2.1.1. Định nghĩa. Nhóm Aben G được gọi là nhóm Aben xạ ảnh nếu khi cho biểu đồ
G f
với các nhóm Aben A, B và các đồng cấu f, g và dãy A g B O khớp (tức g là toàn cấu) thì tồn tại một đồng cấu h G: →A sao cho f = g.h. Điều đó có nghĩa là biểu đồ sau đây giao hoán.
G h f
A g B O (2)
Nhận xét: Nhóm tầm thường là nhóm Aben xạ ảnh.
2.1.2. Mệnh đề. Nhóm Aben G là xạ ảnh khi và chỉ khi đối với mỗi dãy khớp
O C g A g B O (3)
trong phạm trù AG, thì dãy sau là dãy khớp (cùng trong AG )
O AG (G, C) ϕg AG (G, A) ϕg AG (G, B) O (4)
ở đây: ϕg( )u =gu,ϕg =gv.
Chứng minh. Từ Mệnh đề 1.1.5 suy ra dãy (4) khớp ở các số hạng AG (G, C) và AG (G, A), còn từ Định nghĩa 2.1.1 cũng rút ra dãy (4) khớp ở AG (G, B). Ngược lại, từ sự khớp của dãy
O AG (G, Kerg) AG (G, A) AG (G, B) O tại AG (G, B) suy ra G là nhóm Aben xạ ảnh.
Mệnh đề 2.1.2 có thể phát biểu một cách khác như sau: Nhóm Aben G là xạ ảnh khi và chỉ khi hàm tử Hom G( ,*) khớp.
2.1.3. Mệnh đề. Giả sử G G= 1⊕G2. Khi đó G là nhóm Aben xạ ảnh khi và chỉ
Chứng minh. Giả sử rằng G là một nhóm Aben xạ ảnh và giả sử có biểu đồ
G1
f1
A g B O Như biểu đồ (1) ta xét biểu đồ
G p1
G1
f1
A g B O
ở đây p x x1( 1, 2) =x1. Vì G là ánh xạ nên tồn tại đồng cấu h G: →A sao cho 1. 1
gh= f p . Ta định nghĩa đồng cấu h1 = h.i, ở đây i G: 1→G i x, ( ) (1 = x1,0 .)
Dễ thấy rằng gh1 = f1, do đó G1 là một nhóm xạ ảnh. Chứng minh tương tự, ta cũng có G2 là nhóm xạ ảnh.
Ngược lại, giả sử G1,G2 là các nhóm Aben xạ ảnh. Ta xét biểu đồ G2 G1 i2 i1 G f A g B O
Bởi vì G1 là nhóm xạ ảnh nên tồn tại đồng cấu h G1: 1 →A sao cho g.h1=
Khi đó ta định nghĩa đồng cấu h G: →A bằng công thức ( 1, 2) 1( )1 2( )2 . h x x =h x +h x Ta có: ( 1, 2) 1( )1 2( )2 .1( )1 .2( )2 ( 1,0) (0, 2) ( 1, 2), gh x x =gh x +gh x = f i x + f i x = f x + f x = f x x do đó gh = f. Vậy g là nhóm Aben xạ ảnh.
2.1.4. Bổ đề. Mọi nhóm Aben tự do đều là nhóm Aben xạ ảnh.
Chứng minh. Giả sử G là một nhóm Aben tự do và giả sử có biểu đồ: G
f
A g B O
như biểu đồ (1). G là nhóm tự do, nên nó có một cơ sở ε ={ }gi i I∈ . Khi đó ( )i ,
f g ∈B và vì G là toàn cấu nên có a1∈A sao cho f g( )i =g a( )i . Ta có thể
định nghĩa đồng cấu h G: →A sao cho h g( )i =ai với mọi i I∈ . Dễ thấy gh = f suy ra G là nhóm xạ ảnh.
2.1.5. Bổ đề. Mỗi nhóm Aben G đều đẳng cấu với một nhóm thương của một nhóm Aben tự do theo một nhóm con của nó.
Chứng minh. Giả sử G là một nhóm Aben nào đó. Khi đó tập hợp G – {0} (0 là phần tử trung hoà của G) sinh ra một nhóm Aben tự do
{ }0 , , G F F G Gα α α∈ − = ⊕ ≅Z.
Vậy các phần tử của F là các hàm xác định trên G – {0}, khác không chỉ trên một tập hợp hữu hạn (α α1, 2,...,αp) các phần tử của G – {0}. Khi đó các phần tử f ∈F sao cho tronng G ta có α1f ( )α1 +α2f ( )α2 + +... αpf ( )αp =0 lập
nên một nhóm các con F’ của F. Ta xét đồng cấu ϕ:F→G
f a α1f ( )α1 +α2f ( )α2 + +... αpf ( )αp
Vậy ta có đẳng thức G F '.
F
≅
Nhận xét: Từ các Bổ đề 2.1.4 và 2.1.5 rút ra rằng: mọi nhóm Aben G đều có thể nhúng vào trong một dãy khớp ngắn
O G’ P G O trong đó P là một nhóm xạ ảnh.
2.1.6. Mệnh đề. Nhóm Aben G là một nhóm xạ ảnh khi và chỉ khi nó là thành phần trực tiếp của một nhóm tự do.
Chứng minh. Giả sử G là một nhóm xạ ảnh. Khi đó, theo Bổ đề 2.1.5 ta có thể giả sử rằng G F ',
F
= ở đây F là một nhóm Aben tự do. Ta xét biểu đồ
G idg
F ϕ B O
ở đây ϕ là toàn cấu được định nghĩa trong chứng minh Bổ đề 2.1.5. Bởi vì G
là nhóm xạ ảnh nên tồn tại một đồng cấu ψ :G→F sao cho ϕψ =IdG. Vậy
dãy khớp
O F’ i F ϕ G O
chẻ ra. Do đó G là thành phần trực tiếp của nhóm tự do F.
Ngược lại nếu G là thành phần trực tiếp của một nhóm tự do thì theo Bổ đề 2.1.4 và Mệnh đề 2.1.3 ta suy ra G là một nhóm xạ ảnh.
2.1.7. Hệ quả. Giả sử G là một nhóm xạ ảnh và giả sử trong biểu đồ G
f
Có dãy A k B g C khớp, còn dãy G f B g C nửa khớp. Khi đó tồn tại một đồng cấu h G: →A sao cho k.h = f.
Chứng minh. Giả sử F G G= ⊕ ' với F là nhóm Aben tự do. (Mệnh đề 2.1.6). Từ giả thiết ta có g.f = 0, g.k = 0. ta xét biểu đồ
F p G f
A k B g C
với p x x( ), ' =x, khi đó gfp x x( ), ' =0,fp x x( ), ' ∈Kerg⇒fp x,x( )' =k a a A( ), ∈ . Bởi
vì nhóm F là nhóm Aben tự do, nên tồn tại các đồng cấu h F': →A sao cho '
kh = fp. Giả sử i G: →F với i x( ) ( )= x,0 . Ta định nghĩa h h i G= '. : →A. Khi đó ta có kh kh i= ' = fpi= f.
2.1.8. Chú ý: Khái niệm môđun xạ ảnh được định nghĩa hoàn toàn tương tự như khái niệm nhóm Aben xạ ảnh. Tất cả các kết quả đã được chứng minh cho các nhóm Aben xạ ảnh cũng đúng đối với các môđun xạ ảnh. Ngoài ra ta có mệnh đề rất có ích sau đây:
2.1.9. Mệnh đề. Giả sử dãy
O A' α A β A" O
là một dãy khớp trong phạm trù các K – môđun và B là một K – môđun bất kì. Khi đó, nếu A” là một môđun xạ ảnh thì các dãy:
O A'⊗B α ⊗id A B⊗ β ⊗id A"⊗B O (5)
O B⊗A' id⊗α B⊗A id⊗β B⊗A" O (6)
Chứng minh. Nếu A” là môđun xạ ảnh thì khi xét biểu đồ A"
IdA A β A" O suy ra đồng cấu β có ngược phải nên dãy khớp
O A’ α A β A” O
chẻ ra. Vậy điều khẳng định của Mệnh đề 2.1.9 được rút từ Mệnh đề 1.2.6.