chỉ sổ chính quy CASTELNUOVO MUMFORD và tính level của một số lớp ideal đơn thức TT

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————–o0o——————— PHAN THỊ THỦY CHỈ SỐ CHÍNH QUY CASTELNUOVO-MUMFORD VÀ TÍNH LEVEL CỦA MỘT SỐ LỚP IDEAL ĐƠN THỨC Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 46 01 04 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI - 2021 Luận án hoàn thành tại: Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Công Minh Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Phản biện 1: GS.TSKH Nguyễn Quốc Thắng Viện Toán học Phản biện 2: PGS.TS Nguyễn Thị Dung Trường Đại học Nông Lâm - Đại học Thái Nguyên Phản biện 3: TS Lưu Bá Thắng Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Luận án bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án tiến sĩ cấp Trường họp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội vào hồi ngày tháng năm 20 Có thể tìm hiểu luận án tại: - Thư viện Quốc gia Việt Nam - Thư viện Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Mở đầu Lý chọn đề tài Cho R = K[x1 , , xn ] vành đa thức trường K I ideal thực vành R Theo định lí syzygy Hilbert, R/I có giải tự phân bậc tối tiểu độ dài hữu hạn dạng: βp (R/I) F : −→ β1 (R/I) R(−dp,j ) −→ · · · −→ j=1 R(−d1,j ) −→ R j=1 −→ R/I −→ 0, p chiều xạ ảnh R-module R/I Số β1 (R/I) số phần tử sinh tối tiểu ideal I số Betti βi (R/I) số phần tử sinh tối tiểu module syzygy thứ i R/I Các số di,1 , , di,βi (R/I) bậc phần tử hệ sinh tối tiểu (gọi tắt bậc sinh) module syzygy thứ i Về mặt tổng quát, giải tự phân bậc tối tiểu F R/I chưa biết Trong luận án này, nghiên cứu số thông tin giải tự phân bậc tối tiểu F theo cấu trúc tổ hợp ideal đơn thức I , cụ thể tính level số quy Castelnuovo-Mumford Hướng nghiên cứu thứ luận án liên quan đến tính level vành thương vành đa thức cho ideal đơn thức Khái niệm tính level R Stanley giới thiệu vào năm 1977 để nghiên cứu đặc điểm h-vectơ vành Cohen-Macaulay Vành R/I vành level vành Cohen-Macaulay module tự cuối giải tự phân bậc tối tiểu R-module R/I sinh bậc Vì R/I vành level, số Betti cuối R/I hệ số bậc cao đa thức tử số chuỗi Hilbert Mục tiêu luận án tìm điều kiện cần hoặc/và điều kiện đủ để R/I vành level theo tính chất tổ hợp I Hướng nghiên cứu thứ hai luận án liên quan đến số quy Castelnuovo-Mumford số lớp ideal đơn thức Khái niệm số quy Castelnuovo-Mumford bắt nguồn từ cơng trình đường cong xạ ảnh G Castelnuovo D Mumford phát biểu định nghĩa cho đa tạp xạ ảnh Với số nguyên i ≥ 0, đặt:   max{j | Hmi (R/I)j = 0} (R/I) =  −∞ Hmi (R/I) = Hmi (R/I) = 0, Hmi (R/I) module đối đồng điều địa phương thứ i R/I với giá ideal cực đại m = (x1 , , xn ) Chỉ số quy Castelnuovo-Mumford R/I định nghĩa số reg(R/I) = max{ai (R/I) + i | ≤ i ≤ dim(R/I)} Mối liên hệ khái niệm bậc sinh module syzygy R/I thiết lập D Eisenbud S Goto Cụ thể, số quy Castelnuovo-Mumford R/I tính cơng thức reg(R/I) = max{di,j − i | i = 1, , p j = 1, , βi (R/I)} Như số quy Castelnuovo-Mumford vừa chặn bậc không triệt tiêu module đối đồng điều địa phương với giá ideal cực đại, vừa sử dụng để chặn bậc sinh module syzygy giải tự phân bậc tối tiểu R/I Luận án quan tâm tới vấn đề tính số quy CastelnuovoMumford lớp ideal đơn thức đặc biệt theo cấu trúc tổ hợp tương ứng chúng Tóm lại, luận án chúng tơi, với tiêu đề: “Chỉ số quy Castelnuovo-Mumford tính level số lớp ideal đơn thức”, hòa vào dòng chảy nghiên cứu tính chất đại số ideal đơn thức theo liệu tổ hợp ban đầu Đây hướng nghiên cứu phát triển mạnh mẽ Đại số giao hoán tổ hợp Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu luận án tính số quy CastelnuovoMumford đặc trưng tính level số lớp ideal đơn thức theo cấu trúc liệu tổ hợp ideal Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu cụ thể luận án gồm: − bất biến, số quy Castelnuovo-Mumford, số Betti, số Betti phân bậc tính level số lớp ideal đơn thức đặc biệt vành đa thức R = K[x1 , , xn ] với K trường Lớp ideal mà luận án nghiên cứu lũy thừa thường lũy thừa hình thức ideal Stanley-Reisner: Cho ∆ phức đơn hình [n] = {1, , n} Ideal Stanley-Reisner I∆ ∆ (trên K) ideal R sinh đơn thức không chứa mũ xi1 xip cho {i1 , , ip } ∈ / ∆ Từ định nghĩa, ta biết I∆ có phân tích ngun sơ I∆ = (xi | i ∈ F ), F(∆) tập tất F ∈F(∆) mặt cực đại ∆ Khi với t ≥ 1, lũy thừa hình thức thứ t I∆ (t) xác định I∆ = (xi | i ∈ F )t F ∈F(∆) Lớp ideal thứ hai mà luận án nghiên cứu ideal lớp (xk | k = i, j)wi,j , Cn (α, β), tức ideal vành R có dạng 1≤i β > (t) Phạm vi nghiên cứu luận án đặc trưng tính level R/I∆ t theo ∆ với số nguyên t ≥ đó; nghiên cứu tính level R/I∆ số quy Castelnuovo-Mumford ideal lớp Cn (α, β) theo cấu trúc tổ hợp đồ thị {{i, j} | wi,j = α, ≤ i < j ≤ n} Phương pháp nghiên cứu Chúng sử dụng công thức Takayama mô tả cấu trúc phân bậc module đối đồng điều địa phương phức đơn hình Koszul cho việc tính tốn số Betti đa phân bậc 5 Những đóng góp luận án Luận án đóng góp kết số quy CastelnuovoMumford, tính level số Betti ideal đơn thức sau: ❼ Đặc trưng tính level lũy thừa thường lũy thừa hình thức thứ t ideal Stanley-Reisner phức đơn hình với t ≥ Với t = 2, luận án đưa câu trả lời trường hợp phức đơn hình phức matroid chiều ❼ Đặc trưng hồn tồn tính level cho ideal I thuộc lớp Cn (α, β) Hơn nữa, luận án tính số Betti cuối R/I level ❼ Đưa cơng thức cho a1 (R/I), a2 (R/I) số quy Castelnuovo-Mumford R/I với ideal I thuộc Cn (α, β) Ý nghĩa khoa học thực tiễn luận án Các kết đạt luận án góp phần làm phong phú thêm thơng tin giải tự phân bậc tối tiểu, số Betti, tính level số quy Castelnuovo-Mumford ideal đơn thức Cấu trúc luận án Ngoài phần mở đầu, phần kết luận, danh sách hình vẽ, bảng kí hiệu, bảng thuật ngữ, luận án gồm chương Chương Kiến thức chuẩn bị Trình bày số kiến thức biết liên quan đến đối tượng nghiên cứu luận án 6 Chương Tính level lũy thừa ideal StanleyReisner Chương trình bày ba mục Mục 2.1 dành để trình bày vài nhóm đồng điều rút gọn khơng triệt tiêu Mục 2.2 đặc trưng tính level cho lũy thừa thường lũy thừa hình thức thứ t ideal Stanley-Reisner phức đơn hình với số t ≥ (Định lí 2.4) Trong Mục 2.3, chúng tơi nghiên cứu tính level lũy thừa hình thức thứ ideal Stanley-Reisner phức matroid chiều (Định lí 2.12) Chương Tính level ideal đơn thức lớp Cn (α, β) Chương gồm ba mục Trong mục đầu tiên, số bậc không triệt tiêu số Betti phân bậc thứ n − R/I với ideal I ∈ Cn (α, β) Mục thứ hai đặc trưng tính level R/I trường hợp (α, β) = (2, 1) (Định lí 3.12) Cuối cùng, chúng tơi nghiên cứu tính level R/I trường hợp (α, β) = (2, 1) (Định lí 3.18), tính số Betti cuối R/I level (Định lí 3.19) Chương Chỉ số quy Castelnuovo-Mumford ideal đơn thức lớp Cn (α, β) Chương chia thành mục Mục 4.1 xác định giá trị a1 (R/I) (các Định lí 4.3 4.4, 4.5, 4.6, 4.7) với I ∈ Cn (α, β) Trong Mục 4.2, thiết lập cơng thức cho a2 (R/I) (Định lí 4.11) số quy Castelnuovo-Mumford reg(R/I) (Định lí 4.12) Mục 4.3 đưa điều kiện để ideal lớp Cn (α, β) có giải tự tuyến tính Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, nhắc lại số vấn đề liên quan đến đối tượng đề cập luận án 1.1 Chỉ số quy Castelnuovo-Mumford 1.2 Vành level 1.3 Phức đơn hình 1.4 Nhóm đồng điều rút gọn 1.5 Cơng thức Takayama 1.6 Phức đơn hình Koszul 1.7 Matroid 1.8 Ideal Stanley-Reisner Trong toàn luận án, ta xét R = K[x1 , , xn ] vành đa thức trường K m = (x1 , , xn ) ideal cực đại R Chương Tính level lũy thừa ideal Stanley-Reisner Cho ∆ phức đơn hình tập đỉnh [n] I∆ ideal StanleyReisner Các điều kiện cần điều kiện đủ tính CohenMacaulay I∆ theo ∆ cho G Reisner Do tính level trường hợp biết thông qua công thức Hochster t R/I (t) Trong chương này, chúng tơi đặc trưng tính level R/I∆ ∆ với số nguyên t ≥ Với t = 2, đưa điều (2) kiện cho tính level R/I∆ ∆ phức matroid chiều 2.1 Một vài nhóm đồng điều rút gọn không triệt tiêu Trong mục này, chúng tơi trình bày số nhóm đồng điều rút gọn khơng triệt tiêu Các kết có ý nghĩa quan trọng đánh giá số bậc không triệt tiêu số Betti cuối lũy thừa hình thức ideal Stanley-Reisner 2.2 Trường hợp số mũ t ≥ Cho ∆ phức đơn hình chiều (d − 1) ≥ tập đỉnh [n] (t) Trong phần này, đặc trưng tính level R/I∆ với số t ≥ Ta biết I∆ ideal Stanley-Reisner phức matroid ∆ circuit ∆ tương ứng với phần tử sinh tối tiểu (t) I∆ Từ tính level lũy thừa hình thức R/I∆ với t ≥ 2, ta nhận điều kiện I∆ sinh bậc sau Định lí 2.3 Cho ∆ phức matroid chiều d − ≥ I∆ (t) ideal Stanley-Reisner ∆ Nếu R/I∆ vành level với t ≥ circuit ∆ có số phần tử Kết chương đặc trưng tính level (t) t với số mũ t ≥ R/I∆ R/I∆ Định lí 2.4 Cho ∆ phức đơn hình chiều d − ≥ I∆ ideal Stanley-Reisner ∆ Khi khẳng định sau tương đương t vành level với t ≥ (1) R/I∆ t vành level với t ≥ (2) R/I∆ (t) (3) R/I∆ vành level với t ≥ (t) (4) R/I∆ vành level với t ≥ (5) ∆ phức matroid mà circuit có số phần tử đơi rời 10 Chúng lưu ý tồn phức đơn hình ∆ mà lũy thừa hình thức thứ hai level lũy thừa thường thứ hai khơng phải level (xem ví dụ phần tiếp theo) 2.3 Trường hợp số mũ t = Mục đích phần đặc trưng tính level lũy thừa hình thức thứ hai I∆ ∆ phức matroid chiều Khi mặt cực đại ∆ xem cạnh đồ thị đơn tập đỉnh [n] Do ∆ coi đồ thị matroid Kết phần phát biểu định lí Định lí 2.12 Cho ∆ đồ thị matroid tập đỉnh [n] với (2) n ≥ Khi R/I∆ vành level ∆ đồ thị đầy đủ đồ thị hai phần đầy đủ Ví dụ sau phức đơn hình khơng phải phức matroid lũy thừa hình thức thứ hai ideal Stanley-Reisner level Ví dụ 2.13 (ii) Cho n = 10 ∆ phức đơn hình với F(∆) = {{1, 2}, {2, 3}, {3, 4}, {4, 5}, {1, 5}, {1, 6}, {2, 7}, {3, 8}, {4, 9}, {5, 10}, {6, 8}, {6, 9}, {7, 9}, {7, 10}, {8, 10}} Ta xem ∆ đồ thị Petersen 11 (2) Sử dụng Macaulay2, R/I∆ có giải tự phân bậc tối tiểu → R(−11)90 −→ R(−10)684 −→ R(−9)2240 −→ R(−8)4095 −→ R(−6)5 ⊕ R(−7)4500 −→ R(−5)60 ⊕ R(−6)2945 −→ R(−4)75 ⊕ R(−5)1068 −→ R(−3)30 ⊕ R(−4)165 −→ R (2) −→ R/I∆ → (2) Từ suy R/I∆ vành level Hơn nữa, sử dụng Macaulay2, ta nhận giải tự phân bậc tối tiểu R/I∆ → R(−13)20 −→ R(−12)210 −→ R(−11)1080 −→ R(−10)3444 −→ R(−9)7280 −→ R(−8)10395 −→ R(−7)9960 −→ R(−6)6180 −→ R(−5)2268 −→ R(−4)380 −→ R −→ R/I∆ → không vành Cohen-Macaulay Vì R/I khơng Do R/I∆ ∆ vành level Qua ví dụ trên, ta thấy tính level lũy thừa thường lũy thừa hình thức thứ hai ideal Stanley-Reisner khác Chương Tính level ideal đơn thức lớp Cn(α, β) Cho I ideal vành đa thức R có dạng: w Pi,ji,j , I= 1≤i β > Đặt G = {{i, j} | wi,j = α, ≤ i < j ≤ n} Ta coi G đồ thị đơn khơng có đỉnh lập với tập đỉnh V (G) ⊆ [n] tập cạnh E(G) = {{i, j} | {i, j} ∈ G} Trong chương này, chúng tơi đặc trưng tính level R/I theo cấu trúc đồ thị G với I ∈ Cn (α, β) Rõ ràng n = 2, R/I ln level (kể wi,j ∈ N với ≤ i < j ≤ n) Hơn nữa, G = ∅ G đồ thị đầy đủ với V (G) = [n] I lũy thừa hình thức ideal StanleyReisner phức đơn hình chiều đầy đủ tập đỉnh [n] Khi 12 13 tính level R/I giải Trong chương này, ta giả thiết điều kiện sau thỏa mãn (1) n ≥ 4; (2) G = ∅; (3) Nếu G đồ thị đầy đủ V (G) = [n] 3.1 Một số bậc không triệt tiêu số Betti phân bậc thứ (n − 2) Trong phần này, đưa bổ đề cho biết số bậc không triệt tiêu số Betti cuối R/I Đây kết sử dụng để chứng minh định lí chương 3.2 Trường hợp (α, β) = (2, 1) Trong phần này, chúng tơi nghiên cứu tính level R/I với ideal I ∈ Cn (2, 1) Chúng nhận kết sau Định lí 3.12 Cho n ≥ I ∈ Cn (2, 1) Khi R/I vành level hai điều kiện sau thỏa mãn: (1) n ≥ G đồ thị hai phần đầy đủ với V (G) = [n]; (2) n = G cặp cạnh rời 3.3 Trường hợp (α, β) = (2, 1) Mục đích phần đặc trưng tính level R/I trường hợp (α, β) = (2, 1) tính số Betti cuối R/I vành level 14 Kết phần đưa đặc trưng cho tính level ideal I ∈ Cn (α, β) (α, β) = (2, 1) Định lí 3.18 Cho n ≥ I ∈ Cn (α, β) với (α, β) = (2, 1) Khi R/I vành level n = 4, β = G đồ thị hai phần đầy đủ K2,2 Ta biết R/I vành level số Betti cuối R/I hệ số cao đa thức tử số chuỗi Hilbert Định lí cho ta biết hệ số Định lí 3.19 Cho n ≥ I ∈ Cn (α, β) Giả sử R/I vành level Khi          r  n − r    (n − r)   + r    n ≥ 4, α =     2        G = Kr,n−r với ≤ r ≤ n − 1; βn−2 (R/I) =                  α + n = 4, α = G cặp cạnh rời nhau; n = 4, α ≥ G = K2,2 ,   m quy ước   = m < k k Theo Định lí 3.19, tính phi-Gorenstein ideal I ∈ Cn (α, β) cho hệ sau Hệ 3.20 Cho n ≥ I ∈ Cn (α, β) Khi R/I vành Gorenstein Chương Chỉ số quy Castelnuovo-Mumford ideal đơn thức lớp Cn(α, β) Trong suốt chương này, cho I ideal đơn thức thuộc Cn (α, β) Chúng đưa cơng thức tính số quy CastelnuovoMumford R/I Ta biết dim(R/I) = nên reg(R/I) = max{ai (R/I) + i | i = 0, 1, 2} Tuy nhiên, m = (x1 , , xn ) ∈ Ass(R/I) nên a0 (R/I) = −∞ Chúng tơi cần tính giá trị a1 (R/I) a2 (R/I) Hơn nữa, n = n = I ideal chính, G = ∅ I lũy thừa hình thức ideal Stanley-Reisner phức đơn hình chiều đầy đủ Do reg(R/I) hồn tồn biết trường hợp Vì ta giả thiết n ≥ G = ∅ 4.1 Giá trị a1 (R/I) Mục đích phần đưa công thức cho a1 (R/I) Chúng giả thiết R/I vành Cohen-Macaulay (tức 15 16 a1 (R/I) = −∞ ) Kết mục xác định giá trị a1 (R/I) trường hợp n = Định lí 4.3 Cho n = Khi   α + β − G có cạnh; a1 (R/I) =  2α − G có nhiều cạnh Với n ≥ 5, giá trị a1 (R/I) phụ thuộc vào cấu trúc đồ thị G mà phụ thuộc vào mối liên hệ α β Các kết cho định lí sau Định lí 4.4 Cho n ≥ Giả sử α = β + Khi   α + β − β số lẻ; a1 (R/I) =  α + β − β số chẵn Trong trường hợp α ≥ β + (α, β) = (4, 2), ta cần định nghĩa hai điều kiện đồ thị G sau: (G1 ) Tồn cặp cạnh rời G khơng chứa 4-chu trình nào; (G2 ) Tồn {i, j} ∈ G cho {i, j} ∪ G đồ thị không liên thông Chú ý R/I vành Cohen-Macaulay nên G phải thỏa mãn điều kiện (G1 ) điều kiện (G2 ) N C Minh Y Nakamura 17 Định lí 4.5 Cho n ≥ Giả sử α ≥ β + Khi   2α − G thỏa mãn (G1 ); a1 (R/I) =  α + β − G không thỏa mãn (G1 ) Trong trường hợp α = β + (α, β) = (4, 2), ta cần định nghĩa thêm số điều kiện G thỏa mãn điều kiện (G1 ) (G3 ) Mọi cặp cạnh rời {i, j}, {p, q} G khơng chứa 4-chu trình đồ thị cảm sinh G[i, j, p, q] có dạng: Định lí 4.6 Cho n ≥ Giả sử α = β + (α, β) = (4, 2) Khi     α + β α lẻ, G thỏa mãn (G1 ); α chẵn,        G thỏa mãn (G1 ) không thỏa mãn (G3 );     a1 (R/I) = α + β − α chẵn, G thỏa mãn (G1 ), (G3 );        α + β − α lẻ, G không thỏa mãn (G1 );       α + β − α chẵn, G không thỏa mãn (G1 ) Trong trường hợp (α, β) = (4, 2), việc tính giá trị a1 (R/I) phức tạp Ta cần đưa thêm vài điều kiện G sau: (G4 ) Nếu G[i, j, p, q] có dạng (G3 ) với t ∈ [n] \ {i, j, p, q} bất kì, đồ thị cảm sinh G[i, j, p, q, t] có đồ thị có dạng 18 (G5 ) {i, j} ∪ {i, t} ∪ {t, j} ∪ G đồ thị liên thông với {i, j} ∈ G t ∈ [n]\{i, j} Chú ý I ∈ Cn (4, 2) theo N C Minh Y Nakamura, R/I vành Cohen-Macaulay G thỏa mãn điều kiện (G3 ), (G4 ) (G5 ) Định lí 4.7 Cho n ≥ (α, β) = (4, 2) Khi    G khơng thỏa mãn (G3 );     a1 (R/I) = G thỏa mãn (G3 ) không thỏa mãn (G4 );      3 G thỏa mãn (G3 ), (G4 ) không thỏa mãn (G5 ) 4.2 Giá trị a2 (R/I) Trong mục này, xác định giá trị a2 (R/I) đưa công thức cho số quy Castelnuovo-Mumford reg(R/I) Kí hiệu girth(G) độ dài chu trình ngắn G Nếu G khơng có chu trình ta quy ước girth(G) = ∞ Giá trị a2 (R/I) xác định định lí 19 Định lí 4.11 Cho n ≥ I ∈ Cn (α, β) Khi ta có     3α − girth(G) = 3;       2α + β − girth(G) = G chứa a2 (R/I) =           α + 2β − đỉnh có bậc lớn 1; đỉnh G có bậc Bây cơng thức tính số quy Castelnuovo-Mumford R/I thiết lập sau Định lí 4.12 Cho n ≥ I ∈ Cn (α, β) Khi    3α − girth(G) = 3;         2α + β − girth(G) = G chứa        đỉnh có bậc lớn 1;     reg(R/I) = 4.3 α + 2β − G gồm t ≥ cạnh đôi rời        α ≤ 2β , G có cạnh;        2α − G gồm t ≥ cạnh đôi rời        α > 2β Ideal có giải tự tuyến tính Mục trình bày ứng dụng Định lí 4.12, cụ thể đưa điều kiện cần điều kiện đủ để I ∈ Cn (α, β) có giải tự tuyến tính 20 Kết luận Luận án nghiên cứu vấn đề thời số quy Castelnuuovo-Mumford tính level số ideal đơn thức thu sau: Đặc trưng tính level lũy thừa thường lũy thừa hình thức thứ t ideal Stanley-Reisner với số nguyên dương t ≥ (Định lí 2.4) Trường hợp t = 2, luận án đạt kết chiều phức đơn hình matroid (Định lí 2.12) Đặc trưng tính level ideal I lớp Cn (α, β) (các Định lí 3.12, 3.18) Hơn nữa, R/I vành level, luận án tính số Betti cuối (Định lí 3.19) Đưa công thức cho a1 (R/I) (các Định lí 4.3, 4.4, 4.5, 4.6, 4.7), a2 (R/I) (Định lí 4.11) số quy CastelnuovoMumford reg(R/I) (Định lí 4.12) với ideal I ∈ Cn (α, β) 21 Danh mục cơng trình liên quan đến luận án [1] N C Minh, N Terai, P T Thuy (2019), “Level property of ordinary and symbolic powers of Stanley-Reisner ideals”, Journal of Algebra 535, pp 350–364 [2] N C Minh, P T Thuy (2020), “A computation of the CastelnuovoMumford regularity of certain two-dimensional unmixed ideals”, Communications in Algebra 48, pp 2028–2040 [3] P T Thuy, “On the level property of two-dimensional monomial ideals”, submitted Các kết luận án báo cáo tại: ❼ Hội nghị Toán học tồn quốc (Nha Trang - Khánh Hịa): 8/2018 ❼ Workshop “Giải tự bất biến đối đồng điều địa phương” (Viện Toán học): 10/2019 ❼ Hội nghị Đại số - Lý thuyết số - Hình học - Tơpơ (Bà Rịa - Vũng Tàu): 12/2019 ❼ Hội nghị nghiên cứu sinh Khoa Toán Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội: 12/2018, 12/2019, 12/2020 ❼ Xêmina Đại số lý thuyết số, Bộ môn Đại số lý thuyết số, Khoa Toán Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội: 5/2021 ❼ Xêmina Đại số lý thuyết số, Viện Toán học: 5/2021  ... đề tính số quy CastelnuovoMumford lớp ideal đơn thức đặc biệt theo cấu trúc tổ hợp tương ứng chúng Tóm lại, luận án chúng tơi, với tiêu đề: ? ?Chỉ số quy Castelnuovo- Mumford tính level số lớp ideal. .. án gồm: − bất biến, số quy Castelnuovo- Mumford, số Betti, số Betti phân bậc tính level số lớp ideal đơn thức đặc biệt vành đa thức R = K[x1 , , xn ] với K trường Lớp ideal mà luận án nghiên... hai luận án liên quan đến số quy Castelnuovo- Mumford số lớp ideal đơn thức Khái niệm số quy Castelnuovo- Mumford bắt nguồn từ cơng trình đường cong xạ ảnh G Castelnuovo D Mumford phát biểu định nghĩa