Về chỉ số chính quy của lũy thừa iđêan cạnh

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN VĂN TỊNH VỀ CHỈ SỐ CHÍNH QUY CỦA LŨY THỪA IĐÊAN CẠNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An - 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN VĂN TỊNH VỀ CHỈ SỐ CHÍNH QUY CỦA LŨY THỪA IĐÊAN CẠNH Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS THIỀU ĐÌNH PHONG Nghệ An - 2016 MỤC LỤC Mục lục Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Chỉ số quy Castelnuovo-Mumford 1.2 Đồ thị iđêan cạnh đồ thị Chỉ số quy lũy thừa iđêan cạnh số đồ thị 14 2.1 Đồ thị với đường chu trình Hamilton 14 2.2 Chỉ số quy lũy thừa rừng 18 2.3 Chỉ số quy lũy thừa chu trình 23 Kết luận 27 Tài liệu tham khảo 28 MỞ ĐẦU Cho k trường, R = k[x1 , , xn ] vành đa thức phân bậc chuẩn n biến k Cho M R-mơđun phân bậc hữu hạn sinh Khi giải tự tối tiểu M có dạng: R(−j)βp,j (M ) → · · · → 0→ j∈Z R(−j)β0,j (M ) → M → j∈Z Chỉ số quy Castelnuovo-Mumford reg(M ) M bất biến quan trọng Đại số giao hốn Hình học đại số, cung cấp nhiều thơng tin độ phức tạp cấu trúc đại số phân bậc, đặc biệt tính chất liên quan tới giải tự Chỉ số quy xác định reg(M ) = max{j − i | βi,j (M ) = 0} Cho I ⊂ R iđêan R Một kết tiếng Đại số giao hoán khẳng định reg(I s ) hàm tuyến tính với s số dương đủ lớn (xem [9]) Tuy nhiên, câu hỏi đặt giá trị s hàm reg(I s ) trở nên tuyến tính xác định xác hàm tuyến tính vấn đề mở thu hút nhiều nhà toán học giới quan tâm nghiên cứu, trường hợp đơn giản I sinh dạng tuyến tính tổng quát I iđêan đơn thức (xem [6]) Trên sở đó, chúng tơi chọn đề tài "Về số quy lũy thừa iđêan cạnh" để trình bày lại số kết Selvi Beyarslan, Huy Tai Ha Tran Nam Trung tài liệu tham khảo [2] nhằm trả lời cho câu hỏi I = I(G) iđêan cạnh số đồ thị G cụ thể, số nguyên b s0 , cho reg(I s ) = 2s + b với s s0 , xác định thông qua cấu trúc tổ hợp đồ thị G Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, nội dung luận văn chia thành chương Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương chúng tơi trình bày kiến thức sở Đại số giao hoán Đại số giao hoán Tổ hợp nhằm chuẩn bị nội dung cho chương sau Các nội dung chương bao gồm số quy, đồ thị, khái niệm đồ thị, iđêan cạnh đồ thị, Chương Chỉ số quy lũy thừa iđêan cạnh số đồ thị Nội dung chương trình bày chứng minh chi tiết số kết tài liệu tham khảo số quy lũy thừa iđêan cạnh đồ thị rừng chu trình Để hồn thành luận văn tác giả xin chân thành cảm ơn hướng dẫn tận tình chu đáo TS Thiều Đình Phong tất Thầy giáo, Cô giáo khác tổ Đại số - Khoa Sư phạm Toán học - Trường Đại học Vinh nhiệt tình giảng dạy giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập Mặc dù có nhiều cố gắng luận văn cịn có nhiều sai sót, tác giả mong nhận góp ý, sửa chữa, bổ sung Thầy, Cơ bạn học viên Nghệ An, tháng 07 năm 2016 Tác giả CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong tồn luận văn ta ln giả thiết k trường, R = k[x1 , , xn ] vành đa thức phân bậc chuẩn n biến k M R-môđun phân bậc hữu hạn sinh Nội dung chương trình bày khái niệm tính chất số quy Castelnuovo-Mumford, đồ thị iđêan cạnh đồ thị Các kiến thức trình bày chương tham khảo từ tài liệu [1] [2] 1.1 Chỉ số quy Castelnuovo-Mumford Chỉ số quy Castelnuovo-Mumford môđun phân bậc iđêan R bất biến quan trọng Đại số giao hốn Hình học đại số Chỉ số quy định nghĩa theo nhiều cách, nhắc lại định nghĩa dựa vào số Betti phân bậc giải tự sau: Định nghĩa 1.1.1 Cho M R-môđun phân bậc hữu hạn sinh R(−j)βp,j (M ) → · · · → 0→ j∈Z R(−j)β0,j (M ) → M → j∈Z giải tự phân bậc tối tiểu M Khi số βi,j (M ) gọi số Betti phân bậc vị trí thứ i với bậc j M số quy M định nghĩa reg(M ) = max{j − i | βi,j (M ) = 0} Ví dụ 1.1.2 Giả sử R = k[x, y] I = (x3 , xy, y ) Khi ta có giải tự phân bậc tối tiểu R/I sau: y  −x  −y  x3 xy y x −→ R(−4) ⊕ R(−6) −−−−−−−−−−→ R(−3) ⊕ R(−2) ⊕ R(−5) −−−−−−−−−−→ R → R/I   Suy số Betti phân bậc R/I β0,0 = 1, β1,2 = 1, β1,3 = 1, β1,5 = 1, β2,4 = 1, β2,6 = Do reg(R/I) = max{j − i | βi,j = 0} = − = Nhận xét 1.1.3 Cho R → S mở rộng vành đạt việc thêm biến vào R Cho I ⊆ R iđêan IS mở rộng S Do mở rộng R → S phẳng nên giải tự tối tiểu IS (như S -mơđun) đạt từ giải tự tối tiểu I (như R-môđun) việc nhân tenxơ với S Do đó, regR (I) = regS (IS) Từ cho phép viết reg(I) cho số quy I R-mơđun số quy IS S -môđun Nhận xét 1.1.4 Gọi y biến đặt S = R[y] Cho I iđêan R Chú ý S (I, y) R/I ⊗k k[y]/(y) Điều suy giải tự tối tiểu S/(I, y) đạt việc nhân tích tenxơ giải tự tối tiểu R/I với k[y]/(y) Do đó, regS S (I, y) = regR (R/I), số quy lấy S số quy thứ hai lấy R Điều kết hợp với Nhận xét 1.1.3 suy regR (I) = regS (I + (y)) 1.2 Đồ thị iđêan cạnh đồ thị Trong mục này, chúng tơi trình bày khái niệm tính chất đồ thị nhằm chuẩn bị cho nội dung phần sau Đầu tiên, ta có định nghĩa đồ thị sau: Định nghĩa 1.2.1 Một đồ thị G = (V, E) bao gồm tập đỉnh V tập cạnh E nối cặp đỉnh (nếu có) Nếu khơng nói thêm, ta sử dụng VG EG để ký hiệu tập đỉnh tập cạnh tương ứng đồ thị G cho trước Một đỉnh v ∈ VG gọi đỉnh lập không thuộc cạnh G, hay v không nối với đỉnh khác Một cạnh đồ thị G gọi khuyên G hai đỉnh trùng Một cạnh G gọi cạnh kép tồn cạnh khác G có chung đỉnh với Đồ thị G = (V, E) gọi đồ thị đơn G khơng có khun khơng có cạnh kép Ví dụ 1.2.2 Cho đồ thị G1 , G2 , G3 Hình 1.1 Khi đồ thị G1 có đỉnh a đỉnh lập khơng thuộc cạnh G1 đỉnh b, c, d đỉnh cô lập; đồ thị G2 có ef cạnh kép g khuyên; đồ thị G3 khơng có cạnh kép, khơng có khuyên Đồ thị G1 , G3 đồ thị đơn, đồ thị G2 khơng phải đồ thị đơn Hình 1.1: Đồ thị G1 , G2 , G3 Cho vành đa thức n biến R = k[x1 , , xn ] Khơng tính tổng qt, đồng ẩn x1 , , xn R với đỉnh tương ứng tập đỉnh V = {x1 , , xn } đồ thị G Khi đó, đồ thị G tương ứng với iđêan đơn thức xác định sau: Định nghĩa 1.2.3 Cho G = (V, E) đồ thị Iđêan cạnh G iđêan đơn thức xác định I(G) = uv | {u, v} ∈ E ⊆ R = k[x1 , , xn ] Ví dụ 1.2.4 Giả sử G đồ thị Hình 1.2 Khi iđêan cạnh G I(G) = (x1 x2 , x2 x3 , x3 x4 , x4 x5 , x1 x6 ) ⊆ R = k[x1 , , x6 ] Hình 1.2: Đồ thị G Nhận xét 1.2.5 Ta viết uv ∈ E để thay cho cạnh {u, v} ∈ E Bằng việc đơn giản hóa khái niệm, ta sử dụng uv để cạnh uv ∈ E đơn thức uv ∈ I(G) Nếu e = {u, v} cạnh, ta viết xe để ký hiệu đơn thức uv tương ứng với cạnh e Định nghĩa 1.2.6 Với đỉnh u đồ thị G = (V, E), đặt NG (u) = {v ∈ V | uv ∈ E} tập tất đỉnh kề u, ký hiệu NG [u] := NG (u) ∪ {u} Một cạnh e liên thuộc tới đỉnh u u ∈ e Bậc đỉnh u ∈ V , ký hiệu degG (u), số cạnh liên thuộc tới u Nếu không gây nhầm lẫn gì, lược bỏ G viết N (u), N [u] deg(u) Với cạnh e đồ thị G, ta định nghĩa G \ e đồ thị G với cạnh e xóa bỏ (nhưng đỉnh giữ nguyên) Với tập W ⊆ V tập đỉnh G, ta định nghĩa G \ W đồ thị G đỉnh thuộc W cạnh liên thuộc với đỉnh bị xóa Lúc W = {u} bao gồm đỉnh đơn, viết G \ u thay cho G \ {u} Nếu e = {u, v} tập NG [e] = NG [u] ∪ NG [v] ta định nghĩa Ge đồ thị G \ NG [e] G Ví dụ 1.2.7 Cho đồ thị G = (V, E) gồm tập đỉnh V = {a, b, c, d, e} tập cạnh E = {ab, bc, cd, de, ae, ad, bd, be} (Hình 1.3) Tập tất đỉnh kề a N (a) = {b, d, e}, N [a] = {b, d, e, a} bậc a deg(a) = Đồ thị G \ ab G đồ thị G sau xóa bỏ cạnh ab giữ nguyên hai đỉnh a b Xét tập đỉnh W = {a, b} ⊂ V , ta có G \ W đồ thị G gồm tập đỉnh {c, d, e} tập cạnh {cd, de} Hình 1.3: Minh họa cho đồ thị G, G \ ab, G \ W Định nghĩa 1.2.8 Một đồ thị H gọi đồ thị cảm sinh G đỉnh H đỉnh G, với đỉnh u v H , {u, v} cạnh H {u, v} cạnh G Đồ thị cảm sinh G tập W ⊆ V đạt cách xóa đỉnh không thuộc W từ G (và cạnh liên thuộc với đỉnh đó) Ví dụ 1.2.9 Cho đồ thị G = (V, E) gồm tập đỉnh V = {a, b, c, d, e} tập cạnh E = {ab, bc, cd, de, ae, ac, ce} (Hình 1.4) Đây đồ thị đơn Xét tập đỉnh W = {a, c, d, e} ⊂ V tập cạnh G chứa đỉnh W EW = {ac, cd, de, ae, ce} Khi đó, GW = (W, EW ) đồ thị cảm sinh G W Hình 1.4: Đồ thị G Nhận xét 1.2.10 Như hệ Nhật xét 1.1.3, G đồ thị chứa đỉnh lập u reg(I(G)) = reg(I(G \ u)), ta xóa đỉnh u từ G Để đơn giản ký hiệu, sử dụng reg(G) để thay cho reg(I(G)) Trong nghiên cứu số quy iđêan cạnh, chứng minh quy nạp kỹ thuật hiệu (xem [6]) Chúng nhắc lại số kết quy nạp trình bày [6] mà chúng tơi sử dụng luận văn Định lí 1.2.11 ([6, Bổ đề 3.1, Định lý 3.4 3.5]) Cho G = (V, E) đồ thị Nếu H đồ thị cảm sinh G reg(H) ≤ reg(G) Cho x ∈ V Khi reg(G) ≤ max{reg(G \ x), reg(G \ N [x]) + 1} Cho e ∈ E Khi reg(G) ≤ max{2, reg(G \ e), reg(Ge ) + 1} Trong việc tìm chặn tổ hợp cho số quy iđêan cạnh, số đối sánh số đối sánh cảm sinh sử dụng thường xuyên Chúng nhắc lại định nghĩa chúng sau Định nghĩa 1.2.12 Cho G = (V, E) đồ thị 14 CHƯƠNG CHỈ SỐ CHÍNH QUY CỦA LŨY THỪA IĐÊAN CẠNH CỦA MỘT SỐ ĐỒ THỊ Trong chương này, chúng tơi trình bày lại kết tác giả Selvi Beyarslan, Huy Tai Ha Tran Nam Trung tài liệu tham khảo [2] số quy lũy thừa iđêan cạnh số đồ thị như: đồ thị với chu trình Hamilton, đồ thị rừng, đồ thị chu trình 2.1 Đồ thị với đường chu trình Hamilton Nội dung mục trình bày chặn số quy iđêan cạnh đồ thị chứa đường Hamilton chu trình Hamilton Những chặn thú vị cịn sử dụng trình bày chứng minh nội dung Định lí 2.1.1 Cho G đồ thị với n đỉnh Giả sử G chứa đường Hamilton Khi reg(G) ≤ n+1 + Chứng minh Ta chứng minh quy nạp số đỉnh G Kết kiểm chứng dễ dàng trường hợp n ≤ Bây giả sử n > Khơng tính tổng qt, giả sử x1 , x2 , , xn tạo thành đường Hamilton G Đặt d = degG (x1 ) bậc x1 G Ta tiếp tục chứng minh quy nạp d Xét trường hợp d = 1, tức x1 G Đặt H = G \ {x1 , x2 } Có thể thấy x3 , , xn đường Hamilton H Ngồi ra, x1 đỉnh lập G \ x2 Do đó, reg(G \ x2 ) = reg(H) Vì vậy, giả thuyết quy nạp số đỉnh, có reg(G \ x2 ) = reg(H) ≤ n+1 (n − 2) + +1≤ + 3 (2.1) 15 Gọi K đồ thị cảm sinh G đỉnh {x4 , , xn } Dễ thấy G \ N [x2 ] đồ thị cảm sinh K Kết sau từ Định lí 1.2.11 khẳng định reg(G \ N [x2 ]) ≤ reg(K) Hơn nữa, K có chứa đường Hamilton x4 , , xn Như vậy, quy nạp n, ta có reg(K) ≤ (n − 3) + n+1 +1= 3 (2.2) Từ Định lí 1.2.11, với (2.1) (2.2), ta suy reg(G) ≤ max{reg(G \ x2 ), reg(G \ N [x2 ]) + 1} ≤ n+1 + Bây giả sử d ≥ 2, tức x1 gắn với xi với i > Gọi ≤ t ≤ n số nguyên nhỏ cho {x1 , xt } cạnh G Trường hợp 1: t = n trường hợp này, degG (x1 ) = G đồ thị Hamilton Nhận thấy G \ x1 chứa đường Hamilton x2 , , xn , vậy, quy nạp n, có reg(G \ x1 ) ≤ (n − 1) + n+1 +1≤ + 3 Gọi K đồ thị cảm sinh G với đỉnh {x3 , , xn−1 } Khi K chứa đường Hamilton x3 , , xn−1 G \ N [x1 ] đồ thị cảm sinh K Do đó, quy nạp n Định lí 1.2.11, ta có reg(G \ N [x1 ]) ≤ reg(K) ≤ n+1 (n − 3) + +1= 3 Từ Định lí 1.2.11, ta có reg(G) ≤ max{reg(G \ x1 ), reg(G \ N [x1 ]) + 1} ≤ n+1 + Trường hợp 2: ≤ t < n Giả sử Q đồ thị thu từ G cách bỏ cạnh e = {x1 , xt } Khi Q có đường Hamilton x1 , , xn degQ (x1 ) < degG (x1 ) = d Do đó, theo giả thiết quy nạp d, ta có reg(Q) ≤ n+1 + (2.3) Nhắc lại Ge đồ thị thu từ G cách loại bỏ đỉnh N [e] Từ Định lí 1.2.11 suy reg(G) ≤ max{reg(Q), reg(Ge ) + 1} 16 Như vậy, suy luận (2.3), để chứng minh reg(G) ≤ n+1 + 1, ta cần chứng minh reg(Ge ) ≤ n+1 (2.4) Thật vậy, ≤ t ≤ Ge đồ thị cảm sinh H , H đồ thị cảm sinh G đỉnh {xt+1 , , xn }, nơi có đường Hamilton; đó, quy nạp số đỉnh Định lí 1.2.11, ta có reg(Ge ) ≤ reg(H) ≤ (n − t) + n+1 +1≤ , 3 (2.4) Hình 2.1: Xây dựng H chứng minh Định lí 2.1.1 Mặt khác, t ≥ giả sử H đồ thị cảm sinh G đỉnh VG \ {x1 , x2 , xt }, H đồ thị thu từ H cách nối xt−1 xt+1 cạnh chưa thực có G (xem Hình 2.1) Rõ ràng, H có đường Hamilton x3 , , xt−1 , xt+1 , , xn Do đó, quy nạp số đỉnh , ta có reg(H ) ≤ (n − 3) + n+1 +1= 3 Hơn , thấy Ge đồ thị cảm sinh H (từ xt−1 xt+1 nằm N [e], chúng không nằm Ge ), điều ngụ ý reg(Ge ) ≤ reg(H ), (2.4) chứng minh Khi G đồ thị Hamilton, tức là, G không chứa đường Hamilton chứa chu trình Hamilton, ta có chặn mạnh Định lí 2.1.1 sau 17 Định lí 2.1.2 Cho G đồ thị Hamilton n đỉnh Giả sử x1 , , xn , x1 chu trình Hamilton G, tồn giá trị t cho {xt−1 , xt+2 } cạnh G Khi reg(G) ≤ n + Chứng minh Rõ ràng từ giả thiết, ta có |E| ≥ n + Chúng ta sử dụng quy nạp |E| Xét trường hợp |E| = n+1 Đó là, G chứa chu trình x1 , , xn , x1 xác cạnh {xt−1 , xt+2 } Trong trường hợp này, G \ xt+2 đường gồm (n − 1) đỉnh Vì vậy, từ [3, Hệ 5.4] ta suy (n − 1) + n +1= + 3 reg(G \ xt+2 ) = Mặt khác, G \ N [xt+2 ] bao gồm đỉnh xt đường (n − 5) đỉnh Vì vậy, suy từ [3, Hệ 5.4] ta có (n − 5) + n−1 n +1= ≤ 3 reg(G \ N [xt+2 ]) = Do đó, Định lí 1.2.11, ta có reg(G) ≤ n + Bây giả sử |E| > n + Khi chu trình x1 , , xn , x1 G chứa dây cung khác bên cạnh xt−1 xt+2 Chúng ta tình mà G có chu trình Hamilton với hai dây cung Bằng cách đánh số lại đỉnh G dây cung xt−1 xt+2 cần thiết (với giá trị khác t), không tính tổng qt giả sử e = x1 xl dây cung khác mà khác với dây cung xt−1 xt+2 Đặt Q = G \ e đồ thị thu cách xóa cạnh e từ G Rõ ràng, Q chứa chu trình Hamilton x1 , , xn , x1 dây cung xt−1 xt+2 Như vậy, quy nạp số cạnh, nhận reg(Q) ≤ n + Giả sử H đồ thị cảm sinh G đỉnh VG \ {x1 , x2 , xl , xn }, H đồ thị thu từ H cách nối xl−1 xl+1 cạnh không thực có G (xem Hình 2.2) Khi H có đường Hamilton x3 , , xl−1 , xl+1 , , xn−1 Do đó, từ Định lí 2.1.1, nhận reg(H ) ≤ (n − 4) + n +1= 3 18 Hình 2.2: Xây dựng H chứng minh Định lí 2.1.2 Hơn nữa, Ge đồ thị cảm sinh H (vì xl−1 xl+1 nằm N [e], chúng không nằm Ge ), từ Định lí 1.2.11 ta suy reg(Ge ) ≤ reg(H ) ≤ Kết luận reg(G) ≤ n n + suy từ Định lí 1.2.11, khẳng định chứng minh 2.2 Chỉ số quy lũy thừa rừng Nội dung phần trình bày việc tính tốn cách rõ ràng số quy I(G)s , với s ≥ 1, G rừng Định lí 2.2.7, cho thấy trường hợp này, reg(I(G)s ) hàm tuyến tính s0 = số b cho số đối sánh cảm sinh G trừ Để thực điều này, xây dựng chặn chung cho reg(I(G)s ), G đồ thị Đầu tiên, ta nhắc lại khái niệm phức đơn hình Koszul-trên liên kết với iđêan đơn thức mà nhóm đồng điều sử dụng để tính tốn số Betti phân bậc iđêan đơn thức Định nghĩa 2.2.1 Cho I ⊆ R = k[x1 , , xn ] iđêan đơn thức cho α = (α1 , , αn ) ∈ Nn Nn -bậc Phức đơn hình Koszul liên kết với I bậc α, kí hiệu K α (I), phức đơn hình V = {x1 , , xn } với mặt là: W ⊆V xα u u∈W ∈I 19 Cho iđêan đơn thức I ⊆ R, số Betti Nn -phân bậc I cho công thức sau Hochster sau: βi,α (I) = dimk Hi−1 (K α (I); k) với i ≥ α ∈ Nn (2.5) Sử dụng (2.5) thu bổ đề sau cho số Betti lũy thừa iđêan cạnh Bổ đề 2.2.2 Cho G đồ thị H đồ thị cảm sinh G Khi với s ≥ i, j ≥ 0, ta có βi,j (I(H)s ) ≤ βi,j (I(G)s ) Chứng minh Với Nn -bậc α = (α1 , , αn ), ký hiệu supp(α) = {xi | αi = 0} giá α Nhận thấy H đồ thị cảm sinh G, supp(α) ⊆ VH K α (I(H)s ) = K α (I(G)s ) Do đó, kết sau từ (2.5) khẳng định βi,α (I(H)) = dimk Hi−1 (K α (I(H)s ); k) = dimk Hi−1 (K α (I(G)s ); k) = βi,α (I(G)s ) Như vậy, βi,α (I(H)s ) = βi,j (I(H)s ) = α∈Nn , supp(α)⊆VH ,|α|=j βi,α (I(G)s ) α∈Nn , supp(α)⊆VH ,|α|=j βi,α (I(G)s ) = βi,j (I(G)s ) ≤ α∈Nn , |α|=j Hệ 2.2.3 Cho G đồ thị H đồ thị cảm sinh G Khi đó, với s ≥ ta có regI(H)s ≤ regI(G)s Bổ đề 2.2.4 Cho F1 , , Fr dãy quy đa thức R với deg F1 = · · · = deg Fr = d Cho I = (F1 , , Fr ) Khi với s ≥ 1, ta có reg(I s ) = ds + (d − 1)(r − 1) Chứng minh Chúng ta sử dụng quy nạp r Khẳng định rõ ràng với r = Giả sử r > Ta tiếp tục chứng minh quy nạp s Khẳng định rõ ràng s = tính chất phức Koszul Vì vậy, giả sử s ≥ 20 Cho J = (F1 , , Fr−1 ) Xét đồng cấu sau (Fr ,1) φ : I s−1 (−d) ⊕ J s −→ I s Do I s = (J + (Fr ))s = J s + Fr I s−1 nên φ tồn ánh Hơn nữa, Fr quy R/J , nên hạt nhân φ cho Fr J s Do đó, có dãy khớp ngắn sau (Fr ,1) −→ J s (−d) −→ I s−1 (−d) ⊕ J s −→ I s −→ (2.6) Bằng giả thiết quy nạp r, ta có reg(J s (−d)) = reg(J s ) + d = ds + (d − 1)(r − 1) + Hơn nữa, giả thiết quy nạp s, ta có reg(I s−1 (−d)) = reg(I s−1 ) + d = ds + (d − 1)(r − 1) Như vậy, reg(I s−1 (−d) ⊕ J s ) = ds + (d − 1)(r − 1) Kết hợp với (2.6) [5, Hệ 20.19], kết luận reg(I s ) = ds + (d − 1)(r − 1), bổ đề chứng minh Bây ta xây dựng chặn chung cho reg(I(G)s ) sau: Định lí 2.2.5 Cho G đồ thị với iđêan cạnh I = I(G), ν(G) số đối sánh cảm sinh Khi với s ≥ 1, ta có reg(I s ) ≥ 2s + ν(G) − Chứng minh Để đơn giản kí hiệu, đặt r = ν(G) Giả sử {u1 v1 , , ur vr } đối sánh cảm sinh G Gọi H đồ thị cảm sinh G đỉnh r i=1 {ui , vi } Khi đó, I(H) = (u1 v1 , , ur vr ) iđêan giao đầy đủ Do đó, Bổ đề 2.2.4, ta có reg(I(H)s ) = 2s + (2 − 1)(r − 1) = 2s + ν(G) − Từ Hệ 2.2.3 ta suy reg(I(G)s ) ≥ reg(I(H)s ) ≥ 2s + ν(G) − 21 Nhắc lại G H hai đồ thị hợp G H , kí hiệu G ∪ H , đồ thị với tập hợp đỉnh VG ∪ VH tập hợp cạnh EG ∪ EH Khi H gồm cạnh e = {u, v}, ta viết G + e thay G ∪ H Bổ đề 2.2.6 Cho K rừng ν(K) số đối sánh cảm sinh K Cho G H đồ thị cảm sinh K thỏa mãn EH ∪ EG = EK EH ∩ EG = ∅ Khi đó, với s ≥ 1, ta có reg(I(H) + I(G)s ) ≤ 2s + ν(K) − Chứng minh Chúng ta sử dụng quy nạp m := s + |VG | Nếu m = ta phải có s = VG = ∅ Trong trường hợp này, EH = EK , I(H) + I(G)s = I(K) Do đó, khẳng định suy từ [10, Định lí 2.18] Giả sử m ≥ Nếu G khơng bao gồm cạnh EH = EK , ta có I(H)+I(G)s = I(K) Khẳng định lần suy từ [10, Định lí 2.18] Bây giả sử EG = ∅ Do G đồ thị K nên G rừng Đặc biệt, G có chứa Gọi x G y đỉnh kề x G Nhờ [8, Bổ đề 2.10], ta có I(G)s : xy = I(G)s−1 Do tất iđêan tìm hiểu iđêan đơn thức , nên ta có (I(H) + I(G)s ) : xy = (I(H) : xy) + (I(G)s : xy) = (I(H) : xy) + I(G)s−1 Hơn nữa, (xy) + I(H) + I(G)s = (xy) + I(H) + I(G \ x)s = I(H + xy) + I(G \ x)s Do đó, ta có dãy khớp ngắn sau đây: → R I(H) : xy + I(G)s−1 (−2) → R (I(H) + I(G)s ) → R/I(H + xy) + I(G \ x)s → Điều suy reg(I(H) + I(G)s ) ≤ max{reg(I(H) : xy + I(G)s−1 ) + 2, reg(I(H + xy) + I(G \ x)s )} (2.7) Giả sử {u1 , , up } = NH (x) ∪ NH (y) tất đỉnh H kề với x y Đặt H = H \ {u1 , , up } Khi đó, I(H) : xy = I(H ) + (u1 , , up ) 22 Chú ý rằng, từ EG ∩ EH = ∅, khơng có đỉnh {u1 , , up } G Do đó, Chú ý 1.1.4, ta có reg(I(H) : xy + I(G)s−1 ) = reg(I(H ) + (u1 , , up ) + I(G)s−1 ) = reg(I(H ) + I(G)s−1 ) Điều này, với (2.7), ngụ ý reg(I(H) + I(G)s ) ≤ max{reg(I(H ) + I(G)s−1 ) + 2, reg(I(H + xy) + I(G \ x)s )} (2.8) Đặt K := H ∪ G Do EH ∩ EG = ∅, ta có EH ∩ EG = ∅ Điều có nghĩa K đồ thị cảm sinh K Do đó, K rừng, ν(K ) ≤ ν(K) Bây giờ, áp dụng giả thiết quy nạp K , G H với lũy thừa (s − 1), ta có reg(I(H ) + I(G)s−1 ) ≤ 2(s − 1) + ν(K ) − ≤ 2(s − 1) + ν(K) − (2.9) Mặt khác, x G, ta có EH+xy ∩ EG\x = ∅ K = (H + xy) ∪ (G \ x) Do đó, áp dụng giả thiết quy nạp K, G \ x H + xy , ta nhận reg(I(H + xy) + I(G \ x)s ) ≤ 2s + ν(K) − (2.10) Kết hợp (2.8), (2.9) (2.10) ta thu bất đẳng thức reg(I(H) + I(G)s ) ≤ 2s + ν(K) − 1, bổ đề chứng minh Chúng kết thúc phần cách trình bày chứng minh định lý chương sau: Định lí 2.2.7 Cho G rừng với iđêan cạnh I = I(G) Cho ν(G) ký hiệu số đối sánh cảm sinh G Khi với s ≥ 1, ta có reg(I s ) = 2s + ν(G) − 23 Chứng minh Với s ≥ 1, Định lí 2.2.5 ta có reg(I s ) ≥ 2s + ν(G) − Mặt khác, áp dụng Bổ đề 2.2.6 cách lấy K = G H = ∅, ta nhận reg(I s ) ≤ 2s + ν(G) − Do đó, với s ≥ 1, reg(I s ) = 2s + ν(G) − 2.3 Chỉ số quy lũy thừa chu trình Trong phần này, chúng tơi trình bày việc tính tốn cách tường minh số quy I(G)s , với s ≥ G chu trình Đối với lớp đồ thị này, b tính từ số đối sánh cảm sinh G, điều không thực s0 = trường hợp rừng Phương pháp sử dụng kết Banerjee tài liệu vừa [1] để làm thu hẹp vấn đề việc ước tính số quy iđêan cạnh lớp đồ thị cụ thể này; cần lưu ý đồ thị chứa đường Hamilton chu trình Bổ đề sau trường hợp đặc biệt Định lí 1.2.19 tình ta xét đây, tức là, G chu trình Bổ đề 2.3.1 Cho Cn n-chu trình giả sử đỉnh (theo thứ tự) x1 , , xn Cho I = I(Cn ) Khi x2n ∈ (I s+1 : M ), M phần tử sinh nhỏ I s , n số lẻ, hay n = 2l + với số ≤ l ≤ s, M = (x1 x2 ) (x2l−1 x2l )N với N ∈ I s−l Trong trường hợp có xn xj ∈ I s+1 : M với j = 1, , n Chứng minh Chúng ta bắt đầu cách chứng minh điều kiện “cần” Giả sử n = 2l + M = (x1 x2 ) (x2l−1 x2l )N với N ∈ I s−l với số ≤ l ≤ s Khi x2n M = (xn x1 )(x2 x3 ) (x2l xn )N ∈ I l+1+s−l = I s+1 24 Do đó, x2n ∈ (I s+1 : M ) Chúng ta tiến hành chứng minh điều kiện “đủ” Thật vậy, nhờ Định lí 1.2.19, x2n ∈ (I s+1 : M ) xn phải liên thơng chẵn với ứng với M Cho xn = p0 , p2 , , p2l+1 = xn đường liên thông chẵn ngắn kết nối xn Xét trường hợp tồn số ≤ j ≤ 2l thỏa mãn pj = xn Nếu j số lẻ xn = p0 , , pj = xn đường liên thông chẵn ngắn kết nối xn nó, mâu thuẫn Nếu j số chẵn xn = pj , , p2l+1 = xn đường liên thông chẵn ngắn kết nối xn nó, điều mâu thuẫn Do đó, giả sử xn không xuất đường p0 , , p2l+1 trừ điểm cuối Nếu đường p0 , , p2l+1 không đơn, tức với ≤ i < j ≤ 2l cho pi = pj (và ta chọn i j cho j − i tối tiểu), pi , , pj đường khép kín đơn Cn Điều xảy đường đơn thực Cn , điều mà sau vi phạm giả thiết xuất xn đường p0 , , p2l+1 Vì vậy, xn = p0 , , p2l+1 = xn đường khép kín đơn Cn Điều suy xn = p0 , , p2l+1 = xn Cn Đặc biệt, điều suy n = 2l + số lẻ, cách đánh số lại cần thiết, giả sử pi = xi với i = 1, , n Hơn nữa, theo định nghĩa đường liên thông chẵn, ta có M = (p1 p2 ) (p2l−1 p2l )N = (x1 x2 ) (x2l−1 x2l )N, N tích s − l cạnh Cn (do N ∈ I s−l ) Phát biểu cuối định lí suy từ Định lí 1.2.19 nhận xét sau đây: cho j lẻ, p0 , , pj đường liên thông chẵn xn xj ; với j chẵn, pj , , p2l+1 đường liên thông chẵn xj xn Bây trình bày chứng minh định lý chương sau: Định lí 2.3.2 Cho Cn n-chu trình Cho I = I(Cn ) ν = đối sánh cảm sinh Cn Khi reg(I) = ν + n ≡ 0, (mod 3) ν + n ≡ (mod 3), với s ≥ 2, ta có reg(I s ) = 2s + ν − n ký hiệu số 25 Chứng minh Phát biểu suy từ [7, Định lí 7.6.28] Bây chứng minh phát biểu thứ hai định lí Từ chứng minh Định lí 2.2.5, ta cần chứng minh reg(I s ) ≤ 2s + ν − Bằng cách áp dụng [1, Định lí 5.2] sử dụng quy nạp, ta cần chứng minh reg(I s+1 : M ) ≤ ν + (2.11) với s ≥ phần tử sinh tối tiểu M I s Bởi Định lí 1.2.19, I s+1 : M sinh bậc 2, phần tử sinh có dạng uv , {u, v} cạnh Cn , u v đường liên thông chẵn ứng với M Nhận thấy x2n phần tử sinh I s+1 : M từ Bổ đề 2.3.1, thu n số lẻ xn xj phần tử sinh I s+1 : M với j = 1, , n Trong trường hợp này, việc bình phương tự hóa I s+1 : M việc thay phần tử sinh x2n xn yn , yn biến Do đó, ký hiệu J bình phương tự hóa I s+1 : M J có dạng J = I(G) + (xi1 yi1 , , xit yit ), G đồ thị với đỉnh {x1 , , xn }, yi1 , , yit biến số mới, x2i1 , , x2it tất phần tử sinh nhỏ phương I s+1 : M Chú ý việc bình phương tự hóa iđêan đơn thức khơng làm thay đổi số quy, ta có reg(J) = reg(I s+1 : M ) Chú ý I s+1 : M có tất cạnh Cn phần tử sinh tối tiểu, G chứa Cn chu trình Hamilton Xét trường hợp I s+1 : M có phần tử sinh tối tiểu phương (tức là, t = 0) Với j = 0, , t, cho Hj đồ thị mà iđêan cạnh I(G) + (xi1 yi1 , , xij yij ) Khi đó, H0 = G J = I(Ht ) Từ Bổ đề 2.3.1 (và theo nhận xét trên), {xij , xl } cạnh G với j = 1, , t l = 1, , n Điều suy đồ thị cảm sinh Hj \ NHj [xij ] Hj bao gồm đỉnh cô lập {yi1 , , yij−1 } Điều suy reg(Hj \ NHj [xij ]) = 0, từ [4, Bổ đề 2.10], ta có reg(Hj ) = reg(Hj \ xij ) 26 Tuy nhiên, yij đỉnh cô lập Hj \ xij Hj \ {xij , yij } đồ thị cảm sinh Hj \ yij = Hj−1 , ta thu reg(Hj ) = reg(Hj \ xij ) = reg(Hj \ {xij , yij }) ≤ reg(Hj \ yij ) = reg(Hj−1 ) (2.12) Chú ý Hj−1 đồ thị cảm sinh Hj , Định lí 1.2.11, điều suy reg(Hj−1 ) ≤ reg(Hj ) Vì vậy, với (2.12), ta nhận reg(Hj ) = reg(Hj−1 ) với j = 1, , t Đặc biệt, điều suy reg(J) = reg(Ht ) = reg(H0 ) = reg(G) Để chứng minh (2.11), ta cần chứng minh reg(G) ≤ ν + Thật vậy, n = n = G chứa đường Hamilton, Định 2.1.1, ta có reg(G) ≤ n+1 n +1= + = ν + 3 Ngược lại, n ≥ khơng tính tổng qt ta giả sử M = (x2 x3 )M , M phần tử sinh I s−1 , thấy trường hợp x1 x4 liên thông chẵn ứng với M Do đó, G chứa cạnh {x1 , x4 } Bởi Định lí 2.1.2, ta có reg(G) ≤ n + = ν + Định lí chứng minh Nhận xét 2.3.3 Khi n ≡ (mod 3) Định lí 2.3.2, ta có reg(I(Cn )s ) = 2s + ν − s ≥ Do đó, trường hợp này, s0 = > Một câu hỏi mở tác giả Selvi Beyarslan, Huy Tai Ha Tran Nam Trung đặt [2] từ nội dung sau Câu hỏi 2.3.4 Cho G đồ thị với iđêan cạnh I = I(G) Ký hiệu ν(G) số đối sánh cảm sinh G Đối với đồ thị G khẳng định sau đúng? b = ν(G) − 1, tức là, reg(I s ) = 2s + ν(G) − với s s0 ≤ reg(G) − 1, tức là, reg(I s ) = 2s + b với s ≥ reg(G) − 27 KẾT LUẬN Dựa vào tài liệu tham khảo, luận văn hoàn thành nội dung sau Trình bày khái niệm tính chất số quy Castelnuovo-Mumford, đồ thị iđêan cạnh đồ thị Trình bày chặn số quy iđêan cạnh đồ thị chứa đường Hamilton chu trình Hamilton Trình bày việc tính tốn tường minh số quy I(G)s , với s ≥ 1, G rừng G chu trình Đưa nhiều ví dụ cụ thể minh họa cho phần nội dung dựa nội dung tài liệu tham khảo 28 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] A Banerjee (2015), The regularity of powers of edge ideals J Algebraic Combin 41, no 2, 303-321 [2] Selvi Beyarslan, Huy Tai Ha, Tran Nam Trung (2015), Regularity of powers of forests and cycles, J Algebraic Combin 42, no 4, 1077–1095 [3] R.R Bouchat, H.T Hà and A O’Keefe (2011), Path ideals of rooted trees and their graded Betti numbers J Combin Theory Ser A 118, no 8, 2411-2425 [4] H Dao, C Huneke and J Schweig (2013), Bounds on the regularity and projective dimension of ideals associated to graphs J Algebraic Combin 38 , no 1, 37-55 [5] D Eisenbud (1995), Commutative Algebra: with a View Toward Algebraic Geometry Springer-Verlag, New York [6] H.T Hà (2014), Regularity of squarefree monomial ideals In S.M Cooper and S Sather-Wagstaff (Ed.) Connections Between Algebra, Combinatorics, and Geometry Springer Proceedings in Mathematics & Statistics 76, 251-276 [7] S Jacques (2004), Betti numbers of graph ideals Ph.D Thesis, University of Sheffield arXiv:math.AC/0410107 [8] S Morey (2010), Depths of powers of the edge ideals of a tree Comm Algebra 38, no 11, 4042-4055 [9] N.V Trung and H Wang (2005), On the asymptotic behavior of CastelnuovoMumford regularity J Pure Appl Algebra, 201, no 1-3, 42-48 [10] X Zheng (2004), Resolutions of facet ideals Comm Algebra 32, 2301-2324 ... CHỈ SỐ CHÍNH QUY CỦA LŨY THỪA IĐÊAN CẠNH CỦA MỘT SỐ ĐỒ THỊ Trong chương này, chúng tơi trình bày lại kết tác giả Selvi Beyarslan, Huy Tai Ha Tran Nam Trung tài liệu tham khảo [2] số quy lũy thừa. .. lục Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Chỉ số quy Castelnuovo-Mumford 1.2 Đồ thị iđêan cạnh đồ thị Chỉ số quy lũy thừa iđêan cạnh số đồ thị 14 2.1 Đồ thị với đường... số giao hoán Đại số giao hoán Tổ hợp nhằm chuẩn bị nội dung cho chương sau Các nội dung chương bao gồm số quy, đồ thị, khái niệm đồ thị, iđêan cạnh đồ thị, Chương Chỉ số quy lũy thừa iđêan cạnh