Nửa nhóm số đối xứng và vành gorenstein

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH PHAN VĂN ANH NỬA NHÓM SỐ ĐỐI XỨNG VÀ VÀNH GORENSTEIN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An - 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH PHAN VĂN ANH NỬA NHÓM SỐ ĐỐI XỨNG VÀ VÀNH GORENSTEIN Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS TS NGUYỄN THỊ HỒNG LOAN Nghệ An - 2017 MỤC LỤC Mục lục Mở đầu Nửa nhóm số 1.1 Nửa nhóm số 1.2 Nửa nhóm số đối xứng 18 Nửa nhóm số đối xứng Vành Gorenstein 26 2.1 Vành Gorenstein 26 2.2 Vành nửa nhóm số số ví dụ vành Gorenstein 30 Kết luận 36 Tài liệu tham khảo 37 MỞ ĐẦU Cho H tập chứa tập hợp số tự nhiên N Giả sử H đóng kín phép cộng N \ H tập hợp hữu hạn H gọi nửa nhóm số Nếu a1 , , an số nguyên dương cho gcd(a1 , , an ) = tập hợp a1 , , an = {a1 λ1 + + an λn | λ1 , λn ∈ N} nửa nhóm số Ngược lại nửa nhóm số có dạng Giả sử H nửa nhóm số Vành nửa nhóm H , ký hiệu k[H], xác định sau k[H] = k[th | h ∈ H] ⊆ k[t], k trường t biến Như vành nửa nhóm số k[H] = k[ta1 , , tan ] vành vành đa thức k[t], đẳng cấu với vành thương vành đa thức k[t1 , , tn ]/IH , IH hạt nhân toàn cấu k -đại số φ : k[t1 , , tn ] → k[H], xác định φ(ti ) = tai với i = 1, , n Iđêan IH xác định gọi iđêan định nghĩa k[H] Giả sử H nửa nhóm số, số nguyên F (H), xác định F (H) := max(Z \ H) gọi số Frobenious nửa nhóm số H Một nửa nhóm số gọi đối xứng với x ∈ Z x ∈ H F (H) − x ∈ H Rõ ràng nửa nhóm số H đối xứng số Frobenious F (H) số lẻ Nửa nhóm số đối xứng lớp nửa nhóm số nghiên cứu nhiều lý thuyết nửa nhóm số Vì lớp nửa nhóm số có nhiều ứng dụng Đại số giao hốn Hình học đại số Một kết quan trọng mà nhờ nửa nhóm số đối xứng ý nhiều báo [4] Kunz, rằng: nửa nhóm số H đối xứng k[H] vành Gorenstein Kết sau Goto Wantanabe chứng minh lại theo cách khác [3] Kết cho phép nghiên cứu đặc trưng vành Gorenstein thơng qua nửa nhóm số đối xứng Điều làm cho việc nghiên cứu vành Gorenstein trở nên đơn giản Trong luận văn này, với mục tiêu trình bày chứng minh định lý nói Kunz [4], chúng tơi trình bày nửa nhóm số đối xứng, vành nửa nhóm số vành Gorenstein Chúng tơi đưa số ví dụ vành Gorenstein số ví dụ vành khơng Gorenstein nhờ sử dụng kết nói Nội dung luận văn viết dựa vào [2], [3], [4], [5] [6] Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, nội dung luận văn chia thành hai chương Chương Nửa nhóm số 1.1 Nửa nhóm số 1.2 Nửa nhóm số đối xứng Chương Vành nửa nhóm số vành Gorenstein 2.1 Vành Gorenstein 2.2 Vành nửa nhóm số Luận văn hồn thành Trường Đại học Vinh hướng dẫn PGS TS Nguyễn Thị Hồng Loan Tác giả xin bày tỏ lời cảm ơn sâu sắc đến cô, người tận tình hướng dẫn, dạy dỗ, động viên tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập thực luận văn Nhân dịp này, tác giả xin trân trọng cảm ơn thầy cô giáo Bộ môn Đại số, thầy giáo nghành Tốn, Viện Sư Phạm Tự Nhiên trường Đại học Vinh trực tiếp giảng dạy lớp Cao học 23 chuyên ngành Đại số Lý thuyết số trường Đại học Vinh Tác giả xin cảm ơn Ban lãnh đạo Viện Sư Phạm Tự Nhiên, Phòng Đào tạo Sau đại học, Ban Giám hiệu Trường Đại học Vinh tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập Trường Trân trọng! Nghệ An, tháng 07 năm 2017 Tác giả CHƯƠNG NỬA NHĨM SỐ 1.1 Nửa nhóm số Tập hợp S gọi nửa nhóm trang bị phép tốn có tính chất kết hợp Tập hợp số tự nhiên N với phép cộng nửa nhóm Tập hợp H = ∅ tập N khép kín phép cộng H nửa nhóm N Trong số nửa nhóm N có lớp nửa nhóm đặc biệt gọi nửa nhóm số 1.1.1 Định nghĩa Cho H tập chứa tập hợp số tự nhiên N Giả sử H đóng kín với phép cộng N \ H hữu hạn H gọi nửa nhóm số Cho A tập khác rỗng N \ {0} Một nửa nhóm nhỏ N (theo quan hệ bao hàm) chứa A gọi nửa nhóm sinh A, kí hiệu A xác định bởi: A = {λ1 a1 + + λn an |λ1 , , λn ∈ N; a1 , , an ∈ A} A gọi hệ sinh nửa nhóm A 1.1.2 Mệnh đề Mỗi nửa nhóm số tồn hệ sinh tối thiểu hữu hạn Như vậy, nửa nhóm số nửa nhóm hữu hạn sinh.Trong luận văn, khơng nói thêm chúng tơi ln giả thiết hệ sinh nửa nhóm số hệ sinh tối thiểu Cho A tập khác rỗng N Định lý sau cho thấy nhóm N sinh A nửa nhóm số ước chung lớn phần tử A 1.1.3 Định lý Cho A tập khác rỗng N \ {0} Khi đó, A nửa nhóm số gcd(A) = Chứng minh Đặt d = gcd(A) Rõ ràng s ∈ A d | s Do A nửa nhóm số nên N \ A tập hữu hạn tồn số nguyên dương x cho d | x d | (x + 1) Suy d = Ngược lại, ta cần chứng minh N \ A tập hợp hữu hạn Thật vậy, = gcd(A) nên tồn số nguyên z1 , z2 , , zn a1 , a2 , , an ∈ A cho z1 a1 + z2 a2 + + zn an = Bằng cách chuyển zi sang vế phải, ta tìm i1 , , ik , j1 , , jl ∈ 1, , n cho zi1 ai1 + + zik aik = − zj1 aj1 − − zjl ajl Do tồn s ∈ A cho s + thuộc A Chúng ta chứng minh n ≥ (s − 1)s + (s − 1) n ∈ A Thật vậy, lấy q r số nguyên cho n = qs + r với ≤ r < s Do n ≥ (s − 1)s + (s − 1) ta suy q ≥ s − ≥ r Vì vậy, n = (rs + r) + (q − r)s = r(s + 1) + (q − r)s ∈ A 1.1.4 Tập Apéry nửa nhóm số Một cơng cụ tốt để nghiên cứu nửa nhóm số nói chung nửa nhóm số đối xứng nói riêng tập Apéry, định nghĩa sau: Cho H nửa nhóm số n ∈ H \ {0} Tập hợp xác định bởi: Ap(H, n) = {h ∈ H|h − n ∈ / H} gọi tập Apéry n H Mệnh đề sau cho ta cách tìm tập Apéry nửa nhóm số 1.1.5 Mệnh đề Cho H nửa nhóm số n ∈ H \ {0} Khi ta có: Ap(H, n) = {0 = w(0), w(1), , w(n − 1)} w(i) số nhỏ H cho w(i) ≡ i(modn), ∀i ∈ {0, 1, , n − 1} Chứng minh Rõ ràng, với i ∈ 1, 2, , n − tập hợp {i + kn | k ∈ N} số tự nhiên đồng dư với i theo môđun n tập hợp vơ hạn Vì tập hợp N \ H hữu hạn nên tồn k ∈ N cho i + kn ∈ H Gọi w(i) số nhỏ thuộc S có dạng i + kn, nghĩa là, w(i) số nhỏ thuộc H đồng dư với i theo mơđun n Khi rõ ràng w(i) − n ∈ / H w(i) − n = i + kn − n = i + (k − 1)n < w(i) Vậy w(i) ∈ Ap(H, n) với i ∈ 1, 2, , n − Do Ap(H, n) ⊇ = w(0), w(1), , w(n − 1) Ngược lại, giả sử x ∈ Ap(H, n) Khi x ∈ H x − n ∈ / H Do x ∈ = w(0), w(1), , w(n − 1) Suy Ap(H, n) ⊆ = w(0), w(1), , w(n − 1) Vì Ap(H, n) = = w(0), w(1), , w(n − 1) 10 Từ Mệnh đề 1.1.5 ta suy Ap(H, n) hệ thặng dư đầy đủ modn Vì từ lớp thặng dư mod n ta trích số nguyên nhỏ thuộc H Như vậy, tập Apéry phần tử n nửa nhóm số H có n phần tử 1.1.6 Ví dụ Cho nửa nhóm số H = 5, 7, = {0, 5, 7, 9, 10, 12, 14 →} (trong kí hiệu → nghĩa số tự nhiên liên tiếp 14) Ta tính Ap(H, 5) = {0, 7, 9, 16, 18}, Ap(H, 7) = {0, 5, 9, 10, 15, 18, 20} 1.1.7 Chiều nhúng số bội nửa nhóm số Cho H nửa nhóm số với hệ sinh tối thiểu A = {a1 , , ae } thỏa mãn a1 < a2 < < ae Giá trị e gọi chiều nhúng H kí hiệu e(H ) giá trị a1 gọi số bội H kí hiệu m(H ) Mệnh đề sau cho ta thấy mối quan hệ số bội chiều nhúng nửa nhóm số Ở chúng tơi trình bày chứng minh theo cách khác với cách chứng minh mệnh đề [6] 1.1.8 Mệnh đề Cho nửa nhóm số H , ta có: e(H) ≤ m(H) Chứng minh Nếu e(H) = H = N Vì m(N) = nên e(H) = m(H ) Nếu e(H) ≥ H có hệ sinh tối thiểu A = {a1 , , an } xếp theo thứ tự tăng dần Khi đó, e(H) = n m(H) = a1 Giả sử n > a1 , tồn tập A hai số < aj cho ≡ aj (mod a1 ) Điều có nghĩa tồn số nguyên dương k cho aj = k.a1 + , suy A hệ sinh tối thiểu H (mâu thuẫn với giả thiết) từ ta có điều phải chứng minh 23 Do đó, Ap(H, n) = {0, a2 , a3 − k3 n, , an − kn n}, ki ∈ N, i ∈ {3, 4, , n} Nếu H nửa nhóm số đối xứng, theo Định lý 1.2.2 Maximals≤H Ap(H, n)} = {an − kn n} ⇒ an − kn n − a2 ∈ H Do < an − kn n − a2 < an nên n−1 an − kn n − a2 = λi , λi ∈ N i=1 n−1 ⇒ an = kn n + a2 + λi , λi ∈ N i=1 n−1 ⇒ an = λi , λi ∈ N i=1 Điều mâu thuẫn với giả thiết a1 = n < a2 < < an , H khơng đối xứng 1.2.5 Hệ Cho số nguyên dương a, b > cho gcd(3, a, b) = Khi nửa nhóm số H = 3, a, b không đối xứng 1.2.6 Hệ Cho số nguyên dương a, với a ≥ Khi nửa nhóm số H = a, a + 1, , 2a − nửa nhóm số đối xứng 1.2.7 Hệ Nếu nửa nhóm số H đối xứng e(H) < m(H) 1.2.8 Mệnh đề Cho số nguyên dương a, a ≥ Khi đó, nửa nhóm số H = a, a + 1, , 2a − nửa nhóm số đối xứng 24 Chứng minh Ta có Ap(H, a) = {0, a + 1, , 2a − 2, 3a − 1}, xét hiệu 3a − − (a + i) = a + (a − − i) ∈ Ap(H, a), ∀i ∈ {1, 2, , a − 2} ⇒ (a + i) ≤H (3a − 1), ∀i ∈ {1, 2, , a − 2} ⇒ Maximals≤H Ap(H, a) = {3a − 1} Theo Định lý 1.2.2, H nửa nhóm số đối xứng Trong trường hợp nửa nhóm số sinh phần tử, kết sau chứng minh J Herzog năm 1970, S Goto, K Watanabe [3] R Froberg, C Gottlieb, R Haggkvist năm 1987 Không dựa vào tài liệu tham khảo, chúng tơi trình bày chứng minh (1) ⇒ (2) Chiều ngược lại chưa chứng minh được, chứng minh điều xem tài liệu nói 1.2.9 Mệnh đề Cho nửa nhóm số H = a, b, c Các phát biểu sau tương đương: (1) H nửa nhóm số đối xứng; (2) Bằng cách thay đổi thứ tự cần thiết ta viết a = a d, b = b d, d = gcd(a, b) > 1, c ∈ T = a , b , với c = a , b Chứng minh (⇐) Theo Mệnh đề 1.1.13 ta có Ap(H, c) = d.(Ap(T, c)) Xét tập hợp Ap(H, c) = {w0 = 0, w1 , , wc−1 }, w0 = < w1 < < wc−1 Ap(T, c) = {w0 = 0, w1 , , wc−1 }, 25 w0 = < w1 < < wc−1 , wi = dwi , ∀i ∈ {0, 1, , c − 1} Theo Mệnh đề 1.2.3 T đối xứng, theo Định lý 1.2.2 ta có wi + wc−i−1 = wc−1 , ∀i ∈ {0, 1, , c − 1} ⇒ dwi + dwc−i−1 = dwc−1 , ∀i ∈ {0, 1, , c − 1} ⇒ wi + wc−i−1 = wc−1 , ∀i ∈ {0, 1, , c − 1}, H đối xứng (⇒) Xem tài liệu Từ mệnh đề ta có hệ sau 1.2.10 Hệ Cho H = a, b, c nửa nhóm số Nếu a, b, c nguyên tố đôi H khơng phải nửa nhóm số đối xứng 1.2.11 Ví dụ 1) Xét nửa nhóm số H = 6, 8, 25 ta có: gcd(6, 8) = 2; = 2.3, = 2.4 25 = 3.3 + 4.4 nên 25 ∈ T = 3, Theo Mệnh đề 1.2.9 H nửa nhóm số đối xứng 2) Cho H = 2015, 2016, 2017 nửa nhóm số, số 2015, 2016, 2017 nguyên tố đôi nên theo Hệ 1.2.10 H khơng phải nửa nhóm số đối xứng 26 CHƯƠNG NỬA NHÓM SỐ ĐỐI XỨNG VÀ VÀNH GORENSTEIN Trong Đại số giao hoán, vành Gorenstein địa phương vành giao hoán địa phương Noether R cho chiều nội xạ R xét R-môđun hữu hạn Trong trường hợp vành R khơng thiết địa phương R gọi vành Gorenstein vành địa phương hóa Rp vành Gorenstein địa phương với iđêan nguyên tố p vành R Khái niệm vành Gorenstein đưa Grothendick xemina Ông từ năm 1961 Tên gọi xuất phát từ tính chất đối ngẫu đường cong kỳ dị nghiên cứu Gorenstein năm 1952 Thực chất trường hợp chiều không nghiên cứu Macaulay năm 1934 Serre (năm 1961) Bass (năm 1964) công bố khái niệm vành Gorenstein Chương trình bày chủ yếu dựa vào [2] Trong chương này, giới thiệu khái niệm vành Gorenstein, vành nửa nhóm số đặc biệt kết Kunz [4] mối quan hệ vành Gorenstein nửa nhóm số đối xứng 2.1 Vành Gorenstein Trước tìm hiểu vành Gorenstein, nhắc lại số khái niệm liên quan Trong chương này, ta giả thiết R vành giao hốn có đơn vị 2.1.1 Giải nội xạ môđun 27 Cho M R-môđun Một dãy khớp R-môđun dạng α ∂ ∂ ∂ 0 → M −→ F0 − → F1 − → F2 − → (∗) F0 , F1 , F2 , môđun nội xạ gọi giải nội xạ M 2.1.2 Định lý Mọi môđun có giải nội xạ Chứng minh Vì R-mơđun đẳng cấu với môđun môđun nội xạ R nên tồn môđun nội xạ F0 môđun A0 ⊆ F0 cho A0 ∼ = M Đặt X0 = F0 /A0 ta có dãy khớp ngắn R-mơđun: β0 α 0 → M −→ F0 − → X0 → (1) Lại X0 = F0 /A0 R-mơđun Tương tự tồn môđun nội xạ F1 mơđun thương X1 F1 cho có dãy khớp ngắn β1 α → X0 −→ F1 − → X1 → Bằng phương pháp quy nạp ta thu dãy khớp ngắn α βn n → Xn−1 −→ F1 −→ Xn → (2) với n > Fn môđun nội xạ Xn Bây ta lập dãy sau α ∂ ∂ ∂ ∂n−1 ∂ 0 n → M −→ F0 − → F1 − → F2 − → −−→ Fn −→ (3) Fn mơđun nội xạ xây dựng trên, ∂n = αn+1 βn , ∀n ≥ Để chứng minh (3) giải nội xạ M ta cần chứng minh dãy khớp Thật vậy, xét F0 , ta có Ker∂0 = Ker(α1 β0 ) = Kerβ0 (vì 28 α1 đơn cấu), lại (1) khớp nên Imα0 = Kerβ0 nên Imα0 = Ker∂0 khớp F0 Xét Fn , ∀n ≥ 1, ta có Im∂n−1 = Im(αn βn−1 ) = Imαn (do βn−1 tồn cấu) Ta lại có (2) khớp nên Imαn = Kerβn , mà Ker∂n = Ker(αn+1 βn ) = Kerβn (do αn+1 đơn cấu) Suy Im∂n−1 = Ker∂n , ∀n ≥ Vậy dãy khớp Fn , ∀n ≥ Vậy (3) dãy khớp Do dãy α ∂ ∂ ∂n−1 ∂ ∂ 0 n → M −→ F0 − → F1 − → F2 − → −−→ Fn −→ giải nội xạ môđun M Trên cách xây dựng giải nội xạ môđun M 2.1.3 Chiều nội xạ môđun Giải nội xạ α ∂ ∂ ∂ 0 → M −→ F0 − → F1 − → F2 − → môđun M thỏa mãn Imα0 môđun cốt yếu F0 Im∂i−1 môđun cốt yếu Fi với i ≥ gọi giải nội xạ tối tiểu mơđun M Mỗi mơđun có giải nội xạ tối tiểu, giải nội xạ tối tiểu môđun sai khác đẳng cấu Độ dài giải nội xạ tối tiểu R-môđun M gọi chiều nội xạ M , ký hiệu idR M 2.1.4 Định nghĩa (i) Cho R vành địa phương Noether R gọi vành Gorenstein idR R < ∞, nghĩa chiều nội xạ R xét R-môđun hữu hạn (ii) Cho R vành Noether (không thiết vành địa phương), R gọi vành Gorenstein Rp vành Gorenstein địa phương với iđêan nguyên tố p vành R 29 Cho R vành Khi xích iđêan ngun tố vành R dãy hữu hạn tăng thực iđêan nguyên tố R có dạng p0 ⊂ p1 ⊂ ⊂ pn , pi = pi−1 , ∀i = 1, , n Số nguyên n gọi độ dài xích Chiều Krull vành R cận tất độ dài xích iđêan nguyên tố vành R kí hiệu dim R Vành Cohen-Macaulay lớp vành quen thuộc Đại số giao hoán, chẳng hạn vành đa thức n biến với hệ tử trường vành CohenMacaulay Mệnh đề sau cho ta thấy mối quan hệ lớp vành Gorenstein lớp vành Cohen-Macaulay 2.1.5 Mệnh đề Nếu R vành Gorenstein R vành CohenMacaulay idR R = dimR Đối với lớp vành Đại số giao hốn ta có mối quan hệ sau: Vành catenary phổ dụng ⊃ Vành Cohen- Macaulay ⊃ Vành Gorenstein ⊃ ⊃ Vành giao đầy đủ ⊃ Vành quy Cho R vành Cohen-Macaulay có dimR = d Khi số nguyên r(R) = d R (ExtR (R/m, R)) gọi kiểu vành R Đặc biệt trường hợp R có chiều r(R) = R (ExtR (R/m, R)) = R (Hom(R/m, R)) = Theo Mệnh đề 2.1.5, vành Gorenstein vành Cohen-Macaulay Vấn đề đặt với điều kiện vành Cohen-Macaulay vành Gorenstein Định lý sau trả lời câu hỏi 30 2.1.6 Định lý Cho R vành Noether địa phương Khi đó, R Gorenstein R vành Cohen-Macaulay với r(R) = Theo Định lý 2.1.6, để chứng minh R vành Gorenstein trước hết ta phải chứng minh vành Cohen-Macaulay, sau ta chứng minh kiểu Điều khó khăn Mục thấy chứng minh vành Gorenstein nhờ sử dụng công cụ nửa nhóm số đối xứng 2.2 Vành nửa nhóm số số ví dụ vành Gorenstein 2.2.1 Định nghĩa Cho H nửa nhóm số Vành nửa nhóm H , ký hiệu k[H], xác định sau k[H] = k[th | h ∈ H], k trường t biến Như vành nửa nhóm số k[H] có tính chất sau: • k[H] vành vành đa thức biến k[t] kta = { • k[H] = a∈H cn tn ∈ k[t] | cn = n ∈ N \ H} n≥0 • Giả sử {a1 , a2 , , an } hệ sinh tối tiểu nửa nhóm số H Khi k[H] = k[ta1 , ta2 , , tan ] • k[H] ∼ = k[t1 , t2 , , tn ]/IH IH hạt nhân tồn cấu k−đại số φ : k[t1 , t2 , , tn ] −→ k[H], ti −→ tai , ∀i ∈ {1, 2, , n} IH gọi iđêan định nghĩa k[H] 31 • Vì k[H] vành thương vành đa thức với hệ tử trường mà vành đa thức với hệ tử trường vành Noether nên k[H] vành Noether • k[H] miền nguyên Cohen-Macaulay chiều Một câu hỏi đặt k[H] vành Gorenstein? Câu hỏi trả lời [4] Phần trình bày chứng minh kết [4] Trước hết, ta tìm hiểu số tính chất vành k[H] Đặt R = k[H] Người ta thường xem vành k[H] vành Z-phân bậc theo phân bậc tự nhiên R = ⊕ Rn , n∈Z Rn = ktn n ∈ H, n ∈ / H Khi k[H] có iđêan cực đại m = (ta1 , ta2 , , tan ) Với R = k[H] m = R+ , xét dãy khớp ngắn R−môđun phân bậc: (E) : → R → k[t, t−1 ] → k[t, t−1 ]/R → Từ dãy khớp ngắn (E) ta nhận dãy khớp dài môđun đối đồng điều địa phương: → Hmi (R) → Hmi (k[t, t−1 ]) → Hmi (k[t, t−1 ]/R) → Hmi+1 (R) → Với phần tử < a ∈ H phần tử ta ∈ m tác động lên R-mơđun k[t, t−1 ] đẳng cấu Hmi (k[t, t−1 ]) = với i ∈ Z Do từ dãy khớp dài ta có đẳng cấu R−mơđun phân bậc Hm1 (R) ∼ = Hm0 (k[t, t−1 ]/R) = k[t, t−1 ]/R Vì vậy, Rp vành địa phương quy với p ∈ SpecR \ {m} Rp = k[t, t−1 ]p mà AssR k[t, t−1 ]/R = {m} Từ điều ta có phát biểu sau 32 2.2.2 Bổ đề Các mệnh đề sau tương đương: (1) R vành Gorenstein; (2) Rm vành Gorenstein địa phương 2.2.3 Bổ đề Với ký hiệu ta có r(Rm ) = {n ∈ Z \ H | n + a ∈ H, với < a ∈ H} Từ suy ra, R vành Gorenstein {n ∈ Z \ H | n + a ∈ H, với < a ∈ H} = {F(H)} Chứng minh Trước hết, Rm vành Cohen-Macaulay địa phương có chiều Hm1 Rm (Rm ) = Rm ⊗R Hm1 (R) ∼ = Hm1 (R), nên ta có r(Rm ) = dimRm /mRm HomRm (Rm /mRm , Hm1 Rm (Rm )) = dimR/m HomR (R/m, Hm1 (R)) = dimk [(0) :k[t,t−1 ]/R m] Mặt khác, dimk [(0) :k[t,t−1 ]/R m] = {n ∈ Z \ H | n + a ∈ H, với < a ∈ H} nên ta suy r(Rm ) = {n ∈ Z \ H | n + a ∈ H, với < a ∈ H} Theo Bổ đề 2.2.2, R vành Gorenstein Rm vành Gorenstein địa phương Do Rm vành Cohen-Macaulay nên theo Mệnh đề 2.1.6, Rm vành Gorenstein địa phương r(Rm ) = Chú ý rằng, {n ∈ Z \ H | n + a ∈ H, với < a ∈ H} tập hợp số giả Frobenius H Do ta suy kiểu Rm kiểu H , nghĩa r(Rm ) = t(H) = Điều tương đương với điều kiện H nửa nhóm đối xứng theo Định lý 1.2.2 33 Sau kết báo [4] Kunz, nhờ mà nửa nhóm số đối xứng ý nhiều Kết sau Goto Wantanabe chứng minh lại theo cách khác [3] Nó cho phép nghiên cứu đặc trưng vành Gorenstein thơng qua nửa nhóm số đối xứng Điều làm cho việc nghiên cứu vành Gorenstein trở nên đơn giản Hơn nữa, từ kết cho phép lấy nhiều ví dụ vành Gorenstein vành có phải Gorenstein hay không 2.2.4 Định lý k[H] vành Gorenstein H nửa nhóm số đối xứng Chứng minh Suy từ Định lý 1.2.2 Bổ đề 2.2.3 Từ Định lý 2.2.4 ta có hệ sau ví dụ vành Gorenstein vành không Gorenstein 2.2.5 Hệ Vành nửa nhóm số sinh hai phần tử vành Gorenstein Chứng minh Suy từ Mệnh đề 1.2.3 Định lý 2.2.4 2.2.6 Hệ Cho nửa nhóm số H = 3, a, b , < a < b Khi vành nửa nhóm k[H] khơng phải vành Gorenstein Chứng minh Ta thấy H nửa nhóm số có chiều nhúng tối đại chiều nhúng lớn 2, theo Mệnh đề 1.2.4 ta suy H nửa nhóm số đối xứng Theo Định lý 2.2.4 k[H] khơng phải vành Gorenstein 2.2.7 Mệnh đề Cho nửa nhóm số H = p, q, r , p, q, r số nguyên tố Khi vành nửa nhóm k[H] khơng phải vành Gorenstein Chứng minh Vì p, q, r số nguyên tố nên chúng số nguyên tố đơi Theo Hệ 1.2.10 H khơng phải nửa 34 nhóm số đối xứng theo Định lý 2.2.4 k[H] vành Gorenstein 2.2.8 Hệ Cho nửa nhóm số H = a, a + 1, a + với a ≥ số nguyên dương lẻ Khi vành nửa nhóm k[H] khơng phải vành Gorenstein Chứng minh Trước hết ta ln có gcd(a, a + 1) = gcd(a + 1, a + 2) = Giả sử gcd(a, a + 2) = d > 1, a + − a = d, d > nên d = hay a số chẵn, điều mâu thuẫn với giả thiết Từ ta suy gcd(a, a + 2) = Theo Hệ 1.2.10 H khơng phải nửa nhóm đối xứng, theo Định lý 2.2.4 k[H] khơng phải vành Gorenstein 2.2.9 Hệ Cho nửa nhóm số H = a, a + 1, a + với a ≥ số nguyên dương chẵn Khi vành nửa nhóm k[H] vành Gorenstein Chứng minh Vì a số nguyên dương chẵn nên a + số nguyên dương chẵn a = 2x; a + = 2(x + 1.) Mặt khác, a + = x + (x + 1) ⇒ a + ∈ T = x, x + Theo Mệnh đề 1.2.9 H nửa nhóm đối xứng Do đó, theo Định lý 2.2.4 k[H] vành Gorenstein 2.2.10 Hệ Cho nửa nhóm số H = a, a + 1, , 2a − , a ≥ số nguyên dương Khi vành nửa nhóm k[H] vành Gorenstein Chứng minh Do H nửa nhóm số có chiều nhúng tối đại, chiều nhúng a ≥ nên theo Mệnh đề 1.2.4, H khơng phải nửa nhóm số đối xứng Do đó, theo Định lý 2.2.4 k[H] vành Gorenstein 2.2.11 Hệ Cho nửa nhóm số H = a, a + 1, , 2a − , a ≥ số nguyên dương Khi vành nửa nhóm k[H] vành Gorenstein 35 Chứng minh Theo Mệnh đề 1.2.8 H nửa nhóm số đối xứng Do đó, theo Định lý 2.2.4 k[H] vành Gorenstein 2.2.12 Hệ Cho số nguyên dương a ≥ 3, b ≥ cho gcd(a, b) = d, a = dx, b = dy Vành nửa nhóm số H = a, b, mx + ny ; m, n ∈ N vành Gorenstein Chứng minh Xét T = x, y nửa nhóm số, phần tử c = mx + ny ∈ T Theo Mệnh đề 1.2.9 H nửa nhóm đối xứng Do đó, theo Định lý 2.2.4 k[H] vành Gorenstein 36 KẾT LUẬN Nội dung luận văn tìm hiểu đặc trưng vành Gorenstein thơng qua nửa nhóm số Luận văn trình bày nửa nhóm số, đặc biệt nửa nhóm số đối xứng, khái niệm vành Gorenstein, vành nửa nhóm số, kết Kunz [4] đặc trưng vành Gorenstein thơng qua nửa nhóm số đối xứng Từ xây dựng lớp vành Gorenstein lớp vành khơng Gorenstein Cụ thể chúng tơi trình bày nội dung sau Một số tính chất đặc trưng nửa nhóm số Một số tính chất đặc trưng nửa nhóm số đối xứng Khái niệm vành Gorenstein Khái niệm vành nửa nhóm số Trình bày chứng minh kết Kunz [4] về đặc trưng vành Gorenstein thơng qua nửa nhóm số đối xứng Xây dựng lớp vành Gorenstein lớp vành khơng Gorenstein Trong luận văn, có số kết tác giả tự chứng minh mà không dựa vào tài liệu tham khảo Mệnh đề 1.1.8, Mệnh đề 1.1.19, Định lý 1.2.1, Mệnh đề 1.1.2, Mệnh đề 1.2.4, Mệnh đề 1.2.9, số kết tác giả đề xuất Mệnh đề 1.2.4, Hệ 2.2.7, Hệ 2.2.8, Hệ 2.2.9, Hệ 2.2.12 37 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] M F Atiyah and I G Macdonald (1969), Introduction to commutative Algebra, Reading, Mass [2] S Goto (2016), Homological methods in commutative algebra, Graduate lecture series, Vietnam academy of science and technology institute of mathematics [3] S Goto and K Watanabe (1978), On graded rings I, J Math Soc Japan, 30, no 2, 179-213 [4] E Kunz (1970), The value-semigroup of a one-dimensional Gorenstein ring, Proc Amer Math Soc 25 , 748–751 [5] T Numata (2015), Almost symmetric nummerical semigroup with small number of generator, Ph D thesis at Graduate School of Integrated Basic Science, Nihon University [6] J.C Rosales, P.A García- Sánchez (2009), Numerical semigroups, Development in mathematics, Vol 20, Springer ... văn chia thành hai chương Chương Nửa nhóm số 1.1 Nửa nhóm số 1.2 Nửa nhóm số đối xứng Chương Vành nửa nhóm số vành Gorenstein 2.1 Vành Gorenstein 2.2 Vành nửa nhóm số Luận văn hồn thành Trường Đại... đặc trưng vành Gorenstein thơng qua nửa nhóm số Luận văn trình bày nửa nhóm số, đặc biệt nửa nhóm số đối xứng, khái niệm vành Gorenstein, vành nửa nhóm số, kết Kunz [4] đặc trưng vành Gorenstein. .. H nửa nhóm số đối xứng 2) Cho H = 2015, 2016, 2017 nửa nhóm số, số 2015, 2016, 2017 nguyên tố đôi nên theo Hệ 1.2.10 H khơng phải nửa nhóm số đối xứng 26 CHƯƠNG NỬA NHÓM SỐ ĐỐI XỨNG VÀ VÀNH GORENSTEIN