Khái niệm đối ngẫu của nhóm Aben xạ ảnh là khái niệm nhóm Aben nội xạ. Do đó một nhóm Aben G là nội xạ trong phạm trù AG nếu nó là nhóm Aben xạ ảnh trong nhóm phạm trù AG. Vậy ta có:
2.2.1. Định nghĩa. Một nhóm Aben G được gọi là nhóm nội xạ nếu khi cho biểu đồ
O B g A
f (1) G
với A, B là các nhóm Aben và dãy O B g A khớp (có nghĩa g là một đơn cấu) và f là một đồng cấu bất kì, thì tồn tại một đồng cấu
:
h A→G sao cho hg = f.
Nhận xét: Nhóm tầm thường là một nhóm nội xạ. Qua đối ngẫu các Mệnh đề 2.1.2 và 2.1.3 ta nhận được:
2.2.2. Mệnh đề. Nhóm Aben G là nội xạ khi và chỉ khi hàm tử phản biến
(*, )
2.2.3. Mệnh đề. Giả sử G G= 1⊕G2. Khi đó G là nhóm nội xạ khi và chỉ khi
G1 và G2 là các nhóm nội xạ.
2.2.4. Bổ đề. Nếu ¤ là nhóm cộng các số hữu tỉ và Z là nhóm cộng các số nguyên thì nhóm thương T =¤ ¢ là một nhóm nội xạ.
Chứng minh. Giả sử ta có biểu đồ
O B g A
f
¤ ¢
Và giả sử (A h', ') là cặp gồm có một nhóm con A’ của A và một đồng cấu ': '
h A →¤ ¢ sao cho ( )'
Im . .
g
h g= f Ta sắp thứ tự cho tập hợp của các cặp đó
bởi quan hệ sau đây: ( ' ') ( ' ') ' ' 1, 1 2, 2 1 2 A h < A h ⇔ A ⊂A và ' 1 ' ' 2 1. A h =h Trong tập hợp
này, với quan hệ thứ tự nói trên, theo bổ đề Zorn, tồn tại một phần tử cực đại
( )A h, . Ta sẽ chỉ ra rằng A A= .
Giả sử A A≠ và giả sử a∈A nhưng a∉A. Xét tập hợp J= m{ ∈¢ ma∈A .}
Tập này là một Ideal của Z và do đó J =kZ,k∈¢. Giả sử h ka( ) = pq +¢, ta định nghĩa đồng cấu ϕ:Z→¤¢ qua công thức ϕ( ) ( ) ( )n = np kp +Z.
Ta xét tập hợp A={a na a A n+ ∈ , ∈¢}
và giả sử ánh xạ h: A→¤¢ được định nghĩa qua công thức
( ) ( ) ( ).
h a na+ =h a +ϕ n Ánh xạ này hoàn toàn xác định bởi vì nếu
1 1
( ' ) ( ) ( ) ( ) ( )' ( ) ( ) 1 1 h kn a a n p kp Z h a n p q Z n p kp Z ⇒ + + + = + + + + = ( ) ( )' ( ' )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). h a n p q np kn p kq Z h a np kq Z h a ϕ n = + + − + = + + = +
Rõ ràng A là một nhóm con của A, h là một đồng cấu và A⊂A, .
A h =h
Điều đó đưa đến mâu thuẫn, và vì thế cho nên A A= . Vậy ¤ ¢ là một nhóm nội xạ.
2.2.5. Bổ đề. Nếu nhóm Aben G≠0 là nhóm xyclic thì tồn tại một đồng cấu không tầm thường ϕ:G→¤ ¢.
Chứng minh. Giả sử π:¤ →¤ ¢ là toàn cấu chính tắc và G là một nhóm Aben xyclic không tầm thường. Giả sử nhóm G được sinh bởi phần tử go. Khi đó tồn tại toàn cấu α :¢→G sao cho α( )1 =go. Nếu Ker =α α-1( ) { }0 = 0 ,
khi đó α là một đẳng cấu, và giả sử p q∈¤ với 0< <p q, ta xác định đồng
cấu f :¢→¤ bằng công thức f n( ) ( )= np q. Ta có f q( 1) (q 1) p 0 q π − =π − ÷≠ và do đó π ≠f 0 và ta có thể xét đồng cấu ϕ π α= f −1:G→¤ ¢ Rõ ràng ϕ ≠0.
Bây giờ ta giả sử Kerα ≠{ }0 . Do Kerα là một Ideal của Z nên tồn tại số nguyên p sao cho Kerα = pZ Bởi vì G≠0 nên suy ra p≠1. Hiển nhiên ta có
dãy khớp:
O p¢ i ¢ α G O
ở đây i là đồng cấu nhúng.
Giả sử f :' ¢→¤ là một đồng cấu được xác định bởi công thức f n'( ) =n p.
Khi đó πf i np' ( ) =πf np'( ) =π( )n =0, do đó π f i' =0. Ta xét đồng cấu
:G
¢ f’ ¤ α π G ϕ ¤ ¢ Nếu ngo∈G thì ta xác định ( ) '( ) o ng f n n p ϕ =π = +Z Ánh xạ ϕ hoàn toàn xác định vì π f i' =0. Ta có ϕ α( ( )1 ) =π( f'( )1 ) =π( )1 p ≠0, do đó ϕ ≠0. Bổ đề
đã được chứng minh hoàn toàn.
2.2.6. Bổ đề. Nếu H là một nhóm Aben thì tồn tại một đơn cấu ψ :H →AG/
(AG(H,¤ ¢ ¤ ¢), ).
Chứng minh. Ta kí hiệu AG(H,¤ ¢) =Hµ và AG(AG (H,¤ ¢ ¤ ¢), )=µµH. Ta
định nghĩa ψ :H →Hµµ như sau: Nếu h H∈ thì ψ ( )h H:µ →¤¢ là ánh xạ được xác định bởi công thức ψ( ) ( )h α =α( )h đối với mọi α ∈µH. Ánh xạ đó là một đồng cấu, bởi vì
(h' h")( ) (h' h") ( ) ( ) ( )h' h" h' ( ) ( )h" ( ) ( ( ) ( )h' h" )( ).
ψ + α =α + =α +α =ψ α ψ+ α = ψ +ψ α
Ta chứng minh ψ là một đơn cấu. Giả sử h H∈ với h≠0. Ta sẽ chỉ ra rằng
( )h 0,
ψ ≠ do đó sẽ chứng minh rằng tồn tại α ∈µH sao cho α( )h ≠0. Giả sử G
là một nhóm xyclic được sinh bởi phần tử h trong nhóm Aben H. Theo Bổ đề 2.2.5, tồn tại một đồng cấu không tầm thường ϕ:G→¤¢. Ta xét biểu đồ:
O G i H ϕ
Theo Bổ đề 2.2.4, tồn tại đồng cấu α:H →¤¢, sao cho α ϕi= . Nhưng khi
đó ta có α( )h =αi h( ) =ϕ( )h ≠0 (h là phần tử sinh của nhóm G). Với điều đó,
Bổ đề đã được chứng minh.
Nhận xét: Ánh xạ Ψ:H →µµH có tính chất hàm tử, nghĩa là nếu xét cả ánh
xạ ψ*:G→Gµµ, còn α ∈AG (H, G) thì khi đó đồng cấu cảm sinh ( ) µµ µµ
* *:H G
α →
làm cho biểu đồ sau đây giao hoán
H ψ Hµµ α ( )α* * G ψ* Gµµ
2.2.7. Bổ đề. Giả sử F là một nhóm Aben tự do. Khi đó nhóm Aben µF=AG
(F,¤ )
¢ là một nhóm nội xạ.
Chứng minh. Giả sử biểu đồ
O B g A f
µF
Như trong Định nghĩa 2.2.1. Ta có biểu đồ µA g* Bµ O
f*
Fµµ
ψ
với dãy µA g Bµ O khớp (Mệnh đề 2.2.2) và ψ là một đơn
cấu (Bổ đề 2.1.6). Bởi vì F là một nhóm xạ ảnh nên (theo Bổ đề 2.1.4) tồn tại một đồng cấu h F: →µA sao cho biểu đồ sau đây giao hoán
µA g* µB O h f*
F ψ Fµµ
Bởi vì hàm Hom(*,¤ ¢) là một hàm tử phản biến, khớp bên trái, nên ta có biểu đồ giao hoán
O Bµµ ( )g* * µµA
(f*)* h*
Fµµ ψ* µF
với dòng thứ nhất khớp.
Từ biểu đồ trên và biểu đồ giao hoán sau đây: Fµ f B g A ψµF ψB ψA Fµµµ ( )f* * µµB ( )g* * µµA ta có thể xác định h*.ψA:A→F.µ Ta có h*ψAg h g= *( )* *ψB =ψ*( )f* *ψB =ψ ψ* Fµ f. Dễ thấy rằng ψ ψ* Fµ =( )ψF *ψFµ =idFµ. Do đó h*. .ψA g = f
Như vậy, nhóm Fµ thoả mãn Định nghĩa 2.2.1, tức Fµ là một nhóm nội xạ.
2.2.8. Mệnh đề. Bất kì một nhóm Aben G đều đẳng cấu với một nhóm con của một nhóm nội xạ.
Chứng minh. Giả sử G là một nhóm Aben bất kì. Khi đó nhóm Gµ =AG
(G,¤ )
¢ là một nhóm Aben và do đó (theo Bổ đề 2.1.5) nó đẳng cấu với nhóm thương của một nhóm Aben tự do F. Vì vậy, có thể xét một toàn cấu
µ :F G
π → . Từ Bổ đề 2.2.7 suy ra µF là một nhóm nội xạ. Xét đồng cấu cảm sinh µµ µ
*:G F,
π → nó là một đơn cấu do tính khớp ở bên trái của hàm tử
(*, ).
Hom ¤ ¢
Giả sử ψ :G→Gµµ là một đơn cấu trong Bổ đề 2.2.6. Khi đó hợp thành G ψ Gµµ π* Fµ là một đơn cấu từ nhóm G vào nhóm nội xạ Fµ. Bởi vì G≅Im(π ψ* ) nên ta có điều khẳng định của mệnh đề.
2.2.9. Hệ quả. Mọi nhóm Aben G đều có thể nhúng trong một dãy khớp ngắn O G f J g G’ O ở đây J là một nhóm Aben nội xạ.
Thật vậy, từ Mệnh đề 2.2.8, ta có J =µF f, =π ψ* và G'=J Imf .
Qua đối ngẫu của Hệ quả 2.1.7 ta nhận được:
2.2.10. Mệnh đề. Giả sử G là một nhóm Aben nội xạ và giả sử trong biểu đồ
A f B g C k
G
dãy A f B g C khớp, còn dãy C g B k G nửa khớp. Khi đó tồn tại một đồng cấu h A: →G sao cho h f. =k.
2.2.11. Mệnh đề. Giả sử G là một nhóm Aben. Khi đó G là nhóm nội xạ khi và chỉ khi nó là thành phần trực tiếp của mọi nhóm chứa nó.
Chứng minh. Nếu G là thành phần trực tiếp của mọi nhóm chứa nó, thì G là thành phần trực tiếp của một nhóm nội xạ J. Theo Mệnh đề 2.1.3 thì G là
một nhóm nội xạ. ngược lại, giả sử G là một nhóm nội xạ. Ta giả sử nó là nhóm con của một nhóm Aben G’. Khi đó có dãy khớp ngắn
O G i G' G" O (*) Ta sẽ chứng minh dãy trên chẻ ra.
Xét biểu đồ O G i G' IdG
G
Khi đó tồn tại một đồng cấu h G: '→G sao cho h i Id. = G. Do đó i có một
ngược trái; từ đó dãy (*) chẻ ra. Vì thế cho nên G là một thành phần trực tiếp của nhóm G’.
2.2.12. Chú ý: Các định nghĩa và các kết quả tương tự của phần này đều có trong phạm trù K – môđun.
2.3. GIẢI THỨC XẠ ẢNH CỦA NHÓM ABEN
Giả sử G là một nhóm Aben
2.3.1. Định nghĩa. Một giải thức đồng điều của nhóm G là một phức hợp dây chuyền
(C): … Cn+1 ∂n+1 C
n ∂n C
n-1 … thoả mãn các điều kiện sau đây:
1). C-1 = G
2) Cn = 0 với mọi n< −1
Nếu các nhóm C nn, ≥0, là các nhóm xạ ảnh thì giải thức đồng điều (C) được
gọi là giải thức xạ ảnh.
Khi các nhóm C nn, ≥0, là các nhóm tự do thì giải thức đồng điều (C) được
gọi là giải thức tự do.
Nhận xét 1: Phức hợp (C) là một dãy khớp nếu nó là một giải thức đồng điều của một nhóm Aben G.
Nhận xét 2: Nếu xét thêm một phức hợp dây chuyền (C’): … Cn'+1 ∂'n+1 ' n C ∂'n ' 1 n C − …
sao cho Cn' =Cn, đối với mọi n≥0,Cn' =O nếu n< ∂ = ∂0, 'n n nếu n≥1 và ∂ ='n 0
nếu n<1, thì H Cn( )' ≅G. Thật vậy, khẳng định thứ nhất rút ra từ ( )' ( ) n n H C =H C đối với n≠0, còn ( )' 0 0 Im 1 0 Ker 0 H C =C ∂ =C ∂ ≅G(vì dãy C1 ∂1 C 0 ∂0 G O khớp).
2.3.2. Chú ý: Khái niệm giải thức đồng điều của một K – môđun được định nghĩa hoàn toàn tương tự.
2.3.3. Mệnh đề. Bất kì một K – môđun G đều có một giải thức đồng điều tự do.
Chứng minh. Theo Bổ đề 2.1.5, ta có thể xét các dãy khớp sau: O R0 α F0 β G O O R1 α1 F 1 β1 R 0 O ……… O Rn αn F n β1 R n-1 O O Rn+1 αn+1 F n+1 βn+1 Rn O ở đây Fi, i = 0, 1, …, n, …, là các môđun tự do.
Ta xét dãy
(C): … Fn+1 α βn. n+1 F
n α βn−1. n F
n-1 … F1 αβ1 F0 β G O…
Dãy này tạo nên một giải thức tự do của môđun G. Thật vậy, các hạng tử Fi, i = 0, 1, 2, … đều là môđun tự do và nó là một dãy khớp: khớp ở hạng tử G rút ra từ dãy khớp đầu tiên trong các dãy khớp nói trên, còn khớp tại hạng tử Fn, n≥0, được rút ra từ αn−1(β α βn n) n+1=0 và nếu
( ) ( ) ( ) ( )
1 0 0 1
n n x n x x n y x n n z
α β− = ⇒β = ⇒ =α ⇒ =α β + với x F y R z F∈ n, ∈ n, ∈ n+1.
Nhận xét: Nếu G là một nhóm Aben thì dãy khớp
O R0 α F0 β G O, được xét trong chứng
minh Mệnh đề 2.3.3, là một giải thức tự do của nhóm G (vì R0 là nhóm con của nhóm tự do F0 nên cũng là một nhóm tự do).
2.3.4. Mệnh đề. Nếu h G: →G' là một đồng cấu giữa các nhóm Aben G, G’ và các dãy (C): … Cn+1 ∂n+1 C n ∂n C n-1 … (C’): … Cn'+1 ∂'n+1 ' n C ∂'n ' 1 n C − …
là các giải thức xạ ảnh lần lượt của nhóm G và nhóm G’, khi đó tồn tại một mũi tên f ={ } ( )fn : C →( )C' trong phạm trù của các dãy khớp sao cho f−1=h.
Chứng minh. Ta cần chỉ ra sự tồn tại các đồng cấu f Cn: n →C nn', ≥0, sao
cho biểu đồ sau giao hoán
… Cn+1 ∂n+1 Cn ∂n C n-1 … C0 ∂0 C -1= G O … fn+1 fn fn-1 f0 h … Cn'+1 ∂'n+1 ' n C ∂'n ' 1 n C − … C0' ∂'0 ' ' 1 C− =G O …
Ta sẽ chứng minh điều trên bằng quy nạp. Với n = 0, ta xét biểu đồ C0 ∂0 G O h ' 0 C ∂'0 G’ O
Vì C0 là một nhóm xạ ảnh nên tồn tại đồng cấu ' 0: 0 0
f C →C sao cho
'
0.f0 h. .0
∂ = ∂
Giả sử ta đã xây dựng được các đồng cấu f0, f1, f2, …, fn-1. Khi đó ta có biểu đồ giao hoán đối với m = 0, 1, 2, …, n-1:
Cm ∂m Cm-1 fm fm-1 ' m C ∂'m ' 1 m C − Ta xét biểu đồ Cn ∂n C n-1 ∂n−1 C n-2 fn-1 fn-2 Cn' ∂'n ' 1 n C − ∂'n−1 ' 2 n C − Ta có ' 1. 1. 2. 1. 0 n− fn− n fn− n− n
∂ ∂ = ∂ ∂ = và dãy dưới khớp. Bởi vì Cn là một nhóm
xạ ảnh, nên từ Hệ quả 2.1.7 suy ra tồn tại một đồng cấu f Cn: n →Cn' sao cho '
1
. . .
n fn fn− n
∂ = ∂
2.3.5. Hệ quả. Nếu (C) và (D) là hai giải thức xạ ảnh của cùng một nhóm Aben G, thì tồn tại một mũi tên f :( ) ( )C → D sao cho f−1 =IdG.
2.3.6. Mệnh đề. Giả sử các dãy
(C): … Cn+1 ∂n+1 C
n ∂n C
(C’) ... Cn'+1 ∂'n+1 ' n C ∂'n ' 1 n C − …
là các giải thức xạ ảnh lần lượt của nhóm G và nhóm G’. Nếu tồn tại hai mũi tên f g C, :( )→( )C' của các dãy khớp, sao cho f−1=g−1 thì khi đó f và g đồng
luân.
Chứng minh. Ta sẽ xây dựng đồng luân { ' } 1
: ,
n n n
s= s C →C + n∈Z của f và g sao cho thoả mãn đẳng thức:
(*) '
1. 1. ,
n+ sn sn− n fn g nn
∂ + ∂ = − ∈Z
Nếu n< −1, ta chọn sn = 0. Khi đó, đẳng thức (*) thoả mãn. Ta giả sử rằng,
với m= −1,0,...,n−1,các đồng cấu ' 1
:
m m m
s C →C + đã được xác định và thoả mãn
(*). Bây giờ ta xét biểu đồ:
Cn j Cn'+1 ∂'n+1 ' n C ∂'n ' 1 n C − ở đây j= fn−gn−sn−1. .∂n Ta có dãy dưới khớp và ( ) ( ) ' ' ' 1 2 1 1 1 . n fn gn sn− n n nf ngn sn− n− fn− gn− n ∂ − − ∂ = ∂ − ∂ + ∂ − + ∂ = ' ' 1 1 . . . . 0. n fn n gn fn− n gn− n
= ∂ − ∂ − ∂ + ∂ = Theo Hệ quả 2.1.7 rút ra sự tồn tại của đồng
cấu ' 1 : n n n s C →C + sao cho ' 1. 1. . n+ sn fn gn sn− n ∂ = − − ∂
Ta biết rằng hai giải thức (C) và (D) tương đương đồng luân nếu tồn tại hai mũi tên f :( ) ( )C → D và g D:( ) ( )→ C sao cho g f. ; Id( )C , .f g; Id( )D. Vậy từ các Mệnh đề 2.3.4 và 2.3.6 ta nhận được:
2.3.7. Mệnh đề. Bất kì hai giải thức xạ ảnh của cùng một nhóm G luôn tương đương đồng luân.
Chứng minh. Ta xây dựng f :( ) ( )C → D với f−1=IdG và g D:( ) ( )→ C sao
cho g−1=IdG. Khi đó (g f. )−1 =IdG và vì thế cho nên g f. ; Id( )C . Hoàn toàn tương tự ta có f g. ; Id( )D.
2.3.8. Mệnh đề. Giả sử
O G’ f G g G” O
là một dãy khớp ngắn của các nhóm Aben. Nếu (C’) và (C”) là hai giải thức xạ ảnh lần lượt của nhóm G’ và G” thì tồn tại một giải thức xạ ảnh (C) của nhóm G sao cho có dãy khớp
O (C’) ϕ (C) ψ (C”) O
trong phạm trù các phức hợp dây chuyền.
Chứng minh. Ta xây dựng dãy (C) như sau: Cn =0 nếu n< −1,C−1 =G; giả
sử ta đã xây dựng được các nhóm xạ ảnh Cm và các đồng cấu ϕm:Cm' →Cm,