Một số tính chất ( v), (ve) của môđun và áp dụng vào đặc trưng v, gv vành

1 Bộ giáo dục đào tạo tr-ờng đại học vinh hoàng thị nhung số tính chất (V), (Ve) môđun áp dụng vào đặc tr-ng V, GV- vành luận văn thạc sĩ toán học vinh 2009 Lời nói đầu Việc đặc tr-ng lớp vành thông qua lớp môđun chúng đà trở thành h-ớng nghiên cứu quan trọng lý thuyết vành môđun Trên sở đọc báo ''Some characterizations of V- module and rings'' cña Agse Cigdem Ozcan, đăng tạp chí J Algebra 352, năm 1997, luận văn nhằm tìm hiểu lớp môđun có tính chất (V) lớp môđun có tính chất (Ve) Từ luận văn chứng minh chi tiết số phần định lý báo (Theorem 10) gồm 12 mệnh đề t-ơng đ-ơng mà báo không chứng minh chứng minh sơ l-ợc Các Định lý báo đ-a nhiều đặc tr-ng cđa líp GV- vµnh vµ líp V- vµnh Víi mơc đích đó, đề tài luận văn có tên '' Một số tính chất (V), (Ve) môđun áp dụng vào đặc tr-ng V, GV- vành'' Luận văn đ-ợc viết thành ch-ơng: Ch-ơng 1: Các kiến thức sở Chúng hệ thống lại kiến thức có liên quan đến việc chứng minh tính chất ch-ơng ch-ơng Ch-ơng 2: Môđun với tính chất (V) (Ve) Trong ch-ơng tìm hiểu khái niệm môđun có tính chất (V), (Ve) Và chứng minh chi tiết kết t-ơng đ-ơng môđun th-ơng M/SocM V- môđun với môđun M có tính chất (Ve) (Định lý 2.12) Từ tìm hiểu tính chất V, GV- môđun chứng minh lại cách chi tiết tính chất (Định lý 2.13, Định lý 2.15 Hệ 2.14) Ch-ơng 3: Một số tính chất V- vành GV- vành Ch-ơng đ-ợc chia làm phÇn PhÇn Mét sè tÝnh chÊt cđa V- vành Phần trình bày tính chất lớp V- vành, số đặc tr-ng lớp môđun CS V- vành, chứng minh lại cách chi tiết tính chất (Định lý 3.4, Định lý 3.5) Phần Một số tính chất GV- vành Phần bày trình tính chất GV- vành từ khái niệm môđun đối suy biến Sau chứng minh lại tính chất cách chi tiết (Định lý 3.14, Định lý 3.15, Định lý 3.16) Luận văn đ-ợc thực Tr-ờng Đại học Vinh d-ới h-ớng dẫn tận tình PGS.TS Ngô Sỹ Tùng Nhân dịp này, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo h-ớng dẫn- ng-ời đà dành cho bảo tận tình, nghiêm khắc đầy lòng nhân Chúng xin bày tỏ lời cảm ơn đến PGS.TS Lê Quốc Hán, PGS.TS Nguyễn Thành Quang, TS Chu Trọng Thanh, TS Nguyễn Thị Hồng Loan thầy cô Khoa Toán- Tr-ờng Đại Học Vinh đà giúp đỡ, giảng dạy tạo điều kiện cho đ-ợc học tập, nghiên cứu trình theo học lớp cao học XV- Đại số Chúng xin bày tỏ lời cảm ơn tới ban chủ nhiệm Khoa Đào tạo Sau Đại học- Tr-ờng Đại học Vinh đà tạo điều kiện giúp đỡ trình học tập tr-ờng Cuối cùng, nhiều nguyên nhân, luận văn không tránh khỏi đ-ợc sai sót, mong nhận đ-ợc góp ý chân thành quý thầy cô bạn Tác giả Ch-ơng I Các kiến thức sở Các vành đ-ợc giả thiết vành kết hợp, có đơn vị Các môđun vành đ-ợc hiểu môđun trái unita ( không nói thêm) Ta ký hiệu N M tức N môđun M, N < M tức N môđun thực M Ta ký hiệu RR, RR nghĩa R- môđun trái R, R- môđun phải R 1.1 Môđun tối đại 1.1.1.Định nghĩa Cho M R- môđun trái N môđun M Khi N đ-ợc gọi môđun tối đại M, với môđun K M, K khác M, mà N  K  M th× K = N 1.2 Môđun cốt yếu môđun đóng 1.2.1 Định nghĩa Cho M R- môđun trái N môđun M Khi có định nghĩa sau: (a) N đ-ợc gọi môđun cèt u M vµ ký hiƯu lµ N  e M, với môđun K khác không cđa M th× N  K  NÕu N môđun cốt yếu M ta nói M mở rộng cốt yếu môđun (b) Môđun N đ-ợc gọi đóng M nÕu N kh«ng cã më réng cèt yÕu thùc sù M Nói khác đi, môđun N đ-ợc gọi đóng M với môđun K M mà N e K N = K (c) Môđun K M đ-ợc gọi bao đóng môđun N M K môđun tối đại M cho N môđun cốt yếu K 1.2.2 Tính chất Cho M R- môđun trái, có khẳng định sau: (a) Bao đóng môđun N M tồn (b) Cho N, K môđun M Nếu N môđun đóng K K môđun đóng M N môđun đóng M Chøng minh Xem [7] 1.3 H¹ng tư trùc tiếp 1.3.1 Định nghĩa Cho M R- môđun trái, môđun N đ-ợc gọi hạng tử trực tiếp M, tồn môđun K M thoả mÃn : N + K = M N  K = Ký hiƯu lµ M = N  K 1.3.2 TÝnh chÊt Cho M lµ R- môđun trái N môđun M Khi N đ-ợc gọi hạng tử trực tiếp M tồn đồng cấu luỹ ®¼ng f tõ M ®Õn M cho Im(f) = N, Ker (f) = N 1.4 Môđun nội xạ môđun xạ ảnh 1.4.1 Định nghĩa Cho vành R M R- môđun trái, đó: (a) R- môđun trái N đ-ợc gọi M- nội xạ, với môđun X M đồng cÊu X i M f f : X  N f mở rộng đ-ợc tới đồng cấu g g : M  N, nghÜa lµ: f = gi, víi i : X  M N lµ phÐp nhúng đồng * Môđun M đ-ợc gọi tựa nội xạ ( hay tự nội xạ), M M- nội xạ * Môđun N đ-ợc gọi nội xạ N M- nội xạ với R- môđun trái M (b) R- môđun trái N đ-ợc gọi M- xạ ảnh, với môđun th-ơng M/X với đồng cấu f : N M/X tồn đồng cấu h: N M thoả m·n: ph = f, víi N p : M  M/X phép chiếu tắc h * Môđun M đ-ợc gọi tựa xạ ảnh M M- xạ ảnh M f p M/X * Môđun N đ-ợc gọi xạ ảnh N M- xạ ảnh với R- môđun trái M 1.4.2 Định nghĩa Cho R vành, có định nghĩa sau: (a) Bao nội xạ R- môđun trái M, đ-ợc ký hiệu E(M), môđun nội xạ mở rộng cốt yếu môđun M (b) Các R- môđun trái M N đ-ợc gọi nội xạ lẫn M Nnội xạ N M- nội xạ 1.4.3 Tính chất Cho M, N R- môđun trái, có khẳng định sau: (a) Nếu N M- nội xạ đơn cấu f : N M chẻ ra, tức dÃy khớp ngắn: f p M M/f(M)   N     tháa m·n f(N) hạng tử trực tiếp M (b) Nếu N M- xạ ảnh dÃy khớp ngắn: f g 0 M  N   P  chẻ ra, tức f(P) hạng tử trực tiếp M Chứng minh Xem [5] 1.5 Môđun bé môđun bé 1.5.1 Định nghĩa Cho M R- môđun, đó: (a) Môđun N M đ-ợc gọi bé ( hay ®èi cèt u) M vµ ký hiƯu lµ N