Vài ứng dụng của ánh xạ xạ ảnh và biến đổi xạ ảnh và0 hình học phẳng

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ==***== NGUYỄN THỊ MAI HƢƠNG VÀI ỨNG DỤNG CỦA ÁNH XẠ XẠ ẢNH VÀ BIẾN ĐỔI XẠ ẢNH VÀO HÌNH HỌC PHẲNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học Ngƣời hƣớng dẫn khoa học ThS GVC PHAN HỒNG TRƢỜNG HÀ NỘI - 2015 LỜI CẢM ƠN Trong trình thực khoá luận, em nhận giúp đỡ quý báu bổ ích từ thầy cô bạn bè Em xin gửi lời cảm ơn chân thành lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Phan Hồng Trường - người trực tiếp hướng dẫn, bảo tận tình, giúp đờ em suốt thời gian thực hiên khóa luận Em xin gửi lời cảm ơn tới tất thầy cô giáo tổ Hình học, khoa Toán, thư viện nhà trường; gia đình; bạn bè giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi để em hoàn thành kháo luận tốt nghiệp Em xin trân trọng cảm ơn! Hà Nội, ngày 07 tháng 05 năm 2015 Ngƣời thực Nguyễn Thị Mai Hƣơng LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan nội dung mà em trình bày khoá luận kết trình nghiên cứu, tìm tòi, học hỏi thân hướng dẫn thầy giáo Phan Hồng Trường Những kết nghiên cứu khoá luận chưa công bố công trình nghiên cứu Nếu sai sót em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm Hà Nội, ngày 07 tháng 05 năm 2015 Sinh viên Nguyễn Thị Mai Hƣơng MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng, phạm vi nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Ý nghĩa khoa học, thực tiễn NỘI DUNG CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÍ THUYẾT 1.1 Mặt phẳng xạ ảnh 1.2 Nguyên tắc đối ngẫu 1.3 Mô hình xạ ảnh không gian afin n 1.3.1 Xây dựng mô hình A 1.3.2 Một số thể mô hình 1.4 Ánh xạ xạ ảnh 1.4.1 Định nghĩa 1.4.2 Tính chất 1.4.3 Định lí xác định phép ánh xạ xạ ảnh 1.5 Biến đổi xạ ảnh 1.5.1 Định nghĩa 1.5.2 Các định lí phép biến đổi xạ ảnh 1.6 Siêu mặt bậc hai 1.6.1 Định nghĩa kí hiệu 1.6.2 Phân loại xạ ảnh siêu mặt bậc hai P    tên gọi chúng 10 1.6.3 Đường ôvan mô hình xạ ảnh mặt phẳng afin thực 11 1.7 Siêu phẳng tiếp xúc, siêu diện lớp hai 11 1.8 Ánh xạ xạ ảnh đường thẳng chùm đường thẳng P 12 1.8.1 Ánh xạ xạ ảnh đường thẳng 12 1.8.2 Ánh xạ xạ ảnh chùm đường thẳng 14 1.8.3 Định lí Steiner 16 1.8.4 Định lí đối ngẫu định lí Steiner 16 1.8.5 Phép cắt, phép nối P 16 1.9 Biến đổi xạ ảnh đối hợp đường thẳng 17 1.10 Mô hình xạ ảnh E 18 1.10.1 Xây dựng mô hình 18 1.10.2 Một số kết hình học Ơclit mô hình E  P2 \  18 CHƢƠNG 2: VÀI ỨNG DỤNG CỦA ÁNH XẠ XẠ ẢNH VÀ BIẾN ĐỔI XẠ ẢNH VÀO HÌNH HỌC PHẲNG 21 2.1 Giải toán hình học phẳng cách ứng dụng ánh xạ xạ ảnh hai mô hình A2 = P2 \ σ E2 = P2 \ σ 21 2.2 Giải toán hình học phẳng cách ứng dụng ánh xạ xạ ảnh mô hình E2 = P2 \ σ phương pháp tọa độ 49 KẾT LUẬN 58 TÀI LIỆU THAM KHẢO 59 MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Hình học coi môn học khó với học sinh, sinh viên có tính chất hệ thống chặt chẽ, có tính logic tính trừu tượng hóa cao Trong chương trình hình học phổ thông, học sinh biết số phương pháp giải toán hình học phẳng phương pháp tổng hợp, phương pháp tọa độ, phương pháp biến hình, phương pháp vectơ Khi học đến toán cao cấp bậc Cao đẳng, Đại học, sinh viên làm quen với môn hình học xạ ảnh dựa vào số khái niệm hình học xạ ảnh đặc biệt ánh xạ xạ ảnh, biến đổi xạ ảnh, ánh xạ xạ ảnh hai dạng cấp một,… giải số toán hình học phẳng Với mong muốn tìm hiểu sâu hình học xạ ảnh mở rộng thêm cách giải số toán hình học phẳng, em chọn đề tài: “Vài ứng dụng ánh xạ xạ ảnh biến đổi xạ ảnh vào hình học phẳng” Mục đích nghiên cứu  Tìm hiểu sâu kiến thức hình học xạ ảnh  Tìm hiểu số ứng dụng ánh xạ xạ ảnh, biến đổi xạ ảnh vào hình học phẳng Đối tƣợng, phạm vi nghiên cứu  Đối tượng nghiên cứu: kiến thức hình học xạ ảnh  Phạm vi nghiên cứu: số toán hình học phẳng giải cách ứng dụng ánh xạ xạ ảnh, biến đổi xạ ảnh Nhiệm vụ nghiên cứu  Trình bày sở lí thuyết hình học xạ ảnh ứng dụng để giải toán hình học phẳng  Đề xuất số toán hình học phẳng giải bằng cách ứng dụng ánh xạ xạ ảnh, biến đổi xạ ảnh Phƣơng pháp nghiên cứu  Nghiên cứu sử dụng lí luận, công cụ toán học  Nghiên cứu sách tham khảo tài liệu liên quan Ý nghĩa khoa học, thực tiễn  Khoá luận cho thấy mối liên hệ hình học xạ ảnh hình học phẳng Từ đó, góp phần gợi động học tập môn hình học xạ ảnh, phát triển tư cho học sinh, sinh viên  Khoá luận sử dụng tài liệu tham khảo cho sinh viên, học sinh đặc biệt học sinh giỏi NỘI DUNG CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÍ THUYẾT 1.1 Mặt phẳng xạ ảnh Định nghĩa Cho tập hợp P , K - không gian vectơ n  chiều V n1 , song ánh p : V n1   P Khi đó, ba  P, p,V n1  gọi không gian xạ ảnh n chiều trường K, liên kết với K - không gian vectơ V n1 song ánh p Kí hiệu: P P n Mỗi phần tử P n gọi điểm không gian xạ ảnh P n    Gọi u vectơ khác V n1 u không gian vectơ   chiều sinh u , p u    U điểm P Khi đó, ta nói n  vectơ u đại diện điểm U Định nghĩa Khi n  P gọi mặt phẳng xạ ảnh Ví dụ * Mô hình bó Cho An1 không gian afin liên kết với K - không gian vectơ  n  1 -chiều V n1 Gọi Β tập hợp đường thẳng An1 qua điểm O cố định cho trước Tập hợp Β thường gọi bó đường thẳng có tâm O Song ánh p : V n1   B xác định sau: W không gian vectơ chiều V n1 p W  đường thẳng qua O có phương W Khi đó, bó đường thẳng Β trở thành K - không gian xạ ảnh n chiều Trong không gian xạ ảnh Β , điểm đường thẳng An1 qua O Mỗi m - phẳng tập hợp đường thẳng qua O nằm phẳng m  chiều An1 * Mô hình afin Chú ý: Giả sử P không gian xạ ảnh liên kết với không gian vectơ V song ánh p Khi đó, có tập hợp P song ánh : p : P  P P không gian xạ ảnh liên kết với V song ánh p  p Cho An1 không gian afin liên kết với K - không gian vectơ  n  1 chiều V n1 Gọi An siêu phẳng An1 , có phương không gian vectơ n chiều V n V n1 Xét tập hợp P  An  V n  , mà phần tử gọi điểm Như vậy, điểm P điểm An , không gian vectơ chiều V n Chọn điểm O An1 không nằm An , gọi Β bó đường thẳng An1 , có tâm O Ta biết Β không gian xạ ảnh n chiều Xây dựng song ánh p : Β  P sau:  Nếu đường thẳng d bó Β cắt An điểm D đặt: p  d   D    Nếu d // An , tức d V n đặt p  d   d Bằng cách tập P  An  V n  trở thành không gian xạ ảnh liên kết O với V n1 d D A n 1.2 Nguyên tắc đối ngẫu Định nghĩa Giả sử A mệnh đề nói phẳng P n quan hệ liên thuộc phẳng Nếu A ta thay từ “m-phẳng” từ “(n-m-1)- phẳng” tất từ khác giữ nguyên ta mệnh đề A* mệnh đề đối ngẫu mệnh đề A Ví dụ Cách lập mệnh đề đối ngẫu P Trong P , để có mệnh đề đối ngẫu mệnh đề M ta thay M từ “điểm” từ “đường thẳng” ngược lại, từ khác giữ nguyên Định nghĩa Nguyên tắc đối ngẫu: “Trong không gian xạ ảnh cặp mệnh đề đối ngẫu với đúng, sai” Do đó, P n áp dụng nguyên tắc đối ngẫu ta thay việc chứng minh định lí cách chứng minh định lí đối ngẫu với định lí giải toán cách giải toán đối ngẫu toán cho Ví dụ Trong P : Điểm  đường thẳng Hình ba đỉnh  hình ba cạnh Hàng điểm  chùm đường thẳng Hình bốn cạnh toàn phần  hình bốn đỉnh toàn phần 1.3 Mô hình xạ ảnh không gian afin 1.3.1 Xây dựng mô hình A n Giả sử P n  - không gian xạ ảnh liên kết với  - không gian vectơ n  chiều V n1 Gọi W siêu phẳng P n Đặt An  Pn \ W n Ta xây dựng A thành không gian afin cách sau đây: * Trong mô hình E  P2 \  với hai điểm xyclic I , J , đường tròn  G  thể đường ôvan qua I , J  AB,  PQ,  RT  ,  ABHK    PQHK    RTHK    H đặt K  AB   trung điểm * Bài toán xạ ảnh: “Trong mặt phẳng xạ ảnh, cho đường ôvan  G  hai điểm xyclic I , J đường thẳng vô tận  Trên  G  , lấy hai điểm A, B Gọi K  AB   H thuộc AB cho  ABHK   1 Lấy C, D, E, F thuộc  G  , cho C, D, H thẳng hàng; E, F , H thẳng hàng Đặt P  CE  AB, Q  DF  AB, R  CF  AB,T  DE  AB Chứng minh  P, Q, H , K    R, T , H , K   1.” * Giải toán xạ ảnh C K E A P  G  R HT Q B D I J  F Áp dụng định lí Đơdác thứ hai vào chùm đường bậc hai qua C, D, E, F (cụ thể  G  đường bậc hai suy biến  CE, FD  ,  CF , DE  ) với cát tuyến AB , ta có biến đổi xạ ảnh đối hợp f : AB  AB A B PQ R T HH 45 Vì  A, B, H , K   1, f  H   H nên f  K   K Do  P, Q, H , K   1,  R, T , H , K   1 Vì K điểm vô tận AB nên điều có nghĩa Ơclit H trung điểm  PQ,  RT  Bài 2.1.17 Trong mặt phẳng, cho đường tròn  G  tiếp tuyến (d) điểm T Lấy hai điểm phân biệt A, B thuộc (d) đối xứng với qua T; đường thẳng qua A cắt  G  hai điểm phân biệt P, Q đường thẳng qua B cắt  G  hai điểm V, W Đặt M  d  PV , M   d  QW , N  d  PW , N   d  QV Chứng minh T trung điểm đoạn  MM ,  NN  Chứng minh * Trên mô hình E  P2 \  , giả sử  đường thẳng vô tận I , J hai điểm xyclic Đường tròn  G  thể đường ôvan  G  qua I , J tiếp xúc  d  T T trung điểm đoạn  AB  ,  MM ,  NN  đặt S   d     A, B, T , S   1,  N , N , T , S   1,  M , M , T , S   1 * Bài toán xạ ảnh: “Trong mặt phẳng xạ ảnh, cho đường ôvan  G  qua hai điểm xyclic I , J đường vô tận  tiếp xúc với d  T Đặt S   d    , lấy A, B thuộc  d  cho  A, B, T , S   1 Một đường thẳng qua A cắt  G  hai điểm phân biệt P, Q đường thẳng qua B cắt  G  hai điểm V , W Đặt M  d  PV , M   d  QW , N  d  PW , N   d  QV Chứng minh  M , M , T , S    N , N , T , S    1” 46 * Giải toán xạ ảnh G  V  J Q I W N S N ‟ P M A T B M‟ d Áp dụng định lí Đơdác thứ hai vào bốn đường bậc hai qua P , Q , V , W  G  ,  PQ,VW  ,  PV , QW  ,  PW , QV  với đường thẳng  d  ta có biến đổi xạ ảnh đối hợp f  d  mà f  A  B, f  M   M , f  N   N , f T   T Vì S điểm vô tận  d  nên điều có nghĩa Ơclit T trung điểm đoạn  MM ,  NN  Bài tập đề nghị Bài Trong mặt phẳng, cho hai đường thẳng phân biệt m, n ba điểm phân biệt A, B, C  m, n Một đường thẳng thay đổi a qua A Đặt M  q  m, N  a  n, M   CN  m, N   BM  n Chứng minh đường thẳng M N  qua điểm cố định Bài Trong mặt phẳng, cho hai tam giác ABC, ABC đường thẳng d  không qua đỉnh hai tam giác nói Dựng đường thẳng x, y, z, x, y, z lấn lượt qua đỉnh A, B, C, A, B, C cho giao điểm x  BC, y  CA, z  AB, x  BC, y  CA, z  AB nằm  d  Chứng minh x, y, z đồng quy x, y, z đồng quy 47 Bài Trong mặt phẳng, cho đường cônic  G  , hai đường thẳng phân biệt a, b tiếp xúc với  G  A, B Một điểm M chạy  G  Tiếp tuyến  d  với  G  M cắt a, b M1 , M Đặt N  AM  BM1 Tìm quỹ tích điểm N Bài Trong mặt phẳng, cho tam giác ABC , điểm D không nằm cạnh ba đường thẳng a, b, c qua D thẳng góc với DA, DB, DC Chứng minh ba điểm a  BC, b  CA, c  AB thẳng hàng Bài Trong mặt phẳng, cho tam giác ABC , đường thẳng  d  không qua A, B, C điểm O nằm  d  không nằm cạnh ABC Dựng đường thẳng đối xứng với OA, OB, OC qua  d  Các đường thẳng cắt BC, CA, AB P, Q, R Chứng minh P, Q, R thẳng hàng Bài Trong mặt phẳng, cho đường tròn  G  , tiếp tuyến  với  G  điểm T điểm S  , khác T Hai điểm M , N chuyển động  đối xứng với qua S Tìm quỹ tích giao điểm P tiếp tuyến thứ hai với  G  kẻ từ M , N cho  G  nội tiếp tam giác MNP Bài 7: Trong mặt phẳng, cho đường tròn  G  tâm O , đường kính AB tiếp tuyến  d  với  G  A Lấy điểm C  O đường thẳng AB , không trùng với A, B Một đường thẳng biến thiên qua C , cắt  G  hai điểm N , N  Đặt M  d  BN , M   d  BN  Từ M , M  dựng tiếp tuyến G  không trùng với  d  giả sử tiếp điểm tương ứng T , T  Chứng minh rằng: a Các điểm D  MT  M T  chạy đường thẳng cố định b Các đường thẳng TT  qua điểm cố định 48 2.2 Giải toán hình học phẳng cách ứng dụng ánh xạ xạ ảnh mô hình E2 = P \ σ phƣơng pháp tọa độ Định lí Nếu từ điểm M  , ta suy điểm M   phép biến hình cho a Giữa M , M  có liên hệ đối (kể cẩ phần tử ảo có); nói khác là, ánh xạ f :  , M  M  song ánh b Các đường mặt dùng phép dựng hình để xác định cặp điểm tương ứng M , M  đường mặt đại số Thế ta kết luận ánh xạ f :  , M  M  ánh xạ xạ ảnh hai đường thẳng Định lí Hai điểm M , M  theo thứ tự nằm hai trục ,  có hoành độ tương ứng hai trục x, x Điều kiện cần đủ để hai hàng điểm ,  có ánh xạ xạ ảnh f :   , M  M  x, x có ánh xạ biến g : x  x biểu thị hàm phân tuyến tính x  g  x   ax  b   ad  bc  0 cx  d  4.1 Chứng minh Dựa vào tính chất đặc trưng ánh xạ xạ ảnh bảo toàn tỉ số kép xác định ánh xạ xạ ảnh hai hàng điểm Điều kiện cần: Trên  lấy ba điểm A  , B    , C   ; chúng có ảnh tương ứng  qua ánh xạ f A    , B     , C    Vì f ánh xạ xạ ảnh nên  A, B, C, M    A, B, C, M  Từ ta có  A, B, C   A, B, C   A, B, M   A, B, M  49  4.2  CA M A CA MA :  : CB M B CB MB Hay Nghĩa         x      x :  :         x      x Từ rút x theo x thu  I  : x  g  x  hàm phân tiếp tuyến x , a   P   Q, b   Q    P, c  P  Q, d  Q   P với P     :      , Q       :          ad  bc                  0        Vậy từ (4.2) suy (4.1) (4.1) điều kiện cần để ánh xạ f : M  M  xạ ảnh Điều kiện đủ: Giả sử toạ độ x x M  M   có liên hệ biến (4.1) Lấy bốn vị trí A  , B    , C   , D   M  x  bốn vị trí tương ứng A    , B     , C    , D    M   x  , nghĩa  ,  ,  ,   xác định tương ứng theo  ,  ,  ,  hệ thức biến (I) Thay vào ta thấy đẳng thức (4.2) nghiệm đúng,  A, B, C, D   A, B, C, D tức f :   , M  M  ánh xạ xạ ảnh Trong mô hình mà sử dụng để nghiên cứu ánh xạ xạ ảnh hai đường thẳng đường thẳng xạ ảnh đường thẳng Ơclit thông thường bổ sung điểm gọi điểm ánh xạ xạ ảnh vô tận, có hoành độ  Bởi vậy, cần sử dụng “điểm” để thiết lập đặc trưng Ơclit đặc trưng hình học lượng theo nghĩa Ơclit - ánh xạ xạ ảnh giữ hai đường thẳng, từ ta tìm thấy ứng dụng cụ thể ánh xạ xạ ảnh lớp toán hình học sơ cấp 50 Gọi J  điểm hàng  ứng với điểm xa vô tận hàng điểm  gọi I điểm hàng  ứng với điểm xa vô tận hàng điểm  Ta gọi J  I hai điểm giới hạn Bằng cách cho x x giá trị  hệ thức (4.1): x  ax  b ,  ad  bc   ta tìm toạ độ cx  d  d  a  J (do ) I , J I  cx  d     , (từ x   ), (ứng với trường hợp  c  c x  c  ) Bây ta chọn “điểm giới hạn” J  I làm gốc toạ độ (hoành độ) theo thứ tự hai trục   ; nói khác ta thực phép biến đổi toạ độ hai trục xX  d a , x  X   c c  4.3 Thay biểu thức (4.3) x, x vào (4.1), sau rút gọn ta thu biểu thức rút gọn sau X X   bc  ad 0 ,   c2 c2   X  IM    X   J M   4.4  Nhận xét: Hệ thức (4.4) đặc trưng lượng ánh xạ xạ ảnh hai đường thẳng Ơclit mô hình afin hay mô hình Ơclit mặt phẳng xạ ảnh Và vậy, mô hình bất biến (tỉ số kép) diễn tả bất biến lượng thông qua độ dài đoạn thẳng Việc xét điểm giới hạn giúp áp dụng kết hình học xạ ảnh vào hình học sơ cấp Chẳng hạn, áp dụng vào việc phát chứng minh hệ thức có dạng AM AM  = số (khi cặp điểm M , M  chuyển động hai đường thẳng đó) 51 Ví dụ 2.2.1 Trong mặt phẳng, gọi a, b hai tiếp tuyến đường tròn  O, R  hai đầu mút A, B đường kính AB cho đường tròn P điểm chuyển động đường tròn Tiếp tuyến p P đường tròn cắt a, b M , N Chứng minh AM BN  k (không đổi), tức không phụ thuộc vào P Chứng minh b a A B O M P N p  Đây toán quen thuộc dễ giải học sinh lớp Dễ thấy tam giác OMN vuông O có đường cao OP  R Tứ suy AM BN  PM PN  R  Đứng phương diện hình học xạ ảnh * Trong mô hình E  P2 \  , đường tròn đường ôvan  S  qua hai điểm xyclic I , J đường thẳng vô tận  Tâm đường tròn cực   S  Đường kính AB đường thẳng qua O cắt  S  hai điểm A, B Trong E , hai tiếp tuyến A, B a, b a  b , P , giao điểm a, b thuộc  52 * Ta có toán xạ ảnh: “Trong P , đường ôvan  S  qua hai điểm xyclic I , J đường thẳng vô tận  Gọi O cực đường thẳng   S  , đường thẳng qua O cắt  S  A, B P điểm chuyển động  S  Tiếp tuyến p P đường ôvan cắt a, b M , N Chứng minh AM BN  k (không đổi), tức không phụ thuộc vào P ” * Giải toán xạ ảnh K O A M a  I b J P N B Ta thấy ánh xạ f : a  b, M  N ánh xạ xạ ảnh, hai hàng điểm a, b , điểm A, B điểm giới hạn I , J  Bởi theo hệ thức (4.4) ta hệ thức AM BN  k (hằng số) Để xác định giá trị số k ta cần lấy vị trí đặc biệt P  O, R  cho OP  a  b p  AB Thế M , N vị trí M , N0 : AM  BN0   R,   1 Vì k  R * Vậy ta có điều phải chứng minh toán phẳng Nhận xét: Qua ví dụ đơn giản ta thấy muốn đặt toán “mới” đòi hỏi chứng minh hệ thức có dạng AM AM  không đổi, cặp điểm A, M B, N nằm hai đường thẳng cho trước (chúng trùng nhau), trước hết ta phải tạo song ánh xạ ảnh 53 f : M  M  , sở hai điểm giới hạn I , J  IM J M   k (không đổi) Trường hợp đặc biệt hai điểm giới hạn I , J  điểm ánh xạ xạ ảnh vô tận Đó trường hợp (4.1) mà c  Khi hệ thức biến (4.1) thành x  a b x d d Và hàm biến x  g  x  hàm bậc Lấy hai điểm M1  x1  , M  x2   điểm tương ứng M1'  x1'  , M 2'  x2'   thay vào hệ thức bậc nói ta có x2'  x1'  x2'  x1' a a , x  x   k (không đổi)  1 d x2  x1 d Theo ngôn ngữ hình học ta có M 1' M 2' a   k (không đổi) M 1M d (4.5) Vì tỉ số không đổi nên ánh xạ xạ ảnh đặc biệt gọi ánh xạ đồng dạng (từ   ) Nếu k  1 tức a  d M1' M 2'   M1M , M1' M 2'  M1M với cặp điểm M1 , M   ; ta có ánh xạ đẳng cự từ   Trong trường hợp hai hàng điểm   gọi hai hàng điểm Định lí Điều kiện cần đủ để ánh xạ xạ ảnh hai đường thẳng (Ơclit thông thường) trở thành ánh xạ đồng dạng hai điểm giới hạn điểm vô tận 54 Áp dụng: Định lí tiêu chuẩn nhận biết ánh xạ ánh xạ đồng dạng Nó có tác dụng giúp ta giải toán chứng minh hệ thức có dạng (4.5) tỷ số độ dài hai đoạn thẳng số Chú ý: Các kết với hai chùm đường thẳng Định lí Một ánh xạ xạ ảnh hai chùm đường thẳng tương đương với liên hệ biến giũa hệ số góc đường thẳng tương ứng hai chùm Ví dụ 2.2.2 Trong mặt phẳng, điểm P chuyển động đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cho trước Các đường thẳng BP, CP theo thứ tự cắt đường thẳng  CA ,  AB  M , N Chứng minh: BN CM  k (không đổi) 1   l (không đổi) AM AN Hãy tính k , l theo độ dài cạnh a tam giác Chứng minh A B N C P M Trong mô hình E  P2 \  , đường tròn đường ôvan qua hai điểm xyclic I, J   Gọi đường thẳng định hướng AC, AB có hướng AC , AB theo thứ tự trục ,  55 Ta có f :  B , M  BP phép nối, g : C  , CP  N phép cắt mà theo định lí Steiner B  C ánh xạ xạ ảnh nên   , M  N ánh xạ xạ ảnh Vì tam giác ABC nên tiếp tuyến B, BB   tiếp tuyến C, CC   , điểm C , B ,  hai điểm giới hạn I  J   Bởi theo (4.4) ta CM BN  k (không đổi) Chọn P      A Khi M  N  A CM  CA  a   BA   BN Vậy CM BN  k   a   a (không đổi) 2 Chọn A gốc toạ độ chung hai hàng điểm ,  ta CM  CA  AM  AM  a, BN  BA  AN  AN  a Thay giá trị CM , BN ta hệ thức 1  l  (không đổi) a AM AN Ví dụ 2.2.3 Trong mặt phẳng, cho hai đường thẳng xx, yy cắt O điểm P nằm hai đường thẳng Một đường tròn cố định  C  qua O P, cắt xx, yy A, A đường tròn biến thiên G  qua O P, cắt xx, yy M , M  Chứng minh: AM   k (không đổi) AM 56 Chứng minh x G  C  M A P y‟ O x‟ M‟ A‟ y Dễ thấy ánh xạ f : xx  yy, M  M  ánh xạ xạ ảnh hai điểm giới hạn I hàng xx J  yy vô tận Vậy ánh xạ xạ ảnh f ánh xạ đồng dạng, f : A  A Do ta AM   k , với M AM Bài tập đề nghị Bài Trong mặt phẳng, đường thẳng  tiếp xúc với đường tròn  G  cho trước điểm O cho trước A, B hai điểm cố định  G  , khác với O điểm C chuyển động  G  Các đường thẳng CA, CB cắt  M , N Chứng minh 1  không đổi ON OM Bài Trong mặt phẳng, tứ giác lồi ABCD nội tiếp đường tròn  G  Chứng minh  BD  qua giao điểm P tiếp tuyến với  G  A, C  AC  qua giao điểm Q tiếp tuyến với  G  B, D 57 KẾT LUẬN Bản khoá luận trình bày được: Cơ sở lí thuyết hình học xạ ảnh để ứng dụng ánh xạ xạ ảnh biến đổi xạ ảnh vào giải toán hình học phẳng Hệ thống tập hình học phẳng sử dụng ánh xạ xạ ảnh, biến đổi xạ ảnh đặc biệt ánh xạ xạ ảnh hai dạng cấp để giải Cơ sở lí thuyết số ví dụ việc ứng dụng ánh xạ xạ ảnh mô hình Ơclit mặt phẳng xạ ảnh phương pháp toạ độ Tuy có nhiều cố gắng, song khả thân điều kiện tài liệu thời gian hạn chế nên khoá luận không tránh khỏi sai sót; em kính mong thầy cô, bạn xem xét đóng góp ý kiến để khoá luận em hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! 58 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Văn Như Cương (2006), Hình học xạ ảnh, NXB Đại học sư phạm Hà Nội [2] Văn Như Cương, Bùi Huy Luân (1978), Hình học cao cấp, NXB Giáo dục, Hà Nội [3] Phạm Bình Đô (2002), Bài tập hình học xạ ảnh, NXB Đại học sư phạm [4] Nguyễn Mộng Hy (2007), Hình học cao cấp, NXB Giáo dục, Hà Nội [5] Nguyễn Mộng Hy (2007), Bài tập hình học cao cấp, NXB Giáo dục, Hà Nội [6] Nguyễn Văn Mậu, Nguyễn Đăng Phất, Đỗ Thanh Sơn (2008), Hình học số vấn đề liên quan, NXB Giáo dục, Hà Nội 59 [...]... khác là CD của ellip Điểm O  AB  CD biểu thị cho tâm của ellip Như vậy đường thẳng  là đường đối cực của O đối với  S   N M C S  A B O D 20 CHƢƠNG 2: VÀI ỨNG DỤNG CỦA ÁNH XẠ XẠ ẢNH VÀ BIẾN ĐỔI XẠ ẢNH VÀO HÌNH HỌC PHẲNG 2.1 Giải bài toán hình học phẳng bằng cách ứng dụng ánh xạ xạ ảnh trong hai mô hình A2 = P 2 \ σ và E2 = P 2 \ σ Dựa vào mô hình afin, mô hình Ơclit của mặt phẳng xạ ảnh P 2 ,... là ánh xạ tuyến tính  :V  V  Khi đó: a Ánh xạ tuyến tính là  là đơn cấu b Ánh xạ xạ ảnh f là đơn ánh c Ánh xạ xạ ảnh bảo tồn tính độc lập và tính phụ thuộc của một hệ điểm Do đó, ánh xạ xạ ảnh bảo tồn các khái niệm: m - phẳng, số chiều của phẳng, giao và tổng của các phẳng, tỉ số kép của hàng bốn điểm và chùm bốn siêu phẳng d Mỗi đơn cấu tuyến tính  :V  V  là đại diện cho một ánh xạ xạ ảnh. .. , n và f  E   E 1.5 Biến đổi xạ ảnh 1.5.1 Định nghĩa Ánh xạ xạ ảnh f : P  P là một song ánh khi và chỉ khi P và P có cùng số chiều Khi đó, f được gọi là một đẳng cấu xạ ảnh, và hai không gian P và P được gọi là đẳng cấu Một đẳng cấu xạ ảnh f : P  P của không gian xạ ảnh P lên chính nó được gọi là phép biến đổi xạ ảnh (hay ngắn gọn là biến đổi xạ ảnh ) của P 1.5.2 Các định lí cơ bản của phép... phẳng xạ ảnh P 2 , ta đưa bài toán hình học phẳng về bài toán hình học xạ ảnh và sử dụng ánh xạ xạ ảnh và biến đổi xạ ảnh, đặc biệt là ánh xạ xạ ảnh giữa hai dạng cấp một, định lí Stainer, định lí đối ngẫu của định lí Steiner, định lí Đơdác thứ hai, định lí Frêgiê để giải bài toán hình học xạ ảnh đó và từ kết quả đó ta suy ra kết quả của bài toán trong mặt phẳng Từ đó, dựa vào nguyên tắc đối ngẫu để tìm... thể hiện trong mô hình * Các phẳng trong mô hình Nếu m - phẳng xạ ảnh U của P n không nằm trên siêu phẳng W thì tập U   U \ W là một m - phẳng afin trong không gian afin An * Thể hiện sự song song song của các phẳng trong mô hình Cho r - phẳng xạ ảnh U và s - phẳng xạ ảnh V trong không gian xạ ảnh P n , không nằm trên siêu phẳng W , với r  s Khi đó U  W và V  W là các phẳng xạ ảnh có số chiều... của S thành một đường thẳng của S  ) được gọi là một ánh xạ xạ ảnh nếu nó bảo tồn tỉ số kép của bốn đường thẳng bất kì Khi đó, f được gọi là ánh xạ xạ ảnh giữa hai chùm đường thẳng Rõ ràng, khái niệm ánh xạ xạ ảnh giữa hai chùm đường thẳng” là đối ngẫu với khái niệm ánh xạ xạ ảnh giữa hai hàng điểm” Do đó ta có: ánh xạ xạ ảnh giữa hai chùm được xác định khi biết ảnh của ba đường thẳng phân biệt... gian xạ ảnh  P, p,V  và  P, p,V  Một ánh xạ f : P  P được gọi là ánh xạ xạ ảnh nếu có ánh xạ tuyến tính  :V  V  ,   sao cho nếu vectơ x V là đại diện cho điểm X  P thì   x  V  là đại diện cho điểm f  X   P 7   (nói cách khác, nếu p  x   X thì p   x   f  X  )   Khi đó, ta nói ánh xạ tuyến tính là  là đại diện của ánh xạ xạ ảnh f 1.4.2 Tính chất Cho ánh xạ xạ ảnh. .. tồn tính thẳng hàng và bảo tồn tỉ số kép là ánh xạ xạ ảnh 8 1.4.3 Định lí về sự xác định phép ánh xạ xạ ảnh Định lí Cho hai  - không gian xạ ảnh P và P có số chiều lần lượt là n và m  n  m  Trong P cho mục tiêu xạ ảnh S0 , S1, , Sn ; E và trong P cho n  2 điểm phụ thuộc S0 , S1, , Sn ; E , sao cho bất kì n  1 điểm trong số đó độc lập Khi đó, có một và chỉ một ánh xạ xạ ảnh f : P  P sao... thẳng S‟ S m‟ m  Ánh xạ xạ ảnh giữa các đường thẳng và chùm đường thẳng trong P 2 còn được gọi là ánh xạ phối cảnh Định lí 1 Ánh xạ xạ ảnh f : S  S  giữa hai chùm đường thẳng S  và S  là phép chiếu xuyên trục khi và chỉ khi đường thẳng SS  tự ứng Định lí 2 Mọi ánh xạ xạ ảnh f : s  s hoặc g : S  S  trong đó s  s, S  S  là tích của hai phép chiếu xuyên tâm hoặc tích của hai phép chiếu... phép biến đổi xạ ảnh Định lí 1 Nếu f : P n  P n là một song ánh bảo tồn sự thẳng hàng của ba điểm bất kì thì f biến m - phẳng thành m - phẳng Định lí 2 Nếu f : P n  P n là một song ánh bảo tồn sự thẳng hàng của ba điểm và bảo tồn tỉ số kép của bốn điểm thẳng hàng thì f là phép biến đổi xạ ảnh Định lí 3 Cho P n là không gian xạ ảnh trên trường số thực với n  1 Nếu f : P n  P n là một song ánh bảo ... 2: VÀI ỨNG DỤNG CỦA ÁNH XẠ XẠ ẢNH VÀ BIẾN ĐỔI XẠ ẢNH VÀO HÌNH HỌC PHẲNG 2.1 Giải toán hình học phẳng cách ứng dụng ánh xạ xạ ảnh hai mô hình A2 = P σ E2 = P σ Dựa vào mô hình afin, mô hình. .. hình học phẳng, em chọn đề tài: Vài ứng dụng ánh xạ xạ ảnh biến đổi xạ ảnh vào hình học phẳng Mục đích nghiên cứu  Tìm hiểu sâu kiến thức hình học xạ ảnh  Tìm hiểu số ứng dụng ánh xạ xạ ảnh, ... Mô hình xạ ảnh E 18 1.10.1 Xây dựng mô hình 18 1.10.2 Một số kết hình học Ơclit mô hình E  P2  18 CHƢƠNG 2: VÀI ỨNG DỤNG CỦA ÁNH XẠ XẠ ẢNH VÀ BIẾN ĐỔI XẠ ẢNH VÀO HÌNH HỌC