Luận văn ngôn ngữ nhóm aben chính quy

mở đầu Thời gian gần đây lý thuyết về ngôn ngữ hình thức đã đợc nhiều tác giả quan tâm. Bớc đầu nó đã có sự phát triển mạnh mẽ và tỏ ra có nhiều ứng dụng trong thực tiễn - đặc biệt là trong lĩnh vực máy tính. Nghiên cứu, tìm hiểu về lý thuyết ngôn ngữ hình thức là một điều thú vị, nó thực sự hấp dẫn nhiều ngời làm toán vì bằng công cụ đại số ngời ta đã đa đợc những kết quả có ứng dụng trong thực tiễn- một điều không phải bao giờ cũng thực hiện đợc: Ngời đầu tiên đa ra khái niệm ngôn ngữ nhóm là A.V.Anivinov [1] vào năm 1971. Ngôn ngữ này là nghịch ảnh của đơn vị qua đồng cấu của vị nhóm các từ hữu hạn vào một nhóm. Năm 1978 Giáo s Trần văn Hạo đã mở rộng khái niệm ngôn ngữ nhóm bằng cách thay nghịch ảnh của đơn vị bởi "tập rời rạc của nhóm", lớp ngôn ngữ nhóm này thực sự chứa lớp ngôn ngữ nhóm của A.V.Anivinov. Ngoài ra Giáo s Trần Văn Hạo cùng với các học trò của mình đã thu đợc một số kết quả đáng chú ý khác. Sau đó PGS.TS. Lê Quốc Hán và Thạc sĩ Nguyễn Thị Thành đã mô tả đợc cấu trúc của các ngôn ngữ chính quy, tức là các ngôn ngữ mà vị nhóm cú pháp của nó là nhóm hữu hạn. Năm 2001, PGS.TS. Lê Quốc Hán và Thạc sĩ Nguyễn Thị Bích đã khảo sát đợc ngôn ngữ nhóm cô lập, tức là nghịch ảnh của nhóm con, không nhất thiết hữu hạn và đã thu đợc nhiều kết quả đáng chú ý về dáng điệu ngôn ngữ, vị nhóm cú pháp, ôtômát và văn phạm của lớp ngôn ngữ đó. Trong luận văn này, chúng tôi mô tả ngôn ngữ nhóm Aben chính quy và thu đợc một số kết quả đáng chú ý về dáng điệu ngôn ngữ, vị nhóm cú pháp, ôtômát tối tiểu đoán nhận ngôn ngữ đó. Luận văn gồm: Phần mở đầu, 4 tiết nội dung, phần kết luận và tài liệu tham khảo. Tiết1: Ôtômát - vị nhóm cú pháp và văn phạm của ngôn ngữ. Tiết này nhắc lại các định nghĩa về ôtômát, vị nhóm cú pháp và văn phạm của ngôn ngữ. 3 Tiết 2: Các phép toán trên ngôn ngữ. Trong tiết này đã đa ra đợc định nghĩa và các tính chất của các phép toán trên các ngôn ngữ. Tiết 3: Ngôn ngữ chính quy. Kết quả chính của tiết này là định lý 3.10 mô tả ngôn ngữ chính quy trên cả 4 phơng diện: dáng điệu ngôn ngữ, vị nhóm cú pháp, ôtômát đoán nhận ngôn ngữ chính qui và văn phạm sinh ra lớp ngôn ngữ đó. Ngoài ra, mệnh đề 3.12 cho ta một điều kiện cần về ngôn ngữ chính qui. Tiết 4: Ngôn ngữ nhóm Aben chính quy. Kết quả chính của tiết này là định lý 4.3 mô tả ngôn ngữ nhóm Aben chính qui trên ba phơng diện: dáng điệu ngôn ngữ, vị nhóm cú pháp, ôtômát tối tiểu đoán nhận ngôn ngữ nhóm Aben chính qui. Ngoài ra, mệnh đề 4.6 cho ta một số kết quả đáng chú ý về lớp ngôn ngữ nhóm Aben chính qui. Một phần kết quả của luận văn đã đợc nhận đăng trong thông báo khoa học của Trờng Đại học Vinh. Các ký hiệu dùng trong luận văn là ký hiệu thông thờng và các kết quả trình bày theo thứ tự tiết - mục. Ví dụ định lý 3.7 là tiết 3 mục 7. Luận văn đợc hoàn thành dới sự hớng dẫn tận tâm, nhiệt tình của thầy giáo PGS.TS. Lê Quốc Hán. Nhân dịp này, tác giả xin đợc bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy - ngời đã đặt bài toán và dành cho tác giả sự giúp đỡ tận tình, chu đáo. Tác giả cũng xin cảm ơn GS.TS. Nguyễn Quốc Thi, PGS.TS. Nguyễn Quý Dy, PGS.TS. Ngô Sỹ Tùng, TS. Nguyễn Thành Quang và các thầy giáo, cô giáo trong tổ Đại số đã giúp đỡ động viên , chỉ bảo tác giả hoàn thành luận văn này. Cũng nhân dịp này, tác giả xin gửi lời cảm ơn tới Ban giám hiệu nhà trờng, Ban chủ nhiệm khoa Toán, khoa Sau đại học và các phòng ban liên quan đã tạo điều kiện cho tác giả trong thời gian học tập và nghiên cứu tại trờng Đại Học Vinh. Tác giả rất mong nhận đớc sự góp ý chỉ bảo của các thầy cô giáo và các bạn. Vinh, tháng 11/ 2003 Tác giả 4 Đ1. Ôtômát - vị nhóm cú pháp và văn phạm của ngôn ngữ. Giả sử X là một bảng chữ cái, X * là vị nhóm tự do sinh bởi X với đơn vị là từ . Khi đó mỗi tập con L của X * đợc gọi là một ngôn ngữ trên X. Một ngôn ngữ trên X có thể đợc cho bởi một trong các yếu tố sau: i) Ôtômát tối tiểu đoán nhận ngôn ngữ. ii) Vị nhóm cú pháp của ngôn ngữ. iii) Văn phạm sinh ra ngôn ngữ. 1.1. Định nghĩa. a) Ôtômát trạng thái là cặp (A,X) trong đó, A = { a 1 ,a 2 , } là tập hữu hạn tuỳ ý gọi là tập các trạng thái và X là tập hữu hạn, X = { x 1 , x 2 ,x n } cùng với hàm chuyển trạng thái: AXA ì : (a,x) ax Khi đó X đợc gọi là bảng chữ cái. Giả sử X * là vị nhóm tự do sinh bởi X, thế thì mỗi phần tử của X * đợc gọi là một từ. Hàm có thể mở rộng tới hàm : A ì X * A xác định theo qui nạp nh sau: +) (a, ) = a, a A +) Giả sử u X * , u = x 1 x n trong đó x i X, i = 1, , n, v = x 1 x n-1 thì (a,u) = (a ,x n ) trong đó a = (a,v). Để đơn giản, đôi khi ta cũng kí hiệu hàm là , nếu không gây ra sự hiểu nhầm nào. Nh vậy, mỗi từ u X * xác định một ánh xạ. u : A A a ( ) ua, Tập hợp u | u * là vị nhóm con của vị nhóm các phép biến đổi của tập A và đợc gọi là vị nhóm chuyển trạng thái của A. Kí hiệu là T(A). b) Ôtômát trạng thái a = (A,X ) đợc gọi là ôtômát đoán nhận ngôn ngữ L, nếu chỉ ra đợc: 5 i) Trạng thái ban đầu a 0 ii) Tập con A của A, đợc gọi là tập trạng thái kết thúc hay tập trạng thái cuối cùng sao cho: L = u * | (a 0 , u) A trong đó là hàm chuyển trạng thái của a 1.2. Định nghĩa. Giả sử L là ngôn ngữ trên X và L là tơng đẳng Đuybrây sinh bởi L: (u,v) L ux L vx L, x X * Ký hiệu A: = và u là lớp tơng đẳng L chứa từ u; a o : = và A = u | u L Hàm chuyển trạng thái : A A đợc xác định nh sau: Giả sử ,Aua = v X * . Khi đó (a,v) = b trong đó b = uv . Thế thì bộ năm (L) = (A, X, a 0 , , A ) đợc gọi là ôtômát tối tiểu đoán nhận ngôn ngữ L. Để chứng tỏ định nghĩa này là hợp lý, ta chú ý đến kết quả sau: 1.3. Mệnh đề. Ôtômát (L) = (A, X, a 0 , , A ) là ôtômát đoán nhận L và là ảnh đồng cấu của mọi ôtômát đoán nhận ngôn ngữ L. Chú ý: Giả sử a = (A,X) và B = (B,X) là hai ôtômát trạng thái. Khi đó ánh xạ : A B gọi là đồng cấu ôtômát nếu (au) = (a).u, a A, u X * . Chứng minh: Theo định nghĩa và theo cách xây dựng (L), ta thấy (L) = (A, X, a 0 , , A ) là ôtômát đoán nhận ngôn ngữ L. Giả sử B = (B, X, b 0 , p, B ) cũng là ôtômát đoán nhận ngôn ngữ L và b B ; u,v X * thoả mãn điều kiện b 0 u = b, b o v = b thì (u,v) R L . Thật vậy a 0 (uw) = bw = b 0 (vw) nên uw L vw L; w X * (u,v) R L hay u = v. Vậy ta có thể lập ánh xạ : B b u trong đó b 0 .u = b. 6 X * L X * L X * L L Vì (au) = (a).u nên là đồng cấu ôtômát. Rõ ràng là toàn ánh nên (L) là ảnh đồng cấu của B. ý nghĩa: là toàn ánh | B | A A có số trạng thái ít nhất so với các tập trạng thái của các ôtômát cùng đoán nhận ngôn ngữ L. 1.4. Định nghĩa. Giả sử L là ngôn ngữ trên X và L là tơng đẳng Kroazô sinh bởi L. (u,v) L (xuy L xvy L. x,y X * ). Khi đó vị nhóm thơng đợc gọi là vị nhóm cú pháp của ngôn ngữ L và đợc ký hiệu là à(L). * Giả sử u X * . Khi đó lớp tơng đẳng L chứa u sẽ đợc ký hiệu là [ u ] . 1.5. Mệnh đề. Tơng đẳng L có các tính chất sau đây: i) L bảo hoà L theo nghĩa: L làm trọn vẹn một số lớp tơng đẳng theo quan hệ L . ii) L là tơng đẳng lớn nhất bảo hoà L. iii) Đồng cấu chính tắc L : X * u [ u ] có tính chất phổ dụng theo nghĩa: Nếu có toàn cấu : X * M thoả mãn điều kiện -1 (L) = L, thì tồn tại đồng cấu : M sao cho L = o , nghĩa là biểu đồ sau đây giao hoán. Chứng minh: i) Giả sử (u,v) L và u L. Khi đó X * M u = .u. L và (u,v) L L nên v = .u. L. Vậy L làm trọn vẹn một số X* lớp tơng đẳng L L -1 o L (L) = L. ii) Giả sử là tơng đẳng cũng bảo hoà L. Khi đó xét tơng ứng 7 X * L X * L X * X * X * X * L X * L : X * x x Thế thì (u,v) (u) = (v). Do đó x,y X * ta có (xuy) = (x) . (u). (y) = (x) .(v) . (y) = (xvy) (xuy, xvy) mà bảo hoà L nên xuy L xvy L, x,y X * . Do đó (u,v) L L à (L) là ảnh đồng cấu của với toàn cấu = à (L) x [u] iii) Ta có : = ker L. Ta lập ánh xạ : M nh sau: s L - lớp chứa -1 (s) Khi đó là đồng cấu lên thoả mãn điều kiện L = o . 1.6. Mệnh đề. Giả sử (L) = (A, X, a 0 , , A ) là ôtômát tối tiểu đoán nhận ngôn ngữ L và T(A) là vị nhóm chuyển trạng thái của A. Khi đó T(A) à(L). Chứng minh. Xét tơng ứng: f : T(A) [ u ] u Khi đó [ u 1 ] = [ u 2 ] (u 1 , u 2 ) L (xu 1 y L xu 2 y L, x,y X * ) (1) Giả sử a A, a = x. Thế thì )()( 21 aa uu = . Thật vậy )()( 21 aa uu = (a, u 1 ) = (a, u 2 ) xu 1 = xu 2 (xu 1 , xu 2 ) L (xu 1 y L xu 2 y L, x,y X * ): đúng theo (1). Vậy )()( 21 aa uu = , a A 21 uu = do đó f là ánh xạ. Lý luận theo chiều ng- ợc lại, ta có f là đơn ánh. Hiển nhiên f là toàn ánh nên f là song ánh. Ta chứng minh f là đồng cấu. Giả sử [u] u , v v . Ta sẽ chứng minh [u]. [v] = uv . Thật vậy, ta có v o u (a) = v ( u (a)) = v (xu, v) = xuv = uv (x) = uv (a), a = x A. 8 X * L X * L Do đó v o u = uv nên [u]. [v] uv Vậy f là đồng cấu và do đó f là đẳng cấu. Suy ra T(A) à(L). 1.7. Mệnh đề. Ngôn ngữ L trên X có nhóm vị cú pháp à(L) đẳng cấu với một vị nhóm S khi và chỉ khi tồn tại một toàn cấu : X * S và một tập H S sao cho L = -1 (H) với H là tơng đẳng đồng nhất của S. Chứng minh: Điều kiện cần. Giả sử à(L) S. Ta xác định toàn cấu : X * S bằng cách lấy = L : X * à(L) S và H = (L) u [u] Vì L bảo hoà L nên L = -1 (H). Ta chứng minh H = 1 s . Thật vậy, giả sử a,b S, a b. Khi đó x,y X * để (x) = u, (y) = v, và (x,y) L vì a b. Thế thì p, q X * sao cho pxq L nhng pyq L chẳng hạn. Kí hiệu (p) = r, (q) = s, ta có ras = (p) (x) (q) = (pxq) (L) = H nhng rbs = (p) (y) (q) = (pyq) (L) = H (a,b) H H là tơng đẳng đồng nhất của S. Điều kiện đủ: Giả sử L = -1 (H) trong đó : X * S là toàn cấu, H S sao cho H là tơng đẳng đồng nhất. Ta sẽ chứng minh à(L) S, muốn vậy ta chứng minh L = ker . Thật vậy, giả sử (u,v) L thì x,y X * ta có (xuy L xby L, x,y X * ) ( (xuy) H (xvy) H, x,y X * ) ( (x) (u) (y) H (x) (v) (y) H, x,y X * ). Vì là toàn cấu nên khi cho x,y chạy khắp X * thì (x), (y) chạy khắp S. Từ đó ( (u), (v)) H nên (u) = (v) vì H = 1 s suy ra (u,v) ker . Nếu (u,v) ker (u) = (v) thì đi ngợc quá trình trên, ta có (u,v) L. Do đó L = ker , suy ra = à(L) S. Chú ý: H = 1 s H đợc gọi là tập rời rạc trong S. 1.8. Mệnh đề. Giả sử H tập con của nửa nhóm S. Khi đó H rời rạc trong S khi và chỉ khi S H rời rạc trong S. Chứng minh: Ta chứng minh H = S H . Thật vậy, giả sử (a,b) H khi đó (xay H xby H, x,y S) (xay H xby H, x,y S) 9 xax -1 H a H (xay S\ H xby S\H, x,y S) (a,b) S H . Suy ra H S H . Tơng tự từ (a,b) S H đi ngợc quá trình trên ta có (a,b) H nên S H H. .Vậy S H = H 1.9. Mệnh đề. Giả sử H là tập con chứa đơn vị e của nhóm G và H không rời rạc trong G. Khi đó H chứa ớc chuẩn K { e } của G sao cho H là hợp trọn vẹn của một số lớp ghép của G theo K. Chứng minh: Theo giả thiết, tồn tại a e sao cho (a, e) H .Ta kí hiệu K = { a G (a, e) H } . Khi đó vì e = e.e.e H nên a K ta có a = e.a.e K. Vậy K H. Ta chứng minh K G. Giả sử (a,b) K (a,e) H , (b,e) H (ab -1 , b -1 ) H và (e, b -1 ) H (ab -1 , e) H ab -1 H K G. Ta lại có, g K, a K thì (a, e) H nên (gag -1 , gg -1 ) = (gag -1 , e) H gag -1 K K G. Giả sử a H và aK = bK ab -1 K (a -1 b, e) H (b, a) H mà eae = a H ebe = b H. Vậy H chứa trọn vẹn một số lớp ghép của G theo K. 1.10. Hệ quả. Giả sử H là nhóm con của G. Khi đó H rời rạc trong G khi và chỉ khi { e } là ớc duy nhất của G chứa trong H. Chứng minh: () Giả sử H rời rạc trong G và K G, K H. Ta chứng minh K = { e } Thật vậy, nếu K { e } thì a K, a e. Khi đó (xay)(xey) -1 = xax -1 K vì K G (vì K H), mà H là nhóm con của G nên từ đó xay H xey H, x,y G (a, e) H với a e H 1 G H không rời rạc trong G: mâu thuẫn. 10 () Giả sử { e } là ớc chuẩn duy nhất của G đợc chứa trong H. Ta chứng minh H rời rạc trong G. Thật vậy, nếu H không rời rạc trong G thì do e H nên a G sao cho (a, e) H ; a e. Khi đó theo mệnh đề 1.9, K = { g G (g, e) H } là ớc chuẩn của G đợc chứa trong H và K { e } : trái giả thiết. 1.11. Hệ quả. Giả sử H là tập con chứa đơn vị của nhóm G. Khi đó H rời rạc trong G khi và chỉ khi mọi nhóm con chuẩn tắc K khác { e } của G đợc chứa trong H đều thoả mãn điều kiện KH H. 1.12. Định nghĩa. a) Một văn phạm là một danh sách G = (V, X, P, ) thoả mãn các điều kiện sau: i) V là tập khác rỗng, gọi là bảng chữ cái. ii) X V là tập các từ, còn N = V X là tập các kí hiệu văn phạm hay kí hiệu bổ trợ. iii) P là tập các quy tắc thay thế, là tập hữu hạn các cặp (u, v) trong đó u (V- X) * - { } , v V * . Kí hiệu u v. iv) là một kí hiệu bổ trợ, gọi là kí hiệu ban đầu. b) Giả sử G = (V, X, P, ) là một văn phạm và y, z V * . Ta nói rằng y trực tiếp sinh ra z và kí hiệu y z, nếu u,v,u 1 ,u 2 sao cho (u,v) P và y = u 1 uu 2 , z = u 1 vu 2 (chỗ nào có u thì thay bởi v). Nh vậy, mỗi hệ thống văn phạm chỉ là một họ hệ thống quy tắc thay thế. Ta nói rằng y sinh ra z và kí hiệu y * z, nếu z 1 , z 2 ,,z k V * sao cho y = z 1 z 2 z k = z c) Ngôn ngữ trên X đợc gọi là sinh bởi văn phạm G nếu L = L(G) = { W X * * W } 11 Đ 2. các phép toán trên các ngôn ngữ Trên tập các ngôn ngữ ngoài các phép toán của lý thuyết tập hợp nh giao, hợp, lấy phần bù còn có những phép toán đặc thù nh tích ghép, lặp, soi gơng, chia phải, chia trái, phép thế, phép đồng cấu Giả sử L 1 , L 2 , L 3 là các ngôn ngữ tuỳ ý trên bảng chữ cái X. 2.1. Định nghĩa. a) Tập từ { x X * x L 1 hoặc x L 2 } đợc gọi là ngôn ngữ hợp của các ngôn ngữ L 1 và L 2 , kí hiệu là L 1 L 2 hoặc L 1 L 2 . b) Tập từ { x X * x L 1 và x L 2 } đợc gọi là ngôn ngữ giao của các ngôn ngữ L 1 và L 2 ; kí hiệu L 1 L 2 hoặc L 1 L 2 . c) Tập từ {x X * x L } đợc gọi là ngôn ngữ phần bù hay ngôn ngữ bù của L; kí hiệu C X L hoặc CL. 2.2. Tính chất. i) L 1 L 2 = L 2 L 1 , L 1 L 2 = L 2 L 1 ii) (L L 1 ) L 2 = L (L 1 L 2 ). (L L 1 ) L 2 = L (L 1 L 2 ). iii) L = L = L; L = L = , C X = X * , C X X * = iv) L X * = X * , L X * = L C X {} = X + , C X { X + } = {} v) Hệ thức De Morgan L 1 L 2 = C(CL 1 CL 2 ) 2.3. Các thí dụ. Thí dụ 1. Cho các ngôn ngữ L 1 = { , a, ab, bc } ; L 2 = { a, b, ca, cb, ab } L 1 L 2 = { , a, b, ab, bc, ca, cb } L 1 L 2 = { a, ab } . Thí dụ 2. Cho ngôn ngữ L = { a, bc } . Khi đó CL = { x X * | x a, c bc } , trong đó X = { a, b, c } . 12