Tập đại số bất khả qui trên đường thẳng, trên mặt phẳng, trong không gian và iđêan của chúng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH PHAN THỊ HUYỀN TẬP ĐẠI SỐ BẤT KHẢ QUI TRÊN ĐƯỜNG THẲNG, TRÊN MẶT PHẲNG, TRONG KHÔNG GIAN VÀ IĐÊAN CỦA CHÚNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN - 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH PHAN THỊ HUYỀN TẬP ĐẠI SỐ BẤT KHẢ QUI TRÊN ĐƯỜNG THẲNG, TRÊN MẶT PHẲNG, TRONG KHÔNG GIAN VÀ IĐÊAN CỦA CHÚNG Chun ngành: Hình học - Tơpơ Mã số: 62.46.01.05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TS NGUYỄN HUỲNH PHÁN NGHỆ AN - 2014 LỜI CẢM ƠN Với việc hoàn thành Luận văn này, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới Phó Giáo sư - Tiến sĩ Nguyễn Huỳnh Phán, người nhiệt tình bước hướng dẫn thực việc nghiên cứu đề tài: từ việc gợi ý, cung cấp tài liệu nghiên cứu, hướng dẫn phương pháp thực truyền đạt nhiều kiến thức quý báu suốt trình học tập thực nghiên cứu để viết luận văn đến việc chỉnh sửa hoàn chỉnh nội dung luận Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy khoa Tốn Trường Đại học Vinh, nơi tác giả học tập nhiệt tình đóng góp ý kiến q báu Bên cạnh tác giả xin gửi lời cảm ơn tới bạn bè, đồng nghiệp tạo điều kiện giúp đỡ để tác giả hoàn thành luận văn Mặc dù cố gắng tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong nhận ý kiến đóng góp q báu thầy bạn Xin chân thành cảm ơn ! Vinh, tháng 10 năm 2014 Tác giả Phan Thị Huyền MỤC LỤC Trang LỜI MỞ ĐẦU Chƣơng CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ PHẦN I TẬP ĐẠI SỐ 1.1 Khái niệm tập đại số 1.2 Một số tính chất tập đại số PHẦN II IĐEAN 2.1 Định nghĩa 2.2 Ví dụ 2.3 Tính chất PHẦN III ÁNH XẠ ZARISKI 10 3.1 Ánh xạ Zariski 10 3.2 Một ví dụ ánh xạ Zariski 12 PHẦN IV TÍNH CHẤT CỦA IĐÊAN TRONG TẬP ĐẠI SỐ 13 4.1 Nhận xét 13 4.2 Ví dụ 13 4.3 Định lí 14 4.4 Ví dụ 14 PHẦN V MỐI QUAN HỆ GIỮA IĐÊAN NGUYÊN TỐ VÀ TẬP ĐẠI SỐ BẤT KHẢ QUY 16 5.1 Định nghĩa 16 5.2 Ví dụ 16 5.3 Bổ đề 16 5.4 Định nghĩa 16 5.5 Ví dụ 16 5.6 Nhận xét 16 5.7 Định nghĩa 17 5.8 Ví dụ 17 5.9 Định lý 17 5.10 Ví dụ 18 5.11 Chú ý 18 5.12 Ví dụ 18 5.13 Đinh nghĩa 18 5.14 Bổ đề 18 5.15 Nhận xét 18 5.16 Mệnh đề 18 5.17 Hệ 19 5.18 Chú ý 19 Chương CÁC TẬP ĐẠI SỐ BẤT KHẢ QUI TRÊN ĐƯỜNG THẲNG, TRONG MẶT PHẲNG, TRONG KHÔNG GIAN VÀ IĐÊAN CỦA CHÚNG 20 2.1 Tập đại số đường thẳng iđêan chúng 20 2.2 Tập đại số mặt phẳng iđêan chúng 21 2.3 Tập đại số không gian iđêan chúng 24 2.4 Thêm số tập đại số khác chương trình tốn phổ thông 25 KẾT LUẬN 35 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 36 LỜI MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Hình học đại số mơn nghiên cứu hình tập nghiệm đa thức Để làm điều người ta dùng phương trình đa thức để mơ tả hình hình học quy vấn đề hình học việc nghiên cứu tập nghiệm hệ phương trình đa thức Hình học đại số có vai trị quan trọng tốn học đại kết nối nhiều ngành tốn học Giải tích, Đại số, Hình học, Tơpơ,… lại với Chẳng hạn, thấy hầu hết hình hình học hình học phổ thơng, Hình học afin, Hình học xạ ảnh nhiều hình thường xét ngành tốn học khác… tập đại số Hình học afin, Hình học Ơclit, Hình học xạ ảnh dùng cơng cụ đại số Đại số tuyến tính để nghiên cứu, cịn Hình học đại số dùng Đại số giao hốn để làm cơng cụ nghiên cứu Cơng cụ hình học đại số đại số giao hốn nên địi hỏi người học phải nắm vững không kiến thức hình học mà kiến thức đại số giao hốn nhóm, vành, trường, mơ đun, iđêan,… Iđêan khái niệm quan trọng Đại số có nhiều tính chất quan trọng Hình học đại số Qua trình học Chun đề Nhập mơn Hình học đại số tơi thấy tính chất iđêan thể hình học đại số nhiều quan trọng Với mong muốn tìm hiểu sâu hình học đại số thơng qua việc nghiên cứu, phân tích số yếu tố R1, R2, R3 Iđêan chúng, tác giả chọn đề tài : “Tập đại số bất khả qui đường thẳng, mặt phẳng, không gian iđêan chúng” Sau tìm hiểu, lựa chọn lĩnh vực Hình học đại số, nhận thấy tập đại số bất khả qui đường thẳng, mặt phẳng , khơng gian có ứng dụng giải tốn phổ thơng, với động viên, khích lệ Thầy Nguyễn Huỳnh Phán phương châm để thực đề tài Đối tƣợng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu tập đại số bất khả qui chương trình tốn phổ thơng hiên Mục tiêu nhiệm vụ nghiên cứu Tác giả nghiên cứu tập đại số bất khả qui đường thẳng, mặt phẳng, không gian iđêan chúng Phƣơng pháp nghiên cứu Chủ yếu phương pháp nghiên cứu lý thuyết minh họa qua ví dụ Cụ thể luận văn dùng phương pháp so sánh, phân tích, tương tự hóa, khái quát hóa, tổng hợp…đánh giá tập đại số bất khả qui hàm số tốn phổ thơng Dự kiến đóng góp Hệ thống tập đại số bất khả qui đường thẳng ,trên mặt phẳng, không gian iđêan chúng Kết cấu luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, luận văn kết cấu thành hai chương : Chƣơng 1: Kiến thức chuẩn bị Chƣơng 2:Các tập đại số bất khả qui đường thẳng, mặt phẳng, không gian iđêan chúng Chƣơng CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ PHẦN I TẬP ĐẠI SỐ 1.1 Khái niệm tập đại số 1.1.1 Định nghĩa Cho A vành giao hốn có đơn vị 1≠ Vành đa thức n biến x , x , , xn A tập A[X] : = A[ x1, x2 , , xn ] Mỗi phần tử f A[X] gọi đa thức, có dạng f = r1,r 2, ,r x1r1x2r xnrn  n r1r2 rnd với d số tự nhiên r1,r2 , ,rn  A gọi hệ tử Khi A trường ta gọi chúng hệ số Các biểu thức x1r1 x2r2 xnrn gọi đơn thức Bậc đơn thức x1r1 x2r2 xnrn tổng số mũ r1 + r2 +… + rn Bậc f  bậc lớn đơn thức f ký hiệu degf Nếu f = 0, ta quy định degf =  Nếu  f  A, ta nói degf = Khi degf = 1, ta nói f đa thức bậc nhất, ln có dạng f = a x  a x   an xn  an1 , 11 2 phải có hệ tử gắn biến khác không 1.1.2 Định nghĩa tập đại số Cho K trường, tập V  Kn gọi tập đại số nghiệm họ đa thức n biến K X  Ta ký hiệu tập nghiệm đa thức f Z(f) Thế Z  f   a  K n f  a     Ví dụ (về tập đại số): Tập rỗng  tập đại số phương trình f = với f  K mà f  vô nghiệm Tập điểm a = (a1, a2,…., an) tập đại số nghiệm hệ n phương trình tuyến tính  x - a = i i  i = 1, 2, , n Các m – phẳng không gian afin Kn tập đại số nghiệm đa thức bậc có phương trình dạng: a11x1+a12x2+ +a1nxn+b1=0  a x +a x + +a x +b =0 p1 p2 pn n p Trong n-m  p n ma trận hệ số có hạng n-m Nói riêng, đường thẳng ,mặt phẳng tập đại số Kn tập đại số nghiệm phương trình = Chú ý Khái niệm “Tập đại số” không phụ thuộc việc chọn tọa độ, nghĩa V nghiệm hệ đa thức f(x1, x2,…., xn )  S, với  x = ci0 + ci1 y1 + ci y2 + .+ cin yn tọa độ (y1, y2,…., yn ), ta có  i   i = 1, 2, , n Thì điểm V với tọa độ nghiệm hệ phương trình f(c10 + c11y1+….+ c1nyn,… , cn0 + cn1y1+….+ cnnyn) = 0, f  S K n , f = Như ta có: Nếu deg f = Z(f)     , f  Nếu deg f > Z(f) gọi siêu mặt Nói riêng, deg f = (nghĩa f đa thức bậc nhất) Z(f) siêu phẳng Cho S tập K[X] Ký hiệu Z(S) tập nghiệm tất đa thức S (thường gọi vắn tắt tập nghiệm S), nghĩa Z(S) tập đại số Ta có Z(S) = Z( f ) f S Chú ý: Tương ứng S Z(S) cho ánh xạ từ họ tất tập vành đa thức K[X] đến họ tất tập không gian afin Kn  K[ X ] Z     I    Kn Ví dụ 1/ Nếu f đa thức biến, tập đại số Z(f) : tập rỗng ; tập hữu hạn tồn K đa thức biến trường K vơ nghiệm, hữu hạn nghiệm tập nghiệm K  a, a ; a  K parabol Thật vậy, đặt V: =  a, a  ; a  K  Ta có V  Z(f) 2/ f = x2 – y, Z(f) = 2 Ngược lại, giả sử ( a1 , a2 )  Z(f) Nếu a1 = a2 = nên ( a1 , a2 ) = (0, 02)  V Khi a1  0, ta có  a12 a2  a2  a      : a  a a1  a1    a2 a22  a2   a2  a  a   a  : a  1  Do ta có ( a1 , a2 )  V Từ suy Z(f)  V Vậy ta có V = Z(f)  a , a ; a  K V :=  a , a  ; a  K  Chứng minh tương tự trên, 3/ f = x3 – y2 thí Z(f) = Thật vậy, đặt 2 3 ta có V  Z(f) Ngược lại, giả sử ( a1 , a2 )  Z(f) Nếu a1 = thí a2 = nên ( a1 , a2 ) = (02, 03)  V Khi a1  0, ta có  a13 a22  a2  a1      : a a1 a1  a1     a23 a23  a2  a2  a  a   a  : a  1  Do ta có ( a1 , a2 )  V Từ suy Z(f)  V Vậy ta có V = Z(f) 22 => f đơn ánh +) f toàn ánh Lấy Y(y1,y2)  R2, tồn X(x1,x2) : X = A-1Y – A-1B  R2 (A  => A-1  0) Khi Y = AX + B => f toàn ánh => f song ánh +) Vì f song ánh, ta có f-1: R2  R2 X Y = A-1X – A-1B Ta nhận thấy f f-1 liên tục tôpô Zariski Thật vậy, M = Z(S) tập đại số gồm tất nghiệm đa thức hai ẩn gi (x1, x2) x  a y  a y S Thế với tọa độ (y1, y2) ta có:  11 12  x2  a21 y1  a22 y2 Cho nên M lại nghiệm của đa thức hệ tọa độ gi (a11 y1  a12 y2 , a21 y1  a22 y2 );gi  S Khi ngược ảnh f-1(M) tập A tập đại số R2 Tương tự vậy, N tập đại số R2 f(N) tập đại số R2 Do f f-1 ánh xạ có tính chất : Ngược ảnh tập đại số Zariski tập đại số Zariski nên liên tục R2 với tơpơ Zariski Chú ý: Về sau nêu số ví dụ ánh xạ liên tục R 1, R2 với tôpô thông thường (tôpô tự nhiên), không liên tục với tôpô Zariski 2.2.2 Đường thẳng Định lý 1: Mọi đường thẳng d có phương trình a x + by + c = với a , b, c  R a2 + b2 ≠ đẳng cấu tôpô Zariski với trục Oxy : y = Chứng minh: Ta biết có phép biến đổi afin f: R2  R2  x, y  x ' x   A     B    y '  y  x ', y ' ;  23  x '  a11 x  a12 y  b1   y '  a21 x  a22 y  b2 a a  với det  11 12   biến đường thẳng d thành trục Ox  a21a22  Theo Định lý trên, phép biến đổi afin đẳng cấu tôpô Zariski, nên d đồng phôi Zariski với trục Ox Định lý 2: Iđêan đường thẳng d R2 đẳng cấu với iđêan sinh y x I d  (y) = yR[x,y]  xR[x, y] Chứng minh: Cho d đường thẳng R2 Theo Định lý trên, d đồng phôi tôpô Zariski với trục Ox đồng phôi Zariski với trục Oy, ba iđêan sau đẳng cấu (trong vành đa thức hai ẩn R[x, y]) Id  IOx  IOy Trục Ox có phương trình y = Nên đa thức hai ẩn f(x, y) triệt tiêu Ox f(x, y) có dạng f(x, y) = y h(x, y) với h(x, y) đa thức hai biến R[x, y] Cho nên IOx = yR[x,y] Tương tự, ta có IOy = xR[x,y] 2.2.3 Parabol Định lý : Mọi Parabol (P) có dạng y2 = a x2 + bx + c với a  đẳng cấu với tôpô Zariski với parabol y2 = x Chứng minh: Ta biết rằng, ln có phép biến đổi afin biến parabol (P) thành parabol y = x Do hai parabol đồng phôi tôpô Zariski với Hệ quả: Iđêan parabol R2 đẳng cấu (trong vành đa thức hai ẩn R[x, y]) với iđêan (x2 – y) R[x, y] sinh bở đa thức x2 – y Chứng minh: Vì parabol (P) đẳng cấu tơpơ Zariski với parabol H có phương trình y = x2 Cho nên ta có hai iđêan sau đẳng cấu vành đa thức hai ẩn R[x, y] I(P)  I H 24 Mặt khác IH = (x2 – y) R[x, y], nên ta có điều phải chứng minh 2.2.4 Đường tròn Elip Mệnh đề: Đường trịn (O) Elip (E) đồng phơi tơpơ Zariski đồng phơi với đường trịn đơn vị x2 + y2 = Chứng minh: Vì (O), (E) đường tròn đơn vị tương đương afin, nên chúng đồng phôi tôpô Zariski với 2.3 Tập đại số không gian iđêan chúng 2.3.1.Mệnh đề Ánh xạ afin f: R3  R3 x  a11a12 a13   x1  b1  f(x) = Ax + B =  a21a22 a23   x2   b2  ánh xạ  a31a32a33   x3  b3  đồng phôi tôpô Zariski  a11a12 a13  Ở A =  a21a22 a23  ma trận vuông cấp không suy biến B =  a31a32 a33  b1  b   2 b3  ma trận cột Chứng minh: +) f đơn ánh Thật với X = (x1,x2,x3)  Y = (y1,y2,y3) (x1  y1,x2  y2,x3  y3) => f(x)  f(y) Giả sử f(x) = f(y)  AX + B = AY + B  A(X-Y) =  X = Y (Trái với giả thiết) => f đơn ánh +) f toàn ánh Lấy Y(y1,y2,y3)  R3 , tồn X(x1,x2,x3) : X = A-1Y – A-1B  R3 (A  => A-1  0) 25 Khi Y = AX + B => f toàn ánh => f song ánh +) Vì f song ánh, ta có f-1: R3  R3 X Y = A-1X – A-1B Ta nhận thấy f f-1 liên tục tôpô Zariski Thật vậy, M = Z(S) tập đại số gồm tất nghiệm đa thức ba ẩn g i (x1, x2,x3)  x1  a11 y1  a12 y2  a13 y3  S Thế với tọa độ (y1, y2,y3) ta có:  x2  a21 y1  a22 y2  a23 y3 x  a y  a y  a y 31 32 33  Cho nên M lại nghiệm của đa thức hệ tọa độ gi (a11 y1  a12 y2  a13 y3 , a21 y1  a22 y2  a23 y3 , a31 y1  a32 y2  a33 y3 );gi  S Khi ngược ảnh f-1(M) tập A tập đại số R3 Tương tự vậy, N tập đại số R3 f(N) tập đại số R3 Do f f-1 ánh xạ có tính chất : Ngược ảnh tập đại số Zariski tập đại số Zariski nên liên tục R3 với tơpơ Zariski 2.3.2 Mệnh đề: Mặt cầu có dạng  x  a   y  b   z  c 2  R Elipxôit đồng phôi tơpơ Zariski với mặt cầu đơn vị có dạng x  y  z  Chứng minh: Vì Mặt cầu, Elipxơit mặt cầu đơn vị tương đương afin, nên chúng đồng phôi tôpô Zariski với 2.4 Thêm số tập đại số khác chương trình tốn phổ thơng Trong mục ta xét thêm số tập đại số toán phổ thông mô tả iđêan chúng Thực kết trình bày Mục 2.1 với cách nhìn sai khác đồng phôi topo Zariski sai khác đẳng cấu vành đa thức Tuy nhiên Mục 2.3 muốn mô tả cách trực tiếp tập đại số iđêan chúng Trong mặt phẳng R xét đường bậc hai có dạng C tổng quát: 26 a11 x2  a22 y  2a12 x  2a1 x  2a2 y  a0  Xẩy trường hợp 2.4.1 C hai đường thẳng mặt phẳng R2 Dạng: :ax+by+c=0(a  b2  0) a Tập đại số : Ta chia đường thẳng  thành hai dạng Nếu :y  ax+b(a  0) Cho f  ax-y+b ta có Z ( f )  ( , a  b)  R2 /   R Chứng minh: Đặt: A  ( , a  b)  R2 /   R - Ta thấy ( , a  b)  A  f ( , a  b)  a.  (a  b)  b   ( , a  b)  Z ( f )  A  Z ( f )(1) Mặt khác, Giả sử  x, y   Z ( f ), ax-y+b=0  y=ax+b  (x,y)=(x,ax+b)  A  Z ( f )  A(2) Từ (1) (2) suy Z ( f )  A Nếu :x  m  Cho f  x  m ta có Z ( f )  (  m,0)  R2 /   R Chứng minh tương tự b Iđêan  Nếu :y  ax+b(a  0) Lấy V tập vô hạn điểm đường thẳng y  ax+b(ax-y+b=0) Thì IV  (ax-y+b) Chứng minh: 27 Ta cần chứng minh IV  (ax-y+b) Coi đa thức f  k  x, y  đa thức biến y với hệ số k  x  Tương tự thuật toán Euclid ta viết f  h(ax-y+b)+v Với v  k  x Do V  Z (ax-y+b)= ( ,a +b)  k /  k  f ( , a  b)  h( , a  b)  v( )  v( )  0, v  k  x  mà v( )  với vơ hạn số  (vì ta giả thiết tập V gồm vô hạn điểm đường thẳng)  v   f  h(ax-y+b)  (ax-y+b) 2.4.2 C đường tròn mặt phẳng R2 Dạng: (C):(x-a)2  ( y  b)2  R2 a Tập đại số C : Cho f =(x-a)2  ( y  b)2  R2 ta có Z ( f )  (a  R sin  , b  R cos  )  R2 /   R Chứng minh: Đặt A  (a  R sin  , b  R cos  )  R2 /   R (a  R sin  , b  R cos  )  A  f (a  R sin  , b  R cos  )   (a  R sin  , b  R cos  )  Z ( f )  A  Z ( f )(1) Mặt khác, giả sử ( x, y)  Z ( f )  ( x  a)2  ( y  b)2  R2   ( x  a)2  R  ( y  b)2  x  a  R sin   y  b  R cos  Ta cần chứng minh  Thật  x  a  R sin 00  Nếu x  a      y  b  R cos 0  Nếu x  a  Ta có  ( x  a ) R  ( y  b) R y b  ( ) ( ) 2 ( x  a) ( x  a) xa xa Đặt x  a  R sin   x  b  R cos  Suy Z ( f )  A(2) 28 Vậy Z ( f )  (a  R sin  , b  R cos  )  R2 /   R b Iđêan C Nếu (C):(x-a)2  ( y  b)2  R2 Lấy V tập vô hạn điểm đường tròn (x-a)2  ( y  b)2  R2 Thì IV  ( R2  ( x  a)2  ( y  b)2 ) Chứng minh: Hiển nhiên ( R2  ( x  a)2  ( y  b)2 )  IV Ta cần chứng minh IV  ( R2  ( x  a)2  ( y  b)2 ) Coi đa thức f  k  x, y  đa thức biến y với hệ số k  x  Tương tự thuật tốn Euclid ta viết f  h( R2 -(x-a)2 -(y-b)2 )+v Với v  k  x  V  Z ( R2 -(x-a)2 -(y-b)2 )= (a+Rsin ,b+Rcos )  k /  k f  IV  f (a  R sin  , b  R cos  )  v(a  R sin  )  0, v  k  x  nên Do mà v(a  R sin  )  với vơ hạn số  (vì ta giả thiết tập V gồm vô hạn điểm đường tròn)  v   f  h(R -(x-a)2 -(y-b)2 )  (R -(x-a)2 -(y-b)2 ) Vậy IV  ( R2  ( x  a)2  ( y  b)2 ) 2.4.3 C elip mặt phẳng R2 Dạng: (E): 2 x y  1 a b a Tập đại số E: 2 x y Cho f    ta có Z ( f )  (a sin  , b cos  )  R2 /   R a b Chứng minh: Đặt A  (a sin  , b cos  )  R2 /   R (a sin  , b cos  )  A  f (a sin  , b cos  )   (a sin  , b cos  )  Z ( f )  A  Z ( f )(1) Mặt khác, giả sử ( x, y)  Z ( f )  2 x y  1  a b  x  a  R sin   y  b  R cos  Ta cần chứng minh   Nếu x     k  y  b cos k(k  Z ) 29 x x a x a y2 a  Nếu x     2  ( ) ( )  (1  ).( ) x x a a x b x y b Đặt x  asin   cos  y=bcos Suy Z ( f )  A(2) Vậy Z ( f )  (a sin  , b cos  )  R2 /   R b Iđêan E Nếu (E): 2 x y   a b 2 x y x2 y Lấy V tập vô hạn điểm elip   Thì IV  (1   ) a b a b Chứng minh: Hiển nhiên (1  x2 y  )  IV a b2 Ta cần chứng minh IV  (1  x2 y  ) Coi đa thức f  k  x, y  a b2 đa thức biến y với hệ số k  x  Tương tự thuật tốn Euclid ta viết f  h(1  x y2 - )+v a b2 Với v  k  x Do V  Z (1  x y2 - )= (asin ,bcos )  k /  k nên f  IV a b2    f (a sin  , b cos  )  v(asin )  0, v  k  x mà v(asin )  với vơ hạn số  (vì ta giả thiết  v   f  h(1- tập V gồm vô hạn điểm x y2 x y2 x2 y )  (1) Vậy I  (1   ) V a b2 a b2 a b2 2.4.4 C hypebol mặt phẳng R 2 x y Dạng: (E):   a b a Tập đại số H: đường tròn) 30 2 x y Cho f    ta có: a b   a  Z ( f )  ( , b tan  )  R /   R,    k , k  Z   cos  a   , b tan  )  R /   R,    k , k  Z   cos  Chứng minh: Đặt A  ( Ta thấy ( a a a , b tan  )  A  f ( , b tan  )   ( , b tan  )  Z ( f )  A  Z ( f )(1) cos cos cos Mặt khác, giả sử ( x, y)  Z ( f )  2 x y  1  a b a  x  Ta cần chứng minh  cos  y  b tan   Ta có  x x a x a y2 a   ( ) ( )  (1  ).( ) x x a a x b2 x a y2 Đặt  cos     y  b2 tan   y  b tan  x b cos  Suy Z ( f )  A(2) a   , b tan  )  R /   R,    k , k  Z   cos  Từ (1) (2) suy Z ( f )  ( b Iđêan H Nếu (H): 2 x y  1 a b Lấy V tập vô hạn điểm đường Hypebol Chứng minh: Hiển nhiên (1  x2 y  )  IV a b2 2 x y x2 y Thì   I  (1   ) V a2 b2 a b2 31 Ta cần chứng minh IV  (1  x2 y  ) Coi đa thức f  k  x, y  a b2 đa thức biến y với hệ số k  x  Tương tự thuật tốn Euclid ta viết f  h(1  x y2  )+v a b2 Với v  k  x Do x y2  a   V  Z (1   )= ( , b tan  )  R /   R,    k , k  Z  a b  cos  f  IV  f ( a a a , b tan  )  v( )  0, v  k  x  mà v( )  với vô hạn số cos cos cos  (vì ta giả thiết tập V gồm vơ hạn điểm đường tròn)  v   f  h(1- Vậy IV  (1  x y2 x y2  )  (1 ) a b2 a b2 x2 y  ) a b2 2.4.5 C parabol mặt phẳng R2 Dạng: (P):x  y a Tập đại số P :  Cho f  x  y ta có Z ( f )  ( , 2   )  R2 /   R    2  Chứng minh: Đặt A  ( , )  R /   R    Ta thấy ( , nên 2 )  A  f ( , 2 )   ( , 2 )  Z ( f )  A  Z ( f )(1) Mặt khác, giả sử ( x, y)  Z ( f )  x  y   y   ( x, y)  ( x, x2 )  z ( f )  A(2)  Từ (1) (2) suy Z ( f )  ( ,  2  )  R2 /   R   x2 32 b Iđêan P Nếu (P):x  y Lấy V tập vô hạn điểm đường parabol x  y Thì IV  ( x2  y) Chứng minh: Hiển nhiên ( x2  y)  IV Ta cần chứng minh IV  ( x2  y) Coi đa thức f  k  x, y  đa thức biến y với hệ số k  x  Tương tự thuật tốn Euclid ta viết f  h( x2 -2y)+v  2  Với v  k  x Do V  Z ( x -2y)= ( , )  R /   R  nên f  IV    f ( , 2 )  v( )  0, v  k  x  mà v( )  với vơ hạn số  (vì ta giả thiết tập V gồm vô hạn điểm đường tròn)  v   f  h( x2 -2y)  (x2 -2y) Vậy IV  ( x2  y) 2.4.6 Mô tả tập đại số iđean mặt phẳng R2 đồ thị số hàm số chương trình tốn phổ thơng 2.4.6.1 Hàm bậc mặt phẳng R2 Dạng y = ax3  bx2  cx  d (a  0) a Tập đại số: Cho f  ax3  bx2  cx  y  d ta có Z ( f )  ( , a  b  c  d )  R /   R Chứng minh: Đặt A  ( , a  b  c  d )  R2 /   R Ta thấy ( , a  b  c  d )  A  f ( , a  b  c  d )   ( , a  b  c  d )  Z ( f )  A  Z ( f )(1) 33 Mặt khác, giả sử ( x, y)  Z ( f )  ax3  bx2  cx  y  d   y  ax3  bx  cx  d  ( x, y)  ( x,ax  bx2  cx  d )  z( f )  A(2) Từ (1) (2) suy Z ( f )  ( , a  b  c  d )  R2 /   R b Iđêan *) Nếu y = ax3  bx2  cx  d Lấy V tập vô hạn điểm đồ thị y=ax3  bx2  cx  d (a  0) Thì IV  (ax3  bx2  cx  d  y) Chứng minh: Hiển nhiên (ax3  bx2  cx  d  y)  IV Ta cần chứng minh IV  (ax3  bx2  cx  d  y) Coi đa thức f  k  x, y  đa thức biến y với hệ số k  x  Tương tự thuật tốn Euclid ta viết f  h(ax3 +bx +cx+d-y)+v Với v  k  x Do V  Z (ax3 +bx +cx+d-y)= ( , a  b  c  d )  R2 /   R nên f  IV  f ( , a  b  c  d )  v( )  0, v  k  x mà v( )  với vô hạn số  (vì ta giả thiết tập V gồm vơ hạn điểm đường tròn)  v   f  h(ax3 +bx +cx+d-y)  (ax3 +bx +cx+d-y) Vậy IV  (ax3 +bx +cx+d-y) 2.4.6.2 Hàm bậc bốn trùng phương mặt phẳng R2 Dạng: y = ax  bx2  c(a  0) a Tập đại số: Cho f  ax  bx2  y  c ta có Z ( f )  ( , a  b  c)  R2 /   R Chứng minh: Đặt A  ( , a  b  c)  R2 /   R Ta thấy ( , a  b  c)  A  f ( , a  b  c)   ( , a  b  c)  Z ( f )  A  Z ( f )(1) 34 Mặt khác, Giả sử ( x, y)  Z ( f )  ax  bx2  y  c   y  ax  bx2  c  ( x, y)  ( x,ax  bx2  c)  z( f )  A(2) Từ (1) (2) suy Z ( f )  ( , a  b  c)  R2 /   R b Iđêan Nếu y = ax  bx2  c Lấy V tập vô hạn điểm đồ thị hàm số y=ax  bx2  c(a  0) Thì IV  (ax  bx2  c  y) Chứng minh: Hiển nhiên (ax  bx2  c  y)  IV Ta cần chứng minh IV  (ax  bx2  c  y) Coi đa thức f  k  x, y  đa thức biến y với hệ số k  x  Tương tự thuật tốn Euclid ta viết f  h(ax +bx +c-y)+v Với v  k  x Do V  Z (ax4 +bx +c-y) = ( , a  b  c)  R2 /   R nên f  IV  f ( , a  b  c)  v( )  0, v  k  x mà v( )  với vơ hạn số  (vì ta giả thiết tập V gồm vơ hạn điểm đường trịn)  v  0 f  h (ax +bx +c-y) (ax  +bx4 +c-y)2 Vậy IV  (ax +bx +c-y) 35 KẾT LUẬN Những kết chủ yếu mà luận văn đạt là: 1.Trình bày lại theo hệ thống để phục vụ cho luận văn Đại số giao hốn Trình bày xếp theo hệ thống kèm với chứng minh chi tiết khái niệm tập đại số, tôpô Zariski, iđêan tập đại số, tập đại số bất khả qui tính chất chúng Các chứng minh chúng tơi cụ thể hóa mà tài liệu tham khảo nêu vắn tắt không chứng minh Mô tả số tập đại số đường thẳng, mặt phẳng, không gian iđêan chúng, mô tả tập đại số bất khả qui đường thẳng, mặt phẳng, không gian Nhiều kết chưa đề cập tài liệu tham khảo nên hầu hết chứng minh tự tiến hành Hướng phát triển: Tiếp tục nghiên cứu hình học đại số hình học khác, chẳng hạn Hình học Ơclit, Hình học afin 36 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Ngô Bảo Châu (2003), Giáo trình hình học đại số, http://www.vietmaths.com [2] Văn Như Cương, Tạ Mẫn (2002), Hình học afin hình học Ơclit,Nxb ĐHQG Hà Nội, Hà Nội [3] Văn Như Cương (1977), Lịch sử hình học, Nxb Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội [4] R.Hartshorne (1977), Algebraic Geometry, Spring - Verlag.Bertand [5] Ngô Thúc Lanh (1982), Đại số, Nxb Giáo dục, Hà Nội [6] Nguyễn Huỳnh Phán (2012), Nhập môn hình học đại số, Viện Nghiên cứu Phát triển công nghệ [7] Sách giáo khoa phổ thông (2008), Đại số hình học 10;Đại số giải tích 11; Hình học 11; Giải tích 12; Hình học 12, Nxb Giáo dục [8] Ngô Việt Trung (2012), Nhập môn đại số giao hốn hình học đại số, Nxb Khoa học Tự nhiên Công nghệ [9] Trần Thị Thúy Vinh (2013), Tập đại số không gian chiều thấp iđêan chúng, Luận văn thạc sĩ toán học, Trường Đại học Vinh ... Chương CÁC TẬP ĐẠI SỐ BẤT KHẢ QUI TRÊN ĐƯỜNG THẲNG, TRONG MẶT PHẲNG, TRONG KHÔNG GIAN VÀ IĐÊAN CỦA CHÚNG 20 2.1 Tập đại số đường thẳng iđêan chúng 20 2.2 Tập đại số mặt phẳng iđêan chúng. .. mà tài liệu tham khảo nêu vắn tắt không chứng minh Mô tả số tập đại số đường thẳng, mặt phẳng, không gian iđêan chúng, mô tả tập đại số bất khả qui đường thẳng, mặt phẳng, không gian Nhiều kết... tập bất khả quy 20 Chƣơng CÁC TẬP ĐẠI SỐ BẤT KHẢ QUI TRÊN ĐƢỜNG THẲNG, TRONG MẶT PHẲNG, TRONG KHÔNG GIAN VÀ IĐÊAN CỦA CHÚNG Trong chương mô tả tập đại số R1, R2, R3 cố gắng tính tốn iđêan chúng