là tơng đơng.
i) L là ngôn ngữ nhóm Aben chính qui
ii) Tồn tại một nhóm Aben hữu hạn G, một tập con rời rạc H của G và một toàn cấu từ X * lên G sao cho L = ϕ-1(H).
iii) Ôtômát tối tiểu ω(L) = (A, X, a0, δ, A ) đoán nhận ngôn ngữ L là hữu’
hạn, liên thông mạnh và hoán vị.
iv) Ôtômát ω(L) là hữu hạn, tách đợc và hoán vị. v) Ôtômát ω(L) là hữu hạn, đầy đủ và hoán vị.
X*
℘L
X*
℘L
Chứng minh:
i) ⇒ ii) Giả sử L là ngôn ngữ nhóm Aben chính qui. Khi đó G = à(L) là
nhóm hữu hạn và ánh xạ: ϕ: = y: X*→à (L)
u → [u]
là toàn cấu chính tắc từ X * lên vị nhóm thơng = à (L); trong đó [u] là
lớp tơng đẳng (theo ℘L) chứa từ u. Giả sử H = ϕ(L). Vì ℘L bảo hoà L (tức là chứa trọn vẹn một số lớp tơng đẳng ℘L ) nên L = ϕ-1(H).
Ta hãy chứng minh H là tập con rời rạc của G. Thật vậy, giả sử a, b ∈ G, a ≠ b.
Khi đó tồn tại u, v ∈ X * sao cho ϕ(u) = a, ϕ(v) = b và (u, v) ∉℘L vì a ≠ b.
Do đó ∃x, y ∈ X * để chẳng hạn xuy ∈ L nhng xvy ∉ L. Kí hiệu ϕ(x) = r,
ϕ(y) = s thì ras ∈ H nhng rbs ∉ H. Do đó (a, b) ∉ ℘H. Vậy ℘H là tơng đẳng đồng nhất và do đó H là tập con rời rạc của G.
ii) ⇒ i) Ta chứng minh à(L) ∼ G. Khi đó vì G là nhóm Aben hữu hạn nên
à (L) là nhóm Aben hữu hạn và do đó L là ngôn ngữ nhóm Aben chính qui.
Thật vậy, giả sử (u, v) ∈ ℘L . Thế thì với mọi x, y ∈ X * ta có xuy ∈ L khi
và chỉ khi xvy ∈ L; nên ϕ(xuy) ∈ H khi và chỉ khi ϕ(xvy) ∈ H, do đó ϕ(x) .
ϕ(u) . ϕ(y) ∈ H khi và chỉ khi ϕ(x)ϕ(v)ϕ(y) ∈ H. Vì ϕ là toàn cấu nên khi x, y chạy khắp X * thì ϕ(x) ϕ(y) chạy khắp G. Do đó (ϕ(u), ϕ(v)) ∈℘H.
Suy ra ϕ(u) = ϕ(v), vì H là tập con rời rạc của G nên ℘H là quan hệ đồng nhất trên G. Đảo lại, nếu ϕ(u) = ϕ(v) thì đi ngợc quá trình trên, ta có (u, v) ∈℘L. Do đó
℘L = kerϕ từ đó suy ra ∼ G hay à(G) ∼ G.
i)⇒ iii) Giả sử L là ngôn ngữ nhóm Aben chính qui. Thế thì ∀a = w, b = v; với w, u ∈ X *, ∃u ∈ X * sao cho (wu, v) ∈℘L; vì à (L) là nhóm.
Vì ℘L ⊂ℜL nên (wu, v) ∈ℜL. Khi đó δ( a, u) = b.
Tơng tự, tồn tại u ’ ∈ X * sao cho δ(b, u ) =’ a. Do đó ω(L) là liên thông
X*
ℜL
X*
℘L
Mặt khác, [u] [v] = [v] [u], (vì à (L) là nhóm Aben) nên [uv] = [vu]. Do
đó (xuvy ∈ L ⇔ xvuy ∈ L, ∀x, y ∈ X *) ⇒δ(a, uv) = δ(a, vu) do đó ôtômát ω(L)
hoán vị. Vì L là ngôn ngữ chính qui nên ω(L) là ôtômát hữu hạn .
iii)⇒i) Giả sử ω(L) là ôtômát liên thông mạnh và hoán vị. Khi đó
∀u ∈ X *, ∃v ∈X * sao cho δ(a0, uv) = a0, vì ω(L) liên thông mạnh. Do đó
δ(a0, uv) = δ(a0, ∧) ⇒δ(a0, uvx) = δ(a0, x) vì ℜL ổn định phải ⇒δ( x, uv) = x vì
ω(L) hoán vị ⇒ (xuvy ∈ L ⇔ xy ∈ L, ∀x, y ∈ X *) ⇒ [u]. [v] = [∧] ⇒ [∧] là
nghịch đảo của [u] trong à(L) ⇒à(L) là một nhóm. Hơn nữa vì ω(L) hữu hạn
nên L là ngôn ngữ chính qui ⇒à(L) là nhóm hữu hạn.
Ta lại có δ(a, uv) = δ(a, vu), ∀a = x ∈ A nên xuvy ∈ X *⇔ xvuy ∈ X*. Do đó [uv] = [vu] ⇒ [u] . [v] = [v] . [u] ⇒à(L) là nhóm Aben. Vậy à(L) là nhóm
Aben hữu hạn và do đó L là ngôn ngữ nhóm Aben chính qui.
i) ⇒iv) Giả sử L là ngôn ngữ nhóm Aben chính qui. Khi đó vì i) ⇔ iii) nên
ω(L) là ôtômát hữu hạn , liên thông mạnh và hoán vị. Hơn nữa
à (L) = là nhóm Aben hữu hạn nên A = cũng là tập hữu hạn
(vì , ℘L⊂ ℜL). Mặt khác, vì à(L) là một nhóm nên mọi phần tử của nó đều khả
nghịch. Vì T(A) là vị nhóm con của JA (bao gồm tất cả các ánh xạ từ A vào chính nó), nên từ đó suy ra với mọi x ∈ X ta đều có δx∈ T(A) là đơn ánh, nghĩa là từ
δx(a) = δx(b) kéo theo a = b. Do đó δ(x, a) = δ(x, b) kéo theo a = b. Vậy ω(L) là
tách đợc.
iv) ⇒ i) Vì A hữu hạn nên T(A) hữu hạn, mà à(L) ∼ T(A) nên à(L) cũng hữu hạn.
Hơn nữa, ω(L) tách đợc nên ∀u ∈ X *, từ δ(a, u) = δ(b, u) kéo theo a = b. Thật vậy nếu u = ∧ thì kết luận là hiển nhiên.
Nếu u = x1.x2 … xk với xi ∈ X thì từ δ (a, u) = δ(b, u) ta suy ra δ((a, x1 …
xk –1), xk) = δ((b, x1 … xk 1– ), xk) ⇒δ(a, x1 …xk 1– ) = δ(b, x1 ..xk 1); – vì ω(L) tách
đợc. Tiếp tục quá trình trên ta có δ(a, x1) = δ(b, x1), suy ra a = b.
Nh vậy, ∀u ∈ X *, ta có δu: A → A là đơn ánh, trong đó A là hữu hạn, nên
δu: A → A là một phép thế thuộc gA. Nh vậy, T(A) là một vị nhóm con của nhóm
hữu hạn gA(bao gồm các phép thế của A), nên T(A) là một nhóm con của gA. Vì
à(L) ∼ T(A) nên à(L) là một nhóm hữu hạn. Mặt khác ω(L) là ôtômát hoán vị
nên từ chứng minh ở iii) suy ra à(L) là một nhóm Aben giao hoán. Vậy L là
ngôn ngữ nhóm chính qui.
i) ⇒ v) Giả sử L là ngôn ngữ nhóm Aben chính qui. Khi đó ω(L) là hữu
hạn. Hơn nữa à(L) là nhóm Aben nên theo (iii), ω(L) là ôtômát hoán vị. Mặt
khác à(L) ∼ T(A), mà à(L) là nhóm hữu hạn nên T(A) là nhóm con của nhóm
hữu hạn gA - bao gồm tất cả các song ánh từ A lên chính nó.
Nói riêng ra ∀x ∈ X, δx: A → A là toàn ánh nên ∀a ’ ∈ A, ∃a∈A sao cho
δ(a, x) = a’ và do đó ω(L) là ôtômát đầy đủ.
v)⇒ i) Đảo lại, giả sử ω(L) là ôtômát hữu hạn, đầy đủ và hoán vị. Khi đó
ω(L) là hữu hạn nên L là ngôn ngữ chính qui và à(L) cũng hữu hạn và do đó A
hữu hạn. Mặt khác, từ tính đầy đủ của à(L) suy ra với mọi u ∈ X *, δu: A → A là
một toàn ánh và do đó là một song ánh từ A lên chính nó (vì A là hữu hạn). Do đó T(A) là vị nhóm con của nhóm hữu hạn ⇒à(L) là nhóm hữu hạn. Vì ω(L) là
ôtômát hoán vị nên à(L) giao hoán. Vậy à(L) là nhóm giao hoán và do đó L là
ngôn ngữ nhóm Aben chính qui. Định lí 4.3 đợc chứng minh