Chỉ số chính quy castelnuovo mumford của môđun chính tắc và môđun khuyết

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN HUỲNH NGỌC TÚ CHỈ SỐ CHÍNH QUY CASTELNUOVO – MUMFORD CỦA MƠĐUN CHÍNH TẮC VÀ MƠĐUN KHUYẾT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN - 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN HUỲNH NGỌC TÚ CHỈ SỐ CHÍNH QUY CASTELNUOVO – MUMFORD CỦA MƠĐUN CHÍNH TẮC VÀ MƠĐUN KHUYẾT Chun ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học TS ĐÀO THỊ THANH HÀ NGHỆ AN - 2014 MỤC LỤC MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƢƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Vành môđun phân bậc 1.2 Độ dài môđun 1.3 Chiều Krull 1.4 Dãy qui 10 1.5 Iđêan nguyên tố liên kết 11 1.6 Môđun đối đồng điều địa phương 13 CHƢƠNG CHỈ SỐ CHÍNH QUI CASTELNUOVO – MUMFORD CỦA MƠĐUN CHÍNH TẮC VÀ MÔĐUN KHUYẾT 15 2.1 Các khái niệm tính chất sở số qui Castelnuovo–Mumford 15 2.2 So sánh số qui Castelnuovo-Mumford mơđun tắc mơđun khuyết với bậc đồng điều 18 KẾT LUẬN 26 TÀI LIỆU THAM KHẢO 27 MỞ ĐẦU Giả sử R  k  x1 , , xn  vành đa thức phân bậc chuẩn, giả sử M R mơđun phân bậc hữu hạn sinh có chiều d Mơđun tắc K d  M   ExtRnd  M , R  n  M đưa Grothendieck đóng vai trị quan trọng Đại số giao hốn Hình học Đại số (Xem, chẳng hạn [3]) Một câu hỏi tự nhiên đặt chặn cho số qui Castelnuovo-Mumford reg  K d  M   K d  M  theo bất biến khác M hay khơng Bên cạnh mơđun tắc, người ta quan tâm đến môđun khuyết K i  M   ExtRni  M , R  n  , i  d Các môđun xem độ đo cho lệch mơđun M với tính chất Cohen-Macaulay Hơn nữa, trường hợp đơn giản mối quan hệ reg  K d  M   reg  K i  M   , i < d Người ta nói số qui Castelnuovo-Mumford reg(M) điều khiển thành phần phân bậc dương tất môđun đối đồng điều địa phương H mi  M  M, chúng triệt tiêu mức reg  M  Mặc dù thành phần phân bậc âm H mi  M  không thiết triệt tiêu  hàm số l H mi  M  j  trở thành đa thức với j  reg  K i  M   Từ điều ta nói reg  K i  M   kiểm soát dáng điệu l(Him(M)j) thành phần âm Chú ý báo M Brodmann số nhà Toán học khác   xét đến vấn đề l H mi  M  j trở thành đa thức (xem, chẳng hạn [2]) Trên thực tế, kết [2] đóng vai trị quan trọng việc nghiên cứu kết [8] Trong [8] đưa hai loại chăn cho reg  K i  M   Trong phần ([8]) chứng minh dùng bậc đồng điều để chặn cho reg  K i  M   Bậc đồng điều đưa Vasconcelos [11] người ta dùng để chặn reg  M  (xem [4], Định lý 2.4) Đối với trường hợp vành có chặn đơn giản: reg  S   h deg  S  S vành thương R Định lý 2.2.3 ([8]) nói reg  K i  M    d h deg  S  , với i Kết bổ sung mối quan hệ số qui Castelnuovo-Mumford bậc đồng điều Mục đích luận văn nghiên cứu trình bày lại chi tiết vấn đề báo [8] Lê Tuấn Hoa E Hyry Ngoài lời mở đầu, mục lục, tài liệu tham khảo kết luận, luận văn chia thành chương Chƣơng Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày số khái niệm sở cuả Đại số giao hốn có sử dụng luận văn như: Vành môđun phân bậc, chiều, độ sâu môđun, hàm đa thức Hilbert, Chƣơng Chỉ số qui Castelnuovo-Mumford mơđun tắc mơđun khuyết 2.1 Các khái niệm tính chất sở số qui CastelnuovoMumford 2.2 So sánh số qui Castelnuovo-Mumford mơđun tắc mơđun khuyết với bậc đồng điều Luận văn hoàn thành với hướng dẫn bảo tận tình TS Đào Thị Thanh Hà - Trường Đại học Vinh Từ đáy lòng mình, em xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc quan tâm, động viên hướng dẫn cô Em xin trân trọng cảm ơn tới ban giám hiệu q Thầy Cơ khoa Tốn Trường Đại Học Vinh tạo điều kiện để em hoàn thành luận văn Do lần thực công việc nghiên cứu, nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót, em mong đóng góp ý kiến Thầy, Cô bạn để luận văn hoàn thiện Đồng Tháp, ngày 09 tháng 09 năm 2014 Tác giả Nguyễn Huỳnh Ngọc Tú Chƣơng KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Vành môđun phân bậc 1.1.1 Định nghĩa (i) Vành R gọi -phân bậc R   R xét nhóm i cộng, Ri R j  Ri  j , với i, j  Hơn nữa, Ri  với i  gọi R vành phân bậc dương hay (ii) Môđun M vành -phân bậc -phân bậc gọi môđun -phân bậc M   M i xét nhóm cộng, Ri M j  M i  j , với i, j  i (iii) Nếu M mơđun phân bậc vành phân bậc R , phân tử x Ri (hoặc M i ) phần tử bậc i Kí hiệu deg  x  = i Ta qui ước bậc phần tử số nguyên tuỳ ý Như vậy, a  R, x  M phần tử deg  ax  = deg  a  + deg  x  , ax  Từ định nghĩa ta suy R0 vành R thành phần phân bậc M i R0 -môđun Nếu x  M x  xi  xi 1   x j ; Với xk  M k , i  k  j; i, j  Thì xk (có thể xk  ) gọi thành phần thành phần phân bậc k x Mỗi phần tử có biểu diễn thành tổng thành phần phân bậc Cho S vành vành R (không thiết phân bậc) Khi người ta gọi R S -đại số Nếu a1 , , an  R , kí hiệu S  a1 , , an  tập hợp tổ hợp tuyến tính S phần tử a1p , , anp với  p1 , , pn   n n Tập hợp rõ ràng vành R Có thể xem vành đa thức, a1 , , an biến độc lập Nếu tồn a1 , , an  R để R  S  a1 , , an  R gọi S -đại số hữu hạn sinh 1.1.2 Định nghĩa Vành phân bậc dương R   R gọi vành phân bậc i 0 chuẩn R0 R  R0  R1  1.1.3 Ví dụ Xét vành đa thức n biến R  k  x1 , , xn  Gọi Rt tập hợp đa thức bậc t, R   Rt tích hai đa thức bậc t s t 0 đa thức bậc t + s Do k  x1 , , xn  vành phân bậc Hơn k  x1 , , xn  vành phân bậc chuẩn R  R0  R1  , R0  k , R1 tập hợp tất đa thức bậc 1.1.4 Định nghĩa Môđun N  M gọi môđun nhất, hay mơđun phân bậc thoã mãn ba điều kiện tương đương sau (i) N sinh phần tử (ii) Với x  N , thành phần thuộc N (iii) N    N  M i  i 1.1.5 Chú ý Nếu I iđêan R, R I vành phân bậc Cũng vậy, N  M mơđun nhất, mơđun thương M N R-mơđun phân bậc 1.1.6 Ví dụ (i) k  x1 , , xn  vành phân bậc chuẩn, iđêan đơn thức iđêan nhất, chẳng hạn k  x, y , z , t   x y, xzt  vành phân bậc chuẩn (ii)  x  yz , x3 yz  y z  4xy z  iđêan vành k  x, y, z  Khi k  x, y , z  x  yz , x3 yz  y z  4xy z  vành phân bậc chuẩn 1.1.7 Ví dụ Cho M mơđun phân bậc vành phân bậc R Cho p  Kí hiệu M  p  môđun M với phân bậc M  p i  M pi Khi M  p  mơđun phân bậc R Ta nói M  p  môđun dịch chuyển M với p số dịch chuyển 1.1.8 Định nghĩa Cho M N hai môđun phân bậc vành phân bậc R Đồng cấu môđun f : M  N gọi đồng cấu (hay phân bậc) với i  ta có f  M i   Ni 1.1.9 Mệnh đề (i) Nếu f đồng cấu hạch (hạt nhân) Kerf ảnh Imf mơđun (ii) Nếu có dãy khớp M N P Các mơđun phân bậc với đồng cấu phân bậc, ta có dãy khớp sau với i   M i  Ni  Pi 1.1.10 Định nghĩa Một tập sinh R-môđun phân bậc bao gồm phần tử gọi tập sinh Đối với iđêan môđun phân bậc, số phần tử sinh tập sinh tối tiểu nói chung Cụ thể ta có: 1.1.11 Định lý ( 1 , Định lý 6.5) Giả sử R   Ri với R0 vành có iđêan i 0 cực đại m M R-mơdun phân bậc hữu hạn sinh Khi tập sinh tối tiểu M có số phần tử Nói riêng R0  k trường số tập sinh tối tiểu M có số phần tử 1.2 Độ dài môđun 1.2.1 Định nghĩa Một R-môđun M khác môđun không gọi môđun đơn, M có hai mơđun mơđun khơng 10 1.2.2 Định nghĩa Một dãy hợp thành R-môđun M dãy giảm gồm số hữu hạn R-môđun M M  M  M1  Sao cho M i 1 Mi  M n  0 môđun đơn, i  1, , n Khi số n gọi độ dài dãy hợp thành 1.2.3 Ví dụ (i) Một khơng gian véc tơ có dãy hợp thành có chiều dài hữu hạn Một khơng gian véc tơ có dãy hợp thành với độ dài d có chiều d (ii) Vành số ngun -mơđun khơng có dãy hợp thành 1.2.4 Định lý (Jordan-Holder) Nếu R-mơđun M có dãy hợp thành với độ dài n, tất dãy hợp thành M có độ dài n Hơn nữa, dãy tăng giảm thật môđun M có độ dài khơng vượt q độ dài dãy hợp thành, mở rộng thành dãy hợp thành Từ Định lý 1.2.4 ta có định nghĩa sau 1.2.5 Định nghĩa Độ dài dãy hợp thành tuỳ ý R-môđun M gọi độ dài môđun M ký hiệu lR  M  đơn giản l  M  Nếu R-mơđun M khơng có dãy hợp thành ta qui ước độ dài lR  M    gọi mơđun có độ dài vơ hạn 1.2.6 Ví dụ (i) Độ dài khơng gian véc tơ số chiều khơng gian véc tơ (ii) l   1 (iii) l  18   18 có dãy hợp thành 16      I  E   :   I  M    I  E    I  E1    I d      I d i 1 I d1    I  E i    I  E i 1   I d i Ta đặt H i   I  E     Ker I  d i  / Im  I  d i 1  gọi môđun đối đồng điều địa phương thứ i M với giá iđêan I 1.6.4 Định nghĩa Hàm tử dẫn xuất phải thứ i hàm tử I-xoắn  I    gọi hàm tử đối đồng điều địa phương với giá I kí hiệu H Ii    1.6.5 Mệnh đề Giả sử x1 , , xr  I dãy M-chính qui Khi H Ii  M   0, i < r 1.6.6 Hệ H Ii  M   0, i < depth  M  1.6.7 Định lý (Định lý triệt tiêu Grothendieck) Cho I la iđêan vành giao hoán Noether R M R - mơđun hữu hạn sinh chiều d Khi H Ii  M   0, i  d 1.6.8 Định lý (Định lý dãy khớp dài) Cho dãy khớp ngắn R - môđun f g  M   N  P  Khi ta có dãy khớp dài H f H g H f   H I0  M    H I0  N    H I0  p    H I1  M    H I1  N  I I H g    H I1  p    H I2  M   I H f   H In1  p   H In  M    H In  N  H g   H In  p   n I Trong  , 1 , I đồng cấu nối n1 n I 17 Chƣơng CHỈ SỐ CHÍNH QUI CASTELNUOVO-MUMFORD CỦA MƠĐUN CHÍNH TẮC VÀ MƠĐUN KHUYẾT 2.1 Các khái niệm tính chất sở số qui Castelnuovo– Mumford Trong suốt luận văn ta cho R  k  x1 , , xn  vành đa thức phân bậc chuẩn, k trường vô hạn, cho m   x1 , , xn  Với R-môđun phân bậc tuỳ ý N, đặt beg  N   inf i  /  N i  0 , end  N   supi  /  N i  0 (chúng ta qui ước beg  N    end  N    N = 0.) 2.1.1 Định nghĩa Cho M R-môđun hữu hạn sinh Số reg  M   max i  end  H mi  M   / i  0 gọi số qui Castelnuovo–Mumford M Chú ý I  R iđêan khác 0,  I   reg  I   reg R Chúng ta xét reg1  M   max i  end  H mi  M   / i  1 , gọi số qui Castelnuovo–Mumford mức Định nghĩa cho reg  M   max reg1  M  , end  H m0  M   1 Kết sau điểm xuất phát cho nghiên cứu số quy Castelnuovo–Mumford 2.1.2 Bổ đề (  6 , Mệnh đề 1.1 Định lý 1.2) 18 reg  M   max end ToriR  k , M    i / i  0 Dãy khớp dài đối đồng điều địa phương sinh từ dãy khớp ngắn môđun cho ta bổ đề sau: 2.1.3 Bổ đề ( 5 , Hệ 20.19) Giả sử  A B C 0 dãy khớp ngắn R-mơđun phân bậc Khi (i) reg  B   max reg  A , reg  C  , (ii) reg  A  max reg  B  , reg  C   1 Chú ý phần tử x  m gọi M–lọc qui x  p p   Ass M  \ m Điều tương đương với điều kiện môđun :M x có độ dài hữu hạn Từ giả thiết trường k vô hạn, tồn phần tử lọc qui hữu hạn mơđun hữu hạn sinh Giả sử x phần tử M-lọc qui tuyến tính Khi H mi  M / :M x   H mi  M  i  Do dãy khớp ngắn cảm sinh phép nhân với x x   M / :M x  1   M  M / xM  Cho ta dãy khớp   :M x  j 1  H m0  M  j 1  H m0  M  j  H m0  M / xM  j   H mi  M  j  H mi  M / xM  j  H mi 1  M  j 1  H mi 1  M  j  Từ ta có bổ đề sau (xem  6 , Mệnh đề 20.20 8 , Bổ đề 2) 2.1.4 Bổ đề Cho x phần tử M-lọc qui tuyến tính reg1  M   reg  M / xM   regM Cuối nhớ lại khái niệm số qui (của hàm Hilbert) 19 Hàm Hilbert M hàm số hM  t   dimk  M t  đa thức Hilbert pM  M  M đa thức có bậc d - cho hM  t   pM  t  t d số chiều môđun M Hàm Hilbert hM  n  đa thức Hilbert pM  n  có quan hệ công thức hM  n   pM  n  với n  reg  M  Công thức hệ công thức Grothendieck - Serre nói phần chứng minh Bổ đề 2.1.6 2.1.5 Định nghĩa Cho hM  t  pM  t  tương ứng hàm Hilbert đa thức Hilbert M, số ri  M   max  j  / hM  j   pM  j  Được gọi số qui M 2.1.6 Bổ đề Cho x phần tử M-lọc qui tuyến tính Khi (i) (cf [5], Mệnh đề 20.20) reg  M   max reg  M / xM  , end  H m0  M   , (ii) reg  M   max reg  M / xM  , ri  M  , (iii) Nếu M mơđun Cohen-Macaulay có chiều d reg  M   ri  M   d Chứng minh (i) Dựa theo Bổ đề 2.1.4 (1) (ii) Từ công thức Grothendieck-Serre d   H M  j   PM  j     1 l H mi  M  j , i 0 i Cho nên regM  ri  M  Từ Bổ đề 2.1.4 ta có reg  M   max reg  M / xM  , ri  M   2 20 Giả sử j  reg  M / xM  Từ reg1  M   j , cho (2)   H M  j   PM  j   l H m0  M  j Do end  H m0  M    max reg  M / xM  , ri  M  Cùng với (i) reg  M   max reg  M / xM  , ri  M  (iii) Từ (2) từ H mi  M   i  d 2.2 So sánh số qui Castelnuovo-Mumford mơđun tắc mơđun khuyết với bậc đồng điều Từ trở sau cho M R-môđun phân bậc hữu hạn sinh chiều d Bậc đồng điều R-môđun phân bậc M đưa Vasconcelos Nó định nghĩa cách đệ quy theo chiều sau: 2.2.1 Định nghĩa ( 11 12 , Định nghĩa 9.4.1) Bậc đồng điều M số d 1 d    h deg  M   deg  M     h deg  ExtRni 1d  M , R    i  i 0  Lưu ý  a  h deg  M   deg  M  , đẳng thức M môđun Cohen-Macaulay (b) h deg  M   h deg  M / H m0  M    l  H m0  M   Cho gen  M  bậc cực đại phần tử tập sinh tối tiểu M Có nghĩa gen  M   end  M / mM  Bậc đồng điều cho chặn số qui Castelnuovo-Mumford 2.2.2 Bổ đề (  4 , Định lý 2.4) 21 reg  M   gen  M   h deg  M   Giả sử K i  M   ExtRni  M , R  n  Mơđun K d  M  mơđun tắc M Theo Schenzel ( 9 , phần 3.1) người ta gọi môđun K i  M  , i  d , môđun số khuyết M Lưu ý K i  M   với i < i > d Tất môđun K i  M  hữu hạn sinh từ 9 , phần 3.1 ( xem Bổ đề 3.1.1 trang 63) có: dim K i  M   i, i  d , dim K d  M   d , depth  K d  M    2,dim M  Theo định lý đối ngẫu địa phương ( xem ví dụ 3 , Định lý 3.6.19), có phép đẳng cấu tắc sau mơđun phân bậc K i  M   Hom  H mi  M  , k   3 Từ điều Bổ đề 2.1.6 (ii) có l  H mi  M t   PK  M   t  t  reg  K i  M   i Từ Bổ đề 2.2.2, câu hỏi tự nhiên đặt dùng bậc đồng điều để chặn cho số qui Castelnuovo-Mumford mơđun K i  M  hay không Định lý sau trả lời cho câu hỏi kết phần 2.2.3 Định lý (i) với i  d  ta có reg  K i  M    d h deg  M   deg  M    beg  M   i (ii) reg  K d  M    d 1  h deg  M   deg  M    beg  M  Chú ý M môđun Cohen-Macaulay, K d  M  môđun CohenMacaulay Trong  7 , Mệnh đề 2.2.3 chứng minh 22 reg  K d  M    d  beg  M   4 Điều dễ dàng suy từ Bổ đề 2.1.6 (iii) công thức Grothendieck-Serre (2) áp dụng cho K d  M  , từ tính đối ngẫu Do trường hợp có đẳng thức (ii) định lý Để chứng minh Định lí 2.2.3 ta cần vài kết bổ trợ 2.2.4 Bổ đề ( 10 , Mệnh đề 2.4) Cho x phần tử M - lọc qui tuyến tính Thì có dãy khớp ngắn mơđun phân bậc   K i 1  M  / xK i 1  M   1  K i  M / xM   :K  M  x  0, i với số nguyên i  Để ngắn gọn hơn, chứng minh thường dùng kí hiệu sau K i : K i  M  2.2.5 Bổ đề reg  K  M    beg  M  Chứng minh Chú ý H m0  M   M môđun có độ dài hữu hạn Do đó, từ (3) có reg  K   beg  H m0  M    beg  M  Trong phần giả thiết x phần tử tuyến tính tồng quát, ta hiểu x phần tử lọc qui M, tất môđun K i  M  tất môđun khuyết nhắc lại [11], Định nghĩa 2.12 Đây tập hữu hạn môđun mà phần tử tồn 2.2.6 Bổ đề Giả sử depth(M )  r  i  d Khi reg  K  M    beg  M    h deg  K j  M    i i i j 1 Chứng minh Cho x  R phần tử tuyến tính tổng quát j  Từ Bổ đề 2.2.4 ta có dãy khớp 23   K j 1 / xK j 1  1  K j  M / xM   :K x  j Lấy tích tenxơ với k dãy khớp K j  M / xM  / mK j  M / xM    K j 1 / mK j 1  1  Tor1R  k ,0 :K x  j Điều kéo theo gen  K j 1   end  K j 1 / mK j 1   max  gen  K j  M / xM   , end Tor1R  k ,  :Ki x   Từ :K x có độ dài hữu hạn, j :K x  H m0  K j  j Do đó, theo Bổ đề 2.1.2   end Tor1R  k ,0 :K x    reg  :K x   end  H m0  K j    reg  K j  j j Kết hợp điều với gen  K j  M / xM    reg  K j  M / xM   ( xem lại Bổ đề 2.1.2), ta có gen  K j 1   max reg  K j  M / xM   , reg  K j   1   max reg  K j  M / xM   , reg  K j   5 Chú ý beg  M / xM   beg  M  Giờ chứng minh điều phép quy nạp i Với i = Áp dụng (5) cho trường hợp j = với Bổ đề 2.2.5 cho ta genK  max beg  M / xM  , beg  M   beg  M  Theo Bổ đề 2.2.2, reg  K   gen  K   h deg  K    h deg  K   beg  M    d h deg  K   beg  M   Do cho K 24 Với  i  d  Bằng giả thiết quy nạp có i 1 d   reg  K i 1   beg  M      h deg  K j   i  j 1  j   6 Cho N môđun phân bậc Noether S, gọi N môđun N H m0  N  : lưu ý   depth N  dim N  , với j > ta có   K j N  K j N (7) Từ dim M / xM  d   i   d  1, lần áp dụng giả thiết qui nạp cho M / xM , ta có   reg  K i 1  M / xM    reg K i 1 M / xM  i 1 d     -beg M / xM    h deg K j M / xM  i   j  j 1  i 1 d     -beg M / xM    h deg  K j  M / xM    i   j  j 1         Từ depth  M   0, theo bất đẳng thức (10) 11 h deg  K j  M / xM    h deg K j  h deg K j 1 Vì reg  K i 1  M / xM    i 1 d     beg  M     h deg  K j   h deg  K j 1    i    j  j 1  i 1 d      d  1  beg  M       h deg  K j    h deg  K j    i   j 1  j  i 1    Từ (5) (6) ta i 1 d    d  1 gen  K i   beg  M      h deg  K j    h deg  K i   i   j 1  j   i 1  25 Do đó, từ Bổ đề 2.2.2 reg  K i   gen  K i   h deg  K i   i 1 d    d  1  beg  M  +   h deg  K j    h deg  K i   i   h deg  K i    j 1  j   i 1  i 1 d    d  1  d  1 i  beg  M  +   h deg  K j    h deg K  i  h deg  K i       j 1  j   i 1   i  i d  =    h deg  K j   beg  M   i j 1  j  Bổ đề 2.2.6 chứng minh hoàn chỉnh Chứng minh Định lý 2.2.3 Từ h deg  M   deg  M  , Bổ đề 2.2.5 giả sử d  i  Đặt M  M / H m0  M      (i) Với  i  d Từ depth M  0, công thức h deg M Định nghĩa 2.2.1 viết lại sau  d  1 h deg M  deg M    h deg K d  j 1 M  j  j 1  d 1 d    = deg M    h deg K j M  j  j 1  i  d  1  deg M    h deg K j M  j  j 1  i d   deg M     h deg K j M d j 1  j      d 1                   Vì vậy, Bổ đề 2.2.6 (7)     d  h deg  M   deg  M   beg  M   i reg  K i   reg K i M       Từ h deg M  h deg  M  ,deg M  deg  M  beg M  beg  M  , bất đẳng thức cho ta reg  K i   d  h deg  M   deg M   beg  M   i 26 Như (i) chứng minh xong (ii) Chúng ta thực qui nạp theo d Nếu d = 1, M mơđun Cohen-Macaulay Từ (4) ta có      beg  M    beg  M  reg  K   reg K M  1+h deg  M   deg M  beg  M  Với d  Giả sử x phần tử tuyến tính tổng quát Từ depth K d  0, theo Bổ đề 2.1.6 (ii) ta reg  K d   reg  K d / xK d  Sử dụng dãy khớp ngắn   K d / xK d  1  K d 1  M / xM   :K x  0, d Bổ đề 2.1.3 (ii) ta có reg  K d   max reg  K d 1  M / xM   , reg  K d 1   1  (8) Từ (i) ta regK d 1   d  h deg  M   deg  M    beg  M   d  < d 1  h deg  M   deg  M    beg  M  Theo giả thiết qui nạp reg  K d 1  M / xM     d  1 1  h deg  M / xM    deg  M / xM   beg  M / xM    d  1 1  h deg  M / xM    deg  M   beg  M / xM   d 1  h deg  M / xM    deg  M   beg  M   Ta phân biệt hai trường hợp: - Giả thiết depth M  Từ 11 Định lý 2.13 ta có h deg  M / xM   h deg  M  Do reg  K d 1  M / xM     d 1  h deg  M   deg  M    beg  M  27 Tổng kết ta đạt reg  K d   d 1  h deg  M   deg  M    beg  M  - Bây ta xét trường hợp depth  M         Từ h deg M  h deg  M  ,deg M  deg  M  b eg M  b eg  M  , Theo (7) ta có reg  K d   reg  K d  M    d 1  h deg  M   deg  M    beg  M   d 1  h deg  M   deg  M    beg  M  Định lý 2.2.3 chứng minh xong 2.2.7 Chú ý Từ ý tưởng bậc đồng điều Vasconcelos đưa lớp hàm, gọi bậc mở rộng Deg  M  (Xem 11 12 , trang 263) Lớp chứa h deg  M  Thật vậy, Định lý 2.4  4 cho ta reg  M   gen  M   Deg  M   Thật thú vị đặt câu hỏi thay h deg  M  Định lý 2.2.3 Deg  M  hay không Tuy nhiên khn khổ luận văn khơng trình bày vấn đề KẾT LUẬN 28 Luận văn trình bày lại số kết sau Các khái niệm tính chất sở số qui CastelnuovoMumford So sánh số qui Castelnuovo-Mumford mơđun tắc mơđun khuyết với bậc đồng điều TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt 29 [1] Lê Tuấn Hoa (2003), Đại số máy tính – Cơ sở Groebner, NXB ĐHQG Hà Nội Tiếng Anh [2] M Brodmann, C Matteotti and N D Minh (2003), Bounds for cohomological deficiency functions of projective schemes over Artinian rings Vietnam J Math 31, no 1, 71–113 [3] W Bruns and J Herzog (1993), Cohen-Macaulay rings Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 39 Cambridge University Press, Cambridge [4] L R Doering, T Gunston and W V Vasconcelos (1998), Cohomological degrees and Hilbert functions of graded modules Amer J Math 120, no 3, 493– 504 [5] D Eisenbud (1995), Commutative algebra With a view toward algebraic geometry Graduate Texts in Mathematics, 150 Springer-Verlag, New York [6] D Eisenbud and S Goto (1984), Linear free resolutions and minimal multiplicity J Algebra 88, no 1, 89–133 [7] D T Ha and L T Hoa (2008), Castelnuovo - Mumford regularity of some modules, Communication in Algebra, 36, pp, 992 - 1004 [8] L T Hoa and E Hyry (2006), Castelnuovo-Mumford regularity of canonical and deficiency modules, J Algebra, 305, no 2, 877–900 [9] P Schenzel (1982), Dualisierende Komplexe in der lokalen Algebra and Buchsbaum-Ringe, Lecture Notes in Mathematics, 907, Springer-Verlag, BerlinNew York [10] P Schenzel (2004), On birational Macaulayfications and Cohen-Macaulay canonical modules, J Algebra 275, no 2, 751-770 30 [11] W V Vasconcelos (1998), The homological degree of a module Tran Amer Math Soc 350, no 3, 1167-1179 [12] W V Vasconcelos (1998), Computational methods in commutative algebra and algebraic geometry With chapters by David Eisenbud, Daniel R Grayson, Jurgen Herzog and Michael Stillman Algorithms and Computation in Mathematics, Springer-Verlag, Berlin ...2 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN HUỲNH NGỌC TÚ CHỈ SỐ CHÍNH QUY CASTELNUOVO – MUMFORD CỦA MƠĐUN CHÍNH TẮC VÀ MƠĐUN KHUYẾT Chun ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60 46 01... CHƢƠNG CHỈ SỐ CHÍNH QUI CASTELNUOVO – MUMFORD CỦA MƠĐUN CHÍNH TẮC VÀ MƠĐUN KHUYẾT 15 2.1 Các khái niệm tính chất sở số qui Castelnuovo? ? ?Mumford 15 2.2 So sánh số qui Castelnuovo- Mumford. .. Chƣơng CHỈ SỐ CHÍNH QUI CASTELNUOVO- MUMFORD CỦA MƠĐUN CHÍNH TẮC VÀ MƠĐUN KHUYẾT 2.1 Các khái niệm tính chất sở số qui Castelnuovo? ?? Mumford Trong suốt luận văn ta cho R  k  x1 , , xn  vành đa