Biến đổi xạ ảnh đối hợp của đường thẳng và đường cong

- 1 - Lời nói đầu Qua việc nghiên cứu phép biến đổi xạ ảnh, đặc biệt là về phép biến đổi xạ ảnh đối hợp cùng với những tính chất của nó, thấy rằng nếu vận dụng khéo léo các tính chất đó và sử dụng thành thạo mô hình xạ ảnh của không gian Ơclit thì giải quyết một số bài toán hình học sơ cấp một cách rất hiệu quả. Nội dung của khoá luận này chủ yếu khảo sát một số tính chất của phép biến đổi xạ ảnh đối hợp trên đờng thẳng xạ ảnh và đờng Cônic, đồng thời sử dụng các tính chất đó và mô hình xạ ảnh của không gian Ơclit để làm sáng tỏ một số bài toán hình học sơ cấp. Khoá luận này đợc trình bày thành 4 mục chính. Đ1. Một số kiến thức chuẩn bị Mục này đa ra một số kiến thức cơ bản nhằm phụ vụ cho Đ2, Đ3,Đ4, Nh tính chất tỉ số kép, định lý về sự xác định phép ánh xạ, mô hình xạ ảnh của không gian Ơclit Đ2. Phép đối hợp của đờng thẳng xạ ảnh Mục này đa ra khái niệm về phép biến đổi xạ ảnh đối hợp của đờng thẳng, một số tính chất về điểm bất động và sự xác định một phép đối hợp của đờng thẳng. Đ3. Phép đối hợp của đờng Cônic Mục này đa ra khái niệm về phép biến đổi xạ ảnh đối hợp của đờng Cônic, một số tính chất về điểm bất động. Đ4. Vận dụng ánh xạ đối hợp để giải một số bài toán hình học sơ cấp. Khoá luận này đợc thực hiện và hoàn thành tại trờng Đại học Vinh dới sự hớng dẫn và chỉ bảo nhiệt tình của TS Nguyễn Duy Bình. Nhân dịp này, tôi xin đợc tỏ lòng biết ơn chân thành nhất đến thầy. Đồng thời cảm ơn các thầy, các cô, đặc biệt là các thầy cô trong tổ hình học, các bạn sinh viên trong khoa Toán - 2 - Trờng Đại học Vinh đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình làm khóa luận cũng nh học tập và rèn luyện tại trờng. Do sự hạn chế và thời gian cũng nh năng lực nên khóa luận này không tránh khỏi những thiếu sót, rất mong đợc sự đánh giá, phê bình và góp ý của các thầy, cô giáo cùng các bạn sinh viên. Tôi xin chân thành cảm ơn! Vinh, tháng 5 năm 2006. Tác giả - 3 - Đ 1. Một số kiến thức chuẩn bị 1.1. Định nghĩa không gian xạ ảnh. Cho V n (n 1) là không gian véc tơ trên trờng K. Ta ký hiệu [V n ] là tập hợp các không gian véc tơ con một chiều của V n . Cho một tập hợp P khác rỗng, K- không gian véc tơ n+1 chiều V n+1 và một song ánh p: [V n+1 ] P khi đó , bộ ba ( P, p, V n+1 ) đợc gọi là không gian ánh xạ n chiều trên trờng K, liên kết với K không gian véc tơ V n+1 bởi song ánh p. Ta có thể ký hiệu không gian ánh xạ đó là P, và để chỉ rõ nó có số chiều bằng n, ta ký hiệu nó là P n . Mỗi phần tử của P n là một điểm của không gian xạ ảnh P n . Gọi u là véc tơ khác 0 của V n+1 và < u > là không gian véc tơ con một chiều sinh bởi u thì P(< u >) = U là một điểm nào đó của P n . Khi đó ta nói rằng véc tơ u là đại diện của điểm U. Cố nhiên hai véc tơ u và 'u (khác 0 ) cùng đại diện cho một điểm khi mà chỉ khi chúng phụ thuộc tuyến tính. 1.2. Định nghĩa phẳng trong không gian xạ ảnh: Cho không gian xạ ảnh ( P, p, V n+1 ). Gọi W là không gian véctơ con m+1 chiều của V n+1 (m 0). Khi đó, tập hợp p([W]) đợc gọi là cái phẳng m chiều (hoặc là m_ phẳng của P n ). Nh vậy , mỗi điểm P n là một 0_ Phẳng. - Phẳng một chiều (hay 1_phẳng) còn gọi là đờng thẳng. - Phẳng hai chiều (hay 2_phẳng) còn gọi là mặt phẳng. - Phẳng (n-1) chiều (hay (n-1)_phẳng) còn gọi là siêu phẳng. Hiển nhiên m _Phẳng p([W]) là một không gian xạ ảnh m chiều liên kết với không gian Vectơ W bởi song ánh: p/[W]: [W] p([W]) 1.3. Định nghĩa hệ điểm độc lập: - 4 - Hệ r điểm (r 1) của không gian ánh xạ P n gọi là hệ điểm độc lập nếu hệ r vectơ đại diện cho chúng là hệ véc tơ độc lập tuyến tính trong V n+1 . Hệ điểm không độc lập là hệ điểm phụ thuộc. 1.4. Mục tiêu xạ ảnh. Cho không gian xạ ảnh P n liên kết với K_ không gian vectơ V n+1 . Một tập hợp có thứ tự gồm n+2 điểm của P n {S 0 , S 1 , S 2 , S n ; E} đợc gọi là mục tiêu xạ ảnh nếu bất kỳ n+1 điểm trong n+2 điểm đó đều độc lập. Ta dễ thấy rằng mục tiêu xạ ảnh là tồn tại. Các điểm S i gọi là đỉnh của mục tiêu xạ ảnh, điểm E gọi là điểm đơn vị. 1.5. Toạ độ của điểm đối với mục tiêu xạ ảnh. Trong K_không gian xạ ảnh P n liên kết với V n+1 cho mục tiêu xạ ảnh {S i ;E} i= n,0 có đại diện là cơ sở { i e } i= no, của V n+1 . Với mỗi điểm X bất kỳ của P n ta lấy vectơ x đại diện cho X. Khi đó tạo độ (x 0 , x 1 , ,x n ) của véc tơ x đối với cơ sở { i e } cũng đợc gọi là toạ độ của điểm X đối với mục tiêu { S i , E} và viết X = (x 0 , x 1 , ,x n ). 1.6. Tỷ số kép. 1.6.1. Tỷ số kép của bốn điểm thẳng hàng. Trong K_không gian xạ ảnh P n liên kết với V n+1 cho 4 điểm thẳng hàng A, B, C, D trong đó có ba điểm đôi một không trùng nhau. Ta gọi a , b , c , d là các véc tơ lần lợt đại diện cho các điểm A, B, C, D thì các vectơ đó thuộc một không gian vectơ hai chiều, trong đó a và b độc lập tuyến tính. Suy ra có các số k 1 , l 1 và k 2 , l 2 sao cho: c = k 1 a + l 1 b d = k 2 a + l 2 b (Ta chú ý rằng , k 1 0 và l 1 0 vì C không trùng với A và với B). Khi đó nếu 2 2 k l : 1 1 k l có nghĩa (tức là l 2 0), thì nó đợc gọi là tỷ số kép của 4 điểm thẳng hàng A, B, C, D và kí hiệu là [A,B,C,D]. - 5 - Nếu l 2 = 0 thì phân số 2 2 k l không có nghĩa khi đó ta xem tỉ số kép của 4 điểm A, B, C, D bằng (vô cùng). Nh vậy là : 2 2 k l : 1 1 k l Nếu l 2 0 Nếu l 2 = 0 Tính chất : [ B, A, C, D] = [A, B, D, C] = D]C,B,[A, 1 . [B, A, D,C] = [A, B, C, D]. [C, D, A,B] = [A, B, C, D]. [A, C, B, D] = [D, B, C, A] = 1- [A, B, C, D]. Nếu A, B, C, D, E là 5 điểm thẳng hàng phân biệt thì: [A, B, C, D]. [A, B, D, E] = [A, B, C, E]. [A, B, C, D] = -1 thì A, B, C, D đợc gọi là thẳng hàng điểm điều hoà. 1.6.2. Tỷ số kép của chùm bốn siêu phẳng. 1.6.2.1. Chùm siêu phẳng. Trong không gian xạ ảnh P n , tập hợp các siêu phẳng cùng đi qua một (n- 2)_phẳng đợc gọi là chùm siêu phẳng, với giá là (n-2)_phẳng đó. Dĩ nhiên một chùm siêu phẳng đợc xác định khi cho giá của nó , hoặc cho hai siêu phẳng nào đó của chùm. 1.6.2.2. Tỷ số kép của bốn siêu phẳng thuộc một chùm Định lý. Cho bốn siêu phẳng U, V, W, Z thuộc một chùm, trong đó U,V,W đôi một phân biệt. Nếu d là đờng thẳng cắt bốn siêu phẳng đó lần lợt tại các điểm A, B, C, D (không cắt giá của chùm) thì tỷ số kép của bốn điểm đó không phụ thuộc vào vị trí của đờng thẳng d. Tỷ số kép nói trên đợc gọi là tỷ số kép của chùm bốn siêu phẳng kí hiệu [U, V, W, Z]. Chú ý: [A,B,C,D] = - 6 - - Bốn siêu phẳng U, V, W, Z của một chùm đợc gọi đợc gọi là chùm bốn siêu phẳng điều hoà nếu [U, V, W, Z] = -1. Khi đó ta nói : Cặp siêu phẳng U,V chia điều hoà cặp W, Z . - Từ định lý trên ta suy ra tỷ số kép của bốn chùm siêu phẳng có các tính chất tơng tự nh tỷ số kép của bốn điểm thẳng hàng. 1.7. Nguyên tắc đối ngẫu. Giả sử M là một mệnh đề nào đó trong không gian xạ ảnh P n nói về các phẳng và các quan hệ liên thuộc giữa chúng. Nếu trong mệnh đề nào đó các từ r_phẳng đợc thay bằng các từ (n-r-1)_phẳng, các từ khác giữ nguyên thì ta đợc mệnh đề mới M * gọi là mệnh đề đối ngẫu của mệnh đề M . Cố nhiên mệnh đề M là mệnh đề đối ngẫu của mệnh đề M * , bởi vậy ta nói M và M * là cặp mệnh đề đối ngẫu với nhau. Trong không gian xạ ảnh cặp mệnh đề đối ngẫu với nhau hoặc cùng đúng, hoặc cùng sai. Ta lu ý đến cách thành lập mệnh đề đối ngẫu trong P 2 và P 3 . Trong P 2 , có mệnh đề đối ngẫu của mệnh đề M ta thay trong M từ các điểm bởi các từ đờng thẳng và ngợc lại , còn các từ khác giữ nguyên. Trong P 3 , để có mệnh đề đối ngẫu của mệnh đề M ta thay trong M các từ điểm bởi các từ mặt phẳng và ngợc lại , còn các từ khác giữ nguyên. 1.8. ánh xạ xạ ảnh. 1.8.1. Định nghĩa. Cho các K_không gian xạ ảnh (P,p,V) và các (P, p, V). Một ánh xạ f: P P đợc gọi là ánh xạ xạ ảnh nếu có ánh xạ tuyến tính :V V sao cho nếu các x V là điểm đại diện của X P thì Vectơ ( x ) V là đại diện của điểm f(X) P. Khi đó ta nói rằng ánh xạ tuyến tính là đại diện cho ánh xạ xạ ảnh f. 1.8.1. Tính chất của ánh xạ xạ ảnh. Cho ánh xạ xạ ảnh f: P P, có đại diện là ánh xạ tuyến tính : V V. Khi đó: - 7 - - ánh xạ tuyến tính là đơn cấu. - ánh xạ xạ ảnh f là đơn ánh. - ánh xạ xạ ảnh bảo tồn tính độc lập và tính phụ thuộc của một hệ điểm. - Mỗi đơn cấu tuyến tính : V V là đại diện cho một ánh xạ ảnh duy nhất f: P P. 1.8.2. Định lý về sự xác định phép ánh xạ xạ ảnh. Định lý. Cho hai K_không gian xạ ảnh P và P có số chiều lần l ợt là n và m (n m). Trong P cho mục tiêu xạ ảnh { S 0 , S 1 , S 2 , S n ; E} và trong P cho hai điểm n +2 điểm phụ thuộc S 0 , S 1 , S 2 , S n ; E sao cho bất kỳ n+1 điểm trong trong số đó đều độc lập . Khi đó , có một và chỉ một ánh xạ xạ ảnh f: P P sao cho f(S i ) = S i , i = 0,1,2, .,n và f(E) = E . 1.9. Biến đổi xạ ảnh và biểu thức toạ độ (hay phơng trình ) của biến đổi xạ ảnh . 1.9.1. Định nghĩa. Một ánh xạ xạ ảnh f: P n P m là song ánh đợc gọi là đẳng cấu xạ ảnh. Ta thấy , ánh xạ xạ ảnh f: P n P m là đẳng cấu khi và chỉ khi dim P n = dimP m khi và chỉ khi n = m. Đẳng cấu xạ ảnh f: P n P n đợc gọi là biến đổi xạ ảnh . 1.9.2. Phơng trình của biến đổi xạ ảnh. Trong P n cho một mục tiêu {S 0 , S 1 , S 2 , S n ; E}có cơ sở tơng ứng là { ai }, i = 0, 1, 2, . n; f là biến đổi xạ ảnh của P n cảm ứng sinh bởi : V n+1 V n+1 . Với mỗi một điểm X P n , gọi X = f (X) . Giả sử x là véc tơ đại diện cho điểm X thì ( x ) là véctơ đại diện cho X. Vậy với mọi k 0, k ( x ) cũng đại diện cho điểm X. Quy ớc dùng ký hiệu [z] là ma trận toạ độ cột của véc tơ z , [Z] là ma trận toạ độ cột của điểm Z thì ( x ) đợc xác định bởi các biểu thức k[ ( x )] = k.A[x], trong đó det A 0. Nh vậy , k[X] = A[X] (*); k 0 và det A 0. (*) đợc gọi là biểu thức tạo độ (hay phơng trình) của phép xạ ảnh f. - 8 - 1.10. ảnh xạ xạ ảnh giữa hai hàng điểm và hai chùm đờng thẳng. Tập hợp các điểm thuộc một đờng thẳng gọi là một hàng điểm. Trong P 2 cho hai hàng điểm s, s. ánh xạ f: s s là một ánh xạ xạ ảnh khi và chỉ khi nó bảo tồn tỷ số kép của 4 điểm bất kỳ trên s. Tập hợp các đờng thẳng trong P 2 cùng đi qua một điểm O đợc gọi là chùm đờng thẳng tâm O, ký hiệu{O}. Chùm đờng thẳng là khái niệm đối ngẫu với khái niệm hàng điểm (trongP 2 ). Do đó, một ánh xạ f :{O} {O} đợc gọi là ánh xạ nếu có bảo tồn tỷ số kép của 4 đờng thẳng bất kỳ. 1.10.1. Định nghĩa. Trong P 2 cho hai đờng thẳng phân biệt s và s và một điểm I không thuộc chúng. ánh xạ f: s s biến mỗi điểm M s thành điểm M = s IM gọi là phép chiếu xuyên tâm từ s đến s, I gọi là tâm của f. Phép chiếu xuyên tâm là một ánh xạ xạ ảnh giữa hai hàng điểm. 1.10.2. Định nghĩa. Trong P 2 cho hai chùm đờng thẳng phân biệt {O}và{O} và một đờng thẳng d không thuộc chúng (có nghĩa là d không đi qua O và O). ánh xạ xạ ảnh f :{O} {O} biến mỗi đờng thẳng m {O} thành đờng thẳng m qua O và m d đợc gọi là phép chiêu xuyên trục, d gọi là trục của phép chiếu. Rõ ràng phép chiếu xuyên trục là khái niệm đối ngẫu của phép chiếu xuyên tâm. 1.11. Mô hình xạ ảnh của không gian Ơclit. Cho P n (R) là không gian xạ ảnh thực n chiều. Lấy một siêu phẳng của P n , thì có mô hình xạ ảnh n p A = P n \ của không gian afin thực n chiều xác định bởi mục tiêu xạ ảnh { S 0 , S 1 , S 2 , S n ; E}với S 1 , S 2 , S n . Xét mục tiêu trên không gian afin { S 0 , 1 e , 2 e , ., n e }, trong đó i e = S 0 i E ( i=1,2,3, .,n) và E i là giao điểm của S 0 , S i với siêu phẳng i đi qua E, S j mà j = 1,2,3, .,n ; j i. Có thể cho một tích vô hớng trong n p A nh sau: Với x = x 1 1 e + x 2 2 e + . +x n n e ; y = y 1 1 e + y 2 2 e + . +x n n e - 9 - thì ( x , y ) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + . + x n y n . Khi đó n p A trở thành một không gian Ơclit n_chiều, kí hiệu là n p E và gọi là mô hình xạ ảnh của không gian Ơclit n chiều. Xét không gian mở rộng P n (C) của P n . Đặt Q là tập hợp những điểm của P n (C) có toạ độ xạ ảnh (x 0 , x 1 , x 2 , ., x n ) thoả mãn phơng trình x 1 2 + x 2 2 + . + x n 2 = 0. Nếu xem là không gian P n-1 (C) thì Q là một siêu mặt bậc hai của nó gồm toàn những điểm ảo. Ta gọi Q là cái tuyệt đối của n p E . Trờng hợp n=3, thì Q là một đờng bậc hai (chỉ có các điểm ảo) gọi là đ- ờng rốn của 3 p E . Trờng hợp n=2, thì Q là một cặp điểm ảo liên hợp gọi là cặp điểm xylic của 2 p E và thờng ký hiệu là {I,J}. Đ 2. Phép đối hợp của đờng thẳng xạ ảnh 2.1. Định nghĩa: Cho s là một đờng thẳng trong P n . Phép biến đổi xạ ảnh f: s s đợc gọi là phép biến đổi xạ ảnh đối hợp (gọi tắt là phép đối hợp) của s nếu f 2 = Id s . Nghĩa là mọi cặp điểm M, M tơng ứng đối với f ta đều có f(M) = M, f(M) = M. Giả sử f là phép biến đổi xạ ảnh của s ta có ma trận của phép biến đổi là A, biến đổi f gọi là phép đối hợp khi và chỉ khi có một số k 0 sao cho AA = kI. 2.2. Định lý . Cho s là một đờng thẳng trong P n . Phép biến đổi xạ ảnh khác đồng nhất f: s s là phép đối hợp của s khi và chỉ khi có hai điểm phân biệt M và M sao cho M = f(M) và M = f(M ). Chứng minh: - 10 - Điều kiện cần: Nếu f là phép đối hợp khác đồng nhất của S thì hiển nhiên có cặp điểm M, M nh thế . Điều kiện đủ: Giả sử f là phép biến đổi xạ ảnh của s và có M, M sao cho M = f(M) và M = f(M) với mọi điểm N s/M ta gọi N=f(N) và N = f(N) thì ta có [M, M, N, N] = [M, M, N, N] (1) (Theo tính chất của phép biến đổi xạ ảnh). Mặt khác theo tính chất của tỷ số kép ta lại có. [M, M, N, N] = [M, M, N, N] (2) Từ (1) và (2) suy ra N trùng với N. Vậy f là phép đối hợp. 2.3. Định lý: (Về điểm bất động của phép đối hợp). Cho phép đối hợp f: s s của đờng thẳng s khác với phép đồng nhất. Nếu f có một điểm bất động P thì nó còn có một và chỉ một điểm bất động nữa Q khác P; và nếu điểm M của s có ảnh M khác M thì [P, Q, M, M ] = -1. Chứng minh: Vì f không phải là phép đồng nhất nên tồn tại điểm A khác với ảnh A= f(A). Điểm X s là điểm bất động của f khi và chỉ khi [A, A, P, X] = [A, A, P, X] (theo tính chất của phép biến đổi xạ ảnh) tức là khi và chỉ khi [A, A, P, X] = X]P,,A'[A, 1 Hay [A, A, P, X] = 1 - Nếu [A, A, P, X] = 1 thì X trùng với P. - Nếu [A, A, P, X] = -1 thì ta gọi X là Q, là điểm bất động thứ hai. Không thể có điểm bất động thứ 3 vì f khác phép đồng nhất. Nếu gọi M là điểm bất kỳ của S và M = f(M) khác M thì [P, Q, M, M] = [P, Q, M, M] = ]',,,[ 1 MMQP . Suy ra [P,Q,M,M] = 1 nhng M M nên [P, Q, M, M] = -1. 2.4. Hệ quả: Nếu f: s s là phép đối hợp khác đồng nhất của đờng thẳng s thì hoặc f không có điểm bất động nào hoặc có đúng hai điểm bất động. Nếu f không có điểm bất động thì ta gọi nó là phép đối hợp eliptic. . ánh xạ, mô hình xạ ảnh của không gian Ơclit Đ2. Phép đối hợp của đờng thẳng xạ ảnh Mục này đa ra khái niệm về phép biến đổi xạ ảnh đối hợp của đờng thẳng, . số tính chất của phép biến đổi xạ ảnh đối hợp trên đờng thẳng xạ ảnh và đờng Cônic, đồng thời sử dụng các tính chất đó và mô hình xạ ảnh của không gian