Giải thức xạ ảnh và giải thức nội xạ của nhóm aben

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH PHAN BÁ GIÁP GI¶I THøC X¹ ¶NH Vµ GI¶I THøC NéI X¹ CñA NHãM ABEN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC VINH - 2010 2 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH PHAN BÁ GIÁP GI¶I THøC X¹ ¶NH Vµ GI¶I THøC NéI X¹ CñA NHãM ABEN CHUYÊN NGÀNH: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ MÃ SỐ: 60.46.05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. NGUYỄN THÀNH QUANG VINH - 2010 3 MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU .1 CHƯƠNG 1. NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN .3 1.1. Dãy khớp .3 1.2. Hàm tử khớp .10 1.3. Nhóm vi phân 14 1.4. Phức hợp dây chuyền 17 1.5 Đồng cấu nối, dãy khớp đồng điều 21 1.6. Đồng luân dây chuyền 25 1.7. Phức hợp đối dây chuyền 27 CHƯƠNG 2. GIẢI THỨC XẠ ẢNH VÀ GIẢI THỨC NỘI XẠ CỦA NHÓM ABEN .30 2.1 Nhóm Aben xạ ảnh 30 2.2 Nhóm Aben nội xạ .35 2.2 Giải thức xạ ảnh của nhóm Aben .42 2.3 Giải thức nội xạ của nhóm Aben .49 KẾT LUẬN .51 TÀI LIỆU THAM KHẢO .52 4 MỞ ĐẦU Lý thuyết đồng điều được bắt đầu phát triển vào những năm đầu của thế kỷ. H.Poincaré đã đưa ra các khái niệm về dây chuyền, các chu trình đồng điều của một số không gian con của không gian ¡ . Các khái niệm đó đặt nền móng cho sự phát triển của lý thuyết đồng điều. Sau đó các khái niệm này được mở rộng cho các không gian tôpô bất kỳ. Về nghiên cứu các nhóm đồng điều, có thể tìm thấy trong các công trình của các nhà toán học S.Lefschetz, P.S.Alexandrov, E.Noether, S.Eilenberg, E.Cech, A.Kolmogorov… Các công trình của P.S.Alexandrov, Cech, Alexandrov đã giải quyết được vấn đề trọng tâm của lý thuyết đồng điều, cụ thể là tính bất biến của các nhóm đồng điều kỳ dị của các đa diện. S.Eilenberg và Steenrod là những người đầu tiên đã xây dựng hệ tiên đề cho một lý thuyết đồng điều trên phạm trù các cặp không gian tôpô, phát triển lý thuyết này trong mối quan hệ chặt chẽ với đại số đồng điều và lý thuyết phạm trù. Hiện nay tôpô đại số nói chung và lý thuyết đồng điều nói riêng đã trở thành những công cụ hiệu quả trong việc nghiên cứu và phát triển của nhiều ngành toán học hiện đại như Hình học vi phân, Hình học đại số, Tôpô vi phân, Giải tích phức, Giải tích hàm, Lý thuyết phạm trù, Đại số đồng điều và cả những ngành của Vật lý lý thuyết. Cấu trúc luận văn được chia làm hai chương: Trong chương 1, chúng tôi trình bày khái niệm chung về dãy khớp, nhóm vi phân, phức hợp dây chuyền, phức hợp đối dây chuyền, dãy khớp đồng điều, đồng luân dây chuyền. Trong chương 2, chúng tôi tìm hiểu nội dung giải thức xạ ảnh của một nhóm Aben, trên cơ sở đó bằng phép toán đối ngẫu để tìm hiểu về giải thức nội xạ của một nhóm Aben 5 Luận văn được thực hiện dưới sự hướng dẫn nghiêm túc và chu đáo của PGS.TS Nguyễn Thành Quang. Nhân dịp này tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến Thầy giáo hướng dẫn. Tác giả bày tỏ lòng biết ơn tới các Thầy PGS.TS Ngô Sĩ Tùng, PGS.TS Lê Quốc Hán và các Thầy Cô trong bộ môn Đại số và Khoa Toán, Khoa đào tạo sau đại học đã hết lòng giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và thực hiện luận văn. Tác giả bày tỏ lòng biết ơn tới những học viên Cao học khoá 16 chuyên ngành Đại số và Lý thuyết số, Ban Giám hiệu và tập thể trường THPT Phan Thúc Trực đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Mặc dù đã rất cố gắng, song luận văn không tránh khỏi những thiếu sót. Kính mong nhận được sự góp ý chỉ bảo của quý thầy cô cùng các bạn học viên. Chúng tôi xin chân thành cảm ơn. Vinh, tháng 12 – 2010 Tác giả 6 CHƯƠNG 1 NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.1. DÃY KHỚP 1.1.1. Định nghĩa. Một dãy A’ α’ A α” A” (1) gồm các nhóm Aben A’, A, A” và các đồng cấu α’, α” gọi là khớp nếu ảnh đồng cấu α’ trùng với hạt nhân của đồng cấu α”, tức là nếu Imα’ = Kerα”. Khi chỉ xảy ra Imα’ ⊂ Ker α ” thì dãy (1) được gọi là nửa khớp. Nếu dãy (1) khớp (nửa khớp) thì người ta nói rằng nó khớp (nửa khớp) tại số hạng A của dãy. 1.1.2. Định nghĩa. Một dãy: … A 1i k − 1i k α − A i k i k α A 1i k + … gồm các nhóm Aben A i k , và các đồng cấu α i k ( ) i∈¢ gọi là khớp (nửa khớp) nếu nó khớp (nửa khớp) tại mọi số hạng A i k ( ) i∈¢ của nó. Ta kí hiệu O là nhóm tầm thường (tức là nhóm chỉ có phần tử trung hoà O) và O A → là đồng cấu tầm thường. Dãy khớp có dạng: O A’ α ’ A α ” " A O (2) được gọi là dãy khớp ngắn. Ví dụ 1. a) Dãy O A α B gồm các nhóm Aben A, B và đồng cấu α là một dãy nửa khớp. Dễ thấy dãy đó khớp khi và chỉ khi α là một đơn cấu. 7 b) Dãy Kerα i A α B (trong đó i là đồng cấu nhúng) là một dãy khớp. c) Dãy A α B O là một dãy nửa khớp với mọi đồng cấu α . Dãy đó khớp khi và chỉ khi α là một toàn cấu. d) Dãy ' A i A p ' A A , ở đây ' A là nhóm con của nhóm Aben A, i là đồng cấu nhúng, còn p là phép chiếu chính tắc, là một dãy khớp. e) Dãy O ' A i A p A' A O, với i, p là các đồng cấu trong ví dụ trên là một dãy khớp ngắn. Việc định nghĩa các khái niệm dãy khớp, dãy nửa khớp trong phạm trù các nhóm, phạm trù các môđun cũng hoàn toàn tương tự như trong nhóm Aben được xét ở trên. Trong phạm trù I(AG ), I(AG ), ta định nghĩa dãy khớp (nửa khớp) như sau: Giả sử I là một tập hợp sắp thứ tự từng phần và (A i , ij α ) ( i α ) (B i , β ij ) ( i β ) (C i , γ ij ) (3) là một dãy các vật và các mũi tên trong phạm trù I(AG ), gọi là khớp (nửa khớp) nếu đối với mọi i ∈ I, dãy ' i A i α ' i B i β ' i C là khớp (nửa khớp). Tương tự, một dãy ( ' i A , ' ij α ) ' i α ( ' i B , ' ij β ) ' i β ( ' i C , ' ij γ ) gồm các vật và mũi tên trong phạm trù I(AG ), gọi là khớp (nửa khớp) nếu đối với i ∈ I, dãy ' i A ' i α ' i B ' i β ' i C 8 là khớp (nửa khớp). Từ Định nghĩa 1.1.1 và các ví dụ b) và c) ta dễ dàng rút ra được hai mệnh đề sau đây. 1.1.3. Mệnh đề. Điều kiện cần và đủ để dãy (1) nửa khớp là " ' . 0. α α = . 1.1.4. Mệnh đề. Giả sử … α − A α B α + … là một dãy khớp các nhóm Aben. Khi đó a) α là một đơn cấu khi và chỉ khi α − = 0. b) α là toàn cấu khi và chỉ khi α + = 0. c) α là đẳng cấu khi và chỉ khi α − = 0, α + = 0. 1.1.5. Mệnh đề. Điều kiện cần và đủ để dãy các nhóm Aben O ' A α A β " A (5) khớp (nửa khớp) là đối với bất kì một nhóm Aben G, trong phạm trù AG , dãy sau là khớp (nửa khớp O AG ( G, ' A ) α ϕ AG (G, A) β ϕ AG (G, " A ) (6) ở đây ( ) ,u u α ϕ α = , ( ) v v β ϕ β = , (u ∈ AG ( G, A’), v ∈ AG (G, A)). Chứng minh. Trước hết ta nhận xét rằng: dãy (6) là một dãy trong phạm trù AG, bởi vì với bất kì các nhóm Aben G và A, tập hợp AG (G, A) có cấu trúc nhóm Aben được cho bởi phép toán ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' .v v x v x v x+ = + Giả sử dãy (5) là nửa khớp. Khi đó, dãy (6) là nửa khớp tại AG ( G, A’) và AG (G, A), (rút ra từ Ví dụ 1) và Mệnh đề 1.1.4). Bây giờ giả sử dãy (5) khớp, khi đó từ ( ) 0u u α ϕ α = = suy ra u = 0 (bởi vì α là đơn cấu (ví dụ 1)), 9 nghĩa là α ϕ là một đơn cấu, theo Ví dụ 1), suy ra dãy (6) khớp tại số hạng AG ( G, A’). Dãy (5) khớp, nên theo chứng minh trên dãy (6) nửa khớp. Vậy Im α ϕ ⊂ Ker β ϕ . Bây giờ ta chứng minh Ker β ϕ ⊂ Im α ϕ . Giả sử β ϕ (v) = 0, do đó ( ) ( ) 0 0 er =Im .v v x v x K β β β α = ⇒ = ⇒ ∈ Vậy tồn tại ' ' a A∈ sao cho ( ) ( ) ' .a v x α = Phần tử ' a là duy nhất vì α là đơn cấu. Ta xác định u ∈ AG ( G, ' A ) bằng công thức ( ) ' .u x a= Từ đó rút ra v = α ϕ (u). Vậy Ker β ϕ ⊂ Im α ϕ và do đó dãy (6) khớp tại số hạng AG (G, A). Ngược lại, giả sử dãy (6) là nửa khớp. Từ ví dụ 1) suy ra dãy (5) là nửa khớp tại số hạng ' A . Từ ( ) ( ) . 0 0u u α β ϕ ϕ βα = ⇒ = đối với mọi nhóm Aben G và u ∈ AG ( G, A’), ta nhận được 0 βα = (khi lấy ' G A= và u = Id G ). Như vậy dãy (5) là nửa khớp tại số hạng A . Bây giờ, giả sử dãy (6) là khớp, ta sẽ chứng minh er ImK β α ⊂ . Giả sử a ∈ Ker β . Khi đó ta có ( ) 0a β = . Xét G a= là nhóm Aben tự do sinh bởi a và v ∈ AG (G, A) là đồng cấu được định nghĩa qua công thức v(na) = na. Khi đó ta có βv(na) = β(na) = nβ(a) ⇒ v ∈ Ker β ϕ ⊂ Im α ϕ ⇒ v = α ϕ (u) với u ∈ AG ( G, A’), nghĩa là v(a) = αu(a) ⇒ a = α(u(a)) với u(a) ∈ ' A . Vậy a ∈ Imα. Bằng đối ngẫu ta có mệnh đề sau đây: 1.1.6. Mệnh đề. Điều kiện cần và đủ để các nhóm Aben ' A α A β " A O (5’) khớp (nửa khớp) đối với bất kì một nhóm Aben G, trong phạm trù AG dãy sau là khớp (nửa khớp) O AG ( " A , G) β Ψ AG (A, G) α Ψ AG (A’, G) (6’) 10 ở đây β Ψ (u) = uβ, α Ψ (v) = uα (u ∈ AG (A”, G), v ∈ AG (A, G)). 1.1.7. Định nghĩa. Người ta nói rằng dãy khớp ngắn (2) O ' A α’ A α” " A O là chẻ ra nếu nó thoả mãn một trong hai điều kiện sau đây: a) ' α có ngược trái ' ' : A A β → , ' ' . β α = Id A’ b) " α có ngược phải " β : " A A→ , " " α β = Id A”. Các điều kiện trên là tương đương. Khi đó ta cũng có các đẳng thức: ' ' " " ' " , . 0. A Id α β β α β β + = = Chứng minh. a) ⇒ b). Nếu ' α có ngược trái ' ' : A A β → thì ( ) ( ) ' ' ' ' ' ' ' 0 A Id α β α α α β α − = − = . Do đó, đồng cấu ( ) ' ' A Id α β − là tầm thường trên nhóm con ' " Im erK α α = . Bởi vì " α là toàn cấu, nên tồn tại duy nhất đồng cấu " " : A A β → sao cho ( ) " " ' ' . A Id β α α β = − , nghĩa là ta có công thức ' ' " " A Id α β β α + = . Từ công thức " " ' ' A Id β α α β = − ta suy ra ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) " " " " ' ' " " " " " ' ' " " " " . . . A Id α β α α α β α β α α α α β α β α α = − ⇒ = − ⇒ = Vì " α là toàn cấu, suy ra " " α β = Id A”. b) ⇒ a). Nếu đồng cấu " " : A A β → là ngược phải của " α thì ( ) " " " A Id α β α − = ( ) " " " " " " 0 α α β α α α − = − = . Do đó ( ) " " " ' Im er Im A Id K β α α α − ⊂ = . Vậy tồn tại một đồng cấu ' ' : A A β → thoả mãn đẳng thức ' " " ' A Id α β α β = − , tức là ta có đẳng thức ' ' " " A Id α β α β + = . Đồng cấu ' β là duy nhất vì ' α là đơn cấu. Từ đẳng thức ' " " ' A Id α β α β = − suy ra . tôi tìm hiểu nội dung giải thức xạ ảnh của một nhóm Aben, trên cơ sở đó bằng phép toán đối ngẫu để tìm hiểu về giải thức nội xạ của một nhóm Aben 5 Luận. xạ. 35 2.2 Giải thức xạ ảnh của nhóm Aben. 42 2.3 Giải thức nội xạ của nhóm Aben. 49