Phép biến đổi afin và sự tương đương afin của các hình

Lời nói đầu Phép biến đổi afin và sự tơng đơng afin của các hình đã đợc trình bày trong nhiều giáo trình và tài liệu tham khảo. Mục đích của khoá luận này là nghiên cứu các tính chất của phép biến đổi afin của không gian afin và sự tơng đơng afin của các hình. Tôi đã chứng minh chi tiết định lý, mệnh đề,tính chất trong từng phần nh: Định lý 1.1.4, định lý 2.2.6, , ở ch ơng 1 và mệnh đề 2.1.3, mệnh đề 2.1.4, mệnh đề2.2.6, định lý 2.2.7, mệnh đề 2.2.9, mệnh đề 2.2.10, mệnh đề 2.2.11, mệnh đề 2.2.12 ở chơng 2. Ngoài ra tôi còn đa ra một số chú ý, các ví dụ minh hoạ cụ thể trong từng phần nh: Ví dụ 1.2.2, ví dụ 2.2.3., ơ ch ơng 1 và ví dụ 2.2.3, ví dụ 2.2.18 ở ví dụ này tôi đã nêu ra phơng pháp chứng minh cho hai hình H và H không tơng đơng afin và phơng pháp chứng minh hai hình H và H tơng đơng afin, ví dụ 2.2.19, ví dụ 2.2.20, ví dụ 2.2.21, ví dụ 2.2.22, ví dụ 2.2.23, ví dụ 2.2.27, .Hơn nữa trong đề tài tôi đã đ a ra một số vấn đề mới đó là hình đa diện lồi và nón đa diện. Cuối cùng vận dụng kiến thức về tơng đơng afin và phép afin vào giải các bài toán trong hình học (ở mục 2.3). Khoá luận đợc chia làm hai chơng: Chơng I: Các khái niệm cơ bản và tính chất cơ bản. Trong chơng này tôi chia làm 3 mục Đ 1: Tập lồi - tập afin Trong mục này tôi đã trình bày các khái niệm, định lý và tính chất cơ bản về đoạn thẳng, tập lồi, đơn hình, hình hộp, siêu mặt bậc hai, bao lồi, tập afin, và đ a ra các ví dụ minh hoạ cụ thể, nhằm phục vụ thuận lợi cho vấn đề nghiên cứu và trình bày về Đ 2. Đ2. Hình đa diện lồi- nón lồi. Trong múc này tôi đã trình bày cụ thể các khái niệm, các định lý, và các tính chất về hình đa diện lồi - nón lồi và các ví dụ cụ thể. Đ 3. Nón đa diện 1 Trong mục này tôi đã trình bày hệ thốn các khái niệm, các định lý về nón đa diện. Chơng II: Nhóm các phép biến đổi afin. Chơng này tôi chia làm hai mục: Đ1. ánh xạ afin và đẳng cấu afin Trong mục này tôi chỉ đa vào các khái niệm, các định lý và các tính chất cơ bản về ánh xạ afin và đẳng cấu afin, nhằm phục vụ cho vấn đề nghiên cứu và trình bày ở mục hai tiếp theo. Đ 2. Phép biến đổi afin - nhóm các phép biến đổi và hình học của nó. Trong mục này tôi đã trình bày hệ thống, cụ thể các khái niệm, các mệnh đề, các tính chất, và cá các chứng minh về phép biến đổi afin - nhóm các phép biến đổi và hình học của nó. Bên cạnh đó tôi còn đa ra một số ví dụ cụ thể, trong từng phần để thuận lợi cho việc tự học và tự nghiên cứu về phép afin - t- ơng đơng afin. Khoá luận này đợc hoàn thành, dới sự hớng dẫn tận tình của thầy gián TS. Phạm Ngọc Bội, quý thầy cô, bạn bạn bè. Nhân dịp này tôi xin chân thàn cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo TS. Phạm Ngọc Bội, quý thầy cô, bạn bè và gia đình đã giúp tôi hoàn thành khoá luận này. Mặc dù tôi đã cố gắng rất nhiều trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành, nhng do kiến thức và thời gian còn hạn chế nên khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót. Vậy tôi rất mong quý thầy cô và các bạn sinh viên xem và góp ý để khoá luận đợc hoàn thiện hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn Vinh, tháng 05 năm 2005 Tác giả 2 chơng I: các khái niệm cơ bản và tính chất cơ bản Đ 1. Tập lồi - Tập afin 1.1. Tập lồi trong không gian afin 1.1.1. Đoạn thẳng Cho hai điểm P, Q của không gian afin thực A. Điểm M (d) đi qua P và Q khi và chỉ khi với điểm O tuỳ ý thì: OM =. OP + (1- ). OQ , với R Tập hợp những điểm M sao cho: OM = . OP + (1- ). OQ , với 0 1 đợc gọi là đoạn thẳng PQ 1.1.2. Tập lồi. 1.1.2.1. Định nghĩa: Một tập X trong không gian afin thực gọi là tập lồi nếu với mọi hai điểm P, Q X thì đoạn thẳng PQ nằm hoàn toàn trong X. 1.1.2.2. Ví dụ: Hình tam giác và hình đa diện lồi là tập lồi. 1.1.3. Định lý: Nếu tập H lồi thì H chứa tất cả các tổ hợp lồi của các điểm thuộc H . Chứng minh: Giả sử x = = m i ii a 1 H , trong đó a i H , i= m,1 Ta chứng minh định lý bằng quy nạp. * Với m = 2, định lý đúng Vì với = n i i 1 = 1; a 1 , a 2 H theo định nghĩa tập lồi thì: . a 1 + ( 1- ). a 2 [ a 1 , a 2 ] H ; [0, 1] * Giả sử định lý đúng với m k. chứng minh nó đúng với m = k+1, có nghĩa cho { a i } 1 1 + = k i H y = + = 1 1 k i ii a , i thoả mản các hệ số trong tập hợp lồi. Nếu k+1 = 1 y = a k+1 H 3 Nếu k+1 < 1. Đặt z = = + k i k i 1 1 1 . a i H (theo giả thiết quy nạp) (1- k+1 ). z = = k i ii a 1 y = ( 1- k+1 ). z + k+1 . a k+1 y [ z, a k+1 ] H , ( do z H , a k+1 H ), (đpcm) 1.1.4. Đơn hình: Cho m+1 điểm độc lập P 0 , , P m . Ta biết rằng m- phẳng đi qua m+1 điểm đó gồm những điểm M sao cho (với điểm O nào đó): OM = = m i i i OP 0 . với = m i i 1 = 1 Nếu i 0 i = m,0 thì tập hợp đó gọi là một đơn hình, với các đỉnh P 0 , , P m và kí hiệu là S( P 0 ,,P m ). Nhận xét: Đơn hình S( P 0 ,,P m ) là tập lồi nhỏ nhất chứa P 0 , P m . 1.1.5. Hình hộp. Cho m +1 điểm độc lập P 0 ,,P m . Tập hợp những điểm M sao cho: MP o = = m i ii PP 1 0 . (với 0 i 1) gọi là m- hộp. 1.1.6. Siêu mặt bậc hai. * Định nghĩa: Siêu mặt bậc hai là tập hợp những điểm X A n sao cho tạo độ X ( x 1 ,,x n ) thoả mãn phơng trình. = n ji jiij xxa 1, . + 2. = n i ii xa 1 . + a 0 = 0 (1) Trong đó các hệ số a ij , a i , a 0 là các số thực, các a ij không đồng thời bằng 0 và a ij = a ji kí hiệu A = (a ij ) n . vì a ij = a ji A = A t X = n x x . 1 , a = n a a . 1 Khi đó (1) x t Ax + 2a t x + a 0 = 0 (2) 1.1.7. Bao lồi 4 Định nghĩa: Giả sử A V. Bao lồi co(A) của A là tập lồi nhỏ nhất của V chứa A * Ví dụ: Hình tam giác xyz là bao lồi của 3 điểm x, y, z. 1.1.8. Định lý : Giả sử A V, co(A) là tổ hợp lồi (hữu hạn) của tập A. Chứng minh: Giả sử B là tập hợp tất cả những phần tử lồi của tập A. Từ co(A) là một tập lồi chứa A, nó chứa tất cả những đoạn với cả những điểm cuối cùng của A, do đó nó chứa tất cả những phần tử lồi của A, suy ra B co(A) (1) B lồi, từ một tập hợp lồi: x + (1- )y của hai phần tử: x= = n i ii x 1 và y = = m i ii y 1 à của B là một tập hợp lồi = n i i 1 )( x i + i m i i y = 1 ])1[( à của những phần tử của A do đó B là một tập hợp lồi chứa A. Mặt khác B co(A) (2) Từ (1) và (2) suy ra: B = co(A) (đpcm) 1.1.9. Tính chất. a. Một tổ hợp tuyến tính của những tập lồi là lồi nếu c 1 , c 2 ,, c n là các tập con lồi của V và i R ( với 1 i n) thì = n i ii c 1 lồi với bất kỳ c 1 + c 2 = { x 1 +x 2 x 1 c 1 , x 2 c 2 } c = {x x c} b. Giả sử H V thì H là tập lồi khi và chỉ khi: ( + ). H = .H + .H với bất kỳ 0, 0 c. Giả sử T : V W là ánh xạ tuyến tính và giả sử W là một không gian tuyến tính. Nếu H lồi trong V thì T (H) lồi Nếu K lồi trong W thì T -1 của K lồi. d. Nếu x co(A), H V thì co(x H) = co(H) Chứng minh: (xem tài liệu [6]) 5 1.2. Tập afin. 1.2.1. Định nghĩa Tập A R n đợc gọi là tập afin, nếu hai điểm X,Y A { X + (1- )Y R } A 1.2.2. Định nghĩa: Tập afin n-1 chiều trong R n đợc gọi là một siêu phẳng. 1.2.3. Định lý: Giả sử R, b R n \ {0}. Khi đó tập: H = { x R <x,b> = }(1) là một siêu phẳng trong R n . Đồng thời mọi siêu phẳng biểu diễn ở (1) một cách duy nhất sai khác một thừa số khác 0. Chứng minh (xem tài liệu [6]. (<x, b> = tức là biểu thị tuyến tính qua x và b) 1.2.4. Định lý. Giả sử B là m ì n - ma trận, b R m . khi đó tập hợp: M = { x R n Bx = b} là tập afin trong R n . Chứng minh: Lấy x, y M, R. Đặt z = ( 1- )x + y, ta có Bz = (1- )Bx + By = ( 1- )b + b = b z M. Do đó M là tập afin. 1.2.5. Định nghĩa. a. Nếu A là một tập con của V, khi đó bao afin của A đợc kí hiệu aff(A) và aff(A): = tập afin nhỏ nhất chứa A. b. Số chiều của A, kí hiệu là dim(A) : = dim aff(A) : = dim(L) (L sông song với A; L không gian véctơ con của V). c. Tổ hợp afin của các điểm x 1 , x 2 , , x m là = m i ii x 1 ; i R, = m i i 1 = 1 *Ví dụ: Lấy 3 điểm X, Y, Z trong không gian R n , khi đó: aff{(X, Y, Z)} = mặt phẳng () 1.2.6. Định nghĩa. Tập m+1 điểm B 0 , B 1 ,,B m đợc gọi là độc lập afin nếu aff{B 0 , B 1 ,,B m } là m - chiều. 1.2.7. Chú ý: B 0 , B 1 ,,B m độc lập afin B 1 - B 0 , , B m - B 0 độc lập tuyến tính. 6 1.2.8. Định nghĩa: Chiều của tập lồi A là chiều của aff(A) Đ 2 hình đa diện lồi, nón lồi 2.1. Hình đa diện lồi. Giả sử V là không gian tuyến tính 2.1.1. Định nghĩa: Giả sử X 1 , X 2 ,,X n V. ta kí hiệu bao lồi của tập hữu hạn { X 1 , X 2 ,,X k } bằng co(X 1 , X 2 ,, X k } . Khi đó: D = co( X 1 , X 2 ,, X k ) đợc gọi là hình đa diện lồi sinh bởi X 1 X k . 2.1.2. Đỉnh của đa diện lồi: Giả sử D = co( X 1 , X 2 ,,X k ) là đa diện lồi trong V. Nếu X 1 co(X 2 , X 3 ,,X k ) thì ta có : D = co( X 2 , X 3 ,, X k ). Nếu X 2 co(X 3 , X 4 ,, X k ) thì ta có D = co( X 3 , X 4 ,, X k ). Nếu X 1 co( X 2 , X 3 , , X k ) và X 2 co( X 1 , X 3 ,, X k ). Thì ta có D = co(X 1 , X 3 ,,X k ). Lập công trình nghiên cứu bằng cách này ta kết luận rằng tồn tại một tập con { a 1 , a 2 ,,a k } của {X 1 , X 2 ,,X k } với tính chất sau: (a) D = co( a 1 , a 2 ,,a n ) (b) Không có a 1 nào là tổ hợp lồi của a 1 ,, a i-1 , a i+1 , , a n ; a 1 , a 2, , a k đợc gọi là các đỉnh của D. Tập các đỉnh của D xác định duy nhất bởi (a) và (b). 2.1.3. Định nghĩa: Giả sử A V, a A đợc gọi là điểm cực biên của A nếu a không phải là điểm thuộc bất kì đoạn thẳng nào trong A. * Ví dụ: - Đỉnh của hình tam giác là điểm cực biên của hình tam giác - Tập hợp tất cả các điểm thuộc biên của hình tròn là những điểm cực biên của hình tròn. - Những điểm cực biên của một hình đa diện lồi là các đỉnh của nó. - Tất cả những điểm giới hạn ( cận) của một bản đóng kín trong mặt phẳng ơclit và của hình cầu kín trong không gian ơclit là những điểm cực biên. 7 2.1.4. Định nghĩa: Cho n- điểm: X 1 ,,X n V. Khi đó {X i } n i 1 = đợc gọi là độc lập afin nếu: dim aff(X 1 ,, X n ) = n-1 {X i } n i 1 = gọi là phụ thuộc afin nếu chúng không độc lập afin. * Ví dụ: Lấy 3 điểm X, Y, Z R 3 . Nếu X, Y, Z không thẳng hàng thì {X, Y, Z } độc lập afin. 2.1.5. Định nghĩa. + k - đơn hình là bao lồi của k+1 điểm độc lập afin + Số chiều của k - đơn hình chính bằng k + 0,1,2,3- đơn hình là điểm, đoạn thẳng, hình tam giác, hình tứ diện. 2.1.6. Chú ý: Giả sử X 1 ,, X n là hệ điểm độc lập afin. Khi đó theo định lý bao afin của tập A: aff(A) = { tổ hợp Afin của các điểm thuộc A}. (Chứng minh định lý này tơng tự định lý 1.5.2) X aff(X 1 ,, X n ). X = = n i ii X 1 , bộ số ( 1 ,, n ) đợc gọi là toạ độ tỉ cự của X đối với hệ X 1 , , X n . Trong trờng hợp các i bằng nhau thì điểm X đợc gọi là trọng tâm của hệ điểm X 1 , , X n . * Ví dụ: Mỗi điểm X R 2 = aff (X 1 ,,X n ) đều biểu diễn đợc dạng X= i X i , gọi là toạ độ tỉ cự, với i = n,1 2.2. Nón lồi: Giả sử X là không gian tuyến tính 2.2.1. Định nghĩa: Tập K X đợc gọi là nón có đỉnh tại O nếu: x K, > 0 .x K K đợc gọi là nón có đỉnh tại X 0 , nếu K- X 0 là nón có đỉnh tại O. 2.2.2. Định nghĩa: Nón K có đỉnh tại O đợc gọi là nón lồi, nếu k là một tập lồi, có nghĩa là: x, y K ; , à > 0 .x + à .y K 2.2.3. Ví dụ: Các tập sau đây trong R n + { 1 ,, n R n i 0, i = n,1 } + { 1 ,, n R n i > 0, i = n,1 } 8 là các nón lồi có đỉnh tại O 2.2.4. Định lý: Giả sử K ( I) là các nón lồi có đỉnh tại X 0 với I là tập chỉ số bất kỳ. Khi đó, K I là nón lồi có đỉnh tại x 0 . Chứng minh: Suy ra từ định nghĩa 2.2.2 2.2.5 Ví dụ: X = R n , b R n ( I). khi đó: K = { x R n : < x, b > 0, I } là một nón lồi bởi vì K = K I , trong đó K = { x R n : < x,b > 0 là nón lồi} 2.2.6. Định lý: Tập K X là một nón lồi có đỉnh tại O khi và chỉ khi x,y K, >0 x+y K; x K. Chứng minh: a. Giả sử K là nón lồi. Khi đó do K là tập lồi ta có: z = )( 2 1 yx + K Do K là nón có đỉnh tại O, ta có: x + y = 2z K b. Ngợc lại, x K , > 0 ta có: x K, vậy K là một nón có đỉnh tại O với 0 < < 1 và (1- )x K, y K . Chú ý: Với = 0 hoặc 1 ta vẫn có (1- )x + y K. Vậy K là nón lồi có đỉnh tại O. 2.2.7. Định nghĩa: Tơng giao của tất cả các nón lồi ( có đỉnh tại O) chứa tập A và điểm O là một nón lồi và đợc gọi là nón lồi sinh bởi tập A, kí hiệu là K A . 2.2.8. Định nghĩa: Giả sử E là một không gian tuyến tính định chuẩn. Giả sử E đối ngẫu của E là một không gian tuyến tính của tất cả các hàm số tuyến tính liên tục E R. Nếu x E, u E ta viết ( xu) thay u(x). Giả sử K E là một nón (a) cực tuyến của K, kí hiệu bởi K 0 đợc đa ra bởi: K 0 := { u E Ku 0 } Ta viết Ku 0 thay cho ( x K) xu 0 9 (b) Lỡng cực của K, kí hiệu K 00 đợc đa ra bởi: K 00 : = {x E xK 0 0 } 2.2.9. Định Lý: Nếu K E là một nón lồi không rỗng thì K 00 = K Chứng minh (xem tài liệu [5]) 2.2.10. Định nghĩa: Tập các véctơ d X thoả mãn x+ d A ( 0, x A ) và véctơ d = 0 đợc gọi là nón lùi xa của A; kí hiệu là o + A 2.2.11. Định lý: Giả sử tập A X lồi, khác . Khi đó o + A là nón lồi chứa O, đồng thời o + A = {d X: A + d A } (Chứng minh: xem tài liệu [6]) Đ 3 nón đa diện 3.1. Định nghĩa Nửa không gian p R n \ {}, = ( 0,,0) { n n Rxx ),( 1 x,p 0 } đợc gọi là nửa không gian của R n . Nhận xét: Nửa không gian của R n là tập lồi, đóng. 3.2. Định nghĩa: Một nón đa diện trong R n là giao của hữu hạn nửa không gian của R n có giới hạn điểm O Một nón đa diện là nón lồi chứa O. Giả sử K là một nón đa diện trong R n , có thể biểu thị nh tập hợp nghiệm của hệ hữu hạn bất phơng trình. ( x p i ) 0 ( 1 i k ) Với p i R n , p i 0 ( 1 i k ). Nếu ta xác định ánh xạ T từ R n tới R k bằng: (Tx) i = (xp i )(x R n , 1 i k ). Ta có: K = {x R n Tx 0 } = - T -1 P k (P k = {x R k x= (x 1 , , x k ), x i 0, i = 1, ,k }) ( ***) Dới đây ta sẽ sử dụng: tập hợp tất cả những tổ hợp tuyến tính không âm của hữu hạn số phần tử của R n là nón lồi chứa O 10