Về biến đổi xạ ảnh trên đường thẳng và trên cônic

1 Tr-ờng Đại học Vinh khoa toán *** đặng thị khánh hoa biến đổi xạ ảnh đ-ờng thẳng cônic Khoá luận tốt nghiệp đại học ngành s- phạm toán Vinh - 2008 Tr-ờng Đại học Vinh khoa toán *** biến đổi xạ ảnh đ-ờng thẳng cônic Khoá luận tốt nghiệp đại học ngành s- phạm toán Ng-ời h-ớng dẫn khoa học: Sinh viên thực Lớp PGS.TS Nguyễn hữu quang hiện: đặng thị khánh hoa : 45A toán Vinh - 2008 Mục lục Trang Lời nói đầu Ch-ơng 1: Biến đổi xạ ảnh đ-ờng thẳng I PhÐp chiÕu xuyên tâm II Phép đối hợp đ-ờng thẳng III.ánh xạ xạ ảnh hai chùm đ-ờng thẳng IV øng dông 14 Ch-¬ng 2: Biến đổi xạ ảnh cônic 18 I Định lý Frêgiê 18 II Chïm ®-êng bËc hai 22 III øng dông 26 KÕt luËn 32 Tài liệu tham khảo 33 Lêi nãi đầu Hình học xạ ảnh môn học quan trọng ch-ơng trình đào tạo sinh viên ngành Toán tr-ờng Đại học s- phạm phận hệ thống kiến thức Hình học cao cấp Hình học xạ ảnh cho ta cách nhìn Hình học sơ cấp Về lý thuyết ánh xạ ảnh không gian xạ ảnh hữu hạn chiều đà đ-ợc trình bày nhiều tài liệu viết hình học cao cấp, chẳng hạn [1], [2], [6] Trong khóa luận này, trình bày tính chất hình học biến đổi xạ ảnh đ-ờng thẳng đ-ờng cônic mặt phẳng xạ ảnh thực P2 số ứng dụng chúng Vì khóa luận có tiêu đề "Về biến đổi xạ ảnh đ-ờng thẳng cônic" Khóa luận đ-ợc chia thành hai ch-ơng: Ch-ơng 1: Biến đổi xạ ảnh đ-ờng thẳng Trong ch-ơng này, trình bày chứng minh chi tiết tính chất phép biến đổi xạ ảnh, phép đối hợp đ-ờng thẳng, ánh xạ xạ ảnh hai chùm đ-ờng thẳng ứng dụng chúng Ch-ơng 2: Biến đổi xạ ảnh cônic Trong ch-ơng này, trình bày số tính chất phép biến đổi xạ ảnh phép đối hợp đ-ờng cônic, định lý Đờdác thứ hai ứng dụng để giải số toán hình học sơ cấp Khóa luận đ-ợc hoàn thành tr-ờng Đại học Vinh với h-ớng dẫn PGS.TS Nguyễn Hữu Quang Nhân dịp này, xin cảm ơn thầy cô giáo, gia đình bạn bè đà giúp đỡ suốt trình học tập hoàn thành khóa luận Vinh, tháng năm 2008 Tác giả Ch-ơng Biến đổi xạ ảnh đ-ờng thẳng I Phép chiếu xuyên tâm Giả sử a, b hai đ-ờng thẳng mặt phẳng xạ ảnh thực P2 Ta th-ờng gọi tập hợp điểm thuộc đ-ờng thẳng a hàng điểm a Ta xÐt song ¸nh f : a  b, f đ-ợc gọi ánh xạ xạ ảnh chØ nÕu f b¶o tån tØ sè kÐp cđa điểm Giả sử P điểm cố định P2 không thuộc a,b 1.1 Định nghĩa ánh xạ f : a b biến điểm M a thành điểm M' = a PM đ-ợc gọi phép chiếu xuyên tâm, điểm P gọi tâm chiếu (H1.1) P a M b Q M' -H1.1- Dễ thấy f ánh xạ xạ ảnh hai hàng điểm a, b Q = a b điểm bất động f (tức f (Q) = Q) Điểm Q đ-ợc gọi điểm tự ứng f 1.2 Định lý: ánh xạ xạ ảnh f : a b phép chiếu xuyên tâm Q điểm tự ứng Chứng minh: Giả sử f (Q) = Q Khi a ta lấy hai điểm phân biệt A,B khác với Q Ta ký hiÖu A' = f (A), B' = f (B), P = AA'  BB' (H1.2) P a B A b Q A' - H 1.2 - B' Giả sử f ' phép chiếu xuyên tâm với tâm chiếu điểm P Khi đó: f '(A) =A', f '(B) = B' , f '(Q) = Q Với điểm M a, ta ký hiƯn M' = f '(M) Khi ®ã ta cã: [A, B, Q, M] = [A', B', Q', M'] Mặt khác : [A, B, Q, M] = [f(A), f(B), f (Q), f(M) Ta suy [f(A), f(B), f(Q), f(M)] = [A', B', Q', M']  f(M) = M'  f  f' Vậy f phép chiếu xuyên tâm Ng-ợc lại f phép chiếu xuyên tâm hiển nhiên f(Q) = Q II Phép đối hợp đ-ờng thẳng 1.3 Định nghĩa Phép đối hợp đ-ờng thẳng a phép biến đổi xạ ảnh f : a a, cho f2 = id * NhËn xÐt: + Nếu f phép đối hợp đ-ờng thẳng a với cặp điểm t-ơng ứng M, M' f ta có M' = f (M) M = f (M') + NÕu f lµ mét phÐp biÕn đổi xạ ảnh đ-ờng thẳng a có ma trận A f phép đối hợp vµ chØ cã mét sè k ≠ 0, cho: AA = kI (I ma trận đơn vị) 1.4 Định lý: Giả sử a đ-ờng thẳng P2 Phép biến đổi xạ ảnh f , khác với phép đồng đ-ờng thẳng a, phép đối hợp có hai điểm phân biƯt M, M' cho M' = f (M) vµ M = f (M') Chứng minh: Điều kiện cần: Giả sử f phép đối hợp khác với phép đồng a f song ánh nên tồn điểm M a, cho M' = f (M) M Do f phép đối hợp nên M = f2 (M) = f(M') Điều kiện đủ: Giả thiết f phép biến đổi xạ ảnh khác với phép đồng đ-ờng thẳng a M, M' hai điểm phân biệt cho M' = f(M) vµ M = f(M') Víi  N  a \ M, ta ký hiÖu N' = f(N), N'' = f(N') Khi ®ã: [M, M', N, N'] = [M', M, N', N''] = [M, M', N'', N'] Ta suy N N'' Mặt khác: N'' = f(N') = f2(N) Do ®ã N = f2(N),  N a \ M Vậy f phép đối hợp 1.5 Mệnh đề: Giả sử điểm A, B, C, D nằm đ-ờng thẳng a cho [A, B, C, D] = -1 vµ f : a  a phép biến đổi xạ ảnh cho f(A) = C, f(C) = B, f(B) = D Khi ®ã f phép đối hợp Chứng minh: Ta có [A, B, C, D] = [f(A), f(B), f(C), f(D)] = [C, D, B, f(D)] = [B, f(D) , C, D]  [ f ( D), B, C , D] Tõ [A, B, C, D] = - ta suy [f(D), B, C, D] = -  [A, B, C, D] = [f(D), B, C, D]  f(D) = A   f ( A)  f ( f ( A))  f (C )  B    f ( B)  f ( f ( B))  f ( D)  A Nh- vËy a có hai điểm A,B phân biệt thỏa mÃn f2(A) = B, f2(B) = A Do đó, theo định lý (1.4) f2 phép đối hợp 1.6 Mệnh đề: Giả sử ba điểm A, B, C lần l-ợt thuộc ba đ-ờng thẳng không đồng quy a,b,c và: f1: a b phép chiếu xuyên tâm, với tâm C; f2: b c phép chiếu xuyên tâm, với tâm A; f3: c a phép chiếu xuyên tâm, với tâm B Khi đó, ánh xạ f = f30 f20 f1 phép đối hợp đ-ờng thẳng a Chứng minh: Rõ ràng f: a a biến đổi xạ ảnh đ-ờng thẳng a Ta đặt M = a c, M1 = c  b, M' = b  a (H 1.3) a M A C b  M' B M1 c - H 1.3 Khi ®ã, ta cã:  f1(M) = M1, f2(M1) = M1, f3(M1) = M' f(M) = M' Vµ tõ:  f1(M') = M', f2(M') = M, f3(M) = M f(M') = M Do ba đ-ờng thẳng a,b,c không đồng quy nên M,M' phân biệt Nh- vậy, a có hai điểm M, M' phân biệt thỏa mÃn f(M) = M' f(M') = M Do đó, theo định lý (1.4), f phép đối hợp đ-ờng thẳng a 1.7 Định lý: Giả sử phép đối hợp f: a a đ-ờng thẳng a, khác víi phÐp ®ång nhÊt Khi ®ã nÕu f cã mét điểm bất động P f có điểm bất động Q, Q P điểm M thuộc a có ảnh M' M th× [P, Q, M, M'] = -1 Chøng minh: Do f id, nên tồn điểm A a mµ A  A', A' = f (A) Giả sử X điểm bất động f, tức lµ f(X) = X Ta cã: [A, A', P, X] = [A', A, P, X]   [A, A', P, X] [A, A', P, X] =  NÕu [A, A', P, X] = th× ta suy X  P NÕu [A, A', P, X] = -1 th× ta suy X  Q  P Q điểm bất động thứ hai f Giả sử f có điểm bất động khác I Khi với M a, M' = f(M), ta cã: [P, Q, I, M] = [P, Q, I, M']  M' = M  f = id, trái giả thiết Do f có điểm bất động thứ ba Bây ta gọi M điểm thuộc a mà M M', víi M' = f(M) Ta cã: P = f(P), Q = f(Q), M' = f(M), M=f(M')  [P, Q, M, M'] = [P, Q, M', M]   [P, Q, M, M'] [P, Q, M, M'] =  Vì M M' nên [P, Q, M, M'] = -1 Từ định lý trên, ta nhận thấy rằng: Nếu f : a a phép đối hợp khác phép đồng đ-ờng thẳng a f điểm bất động , f có hai điểm bất động Nếu phép đối hợp f điểm bất động f đ-ợc gọi phép đối hợp eliptic Nếu phép đối hợp f có hai điểm bất động f đ-ợc gọi phép đối hợp hypebolic 10 1.8 Mệnh đề: Mỗi phép đối hợp đ-ờng thẳng hoàn toàn đ-ợc xác định biết hai điểm bất động Mỗi phép đối hợp đ-ờng thẳng hoàn toàn đ-ợc xác định biết ảnh hai điểm khác Chứng minh: Giả sử phép ®èi hỵp f cã hai ®iĨm kÐp P, Q  a, với M a ảnh qua f M' a đ-ợc xác định [P,Q,M,M'] = -1 Điểm M đ-ợc xác định Do phép đối hợp f hoàn toàn đ-ợc xác định, f phép đối hợp hypebolic Giả sử A', B' t-ơng ứng ảnh hai điểm A,B Nếu A' A B' B theo 1), f đà đ-ợc xác định Nếu A' A B' B, chẳng hạn A' A, có phép biến đổi xạ ảnh f a biÕn A thµnh A',B thµnh B' vµ A' thµnh A Do đó, theo định lý (1.4) f phép đối hợp Chú ý: Nếu hai điểm bất ®éng P, Q trïng th× víi mäi ®iĨm M ta ®Ịu cã M'  P  Q ThËt vËy, giả sử M' P Khi [P,Q,M',M] = [P,P,M,M'] = +1 Điều trái với kết luận định lý (1.4) lµ [P,Q,M,M'] = -1 Nh- vËy: toµn bé đ-ờng thẳng xạ ảnh biến thành điểm P, ta nói f phép đối hợp suy biến, hay f phép đối hợp parabolic 1.9 Mệnh đề: Một đ-ờng thẳng tùy ý a cắt cặp cạnh đối diện hình bốn đỉnh toàn phần theo ba cặp điểm t-ơng ứng phép đối hợp đ-ờng thẳng a Chứng minh: Giả sử đ-ờng thẳng a cắt cặp cạnh đối diện hình đỉnh toàn phần SPQR theo ba cặp điểm (A,A'), (B,B'), (C,C') (H1.4) giả sử f phép biến đổi xạ ảnh đ-ờng thẳng a đ-ợc xác định ba cặp điểm 22 2.2 Định lý: Giả sử f : (S) (S) phép biến đổi xạ ảnh khác với phép đồng cônic (S) hai điểm phân biệt M, N (S) với ảnh cđa chóng lµ M' = f(M), N' = f(N) Khi giao điểm MN' M'N nằm đ-ờng thẳng cố định Chứng minh: Ta xét điểm P, Q, R phân biệt cônic(S) Gọi P', Q', R' t-ơng ứng ảnh chúng qua f (H 2.2) Q Rd P R' P' Q' -H 2.2¸p dụng định lý Paxcan vào hình đỉnh PQ'RP'QR' ta có giao điểm PR' P'R, PQ' P'Q, QR' Q'R nằm đ-ờng thẳng, ta gọi d Ta lấy điểm M (S) ký hiệu M' = f(M) Vì f phép biến đổi xạ ảnh cônic (S) nên: [P, Q, R, M](S) = [P', Q', R', M'](S) V×: [P, Q, R, M](S) = [P'P, P'Q, PR, P'M] vµ [P', Q', R', M'](S) = [PP', PQ', PR', PM'] Nªn ta suy ra: [P'P, P'Q, P'R, P'M] = [PP', PQ', PR', PM'] Do điểm P'Q PQ', P'R PR', P'M PM' thẳng hàng, hay P'M PM' thuộc d T-ơng tự, N (S) N' = f (N) PN' P'N d Ta tiếp tục áp dụng định lý Paxcan cho hình đỉnh PM' PN', ta thu đ-ợc giao ®iĨm cđa MN'  M'N  d Nh- vËy giao điểm MN' M'N nằm đ-ờng thẳng d cố định 23 2.3 Định lý Frêgiê: Nếu f: (S) (S) phép đối hợp cônic (S), khác với phép đồng nhất, đ-ờng thẳng nối hai điểm t-ơng ứng f qua điểm cố định (điểm đ-ợc gọi điểm Frêgiê f) Chứng minh: Do f phép đối hợp, khác với phép đồng nên có hai điểm phân biệt M,M' cho M' = f (M) M =f(M') Hay cặp điểm M, M' có ảnh t-ơng ứng M', M Theo định lý (2.2), giao điểm hai tiếp tuyến (S) M M' nằm đ-ờng thẳng d, tức d qua ®iĨm ®èi cùc cđa MM' Do ®ã MM' ®i qua điểm đối cực d Vì đ-ờng thẳng d cố định nên điểm đối cực d cố định Vậy đ-ờng thẳng MM' qua điểm cố định Nhận xét: Giả sử F điểm cố định không nằm cônic (S) Với điểm M  (S), ta lÊy ®iĨm M'  (S) cho F, M, M' thẳng hàng Khi ánh xạ f : (S)  (S) mµ f(M) = M' lµ phép đối hợp (S) Thật vậy: Giả sử M, N hai điểm nằm (S) M', N' t-ơng ứng ảnh M, N qua ánh xạ f Khi có phép biến đổi xạ ảnh nhÊt f cho: f '(M) = M', f '(N) = N, f '(M') = M Tõ ®ã ta suy f ' phép đối hợp có điểm Frêgiê F Hiển nhiên f ' trùng với f Do f phép đối hợp (S) 2.4 Mệnh đề: Giả sử f1, f2 phép đối hợp cônic (S) với điểm Frêgiê t-ơng ứng F1, F2 Khi f10 f2 f20 f1 F1, F2 liên hợp với F1 ®èi víi (S) Chøng minh: M (S) M2 B F2 A M1 M2 -H 2.3- E 24 §iỊu kiện cần: Giả sử f10 f2 f20 f1 Với M (S), ta đặt M1= f1(M), M2 = f2(M), M'2 = ( f10 f2 ) (M), M'1 = ( f20 f1 ) (M) Khi ®ã M'1  M'2 áp dụng định lý Frêgiê, ta có: F1 MM  M M '2  F2  MM  M M '1 Ta ký hiÖu: E = M1 M2 MM'2 xét cạnh toàn phần EMM2M1, đó: [M'2, M2, F1, A] = [M, M1, F1, B] = -1 Ta suy A,B hai điểm thuộc đ-ờng thẳng đối cực F1 với (S) Từ đ-ờng thẳng EF2 đ-ờng thẳng đối cực F1 (S) nên F1 F2 liên hợp với (S) Điều kiện đủ: Giả sử F1, F2 liên hợp với đối víi (S) vµ E1 = M1 M2  MM'1 Ta gọi giao đ-ờng thẳng E1F2 đ-ờng thẳng MM1 B [M, M1, F1, B] = -1 Ta suy B F1 liên hợp với (S) Do E1F2 đ-ờng thẳng đối cực F1 (S) Ta đặt E' = M1 M2  MM'2, F2' = MM'2  M1M'2 Theo chứng minh điều kiện cần, ta có E'F'2 đ-ờng thẳng đối cực F1 (S), F2E1 F'2 E' hai đ-ờng thẳng trùng Ta suy M'1 M'2 Vì M điểm thuộc (S) nên f10 f2 = f20 f1 2.5 Định lý Biến đổi xạ ảnh f khác với phép đồng cônic (S) phép đối hợp có hai điểm phân biệt M,M' cho M' = f(M) M = f(M') Chứng minh: Điều kiện cần: Vì f phép biến đổi xạ ảnh nên f song ánh, tồn điểm M  (S) cho M' = f(M)  M Do f phép đối hợp nên M = f2(M) = f(M') 25 Điều kiện đủ: Giả sử f phép biến đổi xạ ảnh, khác với phép đồng cônic (S) M,M' hai điểm phân biệt cho M' = f(M), M = f(M') Ta cÇn chứng minh f phép đối hợp Với N  (S)\ M, ta ký hiƯu N' = f(N) vµ N'' = f(N') Khi ®ã: [M,M', N, N'] = [M', M, N', N''] = [M', M, N'', N']  N''  N  f2(N) = N ,  N  (S)\ M Vậy f phép đối hợp cônic (S) II Chïm ®-êng bËc hai Trong P2 cho điểm A,B,C,D điểm thẳng hàng Tập hợp đ-ờng bậc hai qua bốn điểm đ-ợc gọi chùm đ-ờng bậc hai, ký hiệu S(A, B, C, D) Bốn điểm A,B,C,D gọi sở chùm Trong số đ-ờng bËc hai cđa chïm S (A,B,C,D) cã ba ®-êng bËc hai suy biến thành cặp đ-ờng thẳng, AB vµ CD, AC vµ BD, AD vµ BC Ngoµi đ-ờng bậc hai khác đ-ờng cônic Nếu điểm E không trùng với bốn điểm A,B,C,D xảy tr-ờng hợp sau: - E thẳng hàng với hai điểm sở đ-ờng bậc hai qua E suy biến thành đ-ờng thẳng - E không thẳng hàng với hai điểm sở Nh- ta đà biết (xem [1]), qua điểm (trong điểm thẳng hàng) luôn có đ-ờng cônic qua Do ®ã cã mét ®-êng bËc hai nhÊt chùm qua E 2.6 Định lý Đờdác thứ hai Giả sử đ-ờng thẳng a không qua điểm A,B,C,D Khi đ-ờng bậc hai chùm S(A,B,C,D) cắt a theo cặp điểm t-ơng ứng với phép đối hợp xác định a 26 Chứng minh: Giả sử (S) ®-êng bËc hai nµo ®ã cđa chïm S (A,B,C,D) Ta gọi M,M' giao điểm đ-ờng thẳng a với đ-ờng bậc hai (S) Ta cần chứng minh tồn phép đối hợp f a cho f (M) = M' vµ f (M') = M Ta cã lục giác ABCDMM' nội tiếp cônic (S) Theo định lý Paxcan ba ®iĨm P = AB  DM, Q = BC  MM' , R = CO  M'A th¼ng hµng Ta ký hiƯu: f1: a  AB lµ phÐp chiếu xuyên tâm, với tâm D; f2: AB CD phép chiếu xuyên tâm, với tâm Q; f3: CD a phép chiếu xuyên tâm, với tâm A Khi đó, theo mệnh đề (1.6) f = f3O f2Of1 : a a phép đối hợp đ-ờng thẳng a dễ thấy f (M) =M' nên (M,M') cặp điểm t-ơng ứng phép ®èi hỵp cđa a Trong tr-êng hỵp ®-êng bËc hai qua bốn điểm A,B,C,D suy biến thành cặp đ-ờng thẳng, chẳng hạn AB CD Khi đó, ta ®Ỉt: N = AB  a , K' = AD  a, H = AC  a N' = CD  a , K = BC  a, H' = BD  a A C H' N B N' K H a K' D -H 2.5vµ f '1: a  AB phép chiếu xuyên tâm, với tâm D; f '2: AB CD phép chiếu xuyên tâm, với tâm K'; f '3: CD a phép chiếu xuyên tâm, với tâm A Theo mệnh đề (1.6) f '3O f '2O f '1 phép đối hợp cđa a vµ f '3O f '2Of '1 (N) = N' (N,N') cặp điểm t-ơng ứng phép đối hợp a 27 T-ơng tự, đ-ờng bậc hai suy biến thành cặp đ-ờng thẳng (AC, BD) hay (AD, BC) (H,H) hay (K,K') cặp điểm t-ơng ứng phép đối hợp a Kết hợp định lý mệnh đề (1.9) ta cã mét sè hƯ qu¶ sau: 2.7 HƯ quả: Mọi đ-ờng thẳng cắt ba cặp cạnh đối diện tứ điểm cắt cônic ngoại tiếp tứ điểm theo bốn cặp điểm t-ơng ứng phép đối hợp Giả sử tam giác ABC nội tiếp cônic (S) Cx tiếp tuyến cônic C Khi đ-ờng thẳng cắt cônic cặp đ-ờng thẳng (AB, Cx), (CA, CB) theo ba cặp điểm t-ơng ứng phép đối hợp (H 2.6) x CD    A  B -H 2.6-  Mọi đ-ờng thẳng cắt cônic hai tiếp tuyến theo hai cặp điểm xác định phép đối hợp, nhận giao điểm đ-ờng thẳng đà cho với đ-ờng thẳng nối hai tiếp điểm làm điểm bất động (H 2.7) DC BA -H 2.72.8 Định lý: Điều kiện cần đủ để đ-ờng thẳng Ax, By, Cz xuất phát từ ba đỉnh tam giác ABC E2 đồng quy cặp đ-ờng thẳng (Ax, BC), 28 (By, CA), (Cz, AB) cắt đ-ờng thẳng thành ba cặp điểm t-ơng ứng phép đối hợp C1 Chứng minh: A A2 z B2 B I B1 y x A1 C C2 -H 2.8Điều kiện cần: Giả sử ba đ-ờng thẳng Ax, By, Cz đồng quy I Thế ba cặp đ-ờng thẳng (Ax, BC), (By, CA), (Cz, AB) ba ®-êng bËc hai suy biÕn thuéc chïm ®-êng bËc hai qua bốn điểm A,B,C,I Theo định lý Đờdác thứ hai ba cặp đ-ờng thẳng cắt đ-ờng thẳng tạo thành ba cặp điểm t-ơng ứng phép đối hợp Điều kiện đủ: Giả sử ba cặp đ-ờng thẳng (Ax, BC), (By, CA), (Cz,AB) cắt đ-ờng thẳng theo ba cặp điểm t-ơng ứng phép đối hợp f Ta ký hiệu: Ta cã A1 =   BC, B1 =   AC, C1 =   AB A2 =   Ax, B2 =   By, C2 =   Cz f:    , f biÕn A1 thµnh A2, A2 thµnh A1, B1 thµnh B2, B2 thµnh B1, C1 thành C2, C2 thành C1 Ta đặt I = Ax By Cz' đ-ờng thẳng qua C O Khi đó, theo chứng minh ba cặp đ-ờng thẳng (Ax, BC), (By, CA), (Cz', AB) cắt đ-ờng 29 thẳng theo ba cặp điểm t-ơng ứng phép đối hợp f ', tức f ':   , f biÕn A1 thµnh A2, A2 thành A1, B1 thành B2, B2 thành B1 Từ đó, ta thấy hai phép đối hợp f f ' có hai cặp điểm t-ơng ứng chung nên chúng đồng nhÊt víi nhau, suy Cz trïng Cz' VËy ba ®-êng th¼ng Ax, By, Cz ®ång quy 2.9 NhËn xÐt a Điều kiện cần đủ để ba điểm A', B', C' theo thứ tự lấy ba cạnh BC, CA, AB tam giác thẳng hàng với có điểm S cho (SA', SA) , (SB', SB), (SC', SC) ba cặp tia t-ơng ứng phép đối hợp b Khi ta lấy đ-ờng thẳng làm đ-ờng thẳng vô tận, nối cặp điểm t-ơng ứng với điểm O ta thu đ-ợc kết hình học sơ cấp là: Điều kiện cần đủ để ba đ-ờng thẳng Ax, By, Cz xuất phát từ ba đỉnh tam giác ABC đồng quy cặp tia xuất phát từ điểm O theo thứ tự song song với cặp đ-ờng thẳng (Ax, BC), (By, CA), (Cz, AB) ba cặp tia t-ơng ứng phép đối hợp III ứng dụng đây, việc sử dụng mô hình xạ ¶nh cđa kh«ng gian Afin, ta cã thĨ gi¶i mét toán sơ cấp mặt phẳng E2 Bài toán 1: Ba đ-ờng trung tuyến tam giác đồng quy Chøng minh: Gi¶ sư E2 Ax, By, Cz ba đ-ờng trung tuyến tam giác ABC; I, J lần l-ợt trung điểm AB AC; d đ-ờng thẳng qua I, J Ta xét P2 = E2   Khi ®ã hai ®-êng thẳng IJ BC cắt điểm D (H ) Do Ax,BC cắt d điểm M điểm D; By, CA cắt d hai điểm trùng J; Cz, AB cắt d hai điểm trùng I 30 A z I B y M J x d C D -H 2.9Xét ánh xạ f : d  d, cho I  I , J  J , M  D Ta cã : [I, J, M, D] = (I, J, M) = - (v× D   ) [I, J, D, M]    1 [I, J, M,D] [I, J, M, D] = [I, J, D, M] Từ f phép đối hợp nên (I, I), (J, J), (M, D) ba cặp điểm t-ơng ứng phép đối hợp Theo định lý (2.10) ba đ-ờng trung tuyến tam giác đồng quy điểm Bài toán 2: Giả sử điểm S không thuộc cạnh tam giác ABC đ-ờng thẳng d qua S, đ-ờng thẳng SA', SB', SC' lần l-ợt đối xứng với đ-ờng thẳng SA, SB, SC d (ở ®©y A'  BC, B'  CA, C'  AB) Khi ba điểm A', B', C' thẳng hàng S Chøng minh: A B C d C' -H 2.10- B' A'  31 Gi¶ sư P2 = E2   Ta xét ánh xạ xạ ảnh f : S   S , f biÕn d1 thµnh d2 cho d1 đối xứng với d2 qua d f phép đối hợp Do SA', SB', SC' theo thứ tự ba đ-ờng thẳng đối xứng với SA, SB, SC qua đ-ờng thẳng d nên (SA', SA), (SB',SB), (SC', SC) ba cặp đ-ờng thẳng t-ơng ứng phép đối hợp Vì ba điểm A',B', C' thẳng hàng Bài toán 3: Giả sử PQ dây cung đ-ờng tròn tâm O E Qua trung điểm I PQ ta kẻ hai dây cung AB CD, cho PQ cắt hai dây cung AD BC theo thứ tự M, N Khi ®ã IM = IN Chøng minh: (S) D E P N B I M A Q  C -H 2.11- Bằng việc sử dụng mô hình xạ ảnh E2 ta nhận thấy đ-ờng tròn (O) trở thành đ-ờng cônic (S), với (S) đ-ờng bậc hai thuộc chùm đ-ờng bậc hai với sở (A, B, C, D) Ta gọi đ-ờng thẳng qua dây cung PQ Theo mệnh đề (2.7) I ®iĨm bÊt ®éng qua phÐp ®èi hỵp f cđa ®-êng thẳng đ-ợc xác định cặp điểm (E,F), (P, Q), (M,N) Theo định lý (1.7) f có điểm bất đồng thứ hai I', cặp điểm I,I' chia điều hoà cặp điểm (E,F), (P, Q), (M,N) Vì I trung điểm PQ nên I trung điểm MN Bài toán 4: Giả sử A B hai điểm phân biệt nằm hypebol (H) Đ-ờng thẳng AB cắt hai ®-êng tiƯm cËn cđa (H) t¹i hai ®iĨm C,D Khi hai đoạn thẳng AB CD có trung ®iĨm 32 Chøng minh: B»ng viƯc sư dơng m« hình xạ ảnh E2 ta nhận thấy hypebol (H) trở thành đ-ờng cônic (S), đ-ờng tiệm cận trở thành tiếp tuyến p, q O (S) t-ơng ứng P Q P d p B C A Q (S) I  B D J q -H 2.12Đ-ờng thẳng d xác định cặp điểm (A,B), (C,D) Theo định lý (1.7) f điểm bất động thứ hai I cặp điểm (I,J) chia điều hoà cặp điểm (A,B), (C,D), tøc lµ: [A, B, I,J] = [ C, D, I,J] = -1 Trong mô hình PQ đ-ờng thẳng vô tận nên J điểm vô Do ®ã (A,B,I) = (C, D, I) = - Hay AB CD có trung điểm I Bài toán 5: Giả sử AB đ-ờng kính biến thiên đ-ờng tròn (S) cố định P điểm cố định E2 A', B' t-ơng ứng giao điểm đ-ờng thẳng PA, PB với đ-ờng tròn (S) Khi đó: a Các điểm K = AB' A'B nằm đ-ờng thẳng cố định b Đ-ờng thẳng A'B' qua điểm cố ®Þnh Chøng minh: K A' A  P O B B' -H 2.13- 33 Ta xét toán mô hình xạ ảnh E2 a Vì P điểm cố định nên theo nhận xét (2.3) có phép đối hợp f (S) cho f '(A) = A' f(B) = B' áp dụng ®Þnh lý (2.2), ta cã giao ®iĨm K cđa AB' A'B nằm đ-ờng thẳng cố định b Ta gọi O tâm (S) Vì (S) cố định nên điểm O cố định Từ có phép đối hợp f ' (S) cho f'(A) = B Ta xÐt bỉ ®Ị sau: Bỉ đề: "Nếu f, f ' phép đối hợp (S) f f ' f 0 phép đối hợp (S)" Thật vậy, dƠ thÊy f f ' f lµ mét phÐp biÕn đổi xạ ảnh (S) 0 Với M điểm (S), ta có: ( f f ' f )2 (M) = ( f f ' f ) ( f f ' f ) (M) 0 0 0 = ( f f ' f f f ' f ) (M) 0 0 = ( f f ' f ' f ) (M) (v× f2 = id ) = ( f f ) (M) (v× f'2 = id) 0 0 = M Nh- vËy ( f f ' f )2 = id , hay f f ' f lµ phép đối hợp (S) 0 0 áp dơng bỉ ®Ị ta suy cã mét phÐp ®èi hợp (S) cho f(A') = B' Do theo định lý Frêgiê đ-ờng thẳng A'B' qua điểm cố định Bài toán 6: Giả sử đ-ờng thẳng d cắt ba cạnh BC, CA, AB tam giác ABC lần l-ợt a, b, c điểm a',b',c' lần l-ợt đối xứng với a,b,c qua mét ®iĨm O  d Khi ®ã Aa', Bb', Cc' ®ång quy Chøng minh: d a A c M b'  O B b c' C -H 2.14- a  34 Giả sử P2 = E2 Vì phép xạ ảnh f: d d, f biến điểm I thành điểm I' đối xứng với I qua O nên f phép đối hợp Do a', b', c' theo thứ tự ba điểm đối xứng với a, b, c qua O nên (a,a'),(b,b'), (c,c') ba cặp điểm t-ơng ứng phép đối hợp Từ theo định lý (2.10) đ-ờng thẳng Aa', Bb', Cc' ®ång quy ë mét ®iÓm M 35 KÕt luËn Trong khoá luận này, đà thực đ-ợc việc sau đây: - Trình bày hệ thống chøng minh chi tiÕt c¸c tÝnh chÊt vỊ phÐp biÕn đổi xạ ảnh đ-ờng thẳng (mệnh đề 1.5, mệnh đề1.6, mệnh đề 1.9 ) - Trình bày ứng dụng ánh xạ xạ ảnh đ-ờng thẳng (phần IV, ch-ơng 1) - Trình bày chứng minh chi tiết tính chất phép biến đổi xạ ảnh đ-ờng cônic (mệnh đề 2.4, định lý 2.5 ) - ứng dụng phép biến đổi xạ ảnh cônic để làm sáng tỏ số toán hình học sơ cấp (phần III, ch-ơng 2) Trong thời gian tới, tiếp tục tìm hiểu thêm phần ứng dụng định lý Frêgiê, định lý Đờdác thứ hai vào hình học phổ thông 36 Tài liệu tham khảo Văn Nh- C-ơng, Hình học xạ ảnh, NXB Giáo dục, Hà Nội năm 1999 Nguyễn Mộng Hy, Hình học cao cấp, NXB Giáo dục, TP Hồ Chí Minh năm 2002 Nguyễn Mộng Hy, Bài tập hình học cao cấp, NXB Giáo dục, TP Hồ Chí Minh năm 2002 Nguyễn Hữu Quang - Tr-ơng Đức Hinh, Bài tập hình học xạ ảnh, ĐHSP Vinh năm 2000 Nguyễn Cảnh Toàn, Hình học cao cấp, NXB Giáo dục, Hà Nội năm 1979 ... đ-ờng thẳng đ-ờng cônic mặt phẳng xạ ảnh thực P2 số ứng dụng chúng Vì khóa luận có tiêu đề "Về biến đổi xạ ảnh đ-ờng thẳng cônic" Khóa luận đ-ợc chia thành hai ch-ơng: Ch-ơng 1: Biến đổi xạ ảnh. .. đ-ờng thẳng Trong ch-ơng này, trình bày chứng minh chi tiết tính chất phép biến đổi xạ ảnh, phép đối hợp đ-ờng thẳng, ánh xạ xạ ảnh hai chùm đ-ờng thẳng ứng dụng chúng Ch-ơng 2: Biến đổi xạ ảnh cônic. .. dụng ánh xạ xạ ảnh đ-ờng thẳng (phần IV, ch-ơng 1) - Trình bày chứng minh chi tiết tính chất phép biến đổi xạ ảnh đ-ờng cônic (mệnh đề 2.4, định lý 2.5 ) - ứng dụng phép biến đổi xạ ảnh cônic để