bài toán sơ cấp
4.3. Một số bài toán sơ cấp.
4.3.1. Bài toán 1.
Chứng minh rằng ba đờng trung tuyến của một tam giác đồng quy.
Chứng minh:
Gọi Ax, By, Cz là ba đờng trung tuyến của tam giac ABC và I,J lần lợt là trung điểm của AB, AC; ∆ là đờng thẳng đi qua IJ. Khi đó, ∆ cắt các cặp đờng thẳng (Ax, BC); (By, AC); (Cz, AB) tại các cặp điểm tơng ứng (M,∞); ( J,J); (I,I).
Xét ánh xạ f:∆→∆ biến I thành I,J thành J,M thành điểm ở vô cùng. Ta có: [I,J,M, ∞] = (I,J,M) =-1
[I,J, ∞,M] =[I,J,M,1 ∞] =(I,J,1M) = -1 Suy ra [I,J,M, ∞] = [I,J, ∞,M] = -1
Nh vậy, f là phép biến đổi đối hợp nên(I,I); (J,J); (M, ∞) là ba cặp điểm t- ơng ứng nhau trong cùng một phép biến đổi đối hợp. Theo định lý 4.1.1 thì ba đờng trung tuyến của tam giác đồng quy tại một điểm.
4.3.2.Bài toán 2.
Chứng minh rằng trong một tam giác ba đờng cao đồng quy.
Để chứng minh bài toán 2,trớc hết ta chứng minh bổ đề sau:
Bổ đề.
Cho O là một điểm cố định và f :{O}→{O} biến đờng thẳng a thành đ- ờng thẳng a' sao cho a⊥a' thì f là một phép biến đổi đối hợp.
Chứng minh bổ đề:
Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Ixy sao cho O(x0;y0). Gọi M(X;0) = a∩ Ox
M'(X';0) = a'∩Ox
Xét G :R2→R2 biến điểm M thành M' mà M,M' đợc xác định nh trên. Ta thấy rằng f là phép đối hợp khi và chi khi G là phép đối hợp. Sau đây ta sẽ chứng minh G là phép đối hợp:
+ Rõ ràng, G là một ánh xạ
+ a⊥a' ⇔OM. OM' =0 ⇔(X-x0)(X'-x0)+(-y0)(-y0) = 0
⇔XX' - x0(X+X')+y02 = 0
Theo nhận xét ở 2.6.2 và XX'- x0(X+X')+y02 = 0 là hệ thức đối xứng của X,X'.Suy ra G là phép đối hợp ⇔f là một phép đối hợp.
Chứng minh bài toán 2.
Gọi Ax, By, Cz là các đờng cao của tam giác ABC
Lấy O là điểm bất kì. Gọi các cặp đờng thẳng (a1,a2); (b1,b2); (c1,c2) là ba cặp đờng thẳng đi qua O theo thứ tự song song với cặp đờng thẳng (Ax,BC); (By,AC); (Cz,AB). Khi đó a1 ⊥a2,b1 ⊥b2,c1⊥c2.
Gọi f:{O}→{O} biến a thành a' sao cho a⊥a'. Suy ra, f(a')=a thì theo bổ đề f là một phép đối hợp.Theo định lý 4.1.3 ba đờng cao đồng quy.
4.3.3. Bài toán 3.
Cho một tam giác ABC và một điểm S. Dựng các đờng thẳng Sa, Sb, Sc theo thứ tự vuông góc với SA, SB, SC. Chứng minh rằng A'=Sa∩BC, B'=Sb∩AC, C'=Sc∩AB là bốn điểm thẳng hàng.
Chứng minh:
Ta có SA'≡Sa, SB'≡Sb, SC'≡Sc và ba cặp đờng thẳng (SA',SA); (SB',SB); (SC',SC) là ba cặp đờng thẳng vuông góc với nhau.
Xét biến đổi xạ ảnh f: {S} → {S} biến d thành d' sao cho d vuông góc d' thì theo bổ đề ở 4.2.2 ta có f là phép đối hợp và f(SA)=SA'; f(SA')=SA; f(SB)=SB'; f(SB')=SB; f(SC)=SC'; f(SC')=SC.
Nh vậy,(SA',SA); (SB',SB); (SC',SC) là ba cặp đờng thẳng tơng ứng của cùng một phép đối hợp. Mặt khác, A'∈BC; B'∈AC; C'∈AB nên theo định lý 4.1.2 ta có A', B', C' thẳng hàng.
4.3.4. Bài toán 4.
Dựng một vòng tròn đi qua hai điểm A , B và tiếp xúc với một đờng thẳng ∆ ( hai điểm A , B không thuộc đờng thẳng ∆).
Dựng một vòng tròn bất kỳ đi qua hai điểm A, B sao cho ( M, M') là hai cặp điểm tơng ứng nhau trong cùng một phép đối hợp trên đờng thẳng ∆
Nếu ta xác định đợc cặp điểm M,M' sao cho M ≡M' thì bài toán coi nh đã đợc giải quyết.
Vậy vấn đề quy về dựng các điểm kép trong phép đối hợp nói trên(Cách dựng đã xét ở mục 4.2.)
Bài toán 4.3.5.
Cho bốn điểm A, B, C, D thẳng hàng.Hãy dựng hai điểm P, Q vừa chia điều hoà A, B vừa chia điều hoà C, D.
Chứng minh:
Vì hai điểm P, Q vừa chia điều hoà A, B vừa chia điều hoà C, D nên P và Q vừa tơng ứng với nhau trong phép đối hợp nhận A,B làm hai điểm kép,vừa t- ơng ứng với nhau trong phép đối hợp nhận C, D làm hai điểm kép.
Vậy nên vấn đề đợc quy về dựng cặp điểm tơng ứng chung cho hai phép đối hợp trên đờng thẳng đi qua bốn điểm A, B, C, D (Cách dựng đã xét ở mục 4.2.).
kết luận
Khóa luận này đã đạt đợc một số kết quả nh sau:
1. Trình bày lại một số khái niệm cơ bản của hình học xạ ảnh.
2. Trên cơ sở những khái niệm cơ bản, chúng tôi giới thiệu về phép biến đổi xạ ảnh đối hợp của đờng thẳng và đờng conic.
3. Trong khi chứng minh định lý Đơgiac thứ hai, chúng tôi đã đề xuất và chứng minh sự tơng đơng của hai cách cho một chùm bậc hai trong không gian xạ ảnh hai chiều, đó là mệnh đề 2.7.2. Đồng thời chứng minh định lý Đơgiac thứ hai trong không gian xạ ảnh n chiều ở định lý 2.6.3.
4. Khóa luận cũng đã chứng minh đợc rằng: Những cặp điểm kép trong phép biến đổi xạ ảnh Hypebolic của conic (đờng thẳng) mà có hai cặp điểm t- ơng ứng chung tạo thành phép đối hợp của conic (đờng thẳng) trong định lý 2.10 và 3.5.
5. Ngoài ra khóa luận cũng đã đề xuất và giải một số bài toán sơ cấp có thể vận dụng phép đối hợp.