Đa tạp con lagrang và mối quan hệ với ánh xạ symplectic

Luận văn, khóa luận, tiểu luận, báo cáo, đề tài

Bộ giáo dục và đào tạo Trờng đại học vinh Trần thị Thành tâm Đa tạp con Lagrăng và mối quan hệ với ánh xạ Symplectic Luận văn thạc sĩ toán học Chuyên ngành: Hình học tô pô Mã số: 60 46 10 Ngời hớng dẫn khoa học: TS: Nguyễn Duy Bình Vinh 2004 3 Mục lục Trang Lời nói đầu 3 Chơng I: Đa tạp Symplectic và đa tạp con Largăng 1.1. Đa tạp Symplectic 5 1.2. Đa tạp con Largăng 11 1.3. Đa tạp con Largăng của C n 18 Chơng II: ánh xạ Symplectic và mối quan hệ với đa tạp con Lagrăng 2.1. ánh xạ Symplectic 31 2.2. Mối quan hệ giữa ánh xạ Symplectic với đa tạp con Lagrăng 37 Kết luận 45 Tài liệu tham khảo 46 4 Mở đầu Từ thế kỷ XIX hình học Symplectic đã có ứng dụng trong cơ học cổ điển và nó phát triển mạnh vào những năm cuối thế kỷ XX với các công trình của nhiều nhà toán học tiêu biểu nh: Weinstein, Gronv, Taubles . Cho đến nay thì hình học Symplectic đã trở thành một phân ngành của Hình học - Tôpô. Hình học Symplectic là hình học của đa tạp Symplectic, tính chất hình học trên đa tạp Symplectic đợc mô tả bởi các dạng song tuyến tính phản xứng không suy biến. Các khái niệm cơ bản của hình học Symplectic nh: Không gian Symplectic, đa tạp Symplectic, ánh xạ Symplectic, đa tạp con Lagrăng . đã đợc đề cập trong một số tài liệu nh: [3] , [5] , [6] (tài liệu tham khảo) , vv .Tuy nhiên chúng chỉ mới đợc đề cập đến các vấn đề cơ bản nhất. Do đó khi tiếp cận với đề tài hình học Symplectic tôi muốn đi sâu tìm hiểu thêm các tính chất của những khái niệm này. Đây là lý do tôi chọn đề tài đa tạp con Lagrăng và mối quan hệ với ánh xạ Symplectic làm luận văn. Luận văn đợc chia làm 2 chơng với những nội dung cơ bản sau: Chơng I: Đa tạp Symplectic và đa tạp con Lagrăng 1.1 Đa tạp Symplectic 1.2 Đa tạp con Lagrăng 1.3 Đa tạp con Lagrăng của C n Chơng II: ánh xạ Symplectic và mối quan hệ với đa tạp con Lagrăng 2.1 ánh xạ Symplectic 2.2 Mối quan hệ giữa ánh xạ Symplectic với đa tạp con Lagrăng ở trong 1.1.Chúng tôi nêu các định nghĩa về không gian vectơ Symplectic, đa tạp Symplectic, một số ví dụ về đa tạp Symplectic và định nghĩa về T * X Trong mục 1.2. Chúng tôi nêu định nghĩa không gian con Lagrăng, đa tạp con Lagrăng, đa ra ví dụ và chứng minh một số tính chất của nó. Trong 1.3. Chúng tôi đi sâu nghiên cứu không gian con Lagrăng của C n đa ra và chứng minh đợc một số tính chất của không gian con Lagrăng của C n , nêu định 5 nghĩa đa tạp con Lagrăng đặc biệt của C n và chứng minh đợc đa tạp con Lagrăng đặc biệt S của C n là đa tạp con có thể tích bé nhất trong tất cả các đa tạp con compact n - chiều cùng biên với S. Nội dung chính đợc trình bày trong 2.1 là định nghĩa và ví dụ về ánh xạ Symplectic, và chứng minh một vài tính chất của nó. Cuối cùng trong 2.2. Chúng tôi nêu và chứng minh các kết quả nói lên mối quan hệ giữa ánh xạ Symplectic với đa tạp con Lagrăng, định nghĩa hàm sinh, nêu cách tìm ánh xạ Symplectic khi đã có hàm sinh, chứng minh đợc một vài tính chất của hàm sinh. Vì năng lực và thời gian có hạn nên luận văn này không thể tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong các thầy, cô giáo cùng các bạn đồng nghiệp vui lòng góp ý. Luận văn đợc hoàn thành với sự hớng dẫn tận tình của Tiến sĩ Nguyễn Duy Bình cùng với sự giúp đỡ, động viên của các thầy, cô trong tổ bộ môn Hình học - Tôpô, Ban chủ nhiệm khoa Toán, khoa Sau đại học trờng Đại học Vinh, Ban giám hiệu và các thầy, cô giáo trờng PTTH Lê Quý Đôn Hà Tĩnh cùng các bạn học viên lớp cao học X. Tôi xin đợc bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với sự chỉ bào dìu dắt đó!. Vinh, tháng 10 năm 2004 Trần Thị Thành Tâm 6 Chơng I: Đa tạp Symplectic và đa tạp con Lagrăng 1.1. Đa tạp Symplectic 1.1.1. Định nghĩa: Giả sử V là không gian vectơ m - chiều trên R và : V x V R là ánh xạ song tuyến tính phản xứng ánh xạ ~ : V V * là ánh xạ tuyến tính đợc xác định bởi ~ (v) (u) = (v, u), v, u V: Trong đó V * = { ánh xạ tuyến tính f: V R} 1.1.2. Định nghĩa: ánh xạ song tuyến tính phản xứng là Symplectic khi và chỉ khi ~ là song ánh. Khi đó đợc gọi là cấu trúc symplectic tuyến tính trên V và (V, ) đợc gọi là không gian vectơ Symplectic. 1.1.3. Mệnh đề: (Nếu V, ) là Symplectic thì dim V = 2n và ma trận của đối với cơ sở chính tắc là A = I IO Chứng minh: Ta áp dụng một định lý về ánh xạ song tuyến tính phản xứng sau: Định lý: Giả sử là ánh xạ song tuyến tính phản xứng: V x V R thì trong V tồn tại cơ sở { u 1 , u 2 , ., u k , e 1 , e 2 , ., e n , f 1 , f 2 , ., f n } (*) Với k + 2n = m, thoả mãn: (u i , v) = 0, v V, i = (e i , e j ) = 0, i, j = (f i , f j ) = 0, i, j = (e i , f j ) = ij , i, j = (*) Gọi là cơ sở chính tắc của V đối với 7 k,1 n,1 n,1 n,1 Ta có: (V, ) là không gian Sympletic do đó ~ là song ánh ker = 0 { v V: ~ (v) (u) = 0, u V} = 0 { v V: (v, u) = 0, u V } = 0 u 1 = u 2 = . = u k = 0 Trong V tồn tại cơ sở chính tắc đối với là { e 1 , e 2 , ., e n , f 1 , f 2 , ., f n } Khi đó đối với cơ sở này có ma trận là A = I IO 1.1.4. Định nghĩa: Cho không gian vectơ Symplectic (V, ). Không gian con W đợc gọi là đẳng hớng nếu W = 0 1.1.5. Mệnh đề: Cho Y là không gian con tuyến tính của không gian vectơ Symplectic (V, ), trực giao Symplectic Y của nó là không gian con tuyến tính đợc xác định bởi. Y = { v V (v, u) = 0, u Y } Khi đó ta có: 1) dim Y + dim Y = dimV 2) (Y ) = Y 3) Nếu Y và W là không gian con. Khi đó Y W W Y 4) Y là Symplectic Y Y = 0 Chứng minh: 1) Giả sử V có cơ sở { e 1 , e 2 , ., e n }; Y có cơ sở { e 1 , e 2 , ., e m } (m<n) Khi đó với x Y x = = m i ii ex 1 ; v V v = = n j jj ev 1 8 ~ Xét ánh xạ : V Y * v (v) = (. , v) Y Vì Y * là không gian đối ngẫu của Y nên: dim Y = dimY * Lấy f bất kỳ Y * , khi đó với x Y ta có f (x) = = m i ii efx 1 )( Xét phơng trình (x, v) = f (x), x Y = m ji jiji eevx 1, ),( + )(),( 111 i m i i m i jiji n mj efxeevx ==+= = Chọn x (1,0, ., 0, 0, ., 0), ta có: m n = n j jj eev 1 1 ),( = f (e 1 ) Chọn x (0,1, ., 0, 0, ., 0), ta có: = n j jj eev 1 2 ),( = f (e 2 ) . Chọn x (0,0, ., 0,1, 0, ., 0) , ta có: m n = n j jmj eev 1 ),( = f (e m ) Từ đó ta có hệ phơng trình = = = = = = )(),( )(),( )(),( 1 2 1 2 1 1 1 mj n j mj j n j j j n j j efeev efeev efeev Đặt các vectơ: 1 ( (e 1 , e 1 ), ., (e 1 , e n ) ) 2 ( (e 2 , e 1 ), ., (e 2 , e n )) . m ( (e m , e 1 ), ., (e m , e n )) m+1 ( (e m+1 , e 1 ), ., (e m+1 , e n )) 9 n ( (e n , e 1 ), ., (e n , e n )) Ta có hệ { 1 , 2 , ., m } độc lập tuyến tính vì giả sử nếu hệ này phụ thuộc tuyến tính thì hệ vectơ { 1 , ., m , m+1 . n } cũng phụ thuộc tuyến tính, do đó suy biến. Điều này là mâu thuẫn với giả thiết. Do đó Rank m eeee eeee eeee nmm n n = ),() .,( . ),() .,( ),() .,( 1 212 111 Do đó hệ (1) luôn có nghiệm (ẩn là v j ) Tức là f Y * luôn v V để (x, v) = f (x), x Y hay là toàn ánh Do đó dim V = dim (V) + dim Ker . = dim Y * + dim Y = dim Y + dim Y Vậy dim V = dim Y + dim Y 2) Ta có (Y ) = { w V| (w, v) = 0, v Y } = {w V| (v, w) = 0, v Y } = Y Vậy (Y ) = Y 3) Chứng minh Y W W Y Lấy bất kỳ v W (v, u) = 0, u W Vì Y W, do đó (v, u) = 0, u Y v Y 10 Suy ra W Y - Tơng tự ta chứng minh đợc W Y Y W Vậy Y W W Y 4) Chứng minh Y là Symplectic Y Y = {0} (). Giả sử Y là Symplectic ta chứng minh Y Y = {0} Do Y là Symplectic YxY là không suy biến (*) Lấy bất kỳ u Y Y và giả sử u 0 Khi đó: u Y (u, v) = 0, v Y YxY suy biến. Điều này mâu thuẫn với (*) Vậy u = 0 hay Y Y = {0} () Giả sử Y Y = {0} ta chứng minh Y là Symplectic Đặt X = {u Y (u, x) = 0, x Y} Để chứng minh Y là Symplectic, ta phải chứng minh X = {0} Thật vậy, ta có: YYX YX YX Mà Y Y = {0} X ={0}. 1.1.6. Định nghĩa: Cho đa tạp M - gọi là 2 - dạng de Rham trên đa tạp M khi và chỉ khi P là ánh xạ song tuyến tính phản ứng, pM và P khả vi theo p, trong đó là 2 - dạng vi phân: p P ; P :T P M x T P M R. 11 - Ta nói rằng đóng d = 0, trong đó d là vi phân de Rham đợc xác định: nếu = j ji iij dxdxf < thì d = )( j ji iij dxdxdf < - đợc gọi là Symplectic khi và chỉ khi đóng và P là Symplectic, PM. Nhận xét: Nếu là Symplectic thì dim T P M = dim M = 2n. 1.1.7. Định nghĩa: Cho đa tạp M, là Symplectic, khi đó (M, ) đợc gọi là đa tạp Symplectic. 1.1.8. Ví dụ: M = R 2n với hệ toạ độ ( x 1 , x 2 , , x n , y 1 , y 2 , ., y n) lấy = i n i i dydx = 1 thì (M, ) là đa tạp Symplectic. 1.1.9. Định nghĩa: Cho X là đa tạp n chiều, xX. T x * X= {f tuyến tính: T x X R} Kí hiệu M = T * X = X x T x * X. Khi đó M là đa tạp 2n - chiều và gọi là phân thớ đối tiếp xúc của đa tạp X. 1.10. Định nghĩa: Giả sử (U, x 1 , x 2 , ., x n ) là bản đồ trên X. {T * U, x 1 , x 2 , x n 1 , 2 , . n } là bản đồ kết hợp trên T * X. Khi đó = i n i i xd = 1 là 1 - dạng trên T * U và đợc gọi là dạng đúng. = = n i ii ddx 1 là 2 - dạng trên T * U và đợc gọi là dạng chính tắc. Nhận xét: , không phụ thuộc vào việc chọn bản đồ. 12