Giả sử bài toán yêu cầu chứng minh hình H có tính chất α, trong đó α là một tính chất afin. Khi ấy ta thực hiện các bớc sau đây:
Bớc 1: Chọn trong tập hợp các hình tơng đơng afin với hình H một hình H’ mà trên đó tính chất afin dễ chứng minh hơn. Có thể xem H’ là ảnh của H qua một phép afin f nào đó. Ta có f(H) = H’.
Bớc 2: Ta chứng minh tính chất α trện hình H’. Trong quá trình chứng
minh có thể sử dụng thêm các kiến thức của hình học ơclit và do đó việc chứng minh sẽ đợc thực hiện một cách dễ dàng và nhanh gọn.
Bớc 3: Sau khi chứng minh đợc tính chất α trên hình H’ ta thực hiện
phép afin f-1 biến hình H’ thành hình H, tức là f-1(H’) = H. Và nh vậy ta đã chứng minh đợc tính chất afin α trên hình H.
2.3.4. Ví dụ: Cho tam giác ABC. Mỗi cạnh của nó đợc chia làm 3 phần
bằng nhau. Nối các điểm chia với đỉnh đối diện của cạnh đó ta sẽ đợc 6 đờng thẳng tạo nên một hình lục giác.
Chứng minh rằng các đờng thẳng chéo của hình lục giác đó đồng quy tại một điểm.
Bài giải: Chọn tam giác đều A’B’C’
làm hình tơng đơng với tam giác ABC đã cho qua một phép afin f. Theo giả thiết, trên các cạnh B’C’, C’A’, A’B’ ta lần lợt có các điểm chia là A1, A2; B1, B2; C1, C2;
sao cho: B’A1 = A1A2 = A2C’ = C’B1 = B1B2 = B2A’= A’C1 = C1C2 = C2B’. ta có lục giác DEFGHI nh hình vẽ. Cần chứng minh các điểm D, G nằm trên đờng trung trực của đoạn B’C’ và dễ thấy đờng trung trực này đi qua điểm A’( vì tam giác A’B’C’ đều).
Thật vậy, xét hai tam giác B’C’C1 và C’B’B1 chúng có: B’C’ cạnh chung, A’B’C’ = A’C’B’ = 600 (vì tam giác A’B’C’ đều). B’C1 = C’B1( tam giác A’B’C’ đều và giả thiết). Vậy ∆ B’C’C1 = ∆C’B’B1(c. g.c).
Do đó góc B1B’C’ = góc C1C’B1, suy ra tam giác GB’C’ cân tại G, nên đỉnh G thuộc đờng trung trực của đoạn B’C’. Mặt khác, hai tam giác B’C’B2 và C’B’C2
bằng nhau vì có: B’C’ chung, góc A’B’C’ = góc A’C’B’ = 600 ( tam giác A’B’C’ đều), B’C2 = C’B2 ( tam giác A’B’C đều và giả thiết ). Do đó góc B2B’C’ = góc C2C’B’ suy ra ∆DB’C’ cân ở D nên đỉnh D thuộc đờng trung trực của đoạn B’C’. Tơng tự ta chứng minh dợc hai đỉnh E, H thuộc đờng trung trực
A’ B2 B2 B1 C2 C1 A1 A2 C’ B’ H G D I E F
của đoạn A’C’ và hai đỉnh F, I thuộc đờng trung trực của đoạn A’B’. Trong tam giác đều A’B’C’ các đờng trung trực này đồng quy, do đó các đờng chéo của hình lục giác DEFGHI đồng quy tại một điểm.
Thực hiện phép afin f-1 biến tam giác A’B’C’ thành ∆ABC ta suy ra điều phải chứng minh trong ∆ABC
Kết luận
Đề tài “Phép biến đổi afin và sự tơng đơng afin của các hình” theo tác giả là đề tài có nhiều ứng dụng quan trọng, giúp các bạn sinh viên đang học khoa toán ở các trờng đại học hiểu sâu hơn về môn hình học afin.
Đề tài đợc trình bày logic giữa các nội dung và bố cục theo tác giả là thống nhất, có liên quan với nhau. Trong đề tài có nhiều vấn đề đợc làm sáng tỏ.
Ta giả xin chân thành cảm ơn đến các thầy giáo trong khoa Toán - Trờng Đại học Vinh, đặc biệt là thầy giáo TS. Phạm Ngọc Bội, đã có nhiều ý kiến đóng góp sữa chữa đề đề tài đợc hoàn thành.