1.6.1. Định nghĩa. Giả sử f, g: ( )C →( )C' là hai ánh xạ dây chuyền. Đồng
luân s giữa f và g là một dãy các đồng cấu ' 1 : n n n s C →C + sao cho ' 1 1 n+ sn sn− n fn gn ∂ + ∂ = − , với mọi n∈Z (1) Nếu đồng luân s tồn tại thì ta nói rằng ánh xạ f đồng luân dây chuyền (nói tắt: đồng luân) với ánh xạ g và kí hiệu s: f ; g hay f ; g.
1.6.2. Mệnh đề. Quan hệ đồng luân của ánh xạ dây chuyền từ phức hợp (C) đến phức hợp (C’) là một quan hệ tương đương.
Chứng minh. Tính chất phản xạ: 0: f ; f Tính chất đối xứng: s: f ; g ⇒-s: g ; f.
Tính chất bắc cầu: s: f ; g, t: g ; h ⇒s + t: f ; h.
Lớp tương đương của ánh xạ f được kí hiệu là [f] và được gọi là lớp đồng luân của ánh xạ f.
1.6.3. Mệnh đề. Quan hệ đồng luân giữa các ánh xạ dây chuyền tương thích với sự hợp thành của ánh xạ, tức là nếu f ; g: ( )C →( )C' ,
và f’ ; g’: ( ) ( )C' → C" thì f’.f ; g’.g.
Chứng minh. Nếu s: f ; g thì f’s: f’f ; f’g, thật vậy, ( ) ( )
" f s' f s'
∂ + ∂ = f'(∂ + ∂ ='s s ) f'( f −g) = f f' − f g' .Tương tự, nếu s f': ' ; g' thì s’g: f’g ; g’g. Vì thế cho nên từ tính bắc cầu của đồng luân, ta có f’f ; g’g. Từ mệnh đề trên ta có thể định nghĩa sự hợp thành của hai lớp đồng luân bằng công thức:
f' o[ ]f =f'of
Định nghĩa này cho ta một phạm trù mới H∂G, mà các vật của nó là các phức hợp dây chuyền (ObH∂G = Ob∂AG) còn các mũ tên là các lớp đồng luân của ánh xạ dây chuyền.
Ta cũng nhận được một hàm tử hiệp biến π: ∂AG → H∂G được xác định
bởi các tương ứng:
( )C a ( )C'
( f :( )C →( )C' ) a ([ ]f :( )C →( )C' )
Ánh xạ dây chuyền f: ( )C →( )C' được gọi là một tương đương đồng luân của phức hợp (C) và (C’) nếu [f] là một đẳng cấu trong phạm trù H∂G. Điều này có nghĩa là tồn tại ánh xạ dây chuyền f’: ( )C' →( )C sao cho f’.f; Id(C), f.f’; Id(C’).
Hai phức hợp (C) và (C’) gọi là tương đương đồng luân nếu có một tương đương đồng luân f: (C) →(C’). Khi đó ta kí hiệu (C) ; (C’).
1.6.4. Mệnh đề. Hai ánh xạ dây chuyền đồng luân cảm sinh cùng một đồng cấu đồng điều, tức là nếu f ; g: (C) →(C’) thì f* = g*: H(C) →H(C’).
Chứng minh. Ta có f*[z] – g*[z] = [f(z) – g(z)] = [∂ + ∂ = ∂sz s z] [ ]sz =0.
1.6.5. Hệ quả. Nếu f: (C) →(C’) là một tương đương đồng luân thì f*: H(C) →H(C’) đẳng cấu.
Chứng minh. Vì f là tương đương đồng luân, nên tồn tại ánh xạ dây chuyền f’: (C’) →(C) sao cho f’.f ; Id(C), f.f’ ; Id(C’).
Từ đó suy ra:
f*’.f* = (f’f)* = (Id(C))* = IdH(C) f*.f*’ = (f.f’)* = (Id(C’))* = IdH(C’).