bài toán sơ cấp
4.2. Vấn đề dựng phần tử tơng ứng với một phần tử đã cho trong một phép đối hợp;dựng các phần tử kép trong một phép đối hợp Dựng cặp
phép đối hợp;dựng các phần tử kép trong một phép đối hợp. Dựng cặp phần tử tơng ứng chung cho hai phép đối hợp.
Trớc hết ta giải quyết vấn đề cho phép đối hợp trên một conic (trong thực tế, khi tiến hành các phép dựng thì conic sẽ là một vòng tròn).
Giả sử phép đối hợp đợc xác định bởi cặp phần tử tơng ứng(A,A');(B,B'). Ta gọi F là điểm Frêgiê của phép đối hợp. Muốn dựng điểm M' tơng ứng với
điểm M ta chỉ việc nối FM và lấy giao điểm thứ hai của FM với conic. Các điểm kép là các tiếp điểm của tiếp tuyến với conic xuất phát từ F.Các điểm này sẽ là thực nếu F ở ngoài vòng tròn,sẽ là ảo liên hợp khi F ở trong vòng tròn. Nếu có hai phép đối hợp trên conic thì ứng với chúng ta sẽ có hai điểm Frêgiê F1 và F2. Đờng thẳng F1F2 sẽ cắt vòng tròn ở hai điểm tơng ứng chung cho cả hai phép đối hợp.
Giả sử các điểm kép của hai phép đối hợp lần lợt là P1,Q1 và P2,Q2. Thế thì F1F2 là đờng đối cực của điểm P1Q1 ∩ P2Q2. Nếu điểm này ở ngoài vòng tròn thì F1F2 sẽ cắt vòng tròn ở hai điểm thực và cặp điểm tơng ứng chung của hai phép đối hợp là thực. Trờng hợp này xảy ra khi P1,Q1,P2,Q2 đều thựcvà P1,Q1
không chia rẽ P2,Q2 (tức là [P1,Q1,P2,Q2] > 0) hoặc ít nhất một trong hai cặp (P1,Q1); (P2,Q2) là ảo liên hợp.
Để giải quyết các vấn đề đã nêu cho phép đối hợp trên đờng thẳng s ta sẽ chuyển về giải quyết trên conic, bằng cách chiếu các điểm của đờng thẳng s lên một conic nào đó từ tâm chiếu O (không thuộc đờng thẳng s). Khi đó,phép đối hợp trên đờng thẳng đợc chiếu thành phép đối hợp trên conic.
Ta hãy áp dụng các định lý trên để giải một số bài toán.