Các phẳng bất biến đối với ánh xạ afin

Lời nói đầu Vấn đề các tập con bất biến đối với ánh xạ luôn luôn là chủ đề đợc toán học quan tâm nghiên cứu. Trong khoá luận này tôi đã nghiên cứu sự bất biến các phẳng trong không gian afin. ánh xạ nói trên là ánh xạ afin hoặc biến đổi afin còn tập con bất biến đợc xét là phẳng (trong trờng hợp phẳng có số chiều bằng 0 là các điểm bất động hay điểm kép, hay điểm bất biến trong trờng hợp số chiều của phẳng bằng 1 thì đó là đờng thẳng kép, đờng thẳng bất động hay đờng thẳng bất biến). Nội dung trình bày của khoá luận gồm hai chơng: Chơng 1: Các kiến thức cơ sở. Trong chơng này tôi đã trình bày tất cả các khái niệm, định lý, tính chất, hệ quả (1.1, 1.2, 1.3, .) cũng nh các ánh xạ afin đặc biệt: Phép tịnh tiến (2.5), phép vị tự (2.6), .đễ phục vụ cho chơng sau . Chơng 2: Điểm bất động đờng thẳng bất biến và phẳng bất biến đối với ánh xạ afin. Trong chơng này là các kết quả thể hiện dới các định lý, mệnh đề đợc chứng minh chi tiết cụ thể mà tôi đã thu thập và tìm kiếm trong các giáo trình và đặc biệt là các tài liệu tham khảo nhng không có chứng minh hay chỉ là những gợi ý đơn giản. Tôi đã sắp xếp trình bày một cách có hệ thống nh sau: 1.1. Điểm bất động. 2.1. Đờng thẳng bất biến. 3.1. Phẳng bất biến. Khoá luận đợc thực hiện và hoàn thành tại Khoa Toán-Trờng đại học Vinh.Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo-TS. Phạm Ngọc Bội- Ngời đã đặt vấn đề và dẫn dắt tận tình, chỉ ra những sai sót cũng nh những góp ý chân thành giúp tôi hoàn thành khoá luận này. 1 Mặc dù tôi đã có cố gắng rất nhiều trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành. Nhng do kiến thức và thời gian còn nhiều hạn chế nên khoá luận không thể tránh khỏi những thiếu sót, tôi rất mong quý thầy cô và các bạn đọc xem và góp ý để khoá luận đợc hoàn thiện hơn. Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn Ban Chủ nhiệm khoa Toán, các thầy cô trong khoa cũng nh bạn bè và gia đình đã quan tâm, giúp đỡ tạo điều kiện cho tôi trong quá trình học tập và hoàn thành khoá luận này. Vinh, ngày 20 tháng 4 năm 2005 Tác giả 2 Chơng I: Các kiến thức cơ sở 1.1. ánh xạ tuyến tính và phép biến đổi tuyến tính 1.1.1. ánh xạ tuyến tính. Cho V và V là không gian vectơ trên cùng trờng K (K là trờng số thực R hoặc trờng số phức C ). ánh xạ f: V V đợc gọi là ánh xạ tuyến tính nếu thoả mãn 2 điều kiện sau: )(: xfxf > i Vyx , thì )()()( yfxfyxf +=+ VxKii > , thì )()( xfxf = 1.1.2. Phép biến đổi tuyến tính. Phép đẳng cấu tuyến tính f: V V từ không gian vectơ V lên chính nó gọi là phép biến đổi tuyến tính của không gian vectơ. 1.2. Không gian con bất biến 1.2.1. Định nghĩa. Cho một ánh xạ tuyến tính : V n V n không gian con V m của V n gọi là không gian con bất biến đối với . Nếu (V m ) V m tức là, với mọi x V m thì ( x ) V m . 1.2.2. Định lý. Ma trận của một phép biến đổi tuyến tính của một không gian V n đối với cơ sở { } n eee , ., 21 = có dạng 3 21 0 A AA khi và chỉ khi không gian con V m ứng với cơ sở { } mm eee , ., 21 = bất biến đối với . Trong đó A 1 chính là ma trận của phép biến đổi tuyến tính tơng ứng /V m đối với cơ sở m . 1.3. Giá trị riêng và véc tơ riêng 1.3.1. Định nghĩa. Cho một phép biến đổi tuyến tính của không gian vectơ V n . Một vectơ 0 x thuộc V n sẽ gọi là vectơ riêng của nếu có một số thực sao cho: xx = )( Khi đó, gọi là giá trị riêng của ứng với vectơ riêng x . Vì 0 x nên ta suy ra 0 . 1.3.2. Định lý 1. Nếu x là một vectơ riêng và là giá trị riêng tơng ứng thì mọi vectơ có dạng )0( kxk đều là vectơ riêng với cùng giá trị riêng . 1.3.3. Định lý 2. Tập hợp các vectơ riêng tơng ứng với cùng một giá trị riêng cùng với vectơ 0 làm thành một không gian con bất biến. 3 1.3.4. Định lý 3. Nếu a là một vectơ riêng thì không gian con một chiều nhận a làm cơ sở là một không gian con bất biến. 1.3.5. Định lý 4. Các vectơ riêng ứng với các giá trị riêng khác nhau đôi một thì độc lập tuyến tính. 1.3.6. Định lý 5. Hai không gian vectơ đẳng cấu với nhau thì có cùng số chiều. 1.3.7. Thuật toán tìm vectơ riêng. Cho phép biến đổi tuyến tính của V n có phơng trình: [x] = A [x] Theo định nghĩa 1.3.1 Điều kiện cần và đủ để x là vectơ riêng và là giá trị riêng tơng ứng với: A[x] = [x] [A - E] [x] = [0] (1) Trong đó: E là ma trận đơn vị cấp n. [0] là ma trận 0. Hệ phơng trình (1) là hệ n phơng trình thuần nhất mà ma trận là [A- E]. Vì 0 x nên ta tìm các nghiệm không tầm thờng của (1). 1. Lập phơng trình đặc trng: det[A - -E] = 0 (2) 2. Giải phơng trình đặc trng (2) gọi i là các nghiệm của nó. 3. Lập hệ phơng trình [A -E] [x] = 0 4. Với mỗi nghiệm i ta thay = i trong hệ (1) giải hệ phơng trình cụ thể thu đợc các nghiệm của hệ đó sẽ cho ta các vectơ riêng tơng ứng với các giá trị riêng i . 1.3.8. Chú ý. Việc tìm các vectơ riêng và tìm các không gian con bất biến một chiều là hai vấn đề tơng đơng. 1.3.9. Định lý 6. Mọi phép biến đổi tuyến tính của V n (n 1) luôn có một không gian con bất biến một chiều hoặc hai chiều. 4 Chứng minh: Vì n 1 nên trong V n tồn tại một cơ sở và ta có thể tìm vectơ riêng của theo thuật toán 1.3.7. Nếu phơng trình đặc trng (2) có nghiệm 1 R thì rõ ràng không gian con một chiều nhận vectơ riêng ứng với 1 làm cơ sở là không gian con bất biến một chiều cần tìm (định lý 1.3.4.). Nếu không, gọi = a+ib (b0) là một nghiệm nào đó của phơng trình (2) thì thay vào hệ (1) ta tìm đợc một nghiệm không tầm thờng có dạng: (y 1 + iz 1 , y 2 + iz 2 , . , y n + iz n ) hay [y] + i[z]. Ta chứng minh đợc ), .,,( 21 n yyyy và ), .,,( 21 n zzzz là hai vectơ độc lập tuyến tính. Gọi V 2 là không gian con hai chiều sinh bởi hai vectơ { } zy , . Khi đó với )()()(),( zyxRzyx +=+= . Mặt khác [y]+ i[z] là nghiệm của (1) ứng với = a+ib nên ta có: += = ][][][ ][][][ zaybzB zbyayA += = zaybz zbyay )( )( Nên ( x ) = 2 )()( Vzbayba ++ . Chứng tỏ V 2 là một không gian con bất biến hai chiều đối với phép biến đổi tuyến tính . 2.1. Không gian afin và các phẳng trong không gian afin 2.1.1. Không gian afin. cho không gian vectơ V trên trờng K, tập A mà các phần tử của nó gọi là điểm và ánh xạ : AxA V Kí hiệu: (M,N) = MN thoả mãn hai tiên đề sau: i. với mọi điểm M A và mọi vectơ u V tồn tại duy nhất điểm N A sao cho MN = u ii. với mọi ba điểm M,N,P A có MN + MPNP = Khi đó bộ ba(A, ,V) gọi là không gian afin hay không gian afin A liên kết với không gian vectơ V Không gian A gọi là n chiều(kí hiệu dimA = n) nếu dimV = n 5 2.1.2. Các phẳng trong không gian afin 2.1.2.1.Định nghĩa. Cho không gian afin A liên kết với không gian vectơ A . Gọi I là một điểm của A và là một không gian vectơ con của A khi đó tập hợp: } { = IMAM / Đợc gọi là cái phẳng(gọi tắt là phẳng) qua I và có phơng là 2.1.2.2. Phơng trình tham số của m - phẳng trong không gian afin A n Trong không gian afin A n chọn mục tiêu afin }{ ;0 . Giả sử là m - phẳng qua điểm I A n và có phơng là không gian vectơ con m - chiều của n A . Chọn }{ m aaa , ,, 21 là cơ sở trong . Giả sử biết toạ độ của vectơ i a đối với cơ sở là ), .,,( 21 niiii aaaa = (i= 1, 2, .m). Và toạ độ điểm I đối với mục tiêu (0, ) là (b 1 , b 2 , ., b n ). Khi đó điểm X có toạ độ(x 1 , x 2 ., x n ) IX hay khi và chỉ khi = = m j jjj KtatIX 1 )( tức là: = = = = = == n i m j n i n i j m j jijiijiii etaeaebx 1 1 1 1 1 )()( Vậy phơng trình của m-phẳng trong không gian afin A n là = += m j ijiji btax 1 (i = 1,2, .,n) Hay [x] = A[t] + [b], hạng A = m. 2.2. ánh xạ afin 2.2.1. Định nghĩa. Cho hai không gian afin trên trờng K là A và A liên kết với không gian vectơ A và ' A . ánh xạ f: A A đợc gọi là ánh xạ afin nếu có ánh xạ tuyến tính ': AAf sao cho với mọi cặp điểm M, N A và ảnh M = f(M), N = f(N) ta có: )('' MNfNM = ánh xạ tuyến tính ': AAf gọi là ánh xạ tuyến tính liên kết với f. 2.2.2. Tính chất 6 2.2.2.1. Tính chất 1. Mỗi ánh xạ afin f: A A chỉ có một ánh xạ tuyến tính liên kết duy nhất ': AAf . 2.2.2.2. Tính chất 2. ứng với mỗi ánh xạ tuyến tính ': AAf với mỗi cặp điểm I A, I A có duy nhất một ánh xạ afin f: A A có ánh xạ tuyến tính liên kết là f và f(I) = I. 2.2.2.3. Tính chất 3. Nếu f: A A , g: A A là những ánh xạ afin liên kết với f và g thì g 0 f cũng là ánh xạ afin và ánh xạ tuyến tính liên kết của nó là g 0 f tức là fgfg o 0 = . 2.2.2.4. Tính chất 4. Cho n+1 điểm độc lập M 0 , M 1 , ., M n trong không gian afin n chiều A và cho n+1 điểm tuỳ ý M 0 , M 1 , ., M n trong không gian A. Khi đó có một và chỉ một ánh xạ afin duy nhất f: A A sao cho f(M i ) = M i (i = 0,1, ., n). 2.2.2.5. Tính chất 5. Cho ánh xạ afin f: A A biến một m-phẳng của A thành một l -phẳng của A mà l m. Chứng minh: Giả sử cho phẳng A m = <A 1 , A 2 , ., A m+1 > và có phơng là >=< + 113121 , .,, m AAAAAAA . Khi đó: f: A m A và f là ánh xạ liên kết với lm AAf ': (l m). Do f là ánh xạ liên kết của f nên A có phơng l A' A là phẳng l - chiều. Hay f(A m ) là phẳng l-chiều của A(l m). 2.2.3. Định lý cơ bản của ánh xạ afin. Đơn ánh f: A A của hai không gian afin A và A là một ánh xạ afin khi và chỉ khi f bảo tồn tính chất thẳng hàng của các điểm và bảo tồn tỉ số đơn của các hệ ba điểm thẳng hàng (Nghĩa là P = f(P); Q = f(Q); R = f(R) và P, Q, R thẳng hàng thì P, Q, R thẳng hàng và [P, Q, R] = [P, Q, R]). 2.2.4. Định lý cơ bản của ánh xạ afin giữa các không gian afin thực Cho A và A là các không gian afin thực n chiều (n>1) và song ánh f: A A. Nếu f biến ba điểm thẳng hàng bất kỳ thành 3 điểm thẳng hàng thì f là phép afin. 7 2.2.5. Phơng trình của ánh xạ afin. Cho ánh xạ afin f: A A và mục tiêu afin { } n eeeR , .,,;0 21 = . Trong A cơ sở { } n eee , .,, 21 = . Với điểm X(x 1 , x 2 , ., x n ) A ta có: X = f(x) = (x 1 , x 2 , ., x n ) và (b 1 , b 2 , ., b n ) là toạ độ của điểm 0 = f(0). Gọi (a 1j , a 2j , ., a nj ) là toạ độ của vectơ )( j ef đối với cơ sở . Ta có: nnnnnn nn nn eaeaeaef eaeaeaef eaeaeaef +++= +++= +++= .)( .)( .)( 2211 22221212 12121111 Tìm mối liên hệ giữa x và x ta đợc phơng trình của ánh xạ afin: + = nnnnnn n n n b b b x x x aaa aaa aaa x x x . . . ' . ' ' 2 1 2 1 21 22212 12111 2 1 Hay [X] = [A][X] + [b] Chú ý: Phơng trình của ánh xạ tuyến tính liên kết ': AAf sẽ có dạng: [X] = A[X]. 2.2.6. ảnh và tạo ảnh của phẳng qua ánh xạ afin 2.2.6.1. Định lý 1. Cho ánh xạ afin f: A A liên kết với ánh xạ tuyến tính ': AAf . Nếu là các phẳng trong A và có phơng là thì f() là các phẳng trong A có phơng )( f . Chứng minh: Lấy điểm I A và đặt I = f(I). Gọi là là phẳng đi qua I và có phơng )(' f = . Ta chứng minh: = f(). Thật vậy: Với M f() M sao cho: f(M) = M '')()(''')(, == MfIMfMIMMfIM Vậy f() = , nghĩa là f() là các phẳng có phơng )( f . 8 2.2.6.2. Định lý 2. Nếu là các phẳng trong A với phơng là ' và nếu f -1 () thì f -1 () là phẳng có phơng là )( 1 f . Chứng minh: Vì f -1 () nên I A sa cho f(I) = I . Gọi là cái phẳng qua điểm I có phơng là )()'( 11 = fMf ')( MMf = === )('',')(',')(' ' IMfMIMMfMIMMf f(M) = M , MfIM )'()( 1 Vậy f -1 () = tức là f -1 () là các phẳng có phơng )( 1 f . 2.3. Đẳng cấu afin 2.3.1. Định nghĩa. Cho (A, , A ) và (A, , 'A ). ánh xạ afin: A A đợc gọi là một đẳng cấu afin nếu f là song ánh. 2.3.2. Mệnh đề. ánh xạ afin f: A A là đẳng cấu afin khi và chỉ khi ánh xạ liên kết ': AAf là đẳng cấu tuyến tính. 2.3.3. Tính chất 2.3.3.1. Tính chất 1. Hai không gian afin đẳng cấu với nhau khi và chỉ khi hai không gian vectơ liên kết của chúng đẳng cấu với nhau. 2.3.3.2. Tính chất 2. Hai không gian afin hữu hạn chiều trên trờng K đẳng cấu với nhau khi và chỉ khi chúng có cùng số chiều. 2.3.3.3. Tính chất 3. Nếu f: A A là đẳng cấu afin thì ánh xạ ngợc f -1 : A A cũng là một đẳng cấu afin liên kết với đẳng cấu tuyến tính 1 )( f 2.3.3.4. Tính chất 4. Quan hệ đẳng cấu giữa các không gian afin trên tr- ờng K là một quan hệ tơng đơng. 2.4. Phép biến đổi afin 2.4.1. Định nghĩa. Phép đẳng cấu afin f: A n A n (từ một không gian afin A n lên chính nó) đợc gọi là 1 phép biến đổi afin của không gian afin A n (hoặc một phép afin của không gian A n ). 2.4.2. Định lý. Cho hai hệ điểm độc lập của A n : A 0 , A 1 , ., A n và A 0 , A 1 , ., A n thì có một phép biến đổi afin duy nhất f: A n A n mà f(A i ) = A i với i = 0,1 .n. 9 2.4.3. Định lý. Nếu ánh xạ afin f: A A là một phép biến đổi afin thì ánh xạ liên kết của f là ': AAf là một phép biến đổi tuyến tính. 2.4.4. Định lý. Tập hợp các biến đổi afin của không gian afin A với phép toán lấy tích các ánh xạ làm thành một nhóm, gọi là nhóm afin của không gian afin A và ký hiệu là Af(A). 2.4.5. Mệnh đề. ánh xạ afin f: A n A n là đẳng cấu afin khi và chỉ khi nn AAf : là tự đẳng cấu tuyến tính. 2.4.6. Chú ý. Mọi điều nói về phơng trình của ánh xạ afin đã nói trong mục 2 đều đúng đối với biến đổi afin. 2.4.7. Phơng trình của phép biến đổi afin áp dụng kết quả từ 2.7. ta có kết quả về phơng trình phép biến đổi afin f: [X] = A*[X] + [b]. Trong đó: A* là ma trận chuyển vị của A. Và A* không suy biến. 2.5. Phép tịnh tiến 2.5.1. Định nghĩa. Cho không gian afin A liên kết với không gian vectơ A cho V cố định trong A và f: A A là ánh xạ đợc xác định bởi: f(M) = M sao cho vMM = ' (với M A) phép f nh vậy là phép tịnh tiến của A theo vectơ v và ký hiệu là T v . 2.5.2. Tính chất 2.5.2.1. Tính chất 1. Phép tịnh tiến T v là một phép biến đổi afin với ánh xạ tuyến tính liên kết là A Id . 2.5.2.2. Tính chất 2. Nếu f là một biến đổi afin của A mà f = A Id thì f là phép tịnh tiến. 10