Về phép biến đổi xạ ảnh của đường cônic và đường thẳng trong p2

= 1 = Trờng Đại học vinh khoa toán nguyễn việt hoa về phép biến đổi xạ ảnh của đờng cônic và đờng thẳng trong p 2 chuyên ngành hình học khoá luận tốt nghiệp đại học ngành cử nhân khoa học toán giáo viên hớng dẫn: PGS.TS. nguyễn hữu quang sinh viên thực hiện: nguyễn việt hoa lớp 43b - khoa toán Vinh - 2006 = 2 = Mục lục Trang Lời nói đầu 1 Đ1. ánh xạ xạ ảnh .2 1.1. ánh xạ xạ ảnh .2 1.2. ánh xạ xạ ảnh giữa hai hàng điểm .5 1.3. Đờng bậc hai trong P 2 (R) .7 1.4. Một số định lý cơ bản trong P 2 .7 Đ2. Phép biến đổi xạ ảnh đối hợp của đờng cônic .12 2.1. Phép biến đổi xạ ảnh của đờng cônic (S) .12 2.2. Định lý Frêgiê .12 Đ3. Phép biến đổi xạ ảnh đối hợp của đờng thẳng 15 3.1. Định nghĩa 15 3.2. Định lý 15 3.3. Định lý (về điểm bất động của phép đối hợp) 16 3.4. Hệ quả .16 3.5. Định lý (về sự xác định một phép đối hợp) 17 3.6. Mệnh đề 17 3.7. Một số ví dụ áp dụng 18 Kết luận .29 Tài liệu tham khảo .30 = 3 = Lời nói đầu Hình học xạ ảnh là một môn học quan trọng trong chơng trình học ở các tr- ờng Đại học s phạm ngành toán và là một bộ phận của hệ thống kiến thức Hình học cao cấp, nó có quan hệ mật thiết với Hình học sơ cấp. Về đề tài các phép biến đổi xạ ảnh trên không gian xạ ảnh có số chiều hữu hạn, đã đợc trình bày trong nhiều tài liệu viết về Hình học cao cấp của các tác giả nh: Văn Nh Cơng, Nguyễn Mộng Hy, Nguyễn Cảnh Toàn, . Trong khoá luận tốt nghiệp này, với đề tài: Phép biến đổi xạ ảnh của đ- ờng cônic và đờng thẳng trong P 2 , chúng tôi trình bày về các khái niệm, tính chất của phép biến đổi xạ ảnh, phép đối hợp của đờng cônic và đờng thẳng trong P 2 và các ứng dụng của chúng. Khoá luận đợc trình bày thành 3 mục: Đ1. ánh xạ xạ ảnh. Mục này chúng tôi trình bày các khái niệm cơ bản nh: ánh xạ xạ ảnh, phép biến đổi xạ ảnh, ánh xạ xạ ảnh giữa hai hàng điểm, một số định lý cơ bản trong P 2 , . nhằm phục vụ cho việc nghiên cứu các mục sau. Đ2. Phép biến đổi xạ ảnh của đờng cônic Mục này chúng tôi trình bày các khái niệm, định lý về phép biến đổi xạ ảnh, phép đối hợp của đờng cônic (S), định lý Frêgiê thuận và đảo (có chứng minh), bài toán vận dụng. Đ3. Phép biến đổi xạ ảnh đối hợp của đờng thẳng Mục này chúng tôi trình bày một số khái niệm, định lý, mệnh đề (có chứng minh) và các ứng dụng của phép biến đổi xạ ảnh đối hợp của đờng thẳng. Khoá luận tốt nghiệp này đợc hoàn thành với sự hớng dẫn của thầy giáo PGS.TS - Nguyễn Hữu Quang. Nhân đây, chúng tôi xin đợc bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến thầy và các thầy, cô giáo trong khoa - trờng đã giúp tôi hoàn thành khoá luận này. Tôi xin chân thành cảm ơn! Ngời thực hiện SV. Nguyễn Việt Hoa = 4 = Đ1: ánh xạ xạ ảnh 1.1. ánh xạ xạ ảnh : 1. Định nghĩa: Cho 2 không gian xạ ảnh thực (P,p,V ) và (P',p',V'). Một ánh xạ f : P P đợc gọi là ánh xạ xạ ảnh nếu có ánh xạ tuyến tính : V V sao cho nếu vectơ x V là đại diện của điểm XP thì vectơ ( x ) V là đại diện cho điểm f(X) P . Khi đó, ta nói rằng ánh xạ tuyến tính là đại diện của ánh xạ xạ ảnh f. 2. Định lý: Giả sử {S 0 , S 1 ,,S n ; E} là mục tiêu trong P n và }';, .,,{ '' 1 ' 0 ESSS n là mục tiêu trong P n . Khi đó tồn tại duy nhất một ánh xạ xạ ảnh f : P n P n' sao cho f(S i )=S i ', (i = n,0 ) và f(E) = E. Chứng minh: * Chứng minh sự tồn tại: Giả sử S i i e , i = n,0 . ' i S ' i e , i = n,0 . { } { } n i i n i i ee 0 ' 0 , == là cơ sở tơng ứng trong V và V. tồn tại duy nhất đẳng cấu tuyến tính : V V i e ' i e , với i = n,0 . tồn tại ánh xạ xạ ảnh f : P n P n' nhận làm nền. Ta thấy rằng ánh xạ f thoả mãn các yêu cầu định lý. Thật vậy, : i e ' i e , i = n,0 . f : S i ' i S , i = n,0 . Mặt khác, giả sử E = = n i i ee 0 , E = = n i i ee 0 '' . = 5 = Ta có: : e ' e . f : E E. * Chứng minh sự duy nhất: Giả sử có ánh xạ f thoả mãn các yêu cầu của định lý. Ta cần chứng minh: f f. Lấy X P n . Ta chứng minh f(X) = f(X), X . Giả sử X x và f(X) = X, f(X) = X. f có nền là : i e ' i e i , i = n,0 , và : e ' e . Ta có: = = n 0i i ee ( ) ( ) === == = n 0i ii n 0i i n 0i i ee'e'e' . ( ) ( ) ' nn ' 00 ' n ' 0 e .ee .e ++=++ . ( ) ( ) 0e .e ' nn ' 00 =++ . 0 . n0 === . = = n 0 . Vậy : i e ' i e , i = n,0 : i e ' i e , i = n,0 . = . là nền của f. f f. 3. Định nghĩa: Một ánh xạ xạ ảnh f: P n P n là song ánh đợc gọi là đẳng cấu xạ ảnh. ánh xạ f : P n P n là đẳng cấu dim P n =dim P n . = 6 = Một đẳng cấu xạ ảnh f: P n P n của không gian xạ ảnh P n lên chính nó đợc gọi là phép biến đổi xạ ảnh của P n . Phép biến đổi xạ ảnh này có nền là phép biến đổi tuyến tính: V n+1 V n+1 . 4. Nhận xét : a/ Trong không gian xạ ảnh P n , một phép biến đổi xạ ảnh f đợc xác định bởi: - Hoặc hai mục tiêu xạ ảnh {S i ; E} và {S ' i ; E ' } với f(S i ) = S i ' , i= n,0 , và f(E) = E ' . - Hoặc hai bộ (n+2) điểm S 0 , ., S n , E và 'E,S, .,S ' n ' 0 , trong mỗi bộ bất cứ (n+1) điểm nào cũng độc lập với f(S i )=S ' i , i= n,0 , và f(E) = E. b/ Phép biến đổi xạ ảnh bảo tồn các khái niệm: m- phẳng, số chiều của phẳng, giao và tổng các phẳng, tỷ số kép. 5. Phơng trình của phép biến đổi xạ ảnh . Gọi f : P n P n là phép biến đổi xạ ảnh cảm sinh bởi phép biến đổi tuyến tính :V n+1 V n+1 . Trong P n ta chọn một mục tiêu xạ ảnh {S i ; E} (i = n,0 ) và trong V n+1 ta có cơ sở tơng ứng là { i e }. Với mỗi điểm X P n gọi X = (x 0 ,x 1 ,,x n ) và X ' =f(X)=( ' n ' 1 ' 0 x, .,x,x ). Khi đó, biểu thức liên hệ giữa toạ độ của X và X ' là: = = n 0j jij ' i ;xakx i = 0,,n; k0 , trong đó: ma trận A = [a ij ] là ma trận của phép biến đổi xạ ảnh f đối với mục tiêu {S i ; E}. Chú ý : điểm M thuộc P n là điểm kép (hay điểm bất động) của phép biến đổi xạ ảnh f nếu M = f(M). 1.2. ánh xạ xạ ảnh giữa hai hàng điểm = 7 = Tập hợp các điểm thuộc một đờng thẳng gọi là một hàng điểm. Nếu đờng thẳng đó ký hiệu là s thì hàng điểm cũng ký hiệu là s. 1. Định nghĩa: Trong P 2 cho hai hàng điểm s và s ' . Song ánh f : s s ' là một ánh xạ xạ ảnh khi và chỉ khi nó bảo tồn tỷ số kép của 4 điểm bất kỳ trên s . 2. Định nghĩa: Trong P 2 cho hai hàng điểm thẳng hàng phân biệt s, s ' và một điểm P không thuộc chúng. ánh xạ f : s s ' biến mỗi điểm Ms thành điểm M ' = s ' PM gọi là phép chiếu xuyên tâm từ s đến s ' . Điểm P gọi là tâm của phép f. P M s Q M s 3. Mệnh đề: Phép chiếu xuyên tâm là ánh xạ xạ ảnh giữa hai hàng điểm. Chứng minh: P B s A M A B s Xét phép chiếu xuyên tâm f : s s ' , với tâm chiếu P. Ta cần chứng minh: f là ánh xạ xạ ảnh. Giả sử {A, B; M} và {A, B; M} lần lợt là mục tiêu trên s và s. Xét phép ánh xạ xạ ảnh g: s s ' A A B B M M = 8 = (ở đây A, B, M phân biệt). ánh xạ xạ ảnh g nh vậy là duy nhất (theo định lý 2 - mục 1.1). Ta cần chứng minh sX,'s'X,'XX:g . Thật vậy, giả sử 's"X,"XX:g . Từ g là phép xạ ảnh nên [A,B,M,X] = [A,B,M,X] = [A,B,M,X]. Từ đó X = X. Vậy g f, hay f là ánh xạ xạ ảnh. * Tập hợp các đờng thẳng trong P 2 cùng đi qua một điểm S đợc gọi là chùm đờng thẳng tâm S. Ký hiệu là: {S}. Chùm đờng thẳng là khái niệm đối ngẫu của khái niệm hàng điểm (trong P 2 ). Một ánh xạ f : {S}{S ' } đợc gọi là ánh xạ xạ ảnh nếu nó bảo tồn tỷ số kép của 4 đờng thẳng bất kỳ. 4. Định nghĩa: Trong P 2 cho hai chùm đờng thẳng phân biệt {S} và {S} và một đờng thẳng p không thuộc chúng (có nghĩa là p không đi qua S và không đi qua S). ánh xạ xạ ảnh f: {S} {S} biến mỗi đờng thẳng m {S} thành đờng thẳng m đi qua S và m p đợc gọi là phép chiếu xuyên trục, p gọi là trục của phép chiếu f. = 9 = 1.3. đờng bậc hai trong p 2 (R): 1. Đờng bậc hai: Trong P n với mục tiêu đã chọn, một tập hợp S gồm các điểm X(x 1 , ,x n+1 ) thoả mãn phơng trình: + = = 1n 1j,i jiij 0xxa (ở đây a ij = a ji và a ij không đồng thời bằng 0) đợc gọi là một siêu mặt bậc 2 trong P n . Phơng trình của S đợc viết dới dạng ma trận : [x]*A[x] = 0. S trong P 2 đợc gọi là đờng bậc hai. 2. Phân loại : Trong P 2 ta có 5 loại đờng bậc hai sau : 1) 0xxx 2 2 2 1 2 0 =++ Nó đợc gọi là đờng ôvan ảo của nó không chứa điểm thực nào. 2) - 0xxx 2 2 2 1 2 0 =++ Nó đợc gọi là đờng ôvan hay đờng cônic. 3) 0xx 2 1 2 0 =+ Nó đợc gọi là cặp đờng thẳng ảo liên hợp. Nó chỉ gồm một điểm thực duy nhất là điểm (1,0,0) . 4) - 0xx 2 1 2 0 =+ Đây là cặp đờng thẳng có phơng trình : x 0 + x 1 = 0 -x 0 + x 1 = 0. 5) 0x 2 0 = . Đây là cặp đờng thẳng trùng nhau. 1.4 .một số định lý cơ bản trong p 2 : 1. Định lý Stâyne: Xét trong mặt phẳng xạ ảnh thực P 2 (R). am E M m a S 0 S 1 S 2 d 1 d 2 = 10 = (S) S 1 S 2 M f(m) m a) Cho hai điểm cố định S 1 và S 2 nằm trên một đờng cônic và một điểm M thay đổi trên cônic đó. Khi đó ánh xạ f: {S 1 }{S 2 } biến đờng thẳng S 1 M thành đ- ờng thẳng S 2 M là một ánh xạ xạ ảnh, khác với phép chiếu xuyên trục. b) Ngợc lại: Cho ánh xạ xạ ảnh f: {S 1 }{S 2 } giữa hai chùm phân biệt {S 1 }và {S 2 }. Nếu f không là phép chiếu xuyên trục thì tập hợp giao điểm của các đờng thẳng tơng ứng là một đờng cônic . Chứng minh : a. Gọi d 0 là đờng thẳng đi qua S 1 và S 2 , d 1 và d 2 lần lợt là tiếp tuyến của cônic tại S 2 và S 1 , S 0 = d 1 d 2 . Lấy điểm E cố định trên cônic khác với S 1 và S 2 . Nếu chọn {S 0 , S 1 , S 2 ; E} làm mục tiêu xạ ảnh thì phơng trình của cônic là: 0 21 2 0 = xxx . Nếu điểm M(x 0 , x 1 , x 2 ) nằm trên cônic, khác với S 1 và S 2 thì toạ độ của nó thoả mãn phơng trình đó; và x 0 0 và do đó, x 1 0. Bởi vậy : 1 0 0 2 x x x x = . Gọi a = S 1 E, a = S 2 E, m = S 1 M, m = S 2 M thì ta có: d 0