Phương pháp thế vị cho phương trình parabolic với nguồn dạng lũy thừa chứa biến

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH CƠNG TRÌNH NCKH CẤP TRƯỜNG TRỌNG ĐIỂM PHƯƠNG PHÁP THẾ VỊ CHO PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC VỚI NGUỒN DẠNG LŨY THỪA CHỨA BIẾN S K C 0 9 Mà SỐ: T2020-68TĐ S KC 0 7 Tp Hồ Chí Minh, tháng 12/2020 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI KH&CN CẤP TRƯỜNG TRỌNG ĐIỂM PHƯƠNG PHÁP THẾ VỊ CHO PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC VỚI NGUỒN DẠNG LŨY THỪA CHỨA BIẾN Mã số: T2020-68TĐ Chủ nhiệm đề tài: TS Lê Công Nhàn TP HCM, 12/2020 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI KH&CN CẤP TRƯỜNG TRỌNG ĐIỂM PHƯƠNG PHÁP THẾ VỊ CHO PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC VỚI NGUỒN DẠNG LŨY THỪA CHỨA BIẾN Mã số: T2020-68TĐ Chủ nhiệm đề tài: TS Lê Công Nhàn Thành viên đề tài: PGS TS Lê Xuân Trường TS Nguyễn Ngọc Trọng TP HCM, 12/2020 LỜI CẢM ƠN Lời xin gửi đến PGS TS Lê Xuân Trường TS Nguyễn Ngọc Trọng ý kiến đóng góp hữu ích q trình thảo luận thực đề tài Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn đến Ban Giám Hiệu, Phịng Khoa học Cơng nghệ Quan hệ Quốc tế Khoa Khoa học Ứng dụng Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Tp Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi để tơi hồn thành đề tài Xin chân thành cảm ơn q thầy Bộ mơn Tốn, Khoa Khoa học Ứng dụng giúp đỡ, trao đổi, thảo luận, đóng góp ý kiến tạo điều kiện thuận cho tơi suốt q trình thực đề tài TP HCM, tháng 12 năm 2020 Người thực Lê Công Nhàn i MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN i MỤC LỤC ii DANH SÁCH KÝ HIỆU THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU INFORMATION ON RESEARCH RESULTS MỞ ĐẦU Chương Kiến thức chuẩn bị 15 1.1 Không gian Sobolev 15 1.2 Toán tử đơn điệu 17 1.3 Không gian hàm với số mũ biến 19 1.4 Không gian hàm phụ thuộc thời gian 21 1.5 Một số bất đẳng thức 24 Chương Phương pháp vị cho phương trình p( x )-Laplace với nguồn dạng lũy thừa chứa biến 27 2.1 Giới thiệu 27 2.2 Tính chất tồn nghiệm địa phương 29 2.3 Năng lượng đầu nhỏ 30 2.3.1 Bài toán Elliptic 30 2.3.2 Tính chất khơng tồn toàn cục 35 2.3.3 Tính chất tồn toàn cục dáng điệu nghiệm 39 Năng lượng đầu cao 43 2.4 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 52 TÀI LIỆU THAM KHẢO 54 ii DANH SÁCH KÝ HIỆU Không gian Banach X đối ngẫu X X, X · Chuẩn không gian X X Tích đối ngẫu tích vơ hướng L2 (Ω) ·, · C0 (Ω) ≡ C (Ω) Không gian hàm số u : Ω → R liên tục Ω C m (Ω) Không gian hàm u ∈ C0 (Ω) cho Di u ∈ C0 (Ω) với i = 1, 2, , m C m (Ω) Không gian hàm u ∈ C m (Ω) cho Di u bị chặn liên tục Ω ∞ m m =0 C ( Ω ) C ∞ (Ω) C0∞ (Ω) Không gian hàm u ∈ C ∞ (Ω) có giá compắc L p = L p (Ω) Không gian hàm đo Lebesgue u : Ω → R u p = Ω | u ( x )| p dx 1/p : C ([0,T ];X ) = max0≤t≤T u(t) X Λ J ( u0 ) J ( w ) ≤ J ( u0 ) Theo định nghĩa Λ J (u0 ) , ta ω (u0 ) ∩ N = ∅ Mặt khác, dist (0, N− ) > nên ta có ∈ / ω (u0 ) Và ω (u0 ) = ∅ Điều mâu thuẫn với Tmax = ∞ Vì u0 ∈ B Như hệ Định lý 2.14, ta có kết sau 49 Định lý 2.15 Giả sử p, q thỏa (H) q( x ) > max{2, p+ } với x ∈ Ω Giả sử thêm 1,p(·) (Ω) thỏa u0 ∈ W0 u0 2 ≥ q+ − 2p+ J ( u ) + |Ω| q− − p+ q− (2.4.13) Khi ta có u0 ∈ B 1,p(·) Chứng minh Trước hết ta chứng minh u0 ∈ N− Lấy u0 ∈ W0 (Ω) ta có đánh giá Ω |u0 |q(x) dx = ≥ Ω1 Ω1 |u0 |q(x) dx + | u0 | q+ dx + Ω2 |u0 |q(x) dx − Ω2 |u0 |q dx, (2.4.14) Ω1 = { x ∈ Ω : |u0 ( x )| ≤ 1} Ω2 = { x ∈ Ω : |u0 ( x )| > 1} Sử dụng Bất đẳng thức Holder Bất đẳng thức Young ta cú ỏnh giỏ ă | u0 | q q dx > q− ≥ q− − |u0 | dx − | Ω2 | Ω2 q+ − |u0 |2 dx − | Ω2 | Ω2 q+ dx > q− ≥ q+ − |u0 | dx − | Ω1 | , Ω1 q+ − 2 |u0 | dx − | Ω1 | Ω1 (2.4.15) Ω1 | u0 | q+ (2.4.16) Kết hợp (2.4.14)–(2.4.16) ta Ω |u0 |q(x) dx > q− Ω |u0 |2 dx − q+ − |Ω| (2.4.17) Từ (2.4.13), (2.4.17) định nghĩa J, ta suy Ω | u0 | q( x ) −1 dx > 1 − − + p q 1 − p+ q− −1 ≥ J ( u0 ) 1 − p+ q− Ω |∇u0 | p(x) dx + Bất đẳng thức cuối suy I (u0 ) < u0 ∈ N− 50 I ( u0 ) q− Tiếp theo ta chứng minh u0 ≥ Λ J (u0 ) Lấy u ∈ N J (u0 ) ta có u ∈ N J (u) ≤ J (u0 ) Khi ta có đánh giá I (u) + p+ 1 > − − + p q J ( u0 ) ≥ J ( u ) ≥ 1 − − |u|q(x) dx + p q Ω − q q+ − 2 |u| dx − |Ω| Ω Ở ta sử dụng I (u) = (2.4.17) với u0 thay u Từ đánh giá (2.4.13) ta suy u 2 ≤ q+ − 2p+ J u + ( ) | Ω | ≤ u0 q− − p+ q− với u ∈ N J (u0 ) Vì ta u0 2 ≥ Λ J (u0 ) Áp dụng Định lý 2.14 ta có điều phải chứng minh Sử dụng Định lý 2.15 ta lớp kiện đầu thuộc N− với lượng cao dẫn đến kết khơng tồn tồn cục Định lý 2.16 Với M > d tồn u M ∈ N− cho J (u M ) ≥ M u M ∈ B Chứng minh Giả sử Ω1 Ω2 hai tập rời Ω Ta chọn v ∈ 1,p(·) W0 1,p(·) (Ω1 ) ⊂ W0 αv L2 ( Ω ) (Ω) α > đủ lớn cho 2p+ q+ − ≥ − M+ |Ω| q − p+ q− 1,p(·) Tiếp theo chọn w ∈ W0 1,p(·) (Ω2 ) ⊂ W0 J (αv) ≤ (Ω) cho J (w) + J (αv) = M Khi đặt u M = w + αv ta J (u M ) = J (w) + J (αv) = M uM L2 ( Ω ) ≥ αv L2 ( Ω1 ) ≥ 2p+ q+ − J u + ( ) |Ω| M q− − p+ q− Áp dụng Định lý 2.15 ta suy u M ∈ N− ∩ B 51 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Trong đề tài sử dụng phương pháp giải tích hàm phi tuyến để khảo sát tốn biên–giá trị đầu cho phương trình tiến hóa p( x )Laplace:    ut − ∆ p( x) u = |u|q( x)−2 u, ( x, t) ∈ Q T ,   ( x, t) ∈ Γ T , u( x, t) = 0,     u( x, 0) = u ( x ), (2.4.18) x ∈ Ω Đề tài giải vấn đề đặt phần giới thiệu tổng quan, là: 1) Khi nghiệm toán khảo sát bên bùng nổ? Và có tượng bùng nổ xảy nghiệm bùng nổ thời gian hữu hạn hay ∞? 2) Khi nghiệm toán khảo sát bên tồn toàn cục? Trong trường hợp nghiệm tồn tồn cục dáng điệu nghiệm thời gian lớn? nghiệm tồn cục có tắt dần hay khơng? Cụ thể hơn, kết đạt tóm tắt sau: 1,p(·) • Tính chất tồn nghiệm địa phương u0 ∈ W0 ( Ω ), Định lý 2.4 • Trong trường hợp lượng đầu nhỏ J (u0 ) < d Nghiệm u(t) tốn (2.4.18) tồn tồn cục tắt dần w0 ∈ W , Định lý 2.10 Nghiệm tốn (2.4.18) khơng tồn tồn cục u0 ∈ U , Định lý 2.9 • Trong trường hợp lượng đầu cao J (u0 ) Chúng chứng minh Định lý 2.13 nói nghiệm tồn cục tốn tiến 52 nghiệm toán dừng thời gian lớn Tiếp theo chúng tơi chứng minh tính chất tắt dần nghiệm tồn cục tính bùng nổ nghiệm dựa vào giá trị biến phân λk Λk , Định lý 2.14 Cuối đưa hai đặc trưng cho tính chất bùng nổ nghiệm với lượng đầu tùy ý, Định lý 2.15 Định lý 2.16 Trên sở kết có, để kết thúc, chúng tơi nêu số vấn đề nghiên cứu mở rộng sau: Chặn chặn cho thời gian bùng nổ? Điểm bùng nổ, tức là, nghiệm bùng nổ đâu? Tốc độ bùng nổ nghiệm nào? Dáng điệu nghiệm thời gian bùng nổ? Có thể mở rộng nghiệm (theo nghĩa đó) sau thời gian bùng nổ hay khơng? Một số kết có liên quan đến vấn đề nêu cho lớp phương trình nhiệt tham khảo [11, 17, 62, 69] 53 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Acerbi, E., Mingione, G., Seregin, G (2004), "Regularity results for parabolic systems related to a class of non-Newtonian fluids", Ann Inst H Poincaré Anal Non Linéaire, 21 (01), 25–60 [2] Alkhutov, Y., Antontsev, S.N., Zhikov, V (2009), "Parabolic equations with variable order of nonlinearity", Collection of works of Institute of Mathematics NAS of Ukraine 6, 23–50 [3] Al’shin A.B., Korpusov M.O., Sveshnikov A.G (2011), Blow-up in nonlinear sobolev type equations, De Gruyter, Berlin [4] Antontsev, S., Chipot, M., Xie, Y (2007), "Uniqueness results for equations of the p( x )-Laplacian type", Adv Math Sci Appl., 17, 287–304 [5] Antontsev, S., Shmarev, S (2006), "Elliptic equations and systems with nonstandard growth conditions: Existence, uniqueness and localization properties of solutions", Nonlinear Anal., 65, 722–755 [6] Antontsev S., Shmarev S (2006), "Elliptic equations with anisotropic nonlinearity and nonstandard growth conditions", in: Handbook of Differential Equations, in: Stationary Partial Differential Equations, Elsevier, vol 3, Elsevier, 1–100 (Chapter 1) [7] Antontsev, S., Shmarev, S (2008), "Extinction of solutions of parabolic equations with variable anisotropic nonlinearities", Tr Mat Inst Steklova 261 Differ Uravn i Din Sist., 16–25 [8] Antontsev, S., Shmarev, S (2009), "Anisotropic parabolic equations with variable nonlinearity", Publ Mat., 53, 355–399 54 [9] Antontsev, S., Shmarev, S (2010), "Vanishing solutions of anisotropic parabolic equations with variable nonlinearity", J Math Anal Appl., 361, 371–391 [10] Antontsev, S., Shmarev, S (2010), "Blow-up of solutions to parabolic equations with nonstandard growth conditions", J Comput Appl Math., 234, 2633–2645 [11] Bandle C., Brunner H (1998), "Blowup in diffusion equations: A survey", J Comput Appl Math., 97(1–2), 3–22 [12] Brézis H (1973), Operateurs Maximaux Monotones et Semi-Groupes de Contractions dans les Espaces de Hilbert, 5, North-Holland, Amsterdam/New York [13] Caffarelli L.A., Friedman A (1985), "Differentiability of the blow-up curve for onedimensional nonlinear wave equations", Arch Ration Mech Anal., 91(1), 83–98 [14] Caffarelli L.A., Friedman A (1986), "The blow-up boundary for nonlinear wave equations", Trans Am Math Soc., 297(1), 223–241 [15] Chen, Y Levine, S Rao, M (2006), "Variable exponent, linear growth functionals in image restoration", SIAM J Appl Math., 66, 1383–1406 [16] Chen H., Luo P., Liu G (2015), "Global solution and blow-up of a semilinear heat equation with logarithmic nonlinearity", J Math Anal Appl., 422(1), 84–98 [17] Deng K., Levine H.A (2000), "The role of critical exponents in blow-up theorems: the sequel", J Math Anal Appl., 243(1), 85–126 [18] DiBenedetto E (1993), Degenerate Parabolic Equations, Springer-Verlag, New York [19] DiBenedetto E., Friedman A (1985), "Holder estimates for nonlinear deă generate parabolic systems", J Reine Angew Math., 1985(357), 1–22 55 [20] DiBenedetto E., Herrero M.A (1989), "On the Cauchy problem and initial trace for a degenerate parabolic equation", Trans Am Math Soc., 1989(314), 187–224 [21] Diening, L Ettwein, F Ruˇ ˚ ziˇcka, M (2007), "C1,α -regularity for electrorheological fluids in two dimensions", Nonlinear Differ Equ Appl., 14, 207217 [22] Diening, L Harjulehto, P Hăasto, ă P Ruˇ ˚ ziˇcka, M (2011) Lebesgue and Sobolev spaces with variable exponents Lecture Notes in Mathematics 2017, Springer-Verlag, Heidelberg [23] Edmunds, D.E Rákosník, J (2000), "Sobolev embeddings with variable exponent", Studia Math., 143, 267–293 [24] Edmunds, D.E Rákosník, J (2002), "Sobolev embeddings with variable exponent", Math Nachr., 246/247, 53–67 [25] Esquivel-Avila J.A (2003), "The dynamics of a nonlinear wave equation", J Math Anal Appl., 279(1), 135–150 [26] Ettwein, F Ruˇ ˚ ziˇcka, M (2007), "Existence of local strong solutions for motions of electrorheological fluids in three dimensions", Comput Math Appl., 53, 595–604 [27] Evans L.C (1998), Partial differential equations, Graduate Studies in Mathematics, 19, Amer Math Soc., Providence [28] Fan, X Shen, J Zhao, D (2001), "Sobolev embedding theorems for spaces W k,p( x) (Ω)", J Math Anal Appl., 262, 749–760 [29] Fila M (1992), "Boundedness of Global Solutions of Nonlinear Diffusion Equations", J Differ Equations, 98(2), 226–240 [30] Fila M., Filo J (1989), "A blow–up result for nonlinear diffusion equations", Math Slovaca, 39(3), 331–346 [31] Filo J (1987), "On solutions of a perturbed fast diffusion equation", Apl Mat., 32(5), 364–380 56 [32] Friedman A (1964), Partial differential equations of parabolic type, Prentice– Hall, Inc., Englewood Cliffs, New Jersey [33] Fujii A., Ohta M (1996), "Asymptotic behavior of blow-up solutions of a parabolic equation with p-Laplacian", Publ Res Inst Math Sci., 32(3), 503–515 [34] Fujita H (1966), "On the blowing up of solutions of the Cauchy problem for ut = ∆u + u1+α ", J Fac Sci Univ Tokyo Sect I., 13(2), 109–124 [35] Galaktionov V.A (1994), "Blow-up for quasilinear heat equations with critical Fujita’s exponents", Proc R Soc Edinb., Sect A, Math., 124(3), 517– 525 [36] Galaktionov V.A., Vazquez J.L (2002), "The problem of blow–up in nonlinear parabolic equations", Discrete Contin Dyn Syst., 8(2), 399–433 [37] Gazzola F (2004), "Finite-time blow-up and global solutions for some nonlinear parabolic equations", Differ Integral Equ., 17(9–10), 983–1012 [38] Gazzola F., Weth T (2005), "Finite time blow-up and global solutions for semilinear parabolic equations with initial data at high energy level", Differ Integral Equ., 18(9), 961–990 [39] Gazzola F., Squassina M (2006), "Global solutions and finite time blow up for damped semilinear wave equations", Ann Inst Henri Poincaré, Anal Non Linéaire, 23(2), 185–207 [40] Glassey R.T (1973), "Blow-up theorems for nonlinear wave equations", Math Z., 132(3), 183–203 [41] Glassey R.T (1981), "Finite-time blow-up for solutions of nonlinear wave equations", Math Z., 177(3), 323–340 [42] Guo, B., Li, Y., Gao, W (2015), "Singular phenomena of solutions for nonlinear diffusion equations involving p( x )-Laplace operator and nonlinear sources", Z Angew Math Phys., 66, 989–1005 57 [43] Han, Y (2016), "Long-Time Behavior of Solutions to a Class of Parabolic Equations with Nonstandard Growth Condition", Bull Malays Math Sci Soc., 39, 1183–1200 [44] Haraux, A (1978), "Comportement línfini pour une équation des ondes non linéaire dissipative", C R Acad Sci Paris Sér A., 287, 507–509 [45] Haraux, A (1978), Oscillations forcées pour certains systèmes dissipatifs non linéaires Publication du Laboratoire d’Analyse Numérique No 78010, Université Pierre et Marie Curie, Paris [46] Ikehata R., Suzuki T (1996), "Stable and unstable sets for evolution equations of parabolic and hyperbolic type", Hiroshima Math J., 26(3), 475–491 [47] Ishii H (1977), "Asymptotic stability and blowing up of solutions of some nonlinear equations", J Differ Equations, 26(2), 291–319 [48] John F (1979), "Blow-up of solutions of nonlinear wave equations in three space dimensions", Manuscr Math., 28(1–3), 235–268 [49] Kalashnikov A.S (1987), "Some problems of the qualitative theory of nonlinear degenerate second-order parabolic equations", Russ Math Surv., 42(2), 169–222 [50] Kaplan S (1963), "On the growth of solutions of quasilinear parabolic equations", Commun Pure Appl Math., 16(3), 305–330 [51] Kato T (1980), "Blow-up of solutions of some nonlinear hyperbolic equations", Commun Pure Appl Math., 33(4), 501–505 [52] Keller J.B (1957), "On solutions of nonlinear wave equations", Commun Pure Appl Math., 10(4), 523–530 [53] Kichenassamy S., Littman W (1993), "Blow-up surfaces for nonlinear wave equations, I", Commun Partial Differ Equations, 18(3–4), 431–452 [54] Kichenassamy S., Littman W (1993), "Blow-up surfaces for nonlinear wave equations, II", Commun Partial Differ Equations, 18(11), 1869–1899 58 [55] Komornik, V (1994), Exact Controllability and Stabilization, RAM: Research in Applied Mathematics Masson, Paris; John Wiley, Ltd., Chichester [56] Kováˇcik, O Rákosník, J (1991), "On spaces L p( x) and W k,p( x) ", Czechoslovak Math J., 41, 592–618 [57] Khelghati, A., Khadijeh, B (2015), "Blow-up in a semilinear parabolic problem with variable source under positive initial energy", Appl Anal., 94, 1888–1896 [58] Ladyzhenskaya O.A., Solonnikov V.A., Uraltseva N.N (1968), Linear and quasi-linear equations of parabolic type, Nauka, Moskow 1967; English transl., Transl Math Monogr., Vol 23, Amer Math Soc., Providence, RI 1968 [59] Le Cong Nhan, Quach Van Chuong, Le Xuan Truong, (2020), "Potential well method for p( x )-Laplacian equations with variable exponent sources", Nonlinear Analysis: Real World Applications, 56, 103–155 [60] Levine H.A (1973), "Some nonexistence and instability theorems for solutions of formally parabolic equations of the form Put = − Au + F (u)", Arch Ration Mech Anal., 51(5), 371–386 [61] Levine H.A (1974), "Instability and nonexistence of global solutions to nonlinear wave equations of the form Putt = − Au + F (u)", Trans Am Math Soc., 192, 1–21 [62] Levine H.A (1990), "The role of critical exponents in blow-up theorems", SIAM Rev., 32(2), 262–288 [63] Levine H.A., Sacks P.E (1984), "Some existence and nonexistence theorems for solutions of degenerate parabolic equations", J Differ Equations, 52(2), 135–161 [64] Levine H.A., Payne L.E (1976), "Nonexistence of global weak solutions of classes of nonlinear wave and parabolic equations", J Math Anal Appl., 55(2), 329–334 59 [65] Lions J.L (1969), Quelques Méthodes de Résolution des Problèmes aux Limites non Linéaires (in French), Dunod, Paris [66] Musielak, J (1983), "Orlicz spaces and modular spaces" Lecture Notes in Mathematics, vol.1034 Springer-Verlag, Berlin [67] Payne L.E., Sattinger D.H (1975), "Saddle points and instability of nonlinear hyperbolic equations", Isr J Math., 22(3–4), 273–303 [68] Pinasco, J.P (2009), "Blow-up for parabolic and hyperbolic problems with variable exponents", Nonlinear Anal Theory Methods Appl., 71 (3–4), 1094– 1099 [69] Quittner P., Souplet P (2007), Superlinear Parabolic Problems, Birkhăauser, Berlin [70] Raviart P.A (1970), "Sur la résolution de certaines équations paraboliques non linéaires", J Funct Anal., 5(2), 299–328 [71] Ruˇ ˚ ziˇcka, M (2000), Electrorheological Fluids: Modeling and Mathematical Theory, Lecture Notes in Mathematics, vol 1748 Springer, Berlin [72] Samarskii A.A., Galaktionov V.A., Kurdyumov S.P., Mikhailov A.P (1995), Blow-up in quasilinear parabolic equations, 19, De Gruyter, Berlin [73] Sattinger D.H (1968), "On global solution of nonlinear hyperbolic equations", Arch Ration Mech Anal., 30(2), 148–172 [74] Sideris T.C (1984), "Nonexistence of global solutions to semilinear wave equations in high dimensions", J Differ Equations, 52(3), 378–406 [75] Tsutsumi M (1972), "Existence and nonexistence of global solutions for nonlinear parabolic equations", Publ Res Inst Math Sci., 8(2), 211–229 [76] Liu Y., Zhao J (2006), "On potential wells and applications to semilinear hyperbolic equations and parabolic equations", Nonlinear Anal., Theory Methods Appl., 64(12), 2665–2687 60 [77] Wu, X (2016), "The blow-up of solutions for m-Laplacian equations with variable sources under positive initial energy", Comput Math Appl., 72, 2516–2524 [78] Wu X., Guo B., Gao W (2013), "Blow-up of solutions for a semilinear parabolic equation involving variable source and positive initial energy", Appl Math Letters, 26, 539–543 [79] Xu, R.Z., Su, J (2013), "Global existence and finite time blow-up for a class of semilinear pseudo-parabolic equations", J Funct Anal., 264, 2732–2763 [80] Zhou, J., Yang, D (2015), "Upper bound estimate for the blow-up time of an evolution m-Laplace equation involving variable source and positive initial energy", Comput Math Appl., 69, 1463–1469 61 S K L 0 ... cứu đề tài với tên gọi: Phương pháp vị cho phương trình parabolic với nguồn dạng lũy thừa chứa biến Để thu kết đề tài kết hợp sử dụng phương pháp giải tích hàm phi tuyến với phương pháp vị giới... phương trình p(·)-Laplace với nguồn dạng lũy thừa chứa số mũ biến Để thu kết đề tài kết hợp cách linh hoạt phương pháp giải tích hàm phi tuyến phương pháp vị (potential well method), phương pháp. .. CHÍ MINH BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI KH&CN CẤP TRƯỜNG TRỌNG ĐIỂM PHƯƠNG PHÁP THẾ VỊ CHO PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC VỚI NGUỒN DẠNG LŨY THỪA CHỨA BIẾN Mã số: T2020-68TĐ Chủ nhiệm đề tài: TS Lê Công Nhàn TP