Nữa nhóm số bất khả quy

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH LƯƠNG HỮU THANH NỬA NHÓM SỐ BẤT KHẢ QUY LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An - 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH LƯƠNG HỮU THANH NỬA NHÓM SỐ BẤT KHẢ QUY Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS TS NGUYỄN THỊ HỒNG LOAN Nghệ An - 2017 MỤC LỤC Mục lục Mở đầu Nửa nhóm số đối xứng nửa nhóm số giả đối xứng 1.1 Nửa nhóm số đối xứng nửa nhóm số giả đối xứng 1.2 Xây dựng nửa nhóm số đối xứng nửa nhóm số giả đối xứng với bội chiều nhúng cho trước 15 Phân tích nửa nhóm số thành giao nửa nhóm số bất khả quy 24 2.1 Mở rộng đơn nửa nhóm số 24 2.2 Phân tích nửa nhóm số thành giao nửa nhóm số bất khả quy 29 Kết luận 34 Tài liệu tham khảo 35 MỞ ĐẦU Cho S tập chứa tập hợp số tự nhiên N Giả sử S đóng kín phép cộng N \ S tập hợp hữu hạn S gọi nửa nhóm số Nếu n1 , , ne số nguyên dương cho gcd(n1 , , ne ) = tập hợp n1 , , ne = {n1 λ1 + + ne λe | λ1 , , λe ∈ N} nửa nhóm số Ngược lại, nửa nhóm số có dạng Một nửa nhóm số gọi bất khả quy khơng phân tích thành giao hai nửa nhóm số thực chứa Một nửa nhóm số bất khả quy S gọi đối xứng số Frobenius F(S) số lẻ; gọi giả đối xứng số Frobenius F(S) số chẵn Nửa nhóm số đối xứng lớp nửa nhóm số nghiên cứu nhiều lý thuyết nửa nhóm số, lớp nửa nhóm số có nhiều ứng dụng Đại số giao hốn Hình học đại số Trong [4], J.C Rosales, P.A García- Sán chez viết nửa nhóm số cách hồn chỉnh nhờ tổng hợp hệ thống hóa báo viết nửa nhóm số trước Nội dung luận văn trình bày kiến thức Chương [4] Cụ thể chúng tơi trình bày về số tính chất nửa nhóm số bất khả quy, phân tích nửa nhóm số thành giao hữu hạn nửa nhóm số bất khả quy Đặc biệt chúng tơi trình bày hai lớp nửa nhóm số bất khả quy đặc biệt nói trên, nửa nhóm số đối xứng nửa nhóm số giả đối xứng Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, nội dung luận văn chia thành hai chương Chương Nửa nhóm số đối xứng nửa nhóm số giả đối xứng 1.1 Nửa nhóm số đối xứng nửa nhóm số giả đối xứng 1.2 Xây dựng nửa nhóm số đối xứng nửa nhóm số giả đối xứng với bội chiều nhúng cho trước Chương Phân tích nửa nhóm số thành giao nửa nhóm số bất khả quy 2.1 Mở rộng nửa nhóm số 2.2 Phân tích nửa nhóm số thành giao nửa nhóm số bất khả quy Luận văn hồn thành Trường Đại học Vinh hướng dẫn PGS TS Nguyễn Thị Hồng Loan Tác giả xin bày tỏ lời cảm ơn sâu sắc đến Cô, người tận tình hướng dẫn, dạy dỗ, động viên tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập thực luận văn Nhân dịp này, tác giả xin trân trọng cảm ơn thầy cô giáo Bộ môn Đại số, thầy giáo Khoa Sư phạm Tốn trường Đại học Vinh trực tiếp giảng dạy lớp Cao học 23 chuyên ngành Đại số Lý thuyết số trường Đại học Vinh Tác giả xin cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Sư phạm Tốn học, Phịng Đào tạo Sau đại học, Ban Giám hiệu - Trường Đại học Vinh tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập Trường Trân trọng! Nghệ An, tháng 07 năm 2017 Tác giả CHƯƠNG NỬA NHÓM SỐ ĐỐI XỨNG VÀ NỬA NHÓM SỐ GIẢ ĐỐI XỨNG 1.1 Nửa nhóm số đối xứng nửa nhóm số giả đối xứng 1.1.1 Định nghĩa Cho S vị nhóm vị nhóm cộng số tự nhiên N Khi S gọi nửa nhóm số N \ S tập hợp hữu hạn Như nửa nhóm số tập S chứa tập hợp số tự nhiên N, đóng kín phép cộng N \ S tập hợp hữu hạn Cho A tập khác rỗng N Định lý sau cho thấy vị nhóm N sinh A nửa nhóm số ước chung lớn phần tử A 1.1.2 Định lý Cho A tập khác rỗng N Khi A nửa nhóm số gcd(A) = 1.1.3 Định nghĩa Một nửa nhóm số gọi bất khả quy khơng phân tích thành giao hai nửa nhóm số thực chứa 1.1.4 Định nghĩa Cho S nửa nhóm số Số ngun lớn khơng thuộc nửa nhóm số S gọi số Frobenius S kí hiệu F(S) Như F(S) = max(Z \ S) Số Frobenius F(S) có tính chất sau: (i) Cho nửa nhóm số S < n ∈ S Khi đó, F(S) = max Ap(S, n) − n, Ap(S, n) tập Apéry n S xác định sau: Ap(S, n) = s ∈ S | s − n ∈ /S (ii) Cho số dương a, b cho gcd(a, b) = 1, S = a, b nửa nhóm số sinh a b Khi đó, F(S) = ab − a − b (iii) Cho S nửa nhóm số với hệ sinh tối tiểu {n1 , n2 , , np } Đặt d = gcd{n1 , n2 , , np−1 } T = n1 /d, , np−1 /d, np Khi đó, F(S) = dF(T ) + (d − 1)np Sau thấy nửa nhóm số bất khả quy cực đại tập nửa nhóm số với số Frobenius Đầu tiên, chứng minh việc thêm số Frobenius vào nửa nhóm số tạo nửa nhóm số Đây trường hợp cụ thể kết tổng qt mà chúng tơi trình bày phần sau 1.1.5 Bổ đề Cho S nửa nhóm số khác N Khi S ∪ {F(S)} nửa nhóm số Chứng minh Vì N \ S hữu hạn nên phần bù S ∪ {F(S)} N hữu hạn Lấy a, b ∈ S ∪ {F(S)} Nếu a b F(S) a + b ≥ F(S) a+b ∈ S ∪{F(S)} Nếu a b thuộc S a+b ∈ S ⊆ S ∪{F(S)} Mặt khác, ∈ S ∪ {F(S)} Vậy S ∪ {F(S)} nửa nhóm số Kết sau đưa [5] 1.1.6 Định lý Cho S nửa nhóm số Khi đó, điều kiện sau tương đương: (1) S nửa nhóm số bất khả quy; (2) S cực đại tập tất nửa nhóm số với số Frobenius F(S); (3) S cực đại tập tất nửa nhóm số khơng chứa F(S) Chứng minh (1)⇒(2) Cho T nửa nhóm số thỏa mãn S ⊆ T F(T ) = F(S) Khi đó, S = (S ∪ {F(S)}) ∩ T Do S bất khả quy nên ta suy S = T (2)⇒(3) Cho T nửa nhóm số cho S ⊆ T F(S) không thuộc T Khi đó, T ∪ {F(S) + 1, F(S) + 2, →} nửa nhóm số chứa S với số Frobenius F(S) Do S = T ∪ {F(S) + 1, F(S) + 2, →} Vậy S = T (3)⇒(1) Cho S1 S2 hai nửa nhóm số thực chứa S Khi đó, theo giả thiết F(S) ∈ S1 F(S) ∈ S2 Do S = S1 ∩ S2 Kết trình bày [1], lại sử dụng thuật ngữ khác Bây trình bày theo thuật ngữ xét xem hai kết tương đương 1.1.7 Định nghĩa Một nửa nhóm số S gọi đối xứng bất khả quy số Frobenius F(S) lẻ Ta nói S giả đối xứng S bất khả quy F(S) số chẵn Cho trước nửa nhóm số S , S khơng bất khả quy theo Định lý 1.1.6, tồn nửa nhóm số bất khả quy T chứa S với F(S) = F(T ) Kết sau xem cách xây dựng nửa nhóm số bất khả quy 1.1.8 Bổ đề ([6]) Cho S nửa nhóm số giả sử tồn h = max{x ∈ Z \ S | F(S) − x ∈ / S, x = F(S)/2} Khi đó, S ∪ {h} nửa nhóm số với số Frobenius F(S) Chứng minh Rõ ràng S ∪ {h} có phần bù hữu hạn N, ∈ S ∪ {h} Đặt H = {x ∈ Z \ S | F(S) − x ∈ / S, x = F(S)/2} Nếu x ∈ H F(S) − x ∈ H Suy ra, h > F(S)/2 Lấy s ∈ S \ {0} Nếu h + s ∈ / S , tính cực đại h nên F(S) − (h + s) = t ∈ S (vì h > F(S)/2, h + s = F(S)/2) Do F(S) − h = t + s ∈ S , mâu thuẫn với định nghĩa h Nếu 2h ∈ / S , lại h cực đại, nên ta có F(S) − 2h = t ∈ S Như ta thấy trên, h + t ∈ S Tuy nhiên, ta lại có h + t = F(S) − h ∈ / S Đây mâu thuẫn Mệnh đề đưa đặc trưng nửa nhóm số đối xứng giả đối xứng Trong số tài liệu, kết dùng làm định nghĩa khái niệm nửa nhóm số đối xứng nửa nhóm số giả đối xứng 1.1.9 Mệnh đề Cho S nửa nhóm số (1) S nửa nhóm số đối xứng F(S) số lẻ x ∈ Z \ S kéo theo F(S) − x ∈ S (2) S nửa nhóm số giả đối xứng F(S) số chẵn x ∈ Z \ S kéo theo F(S) − x ∈ S x = F(S)/2 Chứng minh Ta chứng minh khẳng định đầu tiên, khẳng định thứ hai hoàn toàn tương tự Điều kiện cần Nếu tồn x ∈ Z \ S cho F(S) − x ∈ / S , tồn h cực đại xác định Bổ đề 1.1.8 Do S ∪ {h} nửa nhóm số với số Frobenius F(S), điều mâu thuẫn với tính cực đại S Định lý 1.1.6 Điều kiện đủ Theo Định lý 1.1.6, ta cần chứng minh S cực đại tập tất nửa nhóm số khơng chứa F(S) Cho T nửa nhóm 10 số với S T Lấy x ∈ T \ S ⊂ Z \ S Khi đó, theo giả thiết, F(S) − x ∈ S F(S) − x ∈ T Từ suy F(S) = x + (F(S) − x) ∈ T Từ kết ta dễ dàng suy đặc trưng sau Cho S nửa nhóm số Tập hợp G(S) = N \ S gọi độ hở S Lực lượng tập hợp G(S) gọi giống S kí hiệu g(S) 1.1.10 Hệ Cho S nửa nhóm số F(S) + F(S) + (2) S nửa nhóm số giả đối xứng g(S) = (1) S nửa nhóm số đối xứng g(S) = Theo [4, Lemma 2.14], nửa nhóm số S ta ln có bất đẳng thức F(S) + liên quan giống số Frobenius g(S) ≥ Như vậy, từ Hệ 1.1.10 ta thấy nửa nhóm số bất khả quy lớp nửa nhóm số với giống bé Từ [4, Proposition 2.13] Hệ 1.1.10, ta có hệ sau 1.1.11 Hệ Mỗi nửa nhóm số với chiều nhúng nửa nhóm số đối xứng 1.1.12 Ví dụ (1) Nửa nhóm số 4, 6, = {0, 4, 6, 7, 8, 10, 11, →} đối xứng C( 4, 6, ) = 10 ⇒ F( 4, 6, ) = (2) Nửa nhóm số 3, 4, = {0, 3, →} giả đối xứng C( 3, 4, ) = ⇒ F( 3, 4, ) = (3) Nửa nhóm số 5, 7, khơng bất khả quy 5, 7, = 5, 7, 9, 17 ∩ 5, 7, 9, 19 Cho S nửa nhóm số n phần tử khác S Nhắc lại rằng, tập Apéry n S tập hợp kí hiệu xác định sau: Ap(S, n) = {s ∈ S | s − n ∈ / S} 21 Rõ ràng, m(S) = m e(S) = Trong cách đặt này, Ap(S, m) = {0, m + 1, 2(m + 1), , q(m + 1), (q + 1)m + q + 2, (m + 1) + (q + 1)m + q + 2, , q(m + 1) + (q + 1)m + q + 2} ∪ {(q + 1)(m + 1)} Do đó, F(S) = 2(1 + q + mq) chẵn F(S)/2 + m = (q + 1)(m + 1) Theo Mệnh đề 1.1.19, ta có S nửa nhóm số giả đối xứng Bây tương tự trường hợp đối xứng, xét hai họ nửa nhóm giả đối xứng mà sử dụng, phụ thuộc vào tính chẵn lẻ bội cho trước trừ chiều nhúng cho trước 1.2.10 Bổ đề Cho m, q ∈ N cho m ≥ 2q + S vị nhóm vị nhóm cộng số tự nhiên (N, +) sinh {m, m + 1, (q + 1)m + q + 2, , (q + 1)m + m − q − 3, (q + 1)m + m − 1} Khi đó, S nửa nhóm số giả đối xứng với m(S) = m, e(S) = m−2q −1 F(S) = 2(q + 1)m − Chứng minh Vì gcd{m, m + 1} = 1, nên S nửa nhóm số Chú ý m = S \ {0} m(S) = m Dễ thấy {n0 = m, n1 = m + 1,n2 = (q + 1)m + q + 2, , np−1 = (q + 1)m + m − q − 3, np = (q + 1)m + m − 1} hệ sinh tối tiểu S e(S) = m − 2q − Ta dễ dàng kiểm tra Ap(S, m) = {0, n1 , 2n1 , ,(q + 1)n1 , n2 , , np−1 , n1 + np−1 , 2n1 + np−1 , , qn1 + np−1 , F(S) + m = (q + 1)n1 + np−1 } ∪ {np }, p ≥ ngồi ra, ta cịn có F(S) + m = ni + np−i với i ∈ {2, , [p/2]} Từ đó, F(S) = 2(q + 1)m − F(S)/2 + m = (q + 1)m + (m − 1) = np Áp dụng Mệnh đề 1.1.19, ta suy S nửa nhóm số giả đối xứng 22 1.2.11 Bổ đề Cho m ∈ N q ∈ N \ {0} cho m ≥ 2q + S vị nhóm vị nhóm cộng số tự nhiên (N, +) sinh {m, m + 1, qm + 2q + 3, , qm + m − 1, (q + 1)m + q + 2} Khi đó, S nửa nhóm số giả đối xứng với m(S) = m, e(S) = m − 2q F(S) = 2qm + 2q + Chứng minh Vì gcd{m, m + 1} = 1, nên S nửa nhóm số Vì m = S \ {0}, nên ta có m(S) = m Rõ ràng, {n0 = m, n1 = m + 1,n2 = qm + 2q + 3, , np−1 = qm + (m − 1), np = (q + 1)m + q + 2} hệ sinh tối tiểu S e(S) = m − 2q Dễ chứng minh Ap(S, m) = {0, n1 , 2n1 , ,qn1 , n2 , , np−1 , np + n1 + np , 2n1 + np , , F(S) + m = qn1 + np } ∪ {(q + 1)n1 }, F(S) + m = ni + np−i+1 với i ∈ {2, , [(p + 1)/2]} Khi F(S) = 2qm + 2q + F(S)/2 + m = (q + 1)m + q + = (q + 1)n1 Do đó, theo Mệnh đề 1.1.19, ta khẳng định S nửa nhóm số giả đối xứng 1.2.12 Định lý Cho m e số nguyên dương thỏa mãn ≤ e ≤ m−1 Khi tồn nửa nhóm số giả đối xứng có bội m chiều nhúng e Chứng minh Nếu e = Bổ đề 1.2.9 bảo đảm tồn nửa nhóm Do đó, phần tiếp theo, giả sử ≤ e ≤ m − Chúng ta phân hai trường hợp dựa tính chẵn lẻ m − e (1) Nếu m − e lẻ, tồn q ∈ N cho m − e = 2q + Hơn nữa, e ≥ 4, m ≥ 2q + nên theo Bổ đề 1.2.10, ta suy tồn nửa nhóm số giả đối xứng S với m(S) = m e(S) = m − 2q − = e 23 (2) Nếu m − e chẵn, tồn q ∈ N \ {0} cho m − e = 2q Vì e ≥ 4, m ≥ 2q + nên theo Bổ đề 1.2.11, ta suy tồn nửa nhóm số giả đối xứng S với m(S) = m e(S) = m − 2q = e 1.2.13 Ví dụ Nửa nhóm số S = 11, 12, 37, 38, 39, 43 giả đối xứng với m(S) = 11, e(S) = F(S) = 64 (q = 2) Nửa nhóm S = 11, 12, 29, 30, 31, 32, 37 nửa nhóm số giả đối xứng với m(S) = 11, e(S) = F(S) = 50 (q = 2) Đối với chiều nhúng 3, ta có: • S = 6, 7, 17 nửa nhóm số bất khả quy với m(S) = F(S) = 22 • S = 7, 8, 25 nửa nhóm số bất khả quy với m(S) = F(S) = 34 24 CHƯƠNG PHÂN TÍCH MỘT NỬA NHĨM SỐ THÀNH GIAO CỦA CÁC NỬA NHÓM SỐ BẤT KHẢ QUY 2.1 Mở rộng đơn nửa nhóm số Ta biết phần tử tập hợp G(S) = N \ S gọi lỗ hổng (gap) S Vấn đề tìm tập tất nửa nhóm số chứa nửa nhóm số cho trước làm xuất khái niệm lỗ hổng đặc biệt (special gap) nửa nhóm số Cho nửa nhóm số S , kí hiệu SG(S) = {x ∈ PF(S) | 2x ∈ S} Các phần tử gọi lỗ hổng đặc biệt S Dễ dàng chứng minh phần tử SG(S) lỗ hổng x S cho S ∪ {x} lại nửa nhóm số 2.1.1 Mệnh đề Cho S nửa nhóm số x ∈ G(S) Các tính chất sau tương đương: (1) x ∈ SG(S); (2) S ∪ {x} nửa nhóm số 2.1.2 Ví dụ Cho S = {0, 7, →} Khi S nửa nhóm số với PF(S) = {1, 2, 3, 4, 5, 6} SG(S) = {4, 5, 6} Điều kéo theo {0, 4, 7, →}, {0, 5, 7, →} {0, 6, →} nửa nhóm số 25 Nếu nửa nhóm số S chứa thực nửa nhóm số T ta lấy x = max(T \ S), x + s ∈ T x + s > x với s ∈ S ∗ Do x + s ∈ S Tương tự, 2x ∈ T 2x > x, nghĩa 2x ∈ S Điều chứng minh kết sau 2.1.3 Bổ đề Cho S T hai nửa nhóm số cho S T Khi đó, S ∪ {max(T \ S)} nửa nhóm số, cách tương đương max(T \ S) ∈ SG(S) Cho trước nửa nhóm số S , ta kí hiệu O(S) tập tất nửa nhóm số chứa S Ta coi O(S) tập nửa nhóm S Vì phần bù S N hữu hạn, nên O(S) tập hữu hạn Cho trước hai nửa nhóm số S T với S ⊆ T , ta định nghĩa cách đệ quy • S0 = S , • Sn+1 = Sn ∪ {max(T \ Sn )} Sn = T , trường hợp cịn lại Sn = Sn+1 Nếu lực lượng T \ S k , S = S0 S1 Sk = T Theo ý tưởng này, xây dựng tập O(S) Ta bắt đầu cách đặt O(S) = {S}, với phần tử thuộc O(S) khác N (chú ý SG(N) tập rỗng), ta gắn O(S) với nửa nhóm số S ∪ {x} với x ∈ SG(S) 2.1.4 Ví dụ Cho S = 5, 7, 9, 11 Đối với nửa nhóm này, SG(S) = {13} S ∪ {13} = 5, 7, 9, 11, 13 nửa nhóm chứa S (nhóm mà sai khác phần tử) Vì SG(S ∪ {13}) = {6, 8}, nên từ S ∪ {13} ta thu hai nửa nhóm S ∪ {13, 6} S ∪ {13, 8} Bằng cách lặp lại quy trình này, ta nhận O(S), biểu đồ 26 S = 5, 7, 9, 11 ∪{13} ∪{6} 5, 7, 9, 11, 13 ∪{8} 5, 6, 7, 5, 7, 8, 9, 11 ∪{6} ∪{8} ∪{4} 4, 5, 5, 6, 7, 8, ∪{4} ∪{3} ∪{6} 4, 5, 6, 3, 5, ∪{3} ∪{4} ∪{2} 2, 3, 4, ∪{2} N \ {1} ∪{3} ∪{1} N Như hệ Bổ đề 2.1.3, S nửa nhóm số S cực đại (đối với quan hệ bao hàm) tập tất nửa nhóm số khơng giao với SG(S) Hơn nữa, SG(S) tập nhỏ lỗ hổng xác định S sai khác tính cực đại 2.1.5 Mệnh đề Cho S nửa nhóm số {g1 , , gt } ⊆ G(S) Các điều kiện sau tương đương: (1) S cực đại (theo quan hệ bao hàm) tập tất nửa nhóm số T thỏa mãn T ∩ {g1 , , gt } = ∅; (2) SG(S) ⊆ {g1 , , gt } 27 Chứng minh (1) ⇒ (2) Lấy x ∈ SG(S) Theo Mệnh đề 2.1.1, S ∪ {x} nửa nhóm số thực chứa S Do đó, Điều kiện (1) (S ∪ {x}) ∩ {g1 , , gt } = ∅ Vì x ∈ {g1 , , gt } (2) ⇒ (1) suy dễ dàng từ Mệnh đề 2.1.1 Bổ đề 2.1.3 Như hệ quả, ta tìm đặc trưng khác nửa nhóm số bất khả quy Theo Định lý 1.1.6, ta biết nửa nhóm số S bất khả quy cực đại tập nửa nhóm số khơng giao với {F(S)} Rõ ràng S = N F(S) ∈ SG(S) 2.1.6 Hệ Cho S nửa nhóm số Khi đó, S bất khả quy SG(S) có nhiều phần tử Hai kết sau cho phép tìm cách xây dựng tổng quát đề xuất Bổ đề 1.1.8 để tìm nửa nhóm bất khả quy nửa nhóm số cho trước với số Frobenius 2.1.7 Bổ đề Cho S nửa nhóm số {g1 , , gt } ⊆ G(S) Các điều kiện sau tương đương: (1) S cực đại tập nửa nhóm số T cho T ∩ {g1 , , gt } = ∅; (2) Nếu x ∈ G(S) tồn i ∈ {1, , t} k ∈ N \ {0} cho gi − kx ∈ S Chứng minh (1)⇒(2) Giả sử x ∈ G(S) Vì S S, x , nên ta có S, x ∩ {g1 , , gt } = ∅ Do tồn i ∈ {1, , t}, k ∈ N \ {0} s ∈ S cho gi = s + kx Điều dẫn tới gi − kx ∈ S (2)⇒(1) Cho T nửa nhóm số cho S T Lấy x ∈ T \ S Khi S, x ⊆ T theo giả thiết, tồn i k cho gi − kx ∈ S Do S gi ∈ S, x , nghĩa gi ∈ T 2.1.8 Mệnh đề Cho S nửa nhóm số {g1 , , gt } ⊆ G(S) Nếu tồn h = max{x ∈ Z \ S | 2x ∈ S, gi − x ∈ / S, với i ∈ {1, , t}}, 28 S ∪ {h} nửa nhóm số không giao với {g1 , , gt } Chứng minh Theo Mệnh đề 2.1.1, ta phải chứng minh h ∈ SG(S) Rõ ràng 2h ∈ S Giả sử tồn s ∈ S \{0} cho h+s ∈ / S Vì 2(h+s) ∈ S h < h + s, nên ta có gi − (h + s) ∈ S với i ∈ {1, , t} Nhưng điều lại dẫn tới gi − h ∈ S , mâu thuẫn với xác định h 2.1.9 Hệ Cho S nửa nhóm số {g1 , , gt } ⊆ G(S) Các điều kiện sau tương đương: (1) S cực đại tập tất nửa nhóm số khơng giao với {g1 , , gt }; (2) Với x ∈ N, x ∈ G(S) 2x ∈ S gi − x ∈ S với i ∈ {1, , t} Chứng minh (1)⇒(2) Suy từ Mệnh đề 2.1.8 (2)⇒(1) Từ Bổ đề 2.1.7, ta cần với x ∈ G(S), tồn i k thích hợp cho gi − kx ∈ S Lấy x ∈ G(S) đặt k = max{n ∈ N \{0} | nx ∈ / S} Rõ ràng kx ∈ G(S) 2kx ∈ S Theo giả thiết gi −kx ∈ S với i ∈ {1, , t} Như hệ hai kết trên, nhận đặc trưng nửa nhóm số bất khả quy từ Điều kiện (1) (2) Mệnh đề 1.1.9 2.1.10 Hệ Cho S nửa nhóm số Khi đó, S bất khả quy với x ∈ N, x ∈ G(S) 2x ∈ S kéo theo F(S) − x ∈ S Chứng minh Suy từ Định lý 1.1.6 Hệ 2.1.9 Cho S tập tất nửa nhóm số Với {g1 , , gt } ⊂ N, ta định nghĩa S(g1 , , gt ) = {S ∈ S | S ∩ {g1 , , gt } = ∅} Mệnh đề 2.1.8 sử dụng để tìm phần tử cực đại S(g1 , , gt ) Chúng ta cần lấy S = {0, max{g1 , , gt } + 1, →} 29 sau định nghĩa cách đệ quy sau: • S0 = S , • Sn+1 = Sn ∪ {h(Sn )}, h(Sn ) max{x ∈ G(Sn ) | 2x ∈ Sn , gi − x ∈ / Sn với i ∈ {1, , t}}; h(Sn ) không tồn Sn nửa nhóm cần tìm (Hệ 2.1.9 đưa điều kiện dừng này) 2.1.11 Ví dụ Tìm phần tử Maximals⊆ (S(5, 6)) (1) S0 = S = {0, 7, →}, h(S0 ) = 4, (2) S1 = {0, 4, 7, →}, h(S1 ) khơng tồn S1 ∈ Maximals⊆ (S(5, 6)) 2.2 Phân tích nửa nhóm số thành giao nửa nhóm số bất khả quy Trong tiết này, chúng tơi trình bày phương pháp phân tích nửa nhóm số cho trước thành giao nửa nhóm số bất khả quy Ta làm để nhận phân tích “tối tiểu” Cho S nửa nhóm số Nếu S khơng bất khả quy tồn S1 S2 thực chứa cho S = S1 ∩ S2 Bây S1 S2 không bất khả quy, ta lại tiếp tục phân tích chúng thành giao hai nửa nhóm số khác Quá trình tiếp tục dừng sau số hữu hạn lần, nửa nhóm số xuất phương pháp thực chứa S O(S) hữu hạn Do ta có mệnh đề sau 2.2.1 Mệnh đề Mỗi nửa nhóm số phân tích thành giao hữu hạn nửa nhóm số bất khả quy Nhắc lại rằng, ta có phương pháp xây dựng O(S) nửa nhóm số S dựa việc tính tốn tập SG(S) Trong thực 30 phương pháp này, chọn nửa nhóm với nhiều lỗ hổng đặc biệt, theo Hệ 2.1.6 chúng nửa nhóm bất khả quy S Kí hiệu T (S) = {t ∈ O(S) | T bất khả quy } Từ suy S = ∩T ∈T (S) T Ta loại bỏ từ giao phần tử không tối tiểu theo quan hệ bao hàm, kết không thay đổi 2.2.2 Mệnh đề Cho S nửa nhóm số {S1 , , Sn } = Minimals⊆ T (S) Khi đó, S = S1 ∩ ∩ Sn Sự phân tích không tối tiểu (theo nghĩa số thành phần bất khả quy tối tiểu) ví dụ sau 2.2.3 Ví dụ Cho S = 5, 6, Ta tính tập Minimals⊆ T (S) Vì EH(S) = {7, 9}, nên theo Mệnh đề 2.1.1, S ∪ {7} S ∪ {9} nửa nhóm số Vì SG(S ∪ {7}) = {9}, S ∪ {7} bất khả quy (Hệ 2.1.6), tức thuộc vào Minimals⊆ (T (S)) Nửa nhóm S ∪ {9} khơng phải bất khả quy (SG(S ∪ {9}) = {3, 4, 7}) Theo Mệnh đề 2.1.1, tập S ∪ {9, 3}, S ∪ {9, 7} S ∪ {9, 4} nửa nhóm số S ∪ {9, 3} S ∪ {9, 4} nửa nhóm bất khả quy, S ∪ {9, 7} chứa nửa nhóm S ∪ {7} (nửa nhóm bất khả quy tìm được) Do tập Minimals⊆ (T (S)) = {S ∪ {7}, S ∪ {9, 3}, S ∪ {9, 4}} Cuối cùng, S = (S ∪ {7}) ∩ (S ∪ {9, 4}) ∩ (S ∪ {9, 3}) = (S ∪ {7}) ∩ (S ∪ {9, 4}) 31 Khi tìm số n bé thỏa mãn S = S1 ∩ ∩ Sn , S1 , , Sn ∈ T (S), cần tìm số phân tích có phần tử thuộc Minimals⊆ (T (S)) 2.2.4 Mệnh đề Cho S nửa nhóm số Nếu S = S1 ∩ ∩ Sn , với S1 , , Sn ∈ T (S), tồn S1 , , Sn ∈ Minimals⊆ (T (S)) cho S = S1 ∩ ∩ Sn Chứng minh Với i ∈ {1, , n}, Si không thuộc Minimals⊆ (T (S)), ta lấy Si ∈ Minimals⊆ (T (S)) cho Si ⊆ Si Mệnh đề đưa số thông tin nửa nhóm số phải xuất phân tích tối tiểu 2.2.5 Mệnh đề Cho S nửa nhóm số S1 , , Sn ∈ O(S) Các điều kiện sau tương đương: (1) S = S1 ∩ ∩ Sn ; (2) Với h ∈ SG(S), tồn i ∈ {1, , n} cho h ∈ / Si Chứng minh (1)⇒(2) Nếu h ∈ SG(S) h ∈ / S h ∈ / Si với i ∈ {1, , n} (2)⇒(1) Nếu S S1 ∩ ∩ Sn theo Bổ đề 2.1.3 ta có h = max((S1 ∩ ∩ Sn ) \ S) thuộc SG(S) với Si , điều mâu thuẫn với giả thiết Chúng ta tính tốn Minimals⊆ (T (S)) = {S1 , , Sn } Với i ∈ {1, , n}, đặt C(Si ) = {h ∈ SG(S) | h ∈ / Si } Theo Mệnh đề 2.2.5, ta có S = Si1 ∩ ∩ Sir C(Si1 ) ∪ ∪ C(Sir ) = SG(S) 32 Từ kết trên, ta có phương pháp để tìm phân tích S thành giao nửa nhóm bất khả quy với số thành phần Đối với tập Y , ta sử dụng ký hiệu Y để lực lượng tập Y 2.2.6 Thuật toán Cho S nửa nhóm khơng bất khả quy (1) Tìm tập SG(S) (2) Đặt I = ∅ C = {S} (3) Với S ∈ C , sử dụng Mệnh đề 2.1.1, tìm tất nửa nhóm S cho (S \ S ) = Loại S khỏi C Gọi B tập nửa nhóm S xây dựng theo cách (4) Loại bỏ khỏi B nửa nhóm S thỏa mãn SG(S) ⊆ S (5) Loại bỏ khỏi B nửa nhóm S cho tồn S ∈ I S⊆S (6) Đặt C = {S ∈ B | S không bất khả quy} (7) Đặt I = I ∪ {S ∈ B | S bất khả quy} (8) Nếu C = ∅, quay trở lại Bước (9) Với S ∈ I , tìm C(S) (10) Chọn {S1 , , Sr } cho số r bé thỏa mãn C(S1 ) ∪ ∪ C(Sr ) = SG(S) (11) Quay lại S1 , , Sr Ta minh họa phương pháp ví dụ sau 2.2.7 Ví dụ Ta lại lấy nửa nhóm S = 5, 6, Ta có SG(S) = {7, 9} Thực bước thuật toán trên, ta nhận (trong Bước 7) I = { 5, 6, 7, } C = { 5, 6, 8, } Do C = ∅, nên ta quay lại Bước có I = { 5, 6, 7, , 3, , 4, 5, } C = ∅ Bước cho ta C( 5, 6, 7, ) = {9}, C( 3, ) = {7}, C( 4, 5, ) = {7} 33 Các phân tích tối tiểu S S = 5, 6, 7, ∩ 3, S = 5, 6, 7, ∩ 4, 5, Cho trước nửa nhóm số, xét hai kiểu tối tiểu phân tích nửa nhóm số thành giao nửa nhóm số bất khả quy Thứ lực lượng, nghĩa tối tiểu theo nghĩa số thành phần bất khả quy bé xuất phân tích Thứ hai theo nghĩa rút gọn, nghĩa tối tiểu theo nghĩa khơng có thành phần thừa bỏ hay nói cách khác thành phần bất khả quy phân tích khơng có quan hệ bao hàm lẫn Hai khái niệm không trùng Rõ ràng, phân tích tối tiểu theo nghĩa thứ bao hàm tối tiểu theo nghĩa thứ hai Tuy nhiên, tồn phân tích tối tiểu theo nghĩa thứ hai số thành phần bất khả quy xuất phân tích lại nhiều phân tích khác 2.2.8 Ví dụ Nửa nhóm số S = 5, 21, 24, 28, 32 phân tích dạng sau: S = 5, 9, 12, 13 ∩ 5, 11, 12, 13 ∩ 5, 12, 14, 16 ∩ 5, 14, 16, 18 dạng S = 5, ∩ 5, 34 KẾT LUẬN Dựa vào [4], luận văn trình bày nội dung sau Định nghĩa số đặc trưng nửa nhóm số đối xứng nửa nhóm số giả đối xứng thông qua số Frobenius giống chúng Xây dựng nửa nhóm số đối xứng nửa nhóm số giả đối xứng với bội chiều nhúng cho trước Mở rộng đơn nửa nhóm số Phân tích nửa nhóm số thành giao nửa nhóm số bất khả quy 35 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] R Froberg, C Gottlieb, R Haggkvist (1987), On numerical semigroups, Semigroup Forum 35, 63-83 [2] E Kunz (1970), The value-semigroup of a one-dimensional Gorenstein ring, Proc Amer Math Soc 25, 748-751 [3] T Numata (2015), Almost symmetric nummerical semigroup with small number of generator , Ph D thesis at Graduate School of Integrated Basic Science, Nihon University [4] J C Rosales, P A García-Sánchez (2009), Numerical semigroups, Development in mathematics, Vol 20, Springer [5] J C Rosales, M B Branco (2003), Irreducible numerical semigroups, Pacific J Math 209, 131-143 [6] J C Rosales (1996), On symmetric numerical semigroups, J Algebra 182, no 2, 422-434 [7] J C Rosales (2001), Symmetric numerical semigroups with arbitrary multiplicity and embedding dimension, Proc Amer Math Soc 129, no 8, 2197-2203 [8] J C Rosales, M B Branco (2003), Irreducible numerical semigroups with arbitrary multiplicity and embedding dimension, J Algebra 264, 305-315 ... nửa nhóm số Ngược lại, nửa nhóm số có dạng Một nửa nhóm số gọi bất khả quy khơng phân tích thành giao hai nửa nhóm số thực chứa Một nửa nhóm số bất khả quy S gọi đối xứng số Frobenius F(S) số. .. nửa nhóm số S gọi đối xứng bất khả quy số Frobenius F(S) lẻ Ta nói S giả đối xứng S bất khả quy F(S) số chẵn Cho trước nửa nhóm số S , S khơng bất khả quy theo Định lý 1.1.6, tồn nửa nhóm số bất. .. quy, phân tích nửa nhóm số thành giao hữu hạn nửa nhóm số bất khả quy Đặc biệt chúng tơi trình bày hai lớp nửa nhóm số bất khả quy đặc biệt nói trên, nửa nhóm số đối xứng nửa nhóm số giả đối xứng