Về ảnh của không gian mêtric khả li địa phương

Trờng Đại học Vinh Khoa toán ======== Ngô công hữu Về ảnh của không gian metric khả li địa phơng Khoá luận tốt nghiệp đại học Ngành cử nhân s phạm toán ====Vinh, 2005=== 1 Trờng Đại học Vinh Khoa toán ======== Về ảnh của không gian metric khả li địa phơng Khoá luận tốt nghiệp đại học Ngành cử nhân s phạm toán Cán bộ hớng dẫn khoa học Pgs.ts. Trần văn ân Sinh viên thực hiện: Ngô công hữu Lớp: 42A1 - khoa Toán ====Vinh, 2005=== 2 Lời mở đầu Nghiên cứu đặc điểm của không gian ảnh của một không gian metric là một hớng nghiên cứu của tôpô đai cơng. Từ bài báo Mappings and Spaces năm 1966, vấn đề đó đã thu hút nhiều nhà toán học trên thế giới quan tâm nghiên cứu và họ đã đạt đợc một số kết quả đáng chú ý. Đặc biệt là những kết quả trong công trình nghiên cứu của các nhà toán học L. Foged, E. Michael. Trong khoá luận này, chúng tôi tập trung nghiên cứu những tính chất của không gian ảnh của không gian metric khả li địa phơng. Trớc hết nghiên cứu những đặc điểm của không gian ảnh của không gian metric khả li địa phơng qua s-ánh xạ thơng, s-ánh xạ giả-mở và ánh xạ đóng. Sau đó, nghiên cứu mối liên hệ giữa ảnh của không gian metric và ảnh của không gian metric khả li địa phơng qua những ánh xạ đó. Với mục đích nh vậy, khoá luận đợc trình bày theo hai phần nh sau CHƯƠNG 1 MộT Số KIếN THứC CHuẩN Bị Trong chơng này chúng tôi gới thiệu một số khái niệm cơ bản của tôpô đại cơng nh: họ hữu hạn địa phơng, k-lới, cs-lới , ., không gian Frechet, không gian khả li địa phơng , . , và một số tính chất của nó để làm cơ sở cho chơng sau. CHƯƠNG 2 ảNH CủA KHÔNg GIAN KHả LI ĐịA PHƯƠNG Chơng này đợc chia thành hai phần: phân một trình bày đặc điểm của không gian s- ảnh thơng của không gian mêtric khả li địa phơng ; từ đó đa ra mối liên hệ giữa các không gian ảnh của không gian mêtric và ảnh của không gian mêtric khả li địa phơng qua: s-ánh xạ giả-mở, s-ánh xạ đóng. Phần hai trình bày tính chất của không gian ảnh của không gian mêtric khả li địa phơng qua ánh xạ đóng, từ đó đa ra mối liên hệ giữa các không gian có họ k-lới - HCP. Cuối cùng là đa ra mối liên hệ giữa ảnh đóng của không gian metric khả li địa phơng, ảnh đóng của không metric và không Frechet có k-lới -HCP. Trong khoá luận này càc ánh xạ đều đợc giả thiết là liên tục, toàn ánh, các 3 không gian đều là chính qui và T 1 -không gian. Cuối cùng cho tôi gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất tới PGS.TS. Trần Văn Ân- ngời thầy đã trực tiếp hớng dẫn tôi hoàn thành khoá luận này. Đồng thời cho tôi giửi lời cảm ơn đến các thầy giáo, cô giáo trong khoa toán và bạn bè đã giúp đỡ tôi trong quá trình làm khoá luận này. Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhng do điều kiện về thời gian và hạn chế vể năng lực, khoá luận chắc không tránh khỏi những thiếu sót, tác giả kính mong các thầy cô giáo và các bạn góp ý kiến để khoá luận hoàn chỉnh hơn. Vinh, tháng 4 năm 2005 Tác giả Chơng 1 MộT Số KIếN THứC CHUẩN Bị 1 . Một số khái niệm cơ bản 4 1.1.1. Định nghĩa. Họ các tập con của X đợc gọi là điểm -đếm đợc (điểm -hữu hạn) nếu với mỗi xX thì x thuộc không quá đếm đợc (tơng ứng hữu hạn) các phần tử P. 1.1.2. Định nghĩa. Họ các tập con của X đợc gọi là họ hữu hạn địa phơng nếu với mỗi điểm xX tồn tại lân cận U của x sao cho U chỉ giao với hữu hạn phần tử của . 1.1.3.Mệnh đề. Với mổi họ hữu hạn địa phơng { A } I , ta có UU = . Chứng minh. Ta có U , với mọi . Do đó UU . (1) Với mỗi x U , vì { } là họ hữu hạn địa phơng nên tồn tại một lân cận U của x sao cho tập I 0 ={ :U A } là hữu hạn và khi đó U ( ) = U 0 \ . Suy ra x U 0 . Vì I 0 hữu hạn nên x UUU = 00 hay UU . (2) Từ (1) và (2) suy ra = U U . 1.1.4. Định nghĩa. Họ các tầp con của X đợc gọi là có tính chất giao hữu hạn khi và chỉ khi khác rỗng và giao của một họ hữu hạn bất kỳ các phần tử của khác rỗng. 1.1.5. Định nghĩa. Giả sử X là một không gian và là một phủ của X. (a) đợc gọi là một lới nếu với bất kỳ U mở trong X, x X thì tồn tại họ con hữu hạn ' của sao cho { } U 'x U. (b) đợc gọi là k - lới nếu với bất kì U mở trong X, K U với K là tập con compact của X thì tồn tại họ hữu hạn ' của sao cho K ' U. (c) đợc gọi là cs - lới nếu với bất kì {x n } là dãy trong X hội tụ tới x X và U là một lân cận của x trong X thì tồn tại n N và P sao cho 5 { } { } .: UPnmxx m (d) đợc gọi là cs*-lới nếu {x n } là dãy trong X hội tụ tới x X và U là một lân cận của x thì tồn tại dãy con { } i n x của { } n x và P sao cho { } { } Nixx i n : UP . 1.1.6. Mênh đề. Cho X là không gian tôpô và A là không gian con của X. Khi đó X có cs -lới điểm-đếm đợc thì A cũng có cs -lới điểm-đếm đợc. Chứng minh. Giả sử là cs -lới điểm-đếm đợc của X. Đặt ={PA: P}. Ta có là cs -lới điểm-đếm đợc của A. Thật vậy, giả sử {x n : nN}{x} là dãy hội tụ trong A với x n x và U là lân cận bất kỳ trong A. khi đó tồn tại V là lân cận của x trong X thoả mãn U=VA. Vì là cs -lới của X nên tồn tại dãy con { } ix i n : của {x n } và P sao cho { } { } xix i n : PV. Mà {x n }{x} A nên { } { } xix i n : PAVA hay { } { } xix i n : PAU. Vậy là cs -lối điểm - đếm đợc của A. 1.1.7.Mệnh đề. Giả sử X là không gian tô pô và B là một cơ sở của X. Khi đó B là một k-lới của X. Chứng minh. Giả sử U là một tầp mở bất kỳ, K là một tầp compact sao cho XUK . Khi đó, với mỗi x K thì x U. Vì B là một cơ sở tô pô nên tồn tại B x B sao cho x B x U. Suy ra K UB Kx x U . Do đó { } KxB x : là một phủ mở của tập compact K. Cho nên tồn tại phủ con hữu hạn { } n i x i B 1 = phủ K, tức là U n i x KB i 1 = . Nh vậy, tồn tại họ con hữu hạn { } n i x i B 1 = của B sao cho UBK n i x i = U 1 . Vậy B là một k-lới của X. 1.1.8. Mệnh đề. Giả sử là phủ điểm-đếm đợc của X. Khi đó nếu là một cs*-lới và mỗi tập con compact của X là compact dãy thì là một k-l- ới của X. Chứng minh. Giả sử U là một tập mở bất kỳ trong X và K là tập con compact của X sao cho UK . Với mỗi x X, ta đặt 6 { } ( ){ } NnxPUPxP n = :: . Khi đó K đợc phủ bởi một họ con hữu hạn ' của với ( ){ } NnXxxP n ;:' . Thật vậy, giả sử ngợc lại U ' K với mọi họ con hữu han ( ){ } NnXxxP n ;:' . Khi đó với Kx 0 ta có P 0 (x 0 ) và ( ){ } 00 ' xP = là họ con hữu hạn của .Vì 0 ' UK nên tồn tại ( ) 001 \ xPKx . Xét ( ) ( ) ( ) ( ){ } 110001001 ,,,' xPxPxPxP = . Vì ' 1 UK nên tồn tại '\ 12 UKx . Tiếp tục quá trình trên ta xây dựng đợc dãy { } n x trong K sao cho ( ) jin xPx với mọi i,j < n. Vì K là compact dãy nên tồn tại dãy con hội tụ tới một điểm trong K.Vì là cs*-lới nên tồn tại P sao cho UP và P chứa dãy con S của S. Lấy PxSx kk nn ,' suy ra tồn tại m sao cho ( ) k nm xPP = . Lấy [ ] kk nmn ,max ' > ta đợc ( ) kk nmn xPx ' . Điều này mâu thuẩn với cách xây dựng dãy { } n x . Vì vậy tồn tại họ con hữu hạn ' của thoả mãn UK ' . Vậy là một k-lới. 1.1.9. Mệnh đề. Giả sử là cs -lới điểm-đếm đợc của X. Khi đó, nếu K= { x n :n N }{ x } là dãy hội tụ trong X với x n x và U là lân cận bất kỳ của K trong X thì tồn tại họ hữu hạn sao cho K U. Chứng minh. Giả sử là cs-lới điểm-đếm đợc của X và K={x n : nN}{x} là dãy hội tụ trong X với x n x. Khi đó, ta có K là tập compact dãy trong X. Giả sử U là lân cận bất kỳ của K trong X. Từ chứng minh của mệnh đề 1.1.8 ta suy ra tồn tại họ hữu hạn sao cho KU. 1.1.10. Định nghĩa. Giả sử {X s S } s S và {Y s S } s S là hai họ gồm những không gian tôpô đôi một rời nhau và một họ ánh xạ { s S } s S với s : X s Y s . ánh xạ : Ss X s Ss Y s , đợc xác định bởi (x) = s (x) với mỗi x X s , Ss gọi ánh xạ tổng của { s } s S , kí hiệu là Ss S . 1.1.11. Mệnh đề ( [ ] 4 ). ánh xạ tổng Ss f S : Ss X s Ss Y s là ánh xạ đóng khi và chỉ khi f S là ánh xạ đóng với mọi Ss . 7 2. Một số không gian tô pô đặc biệt 1.2.1. Định nghĩa. Không gian tô pô X đợc gọi không gian đếm đợc thứ nhất nếu với mỗi điểm Xx thì tồn tại cơ sở đếm đợc tại x . 1.2.2. Nhận xét. Không gian metric là không gian đếm đợc thứ nhất. 1.2.3. Định nghĩa. Không gian tô pô X đợc gọi là không gian Frechet nếu với mỗi XA và mỗi Ax thì tồn tại dãy { } n x sao cho xx n . 8 1.2.4. Mệnh đề. Giả sử f là ánh xạ đóng từ không gian tô pô X lên không gian tô pô Y. Khi đó, nếu X là không gian Frechet thì Y cũng vậy. Chứng minh. Giả sử X là không gian Frechet và f là ánh xạ đóng từ không gian X lên Y, ta chứng minh Y là không gian Frechet. Thật vây, giả sử và y . Ta chứng minh tồn tại dãy { } Nny n : sao cho { } n y hội tụ về y. Do nên tồn tại sao cho ( ) = f . Suy ra ( ) = f . Vì f là ánh xạ đóng nên ta có ( ) ( ) = ff . Do đó ( ) = f . Từ y suy ra tồn tại x sao cho ( ) yxf = . Vì X là không gian Frechet nên tồn tại { } n x sao cho xx n . Do f liên tục nên ( ) ( ) yxfxf n = . Mà { } n x nên ( ){ } ( ) = fxf n . Đặt ( ) nn xfy = với mỗi n . Nh vậy, tôn tại dãy { } n y A dãy sao cho yy n . Vậy Y là không gian Frechet. 1.2.5. Định nghĩa. Không gian tôpô X đợc gọi là không gian dãy nếu với mỗi tập , { } n x là dãy bất kỳ trong A mà xx n , kéo theo x thì A đóng trong X. 1.2.6. Mệnh đề.( [ ] 6 ). (a) Không gian con của không gian Frechet là không gian Frechet. (b) Mọi không gian đếm đơc thứ nhất là không gian Frechet và mọi không gian Frechet là không gian dãy. 1.2.7. Mênh đề.([6]). Cho X là không gian dãy. Khi đó mỗi tập con compact của X là tập compact dãy. 1.2.8. Mệnh đề. Giả sử X là không gian dãy. Khi đó nếu là cs*-lới điểm đếm-đợc của X thì là k-lới điểm-đếm đợc của X. 1.2.9. Định nghĩa. Không gian tôpô X goi là 0 -không gian nếu X chính quy và có cs-lới đếm đợc. 1.2.10. Mệnh đề. Không gian dãy X là 0 -không gian khi và chỉ khi X chính quy và có K-lới đếm đợc. Chứng minh. Cần. Giả sử X là 0 -không gian. Khi đó ta có X là không 9 gian chính quy và có là cs-lới đếm đợc. Từ mệnh đề 1.2.8 ta suy ra là k-lới đếm đợc của X. Vậy X chính quy và có k-lới đêm đợc. Đủ. Giả sử X là không gian chính quy và có là k-lới đếm đợc. Đặt ={ U ' : ' là họ con hữu han của }. Khi đó đếm đợc. Ta chứng minh là cs-lới của X. Thật vậy, giả sử T= { } { } xx n là dãy hội tụ trong X với xx n và U là lân cận bất kỳ của x trong X. Vì xx n và U mở chứa x nên tồn tại 0 n sao cho { } { } Uxnnx n 0 : . Đặt K= { } { } xnnx n 0 : . Ta có K compact và K U. Do đó tồn tại họ con hữu hạn ' sao cho U UK ' . Nh vậy, tồn tại 0 n và U = 'R sao cho { } { } URxnnx n 0 : . Vậy là cs-lới đếm đợc của X. Do đó X là 0 không gian. 1.2.11. Định nghĩa.(a) Không gian tôpô X đợc gọi là khả li địa phơng nếu tại mỗi điểm x X tồn tại một lân cận khả li. (b) Không gian tôpô X đợc gọi là khả li di truyền nếu X khả li và mọi không gian con của X cũng khả li . 1.2.12. Mệnh đề.([6]). Cho X là không gian mêtric khả li địa phơng. Khi đó ta có = , trong đó là không gian khả li với mọi . 1.2.13. Mệnh đề. (a) Mọi không gian con đóng rời rạc của không gian khả li di truyền đều đếm đợc . (b) Không gian con của không không gian metric khả li địa phơng là không gian metric khả li địa phơng. Chứng minh.(a). Giả sử A là không gian con đóng rời rạc của không gian khả li di truyền X. Vì X là không gian khả li di truyền nên ta có A là khả li. Do đó tồn tại tập con đếm đợc D của A sao cho = D . Mà A là không gian rời rạc nên D đóng trong A, tức là DD = . Do vậy A = D. Vây A đếm đ- ợc. b Giả sử A là không gian con của không gian con metric khả li địa ph- ơng M, khi đó với điểm x bất kì thuộc A thì xM. Vì M khả li địa phơng nên 10