Phép đối hợp trên đường thẳng xạ ảnh và đường ôvan

- 2 - Mục lục Mục lục Trang 2 Lời nói đầu. 3 Đ 1. Một số kiến thức cơ bản. 4 Đ 2. Phép biến đổi xạ ảnh đối hợp của đờng thẳng và đờng ôvan. 9 Đ 3. Vận dụng phép biến đổi xạ ảnh đối hợp giải các bài toán sơ cấp. 22 Tài liệu tham khảo. 32 - 3 - Lời nói đầu Qua việc nghiên cứu phép biến đổi xạ ảnh, đặc biệt là phép biến đổi xạ ảnh đối hợp và các tính chất của nó, thấy rằng nếu vận dụng khéo léo các tính chất đó và sử dụng thành thạo mô hình xạ ảnh của không gian Ơclít thì giải quyết một số bài toán hình học sơ cấp một cách rất hiệu quả. Nội dung của khoá luận này chủ yếu khảo sát một số tính chất của phép biến đổi xạ ảnh trên đờng thẳng và đờng ôvan, đồng thời sử dụng các tính chất đó và mô hình xạ ảnh của không gian Ơclít để làm sáng tỏ một số bài toán hình học sơ cấp. Khoá luận đợc trình bày thành 3 mục chính: Đ1. Các kiến thức cơ bản. Mục này đa ra một số kiến thức phục vụ cho Đ2, Đ3. nh tính chất của tỷ số kép, định lý về sự xác định phép ánh xạ xạ ảnh. Đ2. Phép biến đổi xạ ảnh đối hợp của đờng thẳng và đờng ôvan. Mục này đa ra khái niệm về phép biến đổi xạ ảnh đối hợp của đờng thẳng và đờng ôvan, một số tính chất về điểm bất động và sự xác định một phép đối hợp của đờng thẳng. Đ3. Vận dụng ánh xạ đối hợp để giải các bài toán sơ cấp. Mục này đa ra các bài toán sơ cấp rồi dùng mô hình xạ ảnh của không gian Ơclit và các tính chất của phép đối hợp để giải. Khoá luận này đợc thực hiện và hoàn thành tại trờng Đại học Vinh dới sự hớng dẫn và chỉ bảo nhiệt tình của TS Nguyễn Duy Bình. Nhân dịp này, tôi xin đợc tỏ lòng biết ơn chân thành đến thầy. Đồng thời cảm ơn các thầy, cô giáo trong khoa - trờng đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và rèn luyện tại trờng Đại học Vinh. Do sự hạn chế về thời gian cũng nh năng lực nên khoá luận không tránh khỏi những thiếu sót, rất mong đợc sự đánh giá, phê bình và góp ý của các thầy, cô giáo. Tôi xin chân thành cảm ơn. Vinh, ngày 3 tháng 5 năm 2002. Sinh viên: Phan Thị Lệ Giang Đ1. Một số kiến thức cơ bản - 4 - 1.1. Định nghĩa không gian xạ ảnh. V n (n 1) là không gian vectơ n chiều trên trờng K. Kí hiệu [V n ] là tập tất cả các không gian con một chiều của V n . P là một tập hợp khác rỗng. Nếu có song ánh p: [V n+1 ]P thì bộ ba (P, p, V n+1 ) gọi là không gian xạ ảnh n - chiều liên kết với không gian V n+1 bởi ánh xạ liên kết p. Không gian xạ ảnh còn đợc kí hiệu bởi P, không gian xạ ảnh n - chiều ký hiệu P n . Mỗi phần tử A P đợc gọi là một điểm của không gian xạ ảnh. Nếu P(V 1 ) = A, V 1 V n+1 và 0x sao cho 1 Vx =>< thì x đợc gọi là một vectơ đại diện cho điểm A. Hai vectơ đại diện cùng một điểm thì cộng tuyến. 1.2. Định nghĩa phẳng trong không gian xạ ảnh. Cho không gian xạ ảnh (P, p, 1 + n V ), V m+1 là không gian con của 1 + n V . Tập hợp p([ 1 + m V ]) P gọi là một m - phẳng hoặc phẳng m - chiều của P kí hiệu P m , P m = p([V m+1 ]) là một không gian xạ ảnh m - chiều. 0 - phẳng là một điểm, 1- phẳng là một đờng thẳng, 2 - phẳng gọi là mặt phẳng, (n - 1) - phẳng gọi là siêu phẳng. 1.3. Hệ điểm độc lập. Trong không gian xạ ảnh P cho hệ điểm M 1 , M 2 , , M k có hệ vectơ đại diện tơng ứng là k xxx , .,, 21 . Hệ điểm M 1 , M 2 , , M k đợc gọi là hệ điểm độc lập nếu hệ vectơ đại diện { k x } là hệ độc lập tuyến tính. 1.4. Mục tiêu xạ ảnh. - 5 - Trong không gian xạ ảnh P n , hệ gồm có n+2 điểm có thứ tự {A 1 , A 2 , , A n+1 , E} đợc gọi là một mục tiêu xạ ảnh nếu bất kỳ n +1 điểm trong n+2 điểm đó đều độc lập. 1.5. Toạ độ xạ ảnh. Trong không gian xạ ảnh P n cho mục tiêu {A i ; E} và }{ ` = i e là một cơ sở đại diện của mục tiêu, M P n , x là một vectơ đại diện của điểm M. Khi đó toạ độ của điểm M đối với mục tiêu {A i ; E} là toạ độ của x đối với cơ sở }{ ` = i e . 1.6. Tỷ số kép. 1.6.1. Tỷ số kép của 4 điểm thẳng hàng. Trong P n cho 4 điểm A, B, C, D cùng thuộc một đờng thẳng sao cho A khác B, C và D không trùng với A hoặc B. Giả sử, với mục tiêu cho trớc trong P n A, B, C, D có ma trận toạ độ là [A], [B], [C], [D]. Ta có: [C] = 1 [A] + à 1 [B]. [D] = 2 [A] + à 2 [B]. Tỷ số kép của 4 điểm theo thứ tự A, B, C, D, ký hiệu [A, B, C, D] đợc xác định bởi: [A, B, C, D] = 2 2 1 1 : à à . Tính chất: . [B, A, C, D] = [A, B, D, C] = ],,,[ 1 DCBA . . [B, A, D, C] = [A, B, C, D] . Tỷ số kép đợc bảo tồn qua ánh xạ xạ ảnh (xem 1.8). Lu ý: Nếu [A, B, C, D] = -1 thì A, B, C, D đợc gọi là hàng điểm điều hoà. 1.6.2. Tỷ số kép của chùm bốn siêu phẳng. - 6 - 1.6.2.1. Chùm siêu phẳng. Trong không gian xạ ảnh P n , tập hợp các siêu phẳng cùng đi qua một (n-2) - phẳng đợc gọi là chùm siêu phẳng với giá là (n-2) phẳng đó. 1.6.2.2. Tỷ số kép của bốn siêu phẳng thuộc một chùm. Định lý: Cho bốn siêu phẳng U, V, W, Z thuộc một chùm, trong đó U, V, W đôi một phân biệt. Nếu d là đờng thẳng cắt bốn siêu phẳng đó lần lợt tại các điểm A, B, C, D (không cắt giá của chùm) thì tỷ số kép của bốn điểm đó không phụ thuộc vào vị trí của đờng thẳng d. Tỷ số kép nói trên đợc gọi là tỷ số kép của chùm bốn siêu phẳng, kí hiệu [U, V, W, Z]. Chứng minh: Xem [2]. Chú ý: Từ định lý trên ta suy ra tỷ số kép của chùm bốn siêu phẳng có các tính chất tơng tự nh tỷ số kép của bốn điểm thẳng hàng. 1.7 Nguyên tắc đối ngẫu. Giả sử M là một mệnh đề nào đó trong không gian xạ ảnh P n . Nếu trong mệnh đề đó các từ r - phẳng đợc thay bằng các từ (n - r - 1) - phẳng còn các từ khác giữ nguyên thì ta đợc mệnh đề mới M * , gọi là mệnh đề đối ngẫu của M. Dĩ nhiên, M cũng là mệnh đề đối ngẫu của mệnh đề M * . Ta nói M, M * là cặp mệnh đề đối ngẫu của nhau. Trong không gian xạ ảnh cặp mệnh đề đối ngẫu với nhau hoặc cùng đúng hoặc cùng sai. Trong P 2 , để có mệnh đề đối ngẫu của mệnh đề M ta thay trong M các từ điểm bởi các từ đờng thẳng và ngợc lại, còn các từ khác giữ nguyên. 1.8. ánh xạ xạ ảnh. - 7 - 1.8.1. Định nghĩa: Cho các không gian xạ ảnh trên trờng K (P, p, V), (P, p, V). ánh xạ f: P P gọi là ánh xạ xạ ảnh nếu có ánh xạ tuyến tính :VV sao cho với mỗi điểm X P có vectơ đại diện x V thì f(X) P có vectơ đại diện là ( x ) V. 1.8.2. Định lý về sự xác định phép ánh xạ xạ ảnh. Định lý: Cho hai K - không gian xạ ảnh P n và P m (n m). Trong P n cho mục tiêu xạ ảnh {A 1 , , A n+2 } trong P m cho n+2 điểm phụ thuộc ' 2 ' 1 , ., + n AA sao cho bất kỳ n+1 điểm trong số đó đều độc lập. Khi đó, có một và chỉ một ánh xạ xạ ảnh f: P n P m sao cho f(A i ) = ' i A , i = 1, , n+2. 1.9. Biến đổi xạ ảnh 1.9.1. Định nghĩa. Một ánh xạ xạ ảnh f: P n P m là song ánh đợc gọi là đẳng cấu xạ ảnh. Ta có, ánh xạ f: P n P m là đẳng cấu dim P n = dim P m . Đẳng cấu xạ ảnh f: P n P n đợc gọi là biến đổi xạ ảnh. 1.9.2. Phơng trình của phép biến đổi xạ ảnh. Trong không gian xạ ảnh P n cho mục tiêu xạ ảnh {A i ;E}, f:P n P n là phép biến đổi xạ ảnh của P n . Hai cặp điểm tơng ứng X,X có toạ độ đối với mục tiêu trên là X(x 1 ::x n+1 ), X( ' 1 x :: ' 1 + n x ) đợc liên hệ với nhau bởi công thức: + = = 1 1 ' n j jiji xakx , i=1,,n+1. A= (a ij ) là ma trận của phép biến đổi f. 1.10. ánh xạ xạ ảnh giữa hai hàng điểm và hai chùm đờng thẳng - 8 - Tập hợp các điểm thuộc một đờng thẳng gọi là một hàng điểm. Trong P 2 cho hai hàng điểm s,s. Song ánh f: ss là một ánh xạ xạ ảnh khi và chỉ khi nó bảo tồn tỉ số kép của 4 điểm bất kỳ trên s. Tập hợp các đờng thẳng trong P 2 cùng đi qua một điểm S đợc gọi là chùm đờng thẳng tâm S, ký hiệu {S}. Chùm đờng thẳng là khái niệm đối ngẫu của khái niệm hàng điểm (trong P 2 ). Do đó một ánh xạ f:{S}{S| đợc gọi là ánh xạ xạ ảnh nếu nó bảo tồn tỉ số kép của 4 đờng thẳng bất kỳ. Định nghĩa: Trong P 2 cho hai đờng thẳng phân biệt s,s và một điểm P không thuộc chúng. ánh xạ f: ss biến mỗi điểm M s thành điểm M = s PM gọi là phép chiếu xuyên tâm từ s đến s, P gọi là tâm của f. Phép chiếu xuyên tâm là một ánh xạ xạ ảnh giữa hai hàng điểm. 1.11. Mô hình xạ ảnh của không gian Ơclit. Cho P n (R) là không gian xạ ảnh thực n chiều. Lấy một siêu phẳng W nào đó của P n (R) thì ta có thể xây dựng tập hợp A n = P n (R)\W thành một mô hình xạ ảnh của không gian Afin thực n chiều liên kết với không gian vectơ R n . Bây giờ ta đa vào không gian vectơ R n một tích vô hớng thì không gian Afin A n trở thành không gian Ơclit E n , nói đúng hơn trở thành một mô hình của không gian Ơclit n chiều. Xét mô hình E n = P n \W, trong đó siêu phẳng W ở vô tận. Xét một siêu mặt trái xoan ảo (T) có phơng trình đối với mục tiêu xạ ảnh của P n là: =+ = 0 0x 2 3 2 2 1 xx (T) gọi là cái tuyệt đối của không gian Ơclit E n . Trong trờng hợp n =2: - 9 - - (T) không chứa điểm nào của P 2 . Nếu xét không gian mở rộng phức của P 2 thì (T) gồm hai điểm ảo I = (0:1:i), J = (0: 1:-i). Hai điểm đó gọi là hai điểm xiclic của mặt phẳng Ơclit. - Hai đờng thẳng trong mặt phẳng Ơclit gọi là vuông góc với nhau khi và chỉ khi hai điểm vô tận của chúng chia điều hoà hai điểm I,J. - Đờng elip trong mặt phẳng Ơclit là đờng tròn khi và chỉ khi nó đi qua hai điểm I,J. - 10 - Đ2.Phép biến đổi xạ ảnh đối hợp của đờng thẳng và đ- ờng ôvan 2.1. Phép biến đổi xạ ảnh đối hợp của đờng thẳng. 2.1.1. Định nghĩa: Cho s là một đờng thẳng trong P n . Phép biến đổi xạ ảnh f: ss đợc gọi là phép biến đổi xạ ảnh đối hợp (gọi tắt là phép đối hợp) của s nếu f 2 = Id s . Nghĩa là với mọi cặp điểm M,M tơng ứng đối với f ta đều có f(M) = M, f(M) = M. Giả sử f là phép biến đổi xạ ảnh của s có ma trận của phép biến đổi là A, biến đổi f gọi là đối hợp khi và chỉ khi có một số k 0 sao cho AA = kI. 2.1.2. Định lý: Cho s là một đờng thẳng trong P n . Phép biến đổi xạ ảnh khác đồng nhất f: s s là phép đối hợp của s khi và chỉ khi có hai điểm phân biệt M,M sao cho f(M)=M , f(M )=M. Chứng minh: Xem [2] 2.1.3. Định lý: Cho s là một đờng thẳng trong P n . Nếu f:s s là một biến đổi xạ ảnh cho bởi phơng trình: += += 21 ' 2 21 ' 1 dxcxkx bxaxkx thì f là phép đối hợp khác phép đồng nhất của s khi và chỉ khi a+d = 0. Chứng minh: Gọi A là ma trận của s, thì A= dc ba f là biến đổi xạ ảnh đối hợp khi và chỉ khi AA = kI, (k 0) = 1 0 0 1 k d b c a d b c a , (k 0) = + + + + 1 0 0 1 2 2 k dbc bdab cdac bca , (k 0) - 11 - =+ =+ +=+ 0 0 22 cdac bdab dbcbca = = = =+ =+ =+ = 0 0 0 0 0)( 0)( d c b da cda bda da 0 =+ da (vì f không phải là phép đồng nhất) 2.1.4. Định lý: (Về điểm bất động của phép đối hợp) Cho phép đối hợp f:s s của đờng thẳng s khác phép đồng nhất. Nếu f có một điểm bất động P thì nó còn có một và chỉ một điểm bất động nữa Q khác P, và nếu điểm M của s có ảnh M khác M thì [P,Q,M,M ] =-1 Chứng minh: Xem [2] 2.1.5. Hệ quả: Nếu f:ss là phép đối hợp khác đồng nhất của đờng thẳng s thì hoặc f không có điểm bất động nào hoặc có đúng hai điểm bất động. Nếu f không có điểm bất động nào thì ta gọi là phép đối hợp eliptic. Nếu f có hai điểm bất động thì ta gọi là phép đối hợp hypebolic. 2.1.6. Định lý: Cho phép biến đổi xạ ảnh f:s s của đờng thẳng s, A là ma trận của phép biến đổi. Khi đó: Nếu f là phép đối hợp elictic thì |A| > 0 Nếu f là phép đối hợp hypebolic thì |A| < 0