Phép lặp các ánh xạ chỉnh hình trên không gian xạ ảnh

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Mạnh Linh PHÉP LẶP CÁC ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH TRÊN KHƠNG GIAN XẠ ẢNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Mạnh Linh PHÉP LẶP CÁC ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH TRÊN KHƠNG GIAN XẠ ẢNH Chun ngành : Tốn giải tích Mã số : 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN VĂN ĐƠNG Thành phố Hồ Chí Minh - 2016     LỜI CAM ĐOAN Tơi cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tôi, số liệu kết nghiên cứu đề tài trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Tác giả Nguyễn Mạnh Linh     LỜI CẢM ƠN Sau thời gian dài học tập, nghiên cứu đề tài luận văn “Phép lặp ánh xạ chỉnh hình khơng gian xạ ảnh” tác giả hồn thành Tác giả xin bày tỏ lịng cảm ơn chân thành sâu sắc đến:  TS Nguyễn Văn Đơng hết lịng giúp đỡ, động viên, hướng dẫn tận tình để tác giả hồn thành luận văn thạc sĩ  Q thầy phụ trách mơn học khoa Tốn trường đại học khác tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tác giả suốt trình học tập nghiên cứu  Ban giám hiệu nhà trường, phòng khoa học công nghệ sau đại học tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn tốt nghiệp  Gia đình, bạn bè, đồng nghiệp động viên, giúp đỡ tác giả hoàn thành luận văn tốt nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 9/2016 Tác giả luận văn Nguyễn Mạnh Linh     MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Danh mục ký hiệu  MỞ ĐẦU Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số kết giải tích phức nhiều biến 1.2 Hàm đa điều hòa dưới, hàm đa điều hòa .4 1.3 Không gian phức, đa tạp phức 1.3.1 Khái niệm 1.3.2 Bản đồ phức atlas phức, xây dựng không gian phức phương pháp dán 1.3.3 Thiết diện hàm không gian phức 1.4 Tính hyperbolic khơng gian phức 1.5 Không gian phức xạ ảnh  n tự đồng cấu  n 10 1.5.1 Một cách nhìn khác đa tạp phức .10 1.5.2 Ánh xạ chỉnh hình đa tạp .11 1.5.3 Tính chuẩn tắc họ ánh xạ 12 1.6 Tập Fatou không gian xạ ảnh 14 1.7 Không gian phủ 15 1.8 Khái niệm phân thớ (bundle) 16 Chương QUỸ ĐẠO TỚI HẠN CỦA CÁC ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH TRÊN KHƠNG GIAN XẠ ẢNH 18 2.1 Một số kiến thức chuẩn bị 18 2.1.1 Tập giải tích 18 2.1.2 Phủ giải tích 19 2.1.3 Điểm rẽ nhánh bị chặn 20     2.2 Họ chuẩn tắc ánh xạ nâng .20 2.3 Miền Siegel 25 2.4 Mối liên hệ biên miền Siegel tập giới hạn điểm tới hạn .29 2.5 Mối liên hệ điểm giới hạn Fatou tập giới hạn điểm tới hạn 33 Chương ÁNH XẠ FATOU TRONG ĐỘNG LỰC PHỨC XẠ ẢNH 37 3.1 Một số kiến thức chuẩn bị 38 3.1.1 Hàm Green 38 3.1.2 Phép nâng ánh xạ không gian phức 38 3.1.3 Ánh xạ đẩy ánh xạ kéo .39 3.2 Ánh xạ Fatou .40 3.3 Một vài ứng dụng ánh xạ Fatou 48 3.3.1 Ánh xạ Fatou tính nhúng hyperbolic .48 3.3.2 Tính căng thành phần Fatou 51 KẾT LUẬN 54 TÀI LIỆU THAM KHẢO 55 PHỤ LỤC     DANH MỤC KÍ HIỆU n       Không gian Ơclit thực n chiều n Không gian Ơclit phức n chiều       Không gian Ơclit phức n chiều bỏ phần tử (0;0;…;0)   D Vành hàm chỉnh hình tập mở D   n D Bó mầm hàm chỉnh hình D Hol  X , Y  Tập hợp ánh xạ chỉnh hình từ X vào Y với X, Y không gian phức Ck  D Tập hợp hàm lấy giá trị phức có đạo hàm cấp k liên tục D     CX Bó mầm hàm liên tục X, với X không gian topo D Biên tập D  Đĩa đơn vị  A Bao đóng tập A n * o A Phần tập A MỞ ĐẦU Động lực phức lĩnh nghiên cứu non trẻ Nó bắt đầu vào cuối kỉ 19 nhận quan tâm nghiên cứu nhiều nhà toán học giới Pierre Fatou, Gaston Julia, S.Lattes, J.F Ritt, J.Milnor, L Carleson, T.W Gamelin… Lý thuyết phép lặp ánh xạ chỉnh hình không gian xạ ảnh phức chiều mà đặc biệt tập Julia tập Fatou tác giả nghiên cứu nhiều đạt nhiều kết quan trọng ứng dụng sống Động lực phức xạ ảnh nhiều biến xuất chậm nữa, vào khoảng cuối kỷ 20 Với ý tưởng mở rộng lớp toán không gian xạ ảnh phức chiều lên không gian xạ ảnh phức nhiều chiều nhiều nhà tốn học Ueda T , Fornaess J E , Sibony , Dinh T.C… liên tục cho nhiều kết Đặc biệt số kết liên quan đến lý thuyết phép lặp ánh xạ chỉnh hình Luận văn trình bày số kết động lực ánh xạ chỉnh hình lặp từ khơng gian xạ ảnh phức n chiều lên Nội dung luận văn tham khảo tài liệu [3], [9], [10] Luận văn gồm chương: Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Chương trình bày vài kiến thức chuẩn bị không gian phức, đa tạp phức, không gian phức xạ ảnh, động lực phức xạ ảnh số kiến thức khác cần thiết cho chương sau Chương 2: Quỹ đạo tới hạn ánh xạ chỉnh hình khơng gian xạ ảnh Chương trình bày kết động lực ánh xạ chỉnh hình lặp từ khơng gian xạ ảnh phức n chiều lên mối liên hệ tập Fatou với quỹ đạo điểm tới hạn Chương 3: Ánh xạ Fatou động lực phức xạ ảnh Chương trình bày khái niệm ánh xạ Fatou, tính chất khái niệm số ứng dụng nghiên cứu động lực phức xạ ảnh Mặc dù có nhiều cố gắng việc tìm hiểu soạn thảo luận văn, sai sót điều khơng thể tránh khỏi, nên mong nhận ý kiến đóng góp từ q thầy tồn thể bạn đọc để luận văn tốt   Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương trình bày số kiến thức nhằm chuẩn bị cho chương sau Mục 1.1 trình bày số kết giải tích phức nhiều biến Mục 1.2 dành giới thiệu hàm đa điều hòa đa điều hịa Khơng gian phức, đa tạp phức giới thiệu mục 1.3 Mục 1.4 đề cập tới tính hyperbolic khơng gian phức Khơng gian xạ ảnh phức n-chiều đa tạp đặc biệt tự đồng cấu nhắc lại mục 1.5 Mục 1.6 dành nhắc lại định nghĩa tập Fatou không gian xạ ảnh phức n-chiều vài tính chất liên quan đến tập Mục 1.7 trình bày khái niệm không gian phủ Cuối khái niệm phân thớ trình bày mục 1.8 Các kết chương dựa chủ yếu vào [1], [2], [4], [5], [8] 1.1 Một số kết giải tích phức nhiều biến [1] Định nghĩa 1.1.1 f hàm lấy giá trị phức xác định tập mở D   n gọi chỉnh hình D với điểm a  D   có lân cận U chuỗi  C  z  a     n      1; n  C1 ,  n  z1  a1  1  z  a2  2  zn  an  mà hội tụ tới f  z  n     với z   z1 , z2 zn  U Định nghĩa 1.1.2 f xác định tập mở D   n gọi song chỉnh hình song ánh, chỉnh hình D ánh xạ ngược g  f 1 chỉnh hình G  f (D) Định nghĩa 1.1.3 Ánh xạ f   f1 , , f m  : D  m chỉnh hình tập mở D   n f1 , f , f m chỉnh hình D Định lý 1.1.4 (Định lý ánh xạ mở) Cho D tập mở liên thông n f hàm chỉnh hình khác D Khi f mở từ D vào  Định lý 1.1.5 (Nguyên lí đồng nhất) Nếu f g hàm chỉnh hình tập mở liên thông D   n f  g   tập mở khác trống D f  g D 47 nên  p     p 1 1  p  f   p  f  j j      là compact      p  1  p  f        f     j j Do  f j   tập compact nên  ánh xạ Fatou.   Bây ta đưa điều kiện đủ để ánh xạ chỉnh hình  : Z   n không ánh xạ Fatou Định lý 3.2.7 Cho ánh xạ chỉnh hình  : Z   n Z có số chiều dương Giả sử điểm p0   n tồn lân cận U p0 mà  1 U  trống thành phần liên thông  1 U  compact tương đối Z Khi  khơng ánh xạ Fatou cho tự đồng cấu f  n có bậc lớn Chứng minh: Giả sử F phép nâng ứng với f cho h  là hàm Green F Ta nhắc lại h  z   log z  g   z   g ánh xạ liên tục  n Gọi p0 điểm thuộc   Z  mà g  p0   g ( p) (do  n compact nên   Z    p  Z  compact) Bằng cách chuyển tọa độ ta giả sử p0  1: : : 0 Đặt s :  n \  z0  0    n 1  thiết diện xác định * p  1: z1 : : zn   s( p)  1, z1 , ,z n  n  2 Khi s liên tục Ta có h  s  p    log 1   zk   g ( p) , với p   n \  z0  0  k 1  Dẫn tới h  s  p0    g  p0   Ta chọn cầu B  1: z1 : : zn    n  n z k 1 k     đủ nhỏ để thành  phần liên thông  1  B  compact tương đối Z   48 Chọn điểm x0  Z :   x0  đủ gần p0 h  s (  x0 )    log 1    1/2        h  s  p0    log 1    1/2  g  p0  Cho V thành phần liên thông  1  B  chứa x0 , với x  V       x   B dẫn tới h  s (  x)    log 1    1/2  g   x    log 1    1/2  g  p0  o Do h  s     V nhận giá trị nhỏ thuộc V Suy khơng hàm đa điều hịa,   khơng ánh xạ Fatou theo định lí 3.2.3. 3.3 Một vài ứng dụng ánh xạ Fatou [3] Trong mục sử dụng kết ánh xạ Fatou để tìm hiểu tính chất hình học tập Fatou Chúng ta thành phần Fatou nhúng hyperbolic  n đưa tiêu chuẩn để thành phần Fatou bất biến có tính căng (taut) Kết hợp tiêu chuẩn với định lý Fornaess-Sibony ta thành phần Fatou hồi quy mà khơng đĩa Siegel  có tính căng 3.3.1 Ánh xạ Fatou tính nhúng hyperbolic Trong [9], tác giả thành phần Fatou  n Kobayashi hyperbolic Ở kết tương tự trường hợp tổng quát Định lí 3.3.1.1 Nếu  : Z   n đơn ánh Fatou Z Kobayashi hyperbolic Chứng minh:     n 1  ánh xạ tương ứng với  định lí Gọi  : Z     3.1.6       p, ˆ ( Zˆ )   Chọn cầu mở B  C n 1   đủ lớn cho   B (do tính bị chặn  ) Với z1 , z2  Z mà z1  z2   z1     z2  ;   z1  ,  z2    n (  đơn ánh), dẫn tới l1   1   z1     l2   1   z2   hai đường thẳng phức      n 1 * khơng có điểm chung Đặt C1  l1   C2  l2   C1  C2    và C1 , C2  B 49   và B Do B tập bị chặn nên Đặt d Z , d B hai metric Kobayashi tương ứng Z    mà B Kobayashi hyperbolic ( d B   metric) Chọn y1 , y2  Z   ˆ ( Zˆ )     (do   y   C ,   y   C        y    g  z  ;    y    g  z  ),    ánh xạ chỉnh hình nên áp dụng tính co khoảng cách Kobayashi ta có: d  y , y   d   y  ,  y    d (C , C )  p y z , p y z 1 2  1 2 2  Z B B Theo định lí 1.7.2 d Z  z1 , z2   inf d Z  y1 , y   d B  C1 , C2   Do z1 , z2 rời y1 , y2 nên d Z metric Z dẫn tới Z Kobayashi hyperbolic  Định lí 3.3.1.2 Đặt SZ ={  : Z   n  ánh xạ Fatou tương ứng với f } với Z không gian phức liên thơng Khi SZ tập compact Chứng minh: Trường hợp 1: Nếu Z đơn liên, theo định lí 3.1.6   SZ ta có phủ   Z ánh xạ chỉnh hình ˆ : Z     n 1  thỏa   ˆ    p p:Z     ˆ ( Zˆ )   Do tính chất đơn liên Z nên p   đồng phơi Ta coi p   ánh xạ đồng   Z Khi           Z     Z    ( Z )      Lại có  nên Z   ánh xạ chỉnh hình  tập compact  n1 nên     tập compact    Suy SZ họ chuẩn tắc, hay SZ có bao đóng tập compact n Do     compact nên SZ khơng chứa dãy phân kì compact Do dãy SZ chứa dãy  j  hội tụ địa phương ánh xạ  Lấy z  Z   dãy  j  z  hội tụ   z  Do  j  z      và     đóng nên   z    Do   Z    Do tính chất đơn liên Z nên tồn phép nâng  : Z    n 1   , tức ta có:      Z   Z       50 Theo định lí 3.2.3 ta có    ánh xạ Fatou Suy   SZ Như SZ tập đóng Do SZ tập compact   Z phủ phổ dụng Z Xét Trường hợp Z không đơn liên Gọi p : Z   ánh xạ kéo     n ,   p       p p* : Hol  Z ,  n   Hol Z, Ta có S Z tập compact nên  p  Ta chứng minh:  p   f j S   S  Z    p  Lấy p 1 1  Z 1  S   là tập compact (vì p  là ánh xạ riêng)   Z  S   p    S   Z  Z    p  S Z  Do     n Dẫn đến  p 1 p  f j       f j    p compact Hol Z,   compact Hol  Z ,  n  Do p  là đơn ánh nên  f j     p  1 p f  j       compact Hol  Z ,  n  Vậy  ánh xạ Fatou hay   SZ Ngược lại, lấy   S Z   f j   tập compact Hol  Z ,  n  Do     f j    p  p  f j            n Suy p      p  S Như    p* 1 S  tập compact Hol Z,   Z Z Để trình bày ứng dụng ta nhắc lại tính nhúng Hyperbolic (xem [7]) Định nghĩa 3.3.1.3 Cho X không gian phức khơng gian phức Y Ta nói X nhúng hyberbolic (hyperbolically embedded) vào Y với dãy  xn  ,  yn  mà hội tụ điểm x, y X thỏa d X  xn , yn   x  y Ta nêu điều kiện cần đủ tính nhúng hyperbolic qua định lý sau (chứng minh chi tiết xem [7]) Định lý 3.3.1.4 Cho X không gian phức compact tương đối khơng gian phức Y Khi X nhúng hyperbolic vào Y Hol , X  compact tương đối Hol , Y  51 Hệ 3.3.1.5 Mọi thành phần liên thông tập Fatou    nhúng hyperbolic vào  n Chứng minh: Đặt U thành phần liên thông  Cần chứng minh Hol ,U  tập compact   tương đối Hol ,  n  (định lý 3.3.1.4)   Mọi ánh xạ chỉnh hình từ  vào  n mà ảnh nằm U ánh xạ Fatou Do Hol ,U   S Theo định lý 3.3.1.2 S tập compact Hol ,  n  Do Hol ,U  tập compact Hol ,  n     3.3.2 Tính căng thành phần Fatou Định nghĩa 3.3.2.1 Ta nói thành phần Fatou U f bị hút vào tập S  U   x  với x0 U dãy hội tụ f j j hội tụ điểm thuộc S Định nghĩa 3.3.2.2 Một không gian phức X gọi căng (taut) Hol , X  họ chuẩn tắc Định lý 3.3.2.3 Cho U thành phần Fatou bất biến bị hút vào tập S chứa U Khi S căng U căng Chứng minh: Ta chứng minh phản chứng Ta ký hiệu  họ ánh xạ g : U   n cho có dãy f  jv U v hội tụ g Khi đó,  tập ánh xạ giới hạn tới f jv   U Suy  tập đóng tập compact U Với tập com compact K U, đặt  K    g  K  ,  K  tập g compact  n U bị hút S nên  K   S Nếu U không căng tồn dãy ánh xạ chỉnh hình hi  từ đĩa đơn vị  vào U, dãy không phân kỳ compact, không chứa dãy hội tụ ánh xạ vào U Do khơng phân kỳ compact, theo định nghĩa tồn tập compact K  U L   cho hi  L   K   với giá trị i lớn tùy ý Ta dãy 52 ánh xạ hi dãy hi  L   K   với i Lại ảnh đĩa đơn vị  qua ánh xạ hi nằm U nên hi   với i Do    compact nên có dãy hiv v hội tụ ánh xạ h   khơng tính tổng qt ta giả dãy hi i Ta thấy h  L   K   tập d h L, K     , compact,   hi  L   x  U d  x, h  L     với i đủ lớn (do hội tụ L), kéo theo hi  L   K   , trái với cách xây dựng L K Vậy h  L   K   Cũng giả sử dãy hi  , h    U Do   liên thông, h   phải cắt U , cụ thể hơn, h 1  U  khác trống Chọn g  giả sử  f  dãy hội tụ g Do ảnh  qua jm hi nằm U nên với i, dãy f mở W  h1 U  , giới hạn dãy f jm jm  hi hội tụ g  hi   Tương tự, tập  h g  h  W Giờ ta cần phải có dãy  g  hi  hội tụ g  h W Do f jm  h   với m, có dãy hội tụ h   dĩ nhiên giới hạn trùng với g  h W Do U tập đóng bất biến tới qua f, ta có h  y   U với điểm y  h1  U  Giờ ta cần ý g liên tục tập compact nên  g  hi  hội tụ g  h tập mở V W mà h V   U Do g  hi   với i nên dãy  g  hi  có dãy hội tụ Ta thay  g  hi  dãy Dãy phải hội tụ g  h W, đó, h  (do định lý ) Hơn nữa, h  L  phải cắt  K  h  L   K   Từ  g  h  L   g  K    chứa g  h  L   K  (chú ý h  L   K nằm U nên g xác định đó) Như ta lưu ý, tập  K  phải compact S nên h  L  cắt tập compact 53 S Từ đó, dãy  g  hi  không phân kỳ compact mà không chứa dãy hội tụ ánh xạ vào S , kéo theo S không căng Vậy mâu thuẫn xảy định lý chứng minh. Định lý 3.3.2.3 có ứng dụng đặc biệt    cho thành phần Fatou hồi quy Fornaess – Sibony phân loại thành phần Fatou hồi quy tự ánh xạ chỉnh hình f :     như sau Cho f tự đồng cấu bậc d   Giả sử U thành phần Fatou  thỏa f U   U Khi điều sau xảy U thành phần Fatou chúa điểm bất động hút   Tồn đa tạp phức đóng 1-chiều R U dãy f j j hội tụ tới R tập compact K U Mặt Riemann R song chỉnh hình với đĩa, đĩa thủng hình vành khăn hạn chế f lên R liên hợp với phép quay vô tỉ U miền Siegel Áp dụng định lý 3.3.2.3 ta có hệ sau Hệ 3.3.2.4 Các thành phần Fatou hồi quy mà không đĩa Siegel  căng Chứng minh : Giả sử U thành phần Fatou hồi quy mà không đĩa Siegel  Khi U bị hút tập  p  U p điểm bất động hút có đa tạp đóng chiều M  mà đẳng cấu với đĩa, đĩa thủng hình vành khăn Tập điểm đĩa, đĩa thủng hình vành khăn tập bị chặn  Dẫn tới họ ánh xạ chỉnh hình từ đĩa đơn vị vào tập họ chuẩn tắc chúng tập căng hút U Áp dụng định lý 3.3.2.3 ta có U căng      54 KẾT LUẬN Luận văn trình bày số kết liên quan đến phép lặp tự đồng cấu f không gian xạ ảnh phức n chiều có bậc d  mà trọng tâm mối liên hệ tập Fatou quỹ đạo điểm tới hạn f Bên cạnh đó, luận văn trình bày khái niệm ánh xạ Fatou số ứng dụng quan trọng khái niệm việc nghiên cứu tính chất hình học tập Fatou không gian xạ ảnh phức n chiều Hướng nghiên cứu luận văn * Các thành phần Fatou bất biến tới tự đồng cấu f không gian xạ ảnh phức n chiều có bậc d  * Thác triển ánh xạ Fatou từ tập cực đóng mặt Riemann vào khơng gian xạ ảnh phức n chiều       55   TÀI LIỆU THAM KHẢO B V Shabat (1992), Introduction to Complex Analysis Part II, Functions of Several Variables, American Mathematical Society H Grauert and R Remmert (1994), Coherent Analytic Sheaves, Springer-Verlag J W Robertson (2003), Fatou maps in  n dynamics, Internat J Math Math Sci.19,1233–1240 J W.Robertson (2000), Complex Dynamics in Higher Dimensions, PhD Thesis, University of Michigan R C Gunning (1990), Introduction to Holomorphic Function in Several Variables Vol I, Wadsworth R Narasimhan (1971), Several Complex Variables, Chicago Lectures in Mathematics S Kobayashi (1998), Hyperbolic Complex Spaces Springer-Verlag S Lang (1987), Introduction to Complex Hyperbolic Spaces, Springer-Verlag T Ueda (1994), Fatou sets in complex dynamics in projective spaces, J Math Soc JapanVol 46 No3, p 545 – 555 10 T Ueda (1998), Critical orbits of holomorphic maps on projective spaces, J Geometric Analysis Vol No2, p 319 – 334 P1 PHỤ LỤC   1.Tìm hiểu khơng gian phức 1.1 Lý thuyết bó (Sheaf) 1.1.1 Bó đồng cấu Trong phần ta ký hiệu X, Y không gian tô pô Một cặp  S ,   bao gồm không gian tô pô S đồng phôi địa phương  : S  X từ S vào X gọi bó (các tập hợp) X Thay viết  S ,   không sợ nhầm lẫn ta gọi vắn tắt S Phép chiếu  ánh xạ mở thớ S x   1 ( x ), x  X S tập rời rạc, đóng S Nếu  S ',  '  ,  S ,   bó X ánh xạ liên tục  : S '  S gọi đồng cấu      ' Ánh xạ  đồng phôi địa phương, đặc biệt ánh xạ mở Ánh xạ  biến thớ thành thớ tương ứng ta có ánh xạ thớ cảm sinh  x : S x'  S x , x  X Hợp thành xạ xạ 1.1.2 Bó hạn chế, bó tổng bó Nếu Y không gian tô pô X , bó  1 (Y ),   1 (Y )  ,  1  S ,   cảm sinh bó (Y ) trang bị tơ pơ tương đối, gọi bó hạn chế bó S lên Y ký hiệu S Y hay SY Tập I bó S trang bị tơ pơ tương đối gọi bó S  I ,   bó X I I bó S I tập mở S Phép nhúng I  S xạ Cho  S ',  '  ,  S ,   bó X ta trang bị cho tích thớ S  S '   S x xX  S x'  với tô pô tương đối S  S ' S  S ' gọi bó tổng trực tiếp S ' S 1.1.3 Thiết diện (lát cắt), bó Hausdorff Một ánh xạ liên tục s : Y  S từ không gian X vào bó Strên X gọi thiết diện Y S   s  idY Ta thường viết sx giá trị P2 s x  Y gọi sx  S x mầm s x Tập tất thiết diện Y ký hiệu S (Y ) Các thiết diện tập mở đồng phôi địa phương Họ {s (U ) : U mở X, s  S (U ) } tạo thành sở tô pô S Mỗi điểm p  S mầm sx thiết diện s  S (U ) lân cận mở U x :  ( p ) Một bó S gọi bó Hausdorff khơng gian bó S Hausdorff Nếu s, t thiết diện tập mở U bó S tùy ý tập hợp  x  U : sx  t x  tập mở U Hơn nữa, S bó Hausdorff  x  U : sx  t x  đóng U Do hai thiết diện s, t bó Hausdorff có mầm x U thiết diện trùng thành phần liên thông x U 1.1.4 Xây dựng bó từ tiền bó Giả sử với tập mở U X có tập S(U) tương ứng (ta địi hỏi tập S () tập phần tử ánh xạ từ  vào nó) Ta giả sử với cặp tập mở U, V X cho V  U ta có ánh xạ hạn chế VU : S (U )  S (V ) thỏa mãn UU  idU , WV  VU  WU W  V  U , W mở Khi họ S (U ), VU  gọi   tiền bó X Mọi bó S X sinh tiền bó tắc S (U ), VU VU ( s ) : s V S (U ),   sinh U V Một tiền bó S (U ),  U V bó S theo cách sau: Với x  X hệ  , x  U định hướng theo quan hệ bao hàm Khi giới hạn S x : lim S (U ) ánh xạ  Ux : S (U )  S x xác định Mỗi phần tử s  S (U ) xU xác định phần tử s x   Ux ( s )  S x gọi mầm s x Gọi S hợp S x  : S  X ánh xạ biến phần tử S x thành x Tô x X pô S xây dựng sở tô pô Với s  S (U ) ta gán với ánh xạ sU : U  S , x  sx cho mầm chúng P3 Họ {sU (U ) : U mở X, s  S (U ) } tạo thành sở tơ pơ S Khi  đồng phơi địa phương S bó X Ta gọi S bó tương ứng với   tiền bó S (U ), VU ánh xạ sU : U  S thiết diện S 1.1.5 Bó nhóm, bó vành Một bó nhóm S X gọi bó nhóm Abel thớ S x , x  X nhóm Abel cho phép tốn trừ S  S  S ,  p, q   p  q ánh xạ liên tục (Với  p , q   S  S ta có p, q  S x ,  ( p)   (q) nên p  q  S x ) Nếu S bó nhóm Abel x phần tử trung hòa S x ánh xạ : X  S , x  x thiết diện không  S ( X ) Tập hợp SuppS :  x  X : S x  x  gọi giá S Với tập mở U X tập hợp S (U ) thiết diện U S nhóm Abel: Với s, t  S (U ) ta định nghĩa s  t  S (U )  s  t  x : sx  t x , x U Một bó A nhóm Abel gọi bó vành (giao hốn) ngồi cấu trúc nhóm cộng, có ánh xạ “nhân” liên tục S  S  S ,  a, b   ab làm cho thớ Ax có cấu trúc vành giao hốn Ta ln giả sử thớ Ax có phần tử đơn vị 1x phụ thuộc liên tục theo x ( x  1x thiết diện A) 1x  x với x  SuppS Không gian vành, khơng gian  - vành, khơng gian mơ hình phức Khái niệm không gian phức hiểu tốt thông qua ngôn ngữ lý thuyết tổng quát không gian vành mà khái niệm trung tâm không gian  - vành Không gian phức không gian  - vành Hausdorff mà địa phương đẳng cấu với khơng gian mơ hình phức, khơng gian  - vành miền D  n xác định bó idean hữu hạn sinh S bó D mầm hàm chỉnh hình D 2.1 Không gian vành Một không gian tô pô X với bó vành A X gọi không gian vành.Ta nhắc vắn tắt khái niệm bó vành sau: với x  X ta có P4 vành giao hốn Ax “mầm x ” với phần tử đơn vị 1x hợp A Ax trang bị tô pô sau: Với a  A ánh xạ gán phần tử x  X với a  Ax đồng phôi địa phương; Với tập mở U X tập A(U ) tập thiết diện A U vành với đơn vị (nghĩa ánh xạ x  1x liên tục, phép cộng phép nhân phép tốn liên tục) Khi với U x U ta có đồng cấu vành tự nhiên A(U )  Ax gán thiết diện s  A(U ) với mầm sx x Các vành A(U ) với tập mở U đồng cấu hạn chế A(U )  A(V ) V  U xác định bó A Ký hiệu không gian vành ( X , A) Viết vắn tắt X không sợ nhầm lẫn Ví dụ: Giả sử U tập mở khác trống X, tập hợp C(U) tập hàm liên tục f : U    - đại số Hơn ta định nghĩa C ( ) : Với cặp tập mở U, V X cho V  U ta có ánh xạ hạn chế VU : C (U )  C (V ) xác định thỏa mãn UU  idU , WV  VU  WU W  V  U , W mở   Khi họ C (U ), VU tiền bó X Bó tương ứng với tiền bó ký hiệu 𝒞 = C X bó mầm hàm liên tục X Giả sử U tập mở khác trống n , tập hợp  U  tập hàm chỉnh hình f : U    U   - đại số C(U) Hơn ta định nghĩa     : Với cặp tập mở U, V  n cho V  U ta có ánh xạ hạn chế VU :  U    V  xác định thỏa mãn UU  idU , WV  VU  WU W  V  U , W mở   Khi họ  U  , VU tiền bó  n Bó tương ứng với tiền bó ký hiệu  = n bó mầm hàm chỉnh hình n P5 Mọi miền D  n sinh không gian vành (D, D ) không gian vành ( n , n ) Ta gọi (D, D ) bó mầm hàm chỉnh hình D D bó bó CD Thớ D ,c , c  D  - đại số chuỗi lũy thừa hội tụ quanh Với miền D  n , bó D bó Hausdorff 2.2  - đại số địa phương không gian  - vành Một bó  - đại số A gọi bó  - đại số địa phương thớ Ax vành địa phương với idean tối đại m( Ax ) để toàn cấu thương  Ax / m( Ax ) Ta đồng Ax  Ax / m( Ax ) cảm sinh đẳng cấu   Ax / m( Ax ) với  có tổng trực tiếp tắc Ax    m( Ax ) Một không gian vành ( X , A) gọi không gian  - vành A bó  đại số địa phương C X D bó  - đại số địa phương nên  X , C X  ( D,D ) không gian  - vành Hơn nữa, khơng gian mơ hình phức Y ,Y  miền D n không gian  -vành Ở idean tối đại m(C X , x ) (t.ư m(D , z )) bao gồm mầm biểu diễn lân cận x  X (t.ư z  D) hàm liên tục (t.ư hàm chỉnh hình) nhận giá trị khơng x (t.ư z) 2.3 Tập không điểm khơng gian mơ hình phức * Nếu f1 , , f k hàm liên tục không gian X tập hợp N ( f1 , , f k ) :  x  X : f1 ( x)   f k ( x)  0 gọi tập không điểm chung f1 , , f k X Đây tập đóng X N ( f1 , , f k )  N ( f1 )   N ( f k ) * Cho D miền n S ideal hữu hạn sinh, tức mọi điểm z  D tồn lân cận mở U  D hàm f1 ,, f k   U  cho bó S sinh f1 ,, f k : SU  U f1    U f k Bó thương D S bó vành D Ta xét giá Y :  Supp D S  , tức tập điểm z mà S z  z Khi với U z Y  U  N ( f1 , , f k ) nên P6 địa phương Y tập không điểm chung hữu hạn hàm chỉnh hình Hạn chế Y :  D S  Y D S bó vành Y Khơng gian vành Y ,Y  gọi không gian mơ hình phức D , xác khơng gian mơ hình phứcxác định idean hữu hạn sinh S  D Bản thân D khơng gian mơ hình phức Như tập hữu hạn hàm chỉnh hình f1 , , f k xác định khơng gian mơ hình phức Y ,Y  qua cách xây dựng idean S  D f1    D f k Không gian tiếp xúc Định nghĩa 3.1 Cho M đa tạp khả vi p  M ,  ( p) tập hàm giá trị thực khả vi lân cận mở p Một vec tơ tiếp xúc X p p ánh xạ X p :  ( p)   cho i X p    f    g     X p ( f )    X p ( g ) ii X p  f  g   X p ( f )  g ( p )  f ( p )  X p ( g ) với  ,   , f , g   ( p) Tập hợp tất vec tơ tiếp xúc p gọi không gian tiếp xúc p, ký hiệu Tp M Khơng gian tiếp xúc Tp M với hai phép tốn +  xác định i X ii   X   f     X p  Yp   f   X p ( f )  Yp ( f ) ; p p (f) không gian vec tơ Định lý 3.2 Cho M m đa tạp khả vi m chiều p điểm M Không gian tiếp xúc Tp M không gian vec-tơ thực m chiều Định nghĩa 3.3 Cho  : M  N ánh xạ khả vi hai đa tạp Khi vi phân d p  p  M ánh xạ d p : Tp M  T ( p ) N cho với X p  Tp M f    ( p )   d   p ( X p )  ( f )  X p ( f   ) ... biệt không gian (D, D ) , (p, p ) không gian phức Các đồng cấu không gian phức gọi ánh xạ chỉnh hình; đẳng cấu không gian phức gọi ánh xạ song chỉnh hình 6 x  X gọi điểm trơn không gian phức... V  chỉnh hình 12 Ánh xạ f gọi chỉnh hình X chỉnh hình điểm thuộc X Mệnh đề 1.5.2.2 Cho đa tạp phức X , Y , Z ánh xạ f : X  Y , g : Y  Z ánh xạ chỉnh hình g  f : X  Z ánh xạ chỉnh hình. .. dụng cho họ tổng qt ánh xạ chỉnh hình cịn mục ta trình bày tiêu chuẩn cho tính chuẩn tắc họ phép lặp ánh xạ tự chỉnh hình khơng gian xạ ảnh phức (định lý 2.1.1) Cho ánh xạ chỉnh hình f :  n  