Không gian với cs∗ mạng chính quy theo điểm và bài toán của shou lin

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐÀ NẴNG ——————————– HUỲNH QUANG TÂM KHÔNG GIAN VỚI cs∗-MẠNG CHÍNH QUY THEO ĐIỂM VÀ BÀI TỐN CỦA SHOU LIN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Đà Nẵng - 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐÀ NẴNG ——————————– HUỲNH QUANG TÂM KHÔNG GIAN VỚI cs∗-MẠNG CHÍNH QUY THEO ĐIỂM VÀ BÀI TỐN CỦA SHOU LIN Chuyên ngành: Giải tích Mã số: 8460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Lương Quốc Tuyển Đà Nẵng - 2018 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Tác giả HUỲNH QUANG TÂM LỜI CẢM ƠN Lời luận văn xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn TS Lương Quốc Tuyển tận tình hướng dẫn tơi suốt q trình thực để tơi hồn thành luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến tất thầy cô giáo tận tình dạy bảo tơi suốt thời gian học tập khóa học Đồng thời, tơi xin gửi lời cảm ơn đến anh chị lớp Cao học Tốn giải tích K32-Đà Nẵng nhiệt tình giúp đỡ tơi q trình học tập lớp Huỳnh Quang Tâm MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG Cơ sở lý thuyết 1.1 Không gian topo, tập hợp mở lân cận tập hợp 1.2 Tập hợp đóng bao đóng tập hợp 1.3 Phần tập hợp 14 1.4 Cơ sở sở lân cận không gian topo 1.5 T1 -không gian T2 -không gian 16 18 CHƯƠNG Không gian với cs∗ -mạng quy theo điểm toán Shou Lin 21 2.1 Các mạng không gian topo 21 2.2 Không gian với mạng σ-mạnh 27 2.3 Không gian với cs∗ -mạng quy theo điểm 2.4 Lời giải cho toán Shou Lin 30 34 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO 41 MỞ ĐẦU Tính cấp thiết đề tài Khái niệm sở quy theo điểm P S Alexandroff đưa vào năm 1960 (xem [1]) Năm 1962, A V Arhangel’skii chứng minh không gian X ảnh compact mở không gian metric X có sở quy theo điểm (xem [2]) Sau đó, S Lin đưa khái niệm ánh xạ 1-phủ-dãy vào năm 1996 (xem [6]), tác giả với P Yan chứng minh không gian X ảnh compact 1-phủ-dãy khơng gian metric X có cs-mạng quy theo điểm, X có sn-mạng quy theo điểm (xem [9]) Đến năm 2002, Y Ikeda, C Liu Y Tanaka chứng minh kết X khơng gian dãy với cs∗ -mạng quy theo điểm, X π , s-ảnh thương không gian metric (xem [4]), tác giả đặt toán mở sau Bài toán ([4], Question 18) Giả sử X không gian dãy với cs∗ - mạng quy theo điểm Hãy đặc trưng X ảnh đẹp không gian metric? Ngoài ra, [4], tác giả đưa khái niệm mạng σ -mạnh để nghiên cứu tính chất ảnh không gian metric, chứng minh không gian X ảnh compact phủ-dãy không gian metric X có mạng σ -mạnh gồm cs∗ -phủ hữu hạn theo điểm Bởi ảnh compact phủ-dãy khơng gian metric khơng gian có cs∗ -mạng quy theo điểm nên S Lin cho chiều ngược lại mệnh đề đặt toán mở sau Bài toán ([5], Question 3.3.20(2); [8], Question 4) Nếu X không gian với cs∗ -mạng quy theo điểm, X có mạng σ -mạnh gồm cs∗ -phủ hữu hạn theo điểm hay khơng? Hai tốn Trần Văn Ân Lương Quốc Tuyển cho câu trả lời khẳng định vào năm 2011 [3] Với mong muốn tìm hiểu tính chất mạng σ -mạnh lời giải chi tiết cho Bài toán Bài toán với định hướng thầy giáo Lương Quốc Tuyển, định chọn đề tài: “Khơng gian với cs∗ -mạng quy theo điểm toán Shou Lin” làm đề tài luận văn thạc sỹ Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu nhằm tìm hiểu làm rõ vấn đề sau: • Định nghĩa tính chất mạng, cs∗ -mạng, cs-mạng mạng σ -mạnh • Các phủ quy theo điểm tính chất cs∗ -mạng quy theo đểm khơng gian topo • Mối quan hệ mạng σ -mạnh, mạng quy theo điểm • Lời giải chi tiết cho Bài toán Đối tượng nghiên cứu Khơng gian với cs∗ -mạng quy theo điểm tính chất cs∗ -mạng quy theo đểm không gian topo, mối quan hệ mạng σ -mạnh, mạng quy theo điểm Phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu mối liên hệ mạng, cs∗ -mạng, cs-mạng mạng σ -mạnh, tìm hiểu phép chứng minh chi tiết Bài tốn Phương pháp nghiên cứu Chúng tơi sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết trình thực đề tài Bằng cách thu thập báo liên quan với đề tài tác giả trước nhằm tìm phép chứng minh chi tiết cho Bài toán Tổng quan cấu trúc luận văn Trong luận văn này, trình bày chương Ngồi ra, luận văn có Lời cam đoan, Lời cảm ơn, Mục lục, Phần mở đầu, phần Kết luận Kiến nghị, Tài liệu tham khảo Chương : Một số kiến thức chuẩn bị Trình bày kiến thức cần thiết cho phần sau như: không gian topo, tập mở, tập đóng, Chương : Khơng gian với cs∗ -mạng quy theo điểm tốn Shou Lin Chương trình bày kiến thức mạng, cs∗ -mạng, cs-mạng, mạng σ -mạnh, mạng quy theo điểm, kết liên quan đến không gian với cs∗ -mạng, cs-mạng, mạng σ -mạnh, mạng quy theo điểm lời giải chi tiết cho Bài toán 33 mạng giảm x nên {yk } hội tụ đến x X Mặt khác, P cs∗ -phủ đếm theo điểm nên sử dụng Bổ đề 2.3.3 ta suy tồn m, i ∈ N cho {x} {yk : k ≤ i} ⊂ Hm Do vậy, lấy j ≥ i, tồn n ≥ m cho yj = xn,m , kéo theo xn,m ∈ Hm Điều dẫn đến mâu thuẫn với xn,m ∈ / Hm với m, n ∈ N Bổ đề 2.3.8 Giả sử P cs∗ -phủ đếm theo điểm không gian sn-đối xứng Cauchy X Đặt I(X) = x ∈ X : tồn n ∈ N cho Sn (x) = {x} Khi đó, với x ∈ / I(X), tồn n0 ∈ N họ hữu hạn C ⊂ (P)x cho khẳng định sau 1) Sn0 (x) ⊂ C 2) Với z ∈ X, P ⊂ Sn0 (z) với P ∈ C Chứng minh Bởi P cs∗ -phủ đếm theo điểm X nên áp dụng Bổ đề 2.3.7 ta suy tồn i ∈ N họ hữu hạn H ⊂ (P)x cho Si (x) ⊂ H Nếu ta đặt C = H \ {x}, C họ hữu hạn (P)x \ {x} Bởi x∈ / I(X) nên Si (x) = {x} Mặt khác, Si (x) ⊂ H nên tồn P ∈ H cho P = {x} Điều kéo theo C không rỗng Bây giờ, với P ∈ C, ta lấy x(P ) ∈ P \ {x} Bởi C hữu hạn nên 34 X \ {x(P ) : P ∈ C} lân cận mở x X Do đó, tồn i0 ≥ i cho Si0 (x) ⊂ X \ {x(P ) : P ∈ C} Bởi vậy, Si0 (x) ⊂ Si (x) ⊂ C P ⊂ Si0 (x) với P ∈ C Tiếp theo, ta chứng tỏ với P ∈ C tồn n(P ) ∈ N cho P ⊂ Sn(p) (z) với z ∈ X Thật vậy, giả sử ngược lại tồn P ∈ C cho với i ∈ N tồn zi ∈ X thỏa mãn P ⊂ Si (zi ) Khi đó, với i ∈ N, ta có {x, x(P )} ⊂ P ⊂ Si (zi ) Suy d(x, zi ) < 1/i d(x(P ), zi ) < 1/i với i ∈ N, kéo theo dãy zi hội tụ đến x x(P ) X Hơn nữa, X khơng gian Hausdorff nên x = x(P ) Điều dẫn đến mâu thuẫn với x(P ) ∈ P \{x} Cuối cùng, ta đặt n0 = max({i0 } {n(P ) : P ∈ C}), khẳng định (1) (2) 2.4 Lời giải cho toán Shou Lin Trong mục này, đưa câu trả lời chi tiết cho toán Shou Lin Định lí 2.4.1 ([5], Question 3.3.20(2); [8], Question 4) Nếu X khơng gian với cs∗ -mạng quy theo điểm, X có mạng σ -mạnh gồm cs∗ -phủ hữu hạn theo điểm 35 Chứng minh Giả sử P cs∗ -mạng quy theo điểm X Nhờ Bổ đề 2.3.2 ta suy P biểu diễn dạng P= {Pn : n ∈ N}, P mạng σ -đếm theo điểm mạnh gồm cs∗ -phủ Bây giờ, với x, y ∈ X mà x = y , ta đặt δ(x, y) = min{n : x ∈ / St(y, Pn )} đặt d(x, y) = 1/δ(x, y) x=y x = y Khi đó, d d-hàm X St(x, Pn ) = Sn (x) với n ∈ N Mặt khác, P mạng σ -mạnh gồm cs∗ -phủ nên từ Nhận xét 2.2.4 ta suy {Sn (x) : n ∈ N} sn-mạng x với x ∈ X Do vậy, (X, d) không gian sn-đối xứng Tiếp theo, với m, n ∈ N, đặt Qm,n = {P ∈ Pm : P ⊂ Sn (x) với x ∈ X} Am,n = {x ∈ X : Sn (x) ⊂ St(x, Qm,n )}; Bm,n = X \ Am,n đặt Fm,n = Qm,n ∪ {Bm,n } Khi đó, (i) Mỗi Fm,n hữu hạn theo điểm I(X), 36 Ta cần chứng minh Qm,n hữu hạn theo điểm Thật vậy, giả sử ngược lại tồn x ∈ X cho Qm,n không hữu hạn theo điểm x Khi đó, tồn P1 ∈ (Qm,n )x x1 ∈ X cho x1 ∈ P1 \ Sn (x) Sử dụng Bổ đề 2.3.1 ta suy (Qm,n )x \ {x} mạng x Hơn nữa, X \ {x1 } lân cận mở x nên tồn P2 ∈ (Qm,n )x x2 ∈ X cho x2 ∈ P2 \ {x1 } ∪ Sn (x) Bằng quy nạp, ta chọn dãy {xn } thỏa mãn với i ≥ 2, tồn Pi ∈ (Qm,n )x cho xi ∈ Pi \ ({xj : ≤ j ≤ i − 1} Sn (x)) Bây giờ, ta chứng tỏ dãy {xi } hội tụ đến x X Thật vậy, giả sử ngược lại dãy {xi } không hội tụ đến x X Khi đó, tồn lân cận U x cho với j ∈ N, tồn ij > j thỏa mãn xij ∈ / U Bởi {Pij : j ∈ N} vơ hạn nên nhờ Bổ đề 2.3.1 ta suy {Pij : j ∈ N} mạng x Do đó, tồn j0 ∈ N cho Pij0 ⊂ U, kéo theo xij0 ∈ U Điều dẫn đến mâu thuẫn với xij0 ∈ / U, Bởi vậy, {xi } hội tụ đến x X Bởi Sn (x) lân cận dãy x nên {xi } từ lúc nằm Sn (x) Điều mâu thuẫn với xi ∈ / Sn (x) với i ∈ N Do vậy, Qm,n họ hữu hạn theo điểm, kéo theo Fm,n họ hữu hạn theo điểm (ii) Mỗi Fm,n cs∗ -phủ X Giả sử L = {xi : i ∈ N} dãy hội tụ đến x ∈ X Khi đó, • Trường hợp Nếu x ∈ Am,n , Sn (x) ⊂ St(x, Qm,n ) 37 Điều kéo theo L từ lúc nằm St(x, Qm,n ) Mặt khác, Qm,n hữu hạn theo điểm nên tồn P ∈ Qm,n cho L thường xuyên gặp P Do vậy, tồn P ∈ Fm,n cho L thường xuyên gặp P • Trường hợp Nếu x ∈ / Am,n L ∩ Bm,n vơ hạn, L thường xuyên gặp Bm,n ∈ Fm,n • Trường hợp Nếu x ∈ / Am,n L ∩ Bm,n hữu hạn, tồn k0 ∈ N cho {xi : i ≥ k0 } ⊂ L ∩ Am,n Mặt khác, xi ∈ Am,n nên xi ∈ Sn (xi ) ⊂ St(xi , Qm,n ) với i ≥ k0 Hơn nữa, L hội tụ đến x Sn (x) lân cận dãy x nên tồn i0 ≥ k0 cho {x} {xi : i ≥ i0 } ⊂ Sn (x) Do đó, d(x, xi ) < 1/n với i ≥ i0 Điều kéo theo {x, xi } ⊂ Sn (xi ) ⊂ St(xi , Qm,n ) với i ≥ i0 Bởi thế, với i ≥ i0 , tồn Pi ∈ Qm,n cho {x, xi } ⊂ Pi Cuối cùng, Qm,n hữu hạn theo điểm nên tập hợp {Pi : i ≥ i0 } hữu hạn Do đó, tồn i ≥ i0 cho L thường xuyên gặp Pi ∈ Qm,n Bởi vậy, Fm,n cs∗ -phủ X (iii) {St(x, Fm,n ) : m, n ∈ N} mạng x Giả sử x ∈ U với U mở X Khi đó, P mạng σ -mạnh X nên tồn m0 ∈ N cho 38 St(x, Pm0 ) ⊂ U Bây giờ, ta chứng tỏ tồn n0 ∈ N cho x ∈ Am0 ,n0 Thật vậy, ta xét trường hợp sau • Trường hợp Nếu x ∈ / I(X), Pm0 cs∗ -phủ đếm theo điểm nên nhờ Bổ đề 2.3.8 ta suy tồn họ hữu hạn C ⊂ (Pm0 )x n0 ∈ N cho Sn0 (x) ⊂ C với P ∈ C, P ⊂ Sn0 (z) với z ∈ X Điều kéo theo C ⊂ (Qm0 ,n0 )x x ∈ Sn0 (x) ⊂ C ⊂ St(x, Qm0 ,n0 ) Do vậy, x ∈ Am0 ,n0 • Trường hợp Nếu x ∈ I(X), tồn n0 ∈ N cho Sn0 (x) = {x} Khi đó, I(X) ⊂ Qm0 ,n0 nên Sn0 (x) ⊂ St(x, Qm0 ,n0 ), kéo theo x ∈ Am0 ,n0 Lại x ∈ Am0 ,n0 nên St(x, Fm0 ,n0 ) = St(x, Qm0 ,n0 ) ⊂ St(x, Pm0 ) ⊂ U Điều chứng tỏ {St(x, Fm,n ) : m, n ∈ N} mạng x Tiếp theo, ta viết {Fm,n : m, n ∈ N} = {Hi : i ∈ N} 39 với i ∈ N, ta đặt i Hj : Hj ∈ Hj , ≤ j ≤ i} Gi = { j=1 Khi đó, {Gi : i ∈ N} mạng σ -hữu hạn theo điểm mạnh gồm cs∗ -phủ X Như vậy, X không gian với cs∗ -mạng quy theo điểm, X có mạng σ -mạnh gồm cs∗ -phủ hữu hạn theo điểm Nhận xét 2.4.2 Sử dụng Định lý 2.4.1, [3] Trần Văn Ân Lương Quốc Tuyển thu câu trả lời khẳng định cho Bài toán đặt S Lin Nhận xét 2.4.3 Sử dụng Định lý 2.4.1, [7] Lương Quốc Tuyển thu câu trả lời cho Bài toán đặt Y Ikeda, C Liu Y Tanaka 40 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận Qua thời gian tìm hiểu, học hỏi từ số tài liệu hướng dẫn TS Lương Quốc Tuyển, tơi hồn thành luận văn với số kết đạt sau: • Trình bày cách có hệ thống kiến thức cần thiết cho phần sau như: không gian topo, tập hợp mở, tập hợp đóng, mạng, cs∗ -mạng, ánh xạ có tính chất phủ Chứng minh chi tiết kết trình bày • Trình bày kết liên quan đến không gian với cs∗ -mạng, csmạng, mạng σ -mạnh, mạng quy theo điểm • Các kết luận văn trình bày lời giải chi tiết cho Bài toán Shou Lin thu câu trả lời cho Bài toán đặt Y Ikeda, C Liu Y Tanaka Trong trình làm luận văn dù cố gắng nhiều khơng tránh khỏi thiếu sót định, tơi mong góp ý chân thành quý thầy cô bạn đọc để tiếp tục nghiên cứu phát triển luận văn Kiến nghị Trong thời gian tới, mong muốn tiếp tục nghiên cứu đặc trưng không gian sn-đối xứng với tính chất phủ khơng gian g -hàm sn-mạng 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] P S Alexandroff (1960), On the metrization of topological spaces, Bull Acad Polon Sci S’ er Sci Math Astronom Phys., 8, 135-140 [2] A V Arhangel’skii (1962), On mappings of metric spaces, Dokl Akad Nauk SSSR, 145 (1962), 245-247, Translation: Soviet Math Dokl., 3, 953-956 [3] T V An, L Q Tuyen (2011), On an affirmative answer to S Lin’s problem, Topology and its Applications 158, 1567–1570 [4] I Ikeda, C Liu and Y Tanaka (2002), Quotient compact images of metric spaces, and related meters, Topology and its Applications 122, 237-252 [5] S Lin (2002), Point-Countable Covers and Sequence-Covering Mappings, Chinese Science Press, Beijing [6] S Lin (1996), On sequence-covering s-mappings, Adv Math (China), 25 (6), 548-551 [7] L Q Tuyen (2017), On an affirmative answer to Y Tanaka’s and Y Ge’s problem, Commentationes Mathematicae Universitatis Carolinae 58, 125-129 [8] S Lin (2007), Some problems on generalizes metrizable spaces, in: Pearl (ed.), Open Problems in Topology II [9] S Lin, P Yan (2001), On sequence-covering compact mappings, Acta Math Sinica 44, 175-182 ... KHƠNG GIAN VỚI cs∗- MẠNG CHÍNH QUY THEO ĐIỂM VÀ BÀI TỐN CỦA SHOU LIN Trong chương này, chúng tơi trình bày kết liên quan đến khơng gian với cs∗ -mạng, cs -mạng, mạng σ -mạnh, mạng quy theo điểm. .. như: khơng gian topo, tập mở, tập đóng, Chương : Khơng gian với cs∗ -mạng quy theo điểm toán Shou Lin Chương trình bày kiến thức mạng, cs∗ -mạng, cs -mạng, mạng σ -mạnh, mạng quy theo điểm, kết... X không gian dãy với cs∗ -mạng quy theo điểm, X π , s-ảnh thương không gian metric (xem [4]), tác giả đặt toán mở sau Bài toán ([4], Question 18) Giả sử X không gian dãy với cs∗ - mạng quy theo