macaulay tất |ei (I, M )|, i đợc chặn đại lợng phụ thuộc vào e0 (I, M ) d Các mối liên hệ thay đổi M môđun Cohen-Macaulay? Dùng bất biến gọi bậc mở rộng D(m, A), Rossi-Trung-Valla (2003) chặn tất |ei (m, A)| Sau C H Linh (2007) mở rộng cho trờng hợp tổng quát Tuy nhiên, kết không cho ta biết đợc mối quan hệ hệ số Hilbert Do vậy, quan tâm đến toán sau: Bài toán Cho M môđun tùy ý vành địa phơng A tùy ý Tìm mối liên hệ hệ số Hilbert Sử dụng chặn số quy Castelnuovo-Mumford theo hệ số Hilbert (1)i1 ei (I, A) bị chặn theo hàm phụ thuộc vào e0 (I, A), , ei1 (I, A) với i (xem Định lý 5.2.1) Tuy nhiên, trờng hợp d = depth(M ) = 1, Srinivas-Trivedi (1997) |ei (I, A)|, i chặn đợc theo e0 (I, A) Vì vậy, câu hỏi tự nhiên đợc đặt có hệ số Hilbert chặn đợc hệ số Hilbert lại? Chúng đợc số |edt+1 (M)|, , |ed (M)| bị chặn hàm phụ thuộc vào e0 (M), e1 (M), , edt (M) số rút gọn r(M)(xem Định lý 5.2.5) Từ kết này, cuối suy đợc kết hữu hạn hàm Hilbert-Samuel Bây xin giới thiệu cấu trúc luận án Ngoài phần mở đầu, tài liệu tham khảo, luận án chia làm năm chơng Chơng giới thiệu lại số khái niệm tính chất số quy Castelnuovo-Mumford, phần tử lọc quy, hệ số Hilbert môđun lọc Chơng chia làm ba phần Mục 2.1 đa chặn cho reg(G(M)) theo chiều bậc mở rộng D(I, M ) (Định lý 2.1.4) Khi M môđun phân bậc, chặn reg(G(M)) theo reg(M ) đợc đa Mục 2.2 (Định lý 2.2.5 Định lý 2.2.8) Mục 2.3 thiết lập chặn reg(G(M)) theo độ dài môđun đối đồng điều địa phơng (Định lý 2.3.1) Chơng chia làm hai phần Mục 3.1 thiết lập chặn cho reg(G(M)) theo hệ số Hilbert (Định lý 3.1.7) Mục 3.2 xét trờng hợp dim(M ) = 1, chặn thực tốt đợc đa Mệnh đề 3.2.9 Định lý 3.2.11 Cuối Định lý 3.2.14 Định lý 3.2.16 đa số đặc trng đẳng thức Định lý 3.2.11 đạt đợc Chơng chia làm ba phần Mục 4.1 giới thiệu lại khái niệm số tính chất nón phân thớ Mục 4.2 đa chặn cho hệ số Hilbert nón phân thớ (Định lý 4.2.4) Mục 4.3 phần chơng, phần thiết lập chặn cho reg(Fq (M)) theo bậc mở rộng D(I, M ) (Định lý 4.3.2) Chơng chia làm hai phần Chặn môđun đối đồng điều địa phơng theo reg(G(M)) đợc đa Mục 5.1 (Mệnh đề 5.1.2 Mệnh đề 5.1.4) Mục 5.2 đa mối quan hệ hệ số Hilbert (Định lý 5.2.5) Cuối Định lý 5.2.7 đa kết hữu hạn hàm Hilbert-Samuel Các kết luận án đợc trình bày 03 báo, 01 đăng tạp chí quốc tế danh sách SCI, 01 đợc nhận đăng Acta Mathematica Vietnamica 01 dạng tiền ấn phẩm Chơng Kiến thức chuẩn bị 1.1 Chỉ số quy Castelnuovo-Mumford Trong chơng này, nhắc lại số kiến thức sở số kết biết số quy Castelnuovo-Mumford, phần tử lọc quy, hệ số Hilbert môđun lọc Trong luận án này, ta xét R = i0 Ri đại số phân bậc chuẩn vành địa phơng Artin R0 Ta ký hiệu R+ = i>0 Ri Cho E R-môđun phân bậc hữu hạn sinh chiều d HRi + (E) kí hiệu môđun đối đồng điều địa phơng E với giá R+ Định nghĩa 1.1.1 (D Mumford, 1966 Eisenbud-Goto, 1984) Chỉ số quy Castelnuovo-Mumford E số reg(E) := max{ai (E) + i| i 0}, (E) = max{n| HRi + (E)n = 0} HRi + (E) = 0, HRi + (E) = Một cách tổng quát hơn, với l d, đặt regl (E) := max{ai (E) + i| i l}, gọi số quy Castelnuovo-Mumford bậc l E 1.2 Phần tử lọc quy Định nghĩa 1.2.2 (Xem Brodmann-Sharp, 1998) Phần tử z R đợc gọi phần tử E-lọc quy (lọc quy E) (0E : z)n = với n Các phần tử z1 , , zn gọi dãy lọc quy E zi E/(z1 , , zi1 E)-lọc quy với i n 1.3 Hệ số Hilbert Hàm Hilbert E hàm hE : Z N đợc xác định hE (n) := R0 (En ) Hilbert chứng minh đợc E R-môđun hữu hạn sinh có chiều d tồn đa thức pE (x) Q[x] có bậc d cho hE (n) = pE (n) với n đủ lớn Đa thức pE (x) đợc gọi đa thức Hilbert E Đa thức đợc viết dới dạng: d1 (1)i ei (E) pE (x) = i=0 x+di1 di1 Ta gọi e0 (E), , ed1 (E) hệ số Hilbert E Đây số nguyên có e0 (E) > 1.4 Môđun lọc Định nghĩa 1.4.1 Cho I iđêan thực A Một dãy môđun M M : M = M0 M1 M2 ã ã ã Mn ã ã ã đợc gọi I-lọc M IMi Mi+1 với i Một I-lọc đợc gọi I-lọc tốt IMi = Mi+1 với i Môđun M có I-lọc đợc gọi môđun lọc Định nghĩa 1.4.5 Môđun phân bậc liên kết lọc M đợc xác định công thức G(M) := Mn /Mn+1 n0 Đặc biệt, M {I n M }n0 ta viết GI (M ) := G(M) Đôi ta nói G(M) môđun phân bậc liên kết môđun lọc M Ta gọi HM (n) = (M/Mn+1 ) hàm Hilbert-Samuel M ứng với lọc M Từ tính chất HM (n) = (M/I n+1r Mr ) với n r, hàm số đa thức - gọi đa thức Hilbert-Samuel đợc kí hiệu PM (n) - với n Đa thức Hilbert-Samuel PM (n) đợc viết dới dạng d (1)i ei (M) PM (n) = i=0 n+di di Các số nguyên ei (M) đợc gọi hệ số Hilbert M Khi M = {I n M }n0 , HM (n), PM (n) ei (M) tơng ứng thờng đợc kí hiệu HI,M (n), PI,M (n) ei (I, M ) Chơng Chặn theo bậc mở rộng độ dài môđun đối đồng điều địa phơng Trong chơng này, đa số chặn cho số quy Castelnuovo-Mumford môđun phân bậc liên kết reg(G(M)) theo bậc mở rộng theo độ dài môđun đối đồng điều địa phơng số môđun thơng môđun M ban đầu Trờng hợp M môđun phân bậc thiết lập chặn cho reg(G(M)) theo reg(M ) 2.1 Chặn theo bậc mở rộng Trong luận án, không nói khác ta giả thiết A vành Noether địa phơng với trờng thặng d vô hạn k := A/m, M A-môđun hữu hạn sinh I iđêan m-nguyên sơ Khái niệm bậc mở đợc Doering-Gunston-Vasconcelos (1998) Vasconcelos (1998) đa nhằm đo độ phức tạp cấu trúc môđun phân bậc Sau đó, Rossi-Trung-Valla (2003) C H Linh (2005) phát biểu cho trờng hợp địa phơng Định nghĩa 2.1.2 Ta xét hai trờng hợp sau: (i) M môđun hữu hạn sinh vành địa phơng Noether (A, m) I iđêan m-nguyên sơ (ii) M = nZ Mn A-môđun phân bậc hữu hạn sinh I iđêan m-nguyên sơ A, A = n0 An đại số phân bậc chuẩn Noether vành địa phơng Artin (A0 , m0 ) m := m0 (n1 An ) iđêan cực đại A Khi bậc mở rộng D(I, M ) M ứng với iđêan m-nguyên sơ I hàm số thoả mãn tính chất sau: (i) D(I, M ) = D(I, M/L) + (L), L := Hm0 (M ) (ii) D(I, M ) D(I, M/xM ) với phần tử tổng quát x I \ mI M (iii) D(I, M ) = e(I, M ) M A-môđun Cohen-Macaulay, e(I, M ) số bội M ứng với I Ví dụ 2.1.3 Cho A ảnh đồng cấu vành Gorenstein S chiều n M M(A) với dim(M ) = d Ta định nghĩa bậc đồng điều M ứng với iđêan I, ký hiệu hdeg(I, M ), quy nạp theo d nh sau: Khi d = hdeg(I, M ) := (M ) Khi d > 0, dim Exts+i+1d (M, S) d i nên ta đặt S d1 hdeg(I, M ) := e(I, M ) + i=0 d1 hdeg(I, Exts+i+1d (M, S)) S i (2.1) Nếu A không ảnh đồng cấu vành Gorenstein ta đặt hdeg(I, M ) := hdeg(I, M A A), A ký hiệu vành m-adic đầy đủ A Khi Vasconcelos (1998) chứng minh đợc hdeg(I, M ) bậc mở rộng M ứng với iđêan I Đối với môđun lọc, kết C H Linh 2005 đợc mở rộng nh sau: Định lý 2.1.4 Cho M A-môđun hữu hạn sinh với dim(M ) = d 1, M = {Mn }n0 I-lọc tốt M D(I, M ) bậc mở rộng tuỳ ý M ứng với I Đặt r := rI (M) Khi (i) reg(G(M)) D(I, M ) + r d = 1, (ii) reg(G(M)) [D(I, M ) + r + 1]3(d1)!1 d d 2.2 Trờng hợp môđun phân bậc Cho A = n0 An đại số phân bậc chuẩn Noether vành địa phơng Artin (A0 , m0 ) với trờng thặng d k := A0 /m0 vô hạn Ta kí hiệu iđêan cực đại 10 m := m0 (n1 An ) A Cho M = nZ Mn A-môđun phân bậc hữu hạn sinh chiều d M = {Mn }n0 I-lọc tốt bao gồm môđun M , I iđêan m-nguyên sơ A Để cho gọn ta đặt hdeg(M ) := hdeg(m, M ) Định lý 2.2.3 Cho M I-lọc tốt A-môđun phân bậc M chiều d Khi (i) reg(G(M)) (A/I) hdeg(M ) + r(M) d = 1, (ii) reg(G(M)) [ (A/I)d hdeg(M ) + r(M) + 1]3(d1)!1 d d Một hệ quan trọng Định lý 2.2.3 Hệ 2.2.4 Giả sử I iđêan m-nguyên sơ vành đa thức A = k[x1 , , xn ] trờng k Khi (i) reg(GI (A)) (A/I) d = 1, (ii) reg(GI (A)) ( (A/I) + 1)3(d1)!1 d d Nếu M môđun phân bậc tuỳ ý vành đa thức A ta chặn reg(G(M)) theo reg(M ), r(M) số bất biến khác M nh sau: Định lý 2.2.5 Giả sử M môđun phân bậc hữu hạn sinh chiều d vành đa thức A = k[x1 , , xn ] Ký hiệu i(M ) bậc khởi đầu M (tức i(M ) = min{p | Mp = 0}) à(M ) số phần tử hệ sinh tối tiểu M Khi (i) reg(G(M)) (A/I)à(M )[reg(M ) i(M ) + 1]n + r(M) d = 1, (ii) (d1)2 +r(M)+1]3(d1)!1 reg(G(M)) [ (A/I)d (à(M )(reg(M )i(M )+1)n )2 d d Trong trờng hợp iđêan I sinh phần tử bậc ta sử dụng phơng pháp Rossi-Trung-Valla để đạt đợc kết tốt nh sau: Định lý 2.2.8 Giả sử I sinh phần tử có bậc Cho Q rút gọn tối tiểu I(A/ Ann(M )) Cho i(M ) kí hiệu bậc khởi đầu M Khi (i) reg(G(M)) (M/QM ) + r(M) + reg(M ) i(M ) d = 1, (ii) reg(G(M)) [ (M/QM )+r(M)+reg(M )i(M )+(d1)]3(d1)!1 d d 11 2.3 Chặn theo độ dài môđun đối đồng điều địa phơng Trong mục này, thiết lập chặn cho số quy CastelnuovoMumford G(M) theo độ dài môđun đối đồng điều địa phơng số môđun thơng môđun M ban đầu Với môđun hữu hạn sinh M ta đặt h0 (M ) := (Hm0 (M )) Định lý sau tơng tự nh Định lý 2.1.4 Điểm định lý sử dụng độ dài môđun đối đồng điều địa phơng thay cho bậc mở rộng Cho M A-môđun hữu hạn sinh với dim(M ) = d 1, M = {Mn }n0 I-lọc tốt M dãy phần tử x1 , , xd I \ mI cho dãy phần tử khởi đầu x1 , , xd GI (A) G(M)-dãy lọc quy Đặt B(I, M ) := (M/(x1 , , xd )M ) Định lý 2.3.1 à(I, M ) := max{h0 (M/(x1 , , xi )M )|0 i d 1} Khi (i) reg(G(M)) B(I, M ) + à(I, M ) + r(M) d = 1, (ii) reg(G(M)) [B(I, M ) + à(I, M ) + r(M) + 1]3(d1)!1 d d 12 Chơng Chặn theo hệ số Hilbert Mục đích chơng chặn cho số quy CastelnuovoMumford G(M) theo hệ số Hilbert Đặc biệt, môđun có chiều một, tìm đợc chặn chặt đặc trng chặn đạt đợc 3.1 Trờng hợp tổng quát Sử dụng kết Brodmann-Sharp (1998) V Trivedi (1997) ta suy reg1 (G(M)) đợc chặn e0 (M), , ed1 (M) Do depth(M ) > suy reg(G(M)) đợc chặn theo ei (M), i < d Tuy nhiên depth(M ) = đại lợng ei (M), i < d, không đủ để chặn đợc reg(G(M)) Mục đính mục sử dụng thêm ed (M) chặn đợc reg(G(M)) Định lý 3.1.7 Cho M I-lọc tốt môđun M chiều d Đặt r (M) := max{1, r(M)} (M) := max{e0 (M), |e1 (M)|, , |ed (M)|} Khi reg(G(M)) ((M) + r (M))d! + (M) 13 ((M) + r (M))d! + d d 3.2 Trờng hợp chiều Chặn thiết lập trờng hợp chiều đợc nêu định lý sau: Định lý 3.2.11 Cho M môđun chiều b số nguyên lớn thỏa mãn IM mb M Khi reg(GI (M )) e0 b + e1 Để xét xem dấu xảy ra, xét hai trờng hợp riêng rẽ hai định lý sau: Định lý 3.2.14 Cho M môđun Cohen-Macaulay chiều b số nguyên thỏa mãn IM mb M Khi điều kiện sau tơng đơng: (i) reg(GI (M )) = b+ (ii) HPI,M (z) = (iii) e1 = e0 b+1 e0 b+2 e0 b i=1 zi 1z e1 1; ; ; (iv) reg(GI (M )) = e0 b GI (M ) môđun Cohen-Macaulay Hơn nữa, điều kiện định lý b = max{t | IM mt M } Có ví dụ giả thiết GI (M ) môđun Cohen-Macaulay mệnh đề (iv) định lý bỏ đợc Định lý 3.2.16 Giả sử M môđun chiều depth(M ) = Cho b số nguyên dơng thỏa mãn IM mb M Khi điều kiện sau tơng đơng: (i) reg(GI (M )) = (ii) HPI,M (z) = b+ e0 b+2 e0 b+1 i=1 e1 1; e0 b+2 )e1 z i z ( 1z 14 Hơn nữa, điều kiện định lý b = max{t | IM mt M } Các ví dụ sau chặn Định lý 3.2.11 chặn chặt Ví dụ 3.2.17 Cho A = k[[x]] I = (x ) Khi đó, ta có b = HPI,A (z) = e0 b+1 1z Vì e0 = e1 = Dẫn đến e1 = Ví dụ 3.2.18 Cho A = k[[x, y]]/(xs y u+v , xs+1 y u ), s, u, v N v > Khi ta có Gm (A) = k[x, y]/(xs y u+v , xs+1 y u ) b = 1.Vì ta suy đợc HPm,A (z) = s+u i i=0 z z s+u+v (s + u)(s + u 1) , e0 = s + u, e1 = v, 1z reg(Gm (A)) = s + u + v Các đẳng thức tất điều kiện Định lý 3.2.16 15 Chơng Chặn trờng hợp nón phân thớ Mục đích chơng đa chặn cho hệ số Hilbert cho số quy Castelnuovo-Mumford nón phân thớ theo bậc mở rộng 4.1 Nón phân thớ Định nghĩa 4.1.1 (Xem Rossi-Valla, 2010) Cho q iđêan tuỳ ý chứa I Nón phân thớ M ứng với q đợc xác định công thức Fq (M) := n0 Mn /qMn Nếu M lọc I-adic A q = m nón phân thớ cổ điển Fm (I) = n0 I n /mI n I Chú ý Fq (M) môđun phân bậc G := GI (A) 4.2 Chặn hệ số Hilbert nón phân thớ Trong mục này, đa I-lọc qM : M qM qM1 ã ã ã qMn ã ã ã Nếu M I-lọc tốt qM I-lọc tốt Mối liên hệ hệ số Hilbert nón phân thớ với hệ số Hilbert lọc M qM nh sau: 16 Bổ đề 4.2.1 (Xem Rossi-Valla, 2010, tr 80) Cho M A-môđun hữu hạn sinh với dim(M ) = d 1, M = {Mn }n0 I-lọc tốt M Giả sử I q Mn+1 qMn với n Khi (i) e0 (M) = e0 (qM ), (ii) ei1 (Fq (M)) = ei (M) + ei1 (M) ei (qM ), với i d Tiếp theo ta cần ớc lợng đợc hệ số Hilbert lọc M trờng hợp đặc biệt lọc qM Vấn đề đợc Rossi-Trung-Valla (2003) giải trờng hợp m-adic vành đợc C H Linh (2007) mở rộng cho môđun Tuy nhiên, phép chứng minh C H Linh (2007) có chỗ cha hoàn chỉnh Vì vậy, đa phép chứng minh chi tiết kết sau kết không tổng quát mà nói chung tốt kết C H Linh (2007) Định lý 4.2.3 Cho M A-môđun hữu hạn sinh với dim(M ) = d M = {Mn }n0 I-lọc tốt M D(I, M ) bậc mở rộng tùy ý M ứng với I Khi (i) e0 (M) = e(I, M ) D(I, M ), (ii) |e1 (M)| (D(I, M ) + r(M) 1)D(I, M ), (iii) |ei (M)| (D(I, M ) + r(M) + 1)3i!i+1 i Từ ta chặn đợc hệ số Hilbert nón phân thớ qua bậc mở rộng, chiều số rút gọn Định lý 4.2.4 Với giả thiết nh Bổ đề 4.2.1, ta có (i) e0 (Fq (M)) 2D(I, M )(D(I, M ) + r(M)), (ii) |ei (Fq (M))| 2(D(I, M ) + r(M) + 2)3(i+1)!i i d 4.3 Chỉ số quy Castelnuovo-Mumford nón phân thớ Kết mục đa chặn số quy Castelnuovo-Mumford nón phân thớ theo D(I, M ) Phơng pháp chứng 17 minh Rossi-Trung-Valla (2003) cho môđun phân bậc liên kết không áp dụng đợc cho nón phân thớ Cho M A-môđun hữu hạn sinh với dim(M ) = d 1, M = {Mn }n0 I-lọc tốt M D(I, M ) bậc mở rộng tùy ý M ứng với I Giả sử I q Mn+1 qMn với n Khi Định lý 4.3.2 (i) reg(Fq (M)) 2D(I, M )(D(I, M ) + r(M)) + r(M) d = 1; (ii) reg(Fq (M)) (D(I, M ) + r(M) + 2)2 + D(I, M )2 d = 2; (iii) reg(Fq (M)) (D(I, M ) + r(M) + 2)3(d1)!1 d d Nh hệ trực tiếp từ định lý trên, ta nhận đợc chặn cho số quy Castelnuovo-Mumford nón phân thớ cổ điển iđêan m-nguyên sơ Hệ 4.3.3 Cho I iđêan m-nguyên sơ vành địa phơng A với chiều d D(I, A) bậc mở rộng tùy ý A ứng với I Khi (i) reg(Fm (I)) 2D(I, A)2 d = 1; (ii) reg(Fm (I)) 2D(I, A)2 + 4D(I, A) + d = 2; (iii) reg(Fm (I)) (D(I, A) + 2)3(d1)!1 d d Trong trờng hợp phân bậc, ta áp dụng phơng pháp Chơng 2, Mục 2.2 để chặn số quy Castelnuovo-Mumford Fq (M) Ta thu đợc kết sau: Mệnh đề 4.3.5 Giả sử A ảnh đồng cấu đại số Gorenstein phân bậc, M A-môđun phân bậc hữu hạn sinh với dim(M ) = d 1, I q iđêan m-nguyên sơ phân bậc A, M = {Mn }n0 I-lọc tốt môđun phân bậc M cho Mn+1 qMn với n Khi (i) reg(Fq (M)) (A/I) hdeg(I, M )( (A/I) hdeg(I, M )+r(M))+r(M)1 d = 1; (ii) reg(Fq (M)) ( (A/I)2 hdeg(I, M )+r(M)+2)2 + (A/I)4 hdeg(I, M )2 d = 2; (iii) reg(Fq (M)) ( (A/I)d hdeg(I, M ) + r(M) + 2)3(d1)!1 d d 18 Chơng Sự phụ thuộc hệ số Hilbert Mục đích chơng đa mối liên hệ hệ số Hilbert môđun G(M) biết độ sâu môđun lọc 5.1 Chặn độ dài môđun đối đồng điều địa phơng Các kết mục Mệnh đề 5.1.2 Giả sử M A-môđun hữu hạn sinh với dim M = d M = {Mn }n0 I-lọc tốt M Cho dãy phần tử x1 , , xd I \ mI cho dãy phần tử khởi đầu x1 , , xd GI (A) G(M)-dãy lọc quy d Đặt Mi := M/(x1 , , xi )M M(i) := M/(x1 , , xi )M , M0 := M M(0) := M Khi với i d 1, ta có h0 (M(i) ) (i + 1)(M)(reg(G(M)) + 2)d Với kí hiệu giả thiết nh Bổ đề 5.1.2, đặt B := (M/(x1 , x2 , , xd )M ) Khi Mệnh đề 5.1.4 B (d + 1)(M)(reg(G(M)) + 2)d 5.2 Mối quan hệ hệ số Hilbert Sử dụng chặn số quy Castelnuovo-Mumford theo hệ số Hilbert (1)i1 ei (I, A) bị chặn theo hàm phụ thuộc vào 19 e0 (I, A), , ei1 (I, A) Cụ thể nh sau: Định lý 5.2.1 Giả sử M A-môđun hữu hạn sinh với dim M = d M = {Mn }n0 I-lọc tốt M Khi (i) e1 (M) e0 (M) (ii) Đặt i1 := max{e0 (M), |e1 (M)|, , |ei1 (M)|} r := max{1, r(M)} Với i 2, ta có (1) i1 ei (M) i1 (i1 + r )i! + i i Sử dụng reg(G(M)) chặn hệ số Hilbert M Mệnh đề 5.2.3 Giả sử M A-môđun hữu hạn sinh với dim M = d M = {Mn }n0 I-lọc tốt M Cho l1 , , ld I cho dạng khởi đầu l1 , , ld GI (A) dãy lọc quy G(M) Đặt B := (M/(l1 , , ld )M ) Khi (a) Với i d 1, |ei (M)| B(reg1 (G(M)) + 1)i , (b) |ed (M)| B(d + 1)(reg(G(M)) + 1)d Trong phần lại mục ta sử dụng kí hiệu sau: t (M) := max{e0 (M), |e1 (M)|, , |edt (M)|}, t d Sử dụng Định lý 2.3.1, Định lý 3.1.7, Mệnh đề 5.1.2, Mệnh đề 5.1.4 Mệnh đề 5.2.3 ta chặn đợc reg(G(M)) theo t (M) (thay cho (M) Định lý 3.1.7) Định lý 5.2.4 Cho M I-lọc tốt M với dim(M ) = d Giả sử depth(M ) = t Khi reg(G(M)) [2(d + 1)t (M)]3d! [t (M) + r(M) + 4]3d!(d+1t)! Từ dẫn đến Định lý 5.2.5 Cho M I-lọc tốt M Giả sử dim(M ) depth(M ) = t Khi |ed (M)|, |ed1 (M)|, , |edt+1 (M)| đợc chặn hàm phụ thuộc vào e0 (M), |e1 (M)|, , |edt (M)| r(M) Cụ thể |ej (M)| < [2(j + 1)t (M)]3j!+2 [t (M) + r(M) + 4)]4j!(j+1t)! 20 Nếu lọc M = {I n M }n0 r(M) = Trong trờng hợp M môđun Cohen-Macaulay, nh hệ tức Định lý 5.2.5 mở rộng kết V Trivedi (1997) Hệ 5.2.6 Giả sử dim(M ) = d depth(M ) = t Khi với d t + j d, ta có |ej (I, M )| [2(j + 1)t ]3j!+2 (t + 4)4j!(j+1t)! , t := max{e0 (I, M ), |e1 (I, M )|, , |edt (I, M )|} Hay nói cách khác, |ej (I, M )| với d t + j d đợc chặn theo đại lợng e0 (I, M ), e1 (I, M ), , edt (I, M ) Tiếp theo đa kết hữu hạn hàm Hilbert-Samuel Định lý 5.2.7 Cho d t 0, e0 , , edt số nguyên Khi tồn số hữu hạn (nếu có) hàm Hilbert-Samuel tơng ứng với môđun M với chiều d iđêan I m-nguyên sơ cho depth(M ) = t ej (I, M ) = ej với j d t Một ví dụ Srinivas-Trivedi (1997), ta thấy giảm bớt đợc số hệ số Hilbert "độc lập" Định lý 5.2.5 21 Kết luận Tóm lại, luận án thu đợc kết sau đây: - Thiết lập đợc ba loại chặn cho số quy Castelnuovo-Mumford môđun phân bậc liên kết lọc môđun tuỳ ý: theo bậc mở rộng; theo độ dài môđun đối đồng điều địa phơng theo hệ số Hilbert Trong trờng hợp môđun M phân bậc, đa đợc chặn cho số quy Castelnuovo-Mumford môđun phân bậc liên kết theo reg(M ) Trong trờng hợp chiều một, thiết lập đợc chặn chặt theo hệ số Hilbert đặc trng đợc đẳng thức xảy - Thiết lập đợc chặn cho số quy Castelnuovo-Mumford nón phân thớ lọc môđun tuỳ ý theo bậc mở rộng - Tìm đợc mối liên hệ hệ số Hilbert là: số |edt+1 (I, M )|, , |ed (I, M )| bị chặn hàm phụ thuộc vào e0 (I, M ), e1 (I, M ), , edt (I, M ), t = depth(M ) tồn số hữu hạn hàm Hilbert-Samuel (nếu có) môđun cho trớc chiều d, độ sâu t d d t hệ số Hilbert e0 , , edt 22 Các công trình liên quan đến đề tài luận án [1 ] L X Dung and L T Hoa, Castelnuovo-Mumford regularity of associated graded modules and fiber cones of filtered modules, Comm Algebra 40 (2012), 404-422 [2 ] L X Dung and L T Hoa, Dependence of Hilbert coefficients, Preprint [3 ] L X Dung Castelnuovo-Mumford regularity of associated graded modules in dimension one, Acta Math Vietnam (to appear) Các kết luận án đợc báo cáo tại: Xemina Phòng Đại số, Viện Toán học Hà Nội Xemina môn Đại số, Khoa Khoa học Tự nhiên, Đại Học Hồng Đức Hội nghị nghiên cứu sinh Viện Toán học, 10/2009, 10/2010, 10/2011 Hội nghị khoa học trờng Đại học Hồng Đức, 5/2010, 5/2012 Đại hội toán học toàn quốc, Quy nhơn, 8/2008 Hội nghị Đại số - Tô pô - Hình học, Huế, 9/2009 Thái Nguyên, 11/2011 Hội Thảo liên kết Nhật Bản-Việt Nam Đại số giao hoán, Hà Nội, 01/2010 Quy Nhơn, 12/2011 23 ...Mở đầu Chỉ số quy Castelnuovo-Mumford bất biến quan trọng đại số giao hoán hình học đại số Nó cung cấp nhiều thông tin độ phức tạp cấu trúc đại số phân bậc Chỉ số quy Castelnuovo-Mumford. .. Chơng Kiến thức chuẩn bị 1.1 Chỉ số quy Castelnuovo-Mumford Trong chơng này, nhắc lại số kiến thức sở số kết biết số quy Castelnuovo-Mumford, phần tử lọc quy, hệ số Hilbert môđun lọc Trong luận... ta biết đợc dáng điệu số phần tử sinh I n n Do mục đích luận án giải hai toán sau: Bài toán Chặn số quy Castelnuovo-Mumford cho môđun phân bậc liên kết Bài toán Chặn số quy Castelnuovo-Mumford