Đặc trưng của gian không gian với CS - mạng đếm được địa phương bởi ảnh của không gian metric khả li địa phương

Trong bài viết này đã chứng minh được rằng không gian với cs-mạng đếm được địa phương tương đương với ss-ảnh phủ-dãy, phủ-compact của một không gian metric khả li địa phương.

UED Journal of Social Sciences, Humanities & Education – ISSN 1859 - 4603 TẠP CHÍ KHOA HỌC XÃ HỘI, NHÂN VĂN VÀ GIÁO DỤC Nhận bài: 06 – 06 – 2017 Chấp nhận đăng: 20 – 09 – 2017 http://jshe.ued.udn.vn/ ĐẶC TRƯNG CỦA GIAN KHÔNG GIAN VỚI cs - MẠNG ĐẾM ĐƯỢC ĐỊA PHƯƠNG BỞI ẢNH CỦA KHÔNG GIAN METRIC KHẢ LI ĐỊA PHƯƠNG Lương Quốc Tuyểna*, Nguyễn Thị Sinhb Tóm tắt: Trong [2], Trần Văn Ân Lương Quốc Tuyển chứng minh không gian sn-đối xứng với cs-mạng đếm tương đương với ảnh compact giả-phủ-dãy không gian metric khả li, tương đương với  -ảnh thương-dãy không gian metric khả li, không gian sn-đối xứng Cauchy với cs-mạng đếm tương đương với ảnh compact 1-phủ-dãy phủ-compact không gian metric khả li, tương đương với  -ảnh phủ-dãy không gian metric khả li Ngoài ra, [6, 7], Lương Quốc Tuyển chứng minh không gian sn-đối xứng với cs-mạng đếm địa phương tương đương với ss-ảnh compact phủcompact không gian metric khả li địa phương, không gian sn-đối xứng Cauchy với cs-mạng đếm địa phương tương đương với ss-ảnh compact phủ-dãy, phủ-compact không gian metric khả li địa phương Trong báo này, chứng minh không gian với cs-mạng đếm địa phương tương đương với ss-ảnh phủ-dãy phủ-compact không gian metric khả li địa phương Từ khóa: mạng; cs-mạng; phủ-dãy; phủ-compact; ss-ánh xạ; đếm địa phương Giới thiệu Một toán trọng tâm topo đại cương thiết lập mối quan hệ không gian topo không gian metric qua ánh xạ thích hợp (xem [1, 2, 3, 6]) Trong [1, 2, 6, 7], tác giả thu nhiều đặc trưng ảnh “đẹp” không gian metric khả li không gian metric khả li địa phương qua ánh xạ compact, ss-ánh xạ  -ánh xạ với tính chất phủdãy, giả-phủ-dãy, phủ-compact thương-dãy Trong báo này, nghiên cứu đặc trưng không gian với cs-mạng đếm địa phương chứng minh không gian với cs-mạng đếm địa phương tương đương với ss-ảnh compact phủ-dãy phủ-compact không gian metric khả li địa phương Trong tồn viết, nói đến không gian X , ta hiểu X không gian topo quy ước tất khơng gian T1 quy, cịn khái niệm thuật ngữ khác, khơng nói thêm hiểu thơng thường Ngồi ra, chúng tơi cịn dùng thêm kí hiệu: UP = UP : P  P  , ¥ = 1, 2,3,  Cơ sở lí thuyết phương pháp nghiên cứu 2.1 Cơ sở lí thuyết 2.1.1 Định nghĩa([3, 5]) Giả sử P họ gồm tập X Khi đó, (1) P gọi k-mạng, với tập compact K  X với lân cận mở U K X , tồn họ hữu hạn F  P cho K  UF  U (2) P gọi cs-mạng, với dãy {xn } hội tụ đến x với lân cận U x, tồn P  P m¥ cho {x} U{xn : n  m}  P  U (3) P gọi cs*-mạng, với dãy {xn } a,bTrường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng * Liên hệ tác giả Lương Quốc Tuyển Email: lqtuyen@ued.udn.vn hội tụ đến x với lân cận U x, tồn P  P dãy {xnk : k  ¥ } {xn } cho Tạp chí Khoa học Xã hội, Nhân văn & Giáo dục, Tập 7, số (2017), 47-50 | 47 Lương Quốc Tuyển, Nguyễn Thị Sinh {x} U{xnk : k  ¥ }  P  U (4) P gọi họ đếm địa phương, với x  X , tồn lân cận V x x cho V x giao với nhiều đếm phần tử P (5) P gọi họ sao-đếm được, với P  P , P giao nhiều đếm phần tử P (6) P gọi họ điểm-đếm được, phần tử X thuộc nhiều đếm phần tử P (7) Không gian X gọi 0 -khơng gian, có k-mạng đếm (8) Tập P  X gọi tập mở theo dãy, với dãy { xn } hội tụ đến x  P, tồn m¥ cho {x} U{xn : n  m}  P 2.1.5 Bổ đề ([4]) Đối với không gian X , khẳng định sau tương đương (1) X 0 -không gian; (2) X ảnh phủ-dãy, phủ-compact không gian metric khả li; (3) X ảnh thương-dãy không gian metric khả li 2.1.6 Bổ đề ([3]) Mỗi khơng gian compact có kmạng điểm-đếm khả metric 2.2 Phương pháp nghiên cứu Chúng sử dụng phương pháp nghiên cứu lí thuyết q trình thực báo Nghiên cứu tài liệu tác giả trước để đưa kết cho báo Kết đánh giá 2.1.2 Nhận xét ([3]) (1) Nếu P cs-mạng, P cs*-mạng (2) X 0 -khơng gian  X có cs-mạng đếm 3.1 Kết 3.1.1 Bổ đề ([3]) Đối với không gian X , khẳng định sau tương đương: (1) X khơng gian có cs*-mạng đếm địa phương; 2.1.3 Định nghĩa ([2,3]) Giả sử f : M → X (2) X khơng gian có k-mạng đếm địa phương; ánh xạ Khi đó, (3) X khơng gian có cs-mạng đếm địa phương (1) f gọi ss-ánh xạ, với x  X , tồn lân cận V x x cho f −1 (Vx ) tập khả li M (2) f gọi ánh xạ phủ-dãy, dãy hội tụ X ảnh dãy hội tụ M (3) f gọi ánh xạ thương-dãy, dãy S hội tụ X , tồn dãy L hội tụ M cho f ( L) dãy S (4) f gọi ánh xạ phủ-compact, với tập compact X ảnh tập compact M 2.1.4 Bổ đề ([5]) Nếu P X , họ sao-đếm P = U{P :   }, P =  họ đếm P = với    ta có (UP =  )  (UP =  ) =  48 3.1.2 Định lí Đối với khơng gian X , khẳng định sau tương đương: (1) X có cs-mạng đếm địa phương; (2) X ss-ảnh phủ-dãyvà phủ-compact không gian metric khả li địa phương; (3) X ss-ảnh thương-dãy không gian metric khả li địa phương Chứng minh (1)  (2) Giả sử P cs-mạng đếm địa phương X Bởi X khơng gian quy nên ta giả thiết phần tử P đóng Hơn nữa, P họ đếm địa phương nên với x  X , tồn lân cận V x x giao nhiều đếm phần tử P Đặt  = P  P : P  Vx , x  X  Khi đó,  vừa mạng đếm địa phương vừa mạng sao-đếm X Do vậy, theo Bổ đề 2.4 ta suy  = U  ,  ISSN 1859 - 4603 - Tạp chí Khoa học Xã hội, Nhân văn & Giáo dục, Tập 7, số (2017), 47-50  họ đếm  với    ta có: Bây giờ, với n  m, ta lấy zn  f −1 ( xn ) Khi đó, {zn } dãy hội tụ đến z x M , zn  g −1 ( xn ) (U )  (U ) =  với n  ¥ Bây giờ, với   , ta đặt Do vậy, g ánh xạ phủ-dãy X  = U (c) g ánh xạ phủ-compact Giả sử K tập Khi đó, X  tập mở theo dãy X  cs-mạng đếm X  với   Bởi thế, compact X Bởi X có cs-mạng đếm địa phương K compact nên = P   : P  K   X  0 -không gian Sử dụng Bổ đề 2.5, với   , tồn ánh xạ phủ-dãy, phủ-compact cs-mạng đếm không gian K Bởi thế, theo Nhận xét 2.2 Bổ đề 2.6, K khả metric Hơn nữa, X  tập mở theo dãy X f : M  → X  , M  không gian metric khả li Đặt: X  X  =  M =  M  , Z =  P ,     nên ta suy f =  f : M → Z  =   : K  X     đặt h : Z → X phép chiếu tự nhiên Khi đó, M không gian metric khả li địa phương Hơn nữa, ta đặt g = f o h, hữu hạn Bây giờ, với   , ta đặt K = K  X  (a) g ss-ánh xạ Giả sử x  X Khi đó, P Bởi K khả metric X  tập mở theo họ đếm địa phương nên tồn lân cận V x x dãy nên K tập compact X  với cho tập hợp với   , tồn tập compact L X   x =   : Vx  P   cho đếm Hơn nữa, f ( L ) = K g −1 (Vx ) = f −1  h −1 (Vx )       f −1   P  =  M     x   x nên ta suy g −1 (Vx ) tập khả li Cuối cùng, ta đặt L =  L ,    M   x Do vậy, g ss-ánh xạ (b) g ánh xạ phủ-dãy Giả sử { xn } dãy hội tụ đến x  X Khi đó, tồn    cho x  P Mặt khác, P cs-mạng nên tồn m¥ cho {x} U{xn : n  m}  P Hơn nữa, f ánh xạ phủ-dãy nên tồn {zn : n  m}  M  cho {zn : n  m} hội tụ đến z x M  , f ( zn ) = xn với n  m   Mặt khác, f ánh xạ phủ-compact nên L tập compact M g ( L) = K Do vậy, g ánh xạ phủ-compact (2)  (3) Hiển nhiên: (3)  (1) Giả sử f : M → X ss-ánh xạ thương- dãy, M khơng gian metric Bởi M khơng gian metric nên tồn sở điểm-đếm  Ta đặt  =  f ( B) : B  Khi đó, (a)  họ đếm địa phương Giả sử x  X Bởi f ss-ánh xạ nên với x  X , tồn lân 49 Lương Quốc Tuyển, Nguyễn Thị Sinh cận V x cho f −1 (Vx ) tập khả li M Do đó, tồn tập đếm D  f −1 (Vx ) cho f −1 (Vx )  D Hơn nữa,  họ điểm-đếm với B , ta có B  D   B  D   nên ta suy f −1 (Vx ) giao nhiều đếm phần tử , kéo theo V x giao nhiều đếm phần tử  Do vậy,  họ đếm địa phương (b)  cs*-mạng X Giả sử {xn } dãy hội tụ đến x X U lân cận x Khi đó, f ánh xạ thương-dãy f −1 (U ) lân cận x nên tồn dãy {zn } hội tụ đến zx  f −1 (U ) M cho { f ( zn )} dãy { xn } Mặt khác,  sở M nên tồn B  m¥ cho {z x } U{zn : n  m}  B  U Suy {x} U{ f ( zn ) : n  m}  f ( B )  U Do vậy,  cs*-mạng Từ chứng minh ta suy X khơng gian có cs-mạng đếm địa phương 3.2 Đánh giá Bài tốn đặc trưng khơng gian với tính chất mạng thông qua ảnh “đẹp” không gian metric toánđược nhiều nhà toán học giới quan tâm Trong báo này, đưa đặc trưng T1-khơng gian quy với cs-mạng đếm địa phương thông qua ss-ảnh phủ-dãy phủ-compact không gian metric khả li địa phương Tuy nhiên, kết T2-khơng gian cịn mở Kết luận Trong báo này, chứng minh không gian với cs-mạng đếm địa phương tương đương với ss-ảnh phủ-dãy, phủ-compact không gian metric khả li địa phương Tài liệu tham khảo [1] T V An and L Q Tuyen (2011) On an affirmative answer to S Lin’s problem Topology and its Applications, 158, 1567-1570 [2] T V An and L Q Tuyen (2012) On  -images of separable metric spaces and a problem of Shou Lin Mat Vesnik, 64 (4), 297-302 [3] X Ge (2007) Spaces with a locally countable snnetwork Lobachevskii J Math., 26, 33-49 [4] Y Ge (2005) 0 -spaces and images of separable metric spaces Siberian Elec Math Rep., 74, 62-67 [5] M Sakai(1997), “On spaces with a star-countable k-networks”, Houston J Math.,23(1), 45-56 [6] L Q Tuyen (2014) Some characterizations of spaces with locally countable networks Mat Vesnik, 66 (1), 84-90 [7] L Q Tuyen (2013) A new characterization of spaces with locally countable sn-networks Mat Vesnik, 65 (1), 8-13 CHARACTERISTICS OF SPACES WITH LOCALLY COUNTABLE CS-NETWORKS VIA IMAGES OF LOCALLY SEPARABLE METRIC SPACES Abstract: In [2], Tran Van An and Luong Quoc Tuyen proved that sn-symmetric spaces with countable cs-networks are equivalent with pseudo-sequence-covering compact images of separable metric spaces, equivalent with quotient-sequentially  images of separable metric spaces, and Cauchy sn-symmetric spaces with countable cs-networks are equivalent with 1-sequencecovering compact-covering compact images of separable metric spaces, equivalent with sequence-covering  -images of a separable metric spaces Besides, in [6, 7], Luong Quoc Tuyen proved that sn-symmetric spaces with locally countable cs-networks are equivalent with compact-covering compact ss-images of locally separable metric spaces, and Cauchy sn-symmetric spaces with locally countable cs-networks are equivalent with sequence-covering compact-covering compact ss-images of locally separable metric spaces In this artcle, we prove that spaces with locally countable cs-networks are equivalent with sequence-covering compact-coveringss-images of locally separable metric spaces Key words: networks; cs-networks; sequence-covering; compact-covering; ss-maps; locally countable 50 ... (2) X ss -? ??nh phủ-dãyvà phủ-compact không gian metric khả li địa phương; (3) X ss -? ??nh thương-dãy không gian metric khả li địa phương Chứng minh (1)  (2) Giả sử P cs- mạng đếm địa phương X Bởi X... Trong báo này, đưa đặc trưng T1-khơng gian quy với cs- mạng đếm địa phương thông qua ss -? ??nh phủ-dãy phủ-compact không gian metric khả li địa phương Tuy nhiên, kết T2-khơng gian cịn mở Kết luận... (1) Nếu P cs- mạng, P cs* -mạng (2) X 0 -không gian  X có cs- mạng đếm 3.1 Kết 3.1.1 Bổ đề ([3]) Đối với không gian X , khẳng định sau tương đương: (1) X khơng gian có cs* -mạng đếm địa phương; 2.1.3