Phép biến đổi Mellin của hàm Hermite và ứng dụng

13 2 Tích chập suy rộng của phép biến đổi Mellin 16 2.1 Hàm ảnh của hàm Hermite, hàm dạng Hermite qua phép biến đổi Mellin.. Tuy nhiên, người đầu tiên đưa ra một cách có hệ thốngvề phép

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

PGS.TS NGUYỄN MINH TUẤN

Hà Nội - 2012

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn Minh Tuấn.Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy, người đã đưa ra đề tài và tận tìnhhướng dẫn tôi trong suốt quá trình nghiên cứu Đồng thời tôi cũng chân thànhcảm ơn các thầy cô trong khoa Toán - Cơ - Tin học trường Đại học Khoa học Tựnhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, đã tạo mọi điều kiện cho tôi về tài liệu và thủtục hành chính để tôi hoàn thành luận văn này Qua đây, tôi cũng gửi lời cảm ơnđến gia đình, bạn bè đã động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập vàthực hiện luận văn này.

Do thời gian và trình độ còn hạn chế, chắc chắn luận văn không thể tránhkhỏi những thiếu sót, tôi rất mong nhận được sự chỉ bảo tận tình của các thầy

cô và bạn bè đồng nghiệp, xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, năm 2012Học viênPhạm Nam Giang

Bảng ký hiệu iii

1.1 Định nghĩa và các tính chất cơ bản của phép biến đổi Mellin 1

1.2 Phép biến đổi Mellin ngược 8

1.3 Tính chất toán tử của phép biến đổi Mellin 11

1.4 Tích chập của phép biến đổi Mellin 13

2 Tích chập suy rộng của phép biến đổi Mellin 16 2.1 Hàm ảnh của hàm Hermite, hàm dạng Hermite qua phép biến đổi Mellin 16

2.1.1 Biến đổi Mellin của hàm Hermite một biến 17

2.1.2 Biến đổi Mellin của hàm dạng Hermite 18

2.2 Tích chập suy rộng của phép biến đổi Mellin 22

2.3 Ứng dụng 28

2.3.1 Phương trình đạo hàm riêng 28

2.3.2 Phương trình tích phân với nhân là hàm dạng Hermite 29

2.3.3 Phương trình tích phân có chứa hàm exp(x) 32

Hn(x): Đa thức Hermite bậc n.

φn(x): Hàm Hermite

[x]: Hàm phần nguyên [x] = max {n ∈ Z|n ≤ x}

Mf, M(f ), M[f ], M{f }: Biến đổi Mellin của hàm f

F f Biến đổi Fourier của hàm f

LBf Biến đổi Laplace của hàm f

Stha, bi := {s ∈ C : Re s ∈ ha, bi}

ha, bi: có thể là (a, b) hoặc [a, b] hoặc [a, b) hoặc (a, b]

H(St(a, b)) : là không gian các hàm giải tích trên St(a, b)

Phép biến đổi Mellin lần đầu tiên xuất hiện khi Riemann sử dụng nó để nghiêncứu hàm Zeta nổi tiếng Tuy nhiên, người đầu tiên đưa ra một cách có hệ thống

về phép biến đổi này là nhà Toán học người Phần Lan R.H Mellin (1854-1933).Nghiên cứu trên lý thuyết về những hàm đặc biệt, ông đã phát triển các ứng dụng

về việc tìm nghiệm của các phương trình vi phân siêu hình học và phép lấy tíchphân của các khai triển tiệm cận Đóng góp của Mellin chiếm một vị trí quantrọng trong lý thuyết về các hàm giải tích, chủ yếu dựa trên định lí Cauchy vàphương pháp thặng dư [11] Mặc dù có mối liên hệ mật thiết với biến đổi Fourier

và Laplace, nhưng có nhiều ứng dụng cần phải dùng biến đổi Mellin một cáchtrực tiếp, đặc biệt là trong lý thuyết hàm phức (tiệm cận của những hàm liênquan đến hàm Gamma), trong lý thuyết số (hệ số của chuỗi Dirichlet [9], [10]),trong toán ứng dụng (ước lượng tiệm cận của tích phân) Bên cạnh những ứngdụng trong toán học, phép biến đổi Mellin còn có nhiều ứng dụng khác trong vật

lý và kĩ thuật Ứng dụng nổi tiếng nhất có lẽ là việc tính toán nghiệm của bàitoán thế năng trong miền có dạng hình cái chêm, trong đó hàm cần tìm thỏamãn phương trình Laplace với điều kiện biên cho trước [4] Phép biến đổi Mellincòn được dùng để giải phương trình vi phân tuyến tính trong kỹ thuật điện bằngthuật toán tương tự như biến đổi Laplace

Đa thức Hermite là một trong các dãy đa thức trực giao cổ điển khá phổ biếnmang tên nhà toán học nổi tiếng người Pháp Charles Hermite (1822 - 1901) Sự

ra đời và phát triển bắt nguồn từ những ứng dụng quan trọng trong các lĩnhvực khác là điểm đặc biệt của đa thức này Hơn nữa, từ dãy các đa thức Hermite

Hn(x), ta có dãy các hàm số trực giao, đó là dãy hàm Hermite φn(x) = e−x22 Hn(x).Dãy hàm Hermite là tập hàm giá trị riêng của biến đổi Fourier được đề cập trong[1] Với mục đích tìm hiểu về phép biến đổi Mellin, hàm ảnh của hàm Hermitequa phép biến đổi Mellin, cũng như ứng dụng của phép biến đổi này, chúng tôi

đã lựa chọn đề tài luận văn là "Phép biến đổi Mellin của hàm Hermite và ứngdụng" Luận văn được chia làm hai chương

Chương 1 Trình bày các kiến thức cơ bản về phép biến đổi Mellin bao gồm

định nghĩa, tính chất, phép biến đổi ngược, mối liên hệ với phép biến đổi Fourier,Laplace.

Chương 2 Chương này gồm các kết quả nghiên cứu chính của luận văn: hàmảnh của hàm Hermite, và hàm dạng Hermite qua phép biến đổi Mellin, xây dựngmột vài tích chập suy rộng của phép biến đổi Mellin với hàm trọng là các hàmảnh vừa tìm được, và giải một lớp phương trình tích phân dựa trên những tíchchập vừa xây dựng được

Mặc dù đã hết sức cố gắng trong quá trình thực hiện nhưng do trình độ vàđiều kiện thời gian có hạn nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót Rất mongđược sự đóng góp ý kiến của thầy cô và các bạn

Hà Nội, năm 2012Học viênPhạm Nam Giang

Phép biến đổi tích phân Mellin

Trong chương này, luận văn sẽ trình bày những kiến thức cơ bản về phép biếnđổi Mellin bao gồm: định nghĩa của phép biến đổi Mellin, mối quan hệ với cácphép biến đổi Fourier, Laplace, tính chất liên tục, tính giải tích, phép biến đổiMellin ngược, và tính chất toán tử

phép biến đổi Mellin

Như đã biết, biến đổi Fourier phức được định nghĩa trong tài liệu [4] như sau

−cg(ln x) ≡ f (x), G(ip − ic) ≡ F (s),

Từ đây có được định nghĩa về phép biến đổi Mellin như sau.

Định nghĩa 1.1.1 Giả sử f (x) là hàm số xác định trên (0, +∞), sao cho

f (x)xs−1 ∈ L1(R+), với s = c + it ∈ C, c ∈ R, t ∈ R Khi đó, phép biến đổiMellin của hàm f (x) được định nghĩa như sau

Từ khái niệm này ta thấy, nếu f (x)xc−1 ∈ L1

(R+), với c ∈ R thì biến đổiMellin (Mf )(s) tồn tại với mọi s = c + it, t ∈ R, và tích phân trong (1.1.3) hội

tụ tuyệt đối Vì thế, định nghĩa sau cho phép mô tả không gian tồn tại của phépbiến đổi Mellin

Định nghĩa 1.1.2 Giả sử c là một số thực nào đó, không gian Xc được địnhnghĩa

Xc := {f : R+ −→ C, f(x)xc−1 ∈ L1(R+)}

với chuẩn

kf kX c := kf (x)xc−1kL1 (R + ) =

Z ∞ 0

nên kf kXc ≤ kf kXa+ kf kXb, c ∈ [a, b] Vì vậy, trên X[a,b] ta xét chuẩn

kf kX[a,b] = sup

c∈[a,b]

kf kXc

Lúc đó, X[a,b] là không gian Banach với chuẩn đã xét ở trên

Nhận xét 1.1.4 Phép biến đổi Mellin cũng có mối liên hệ chặt chẽ với phépbiến đổi Laplace hai phía

Bổ đề 1.1.5 ([2]) Cho f ∈ X(a,b), α, β ∈ R, ε > 0, với a < α − ε < α ≤ β <

β + ε < b Khi đó, với k ∈ N0, tồn tại hằng số K(k, ε) > 0 sao cho

| ln x|xε ≤ K, với mọi x ∈ (0, 1],

| ln x|x−ε ≤ K, với mọi x ∈ [1, +∞)

Do đó, tồn tại K(k, ε) > 0 sao cho

h→0(f (u)uc+i(t+h)−1)du = (Mf )(c + it)

Vậy Mf liên tục trên đường thẳng {c} × iR

Với f ∈ X(a,b), để chứng minh (Mf )(s) liên tục tại s = c + it, s ∈ St(a, b) bất

kì, cho α, β ∈ R với a < α < c < β < b, và δ := min{c − α, β − c} > 0 Lúc đó,với mọi h ∈ C sao cho |h| < δ, thì s, s + h ∈ St[α, β] ⊂ St(a, b), và theo Bổ đề1.1.5 tồn tại K(α, β) sao cho

Khi đó, với |h| < δ ta được

|f (u)(ln u)us−1|du ≤ |h|K(α, β)

Vì vậy, (Mf )(s) liên tục trên St(a, b) vì s ∈ St(a, b) tùy ý

Ngoài tính chất liên tục, phép biến đổi Mellin còn thỏa mãn tính chất giớihạn được trình bày trong định lý dưới đây

Định lý 1.1.7 ([2]) Nếu f ∈ Xc, c ∈ R, thì

lim

và nếu f ∈ X(a,b), thì (1.1.7) hội tụ đều trên mọi [α, β] ⊂ (a, b), c ∈ [α, β]

Chứng minh Đặt h := e−πt Với s = c + it, t ∈ R \ {0}, ta có

−(Mf )(s) = eiπ(Mf )(s) = h−it(Mf )(s) = h−it

Tính giải tích của phép biến đổi cũng đã được trình bày trong nghiên cứu [2]với kết quả sau.

Định lý 1.1.8 Biến đổi Mellin là một ánh xạ từ không gian X(a,b) vào khônggian H(St(a, b)), nghĩa là với f ∈ X(a,b), biến đổi Mellin (Mf )(s) là hàm giảitích trên St(a, b), hơn nữa với r ∈ N,

 dds

r

(Mf )(s) = (M[f (u)(ln u)r])(s), s ∈ St(a, b) (1.1.8)Chứng minh Cho 4 ⊂ St(a, b) là tam giác với biểu diễn tham số

ϕ(y) : [0, 1] → 4,

ϕ là hàm khả vi liên tục từng khúc Khi đó, hàm số (u, y) 7→ f (u)uϕ(y)−1ϕ0(y), u ∈

R+, y ∈ [0, 1], là hàm đo được đối với độ đo Lebesgue hai chiều và theo Bổ đề1.1.5, ta có

Vì us−1 là hàm giải tích trên St(a, b) với mọi u > 0, nên theo định lý tích phânCauchy, ta có

Vì 4 ⊂ St(a, b) là tùy ý, và (Mf ) là hàm liên tục, nên theo định lí Morera (Mf )

là hàm giải tích trên St(a, b)

Tiếp theo, ta chứng minh công thức (1.1.8) Cho s ∈ St(a, b) tùy ý sao chođường tròn Kε(s) tâm s bán kính ε được chứa trong St[α, β] ⊂ St(a, b) Đặt

ψ(y) := s + εeiy, khi đó theo công thức tích phân Cauchy cho đạo hàm, ta có với

f (u) u

ψ(y)−1

(ψ(y) − s)r+1ψ0(y)

du

ψ0(y)(ψ(y) − s)r+1

dy

Một phép biến đổi tích phân sẽ chỉ thực sự hữu ích khi tồn tại phép biến đổingược Vì vậy, với Mellin ta cũng cần xác định một phép biến đổi M−1 sao cho

Định nghĩa 1.2.1 Cho F ∈ L1({c} × iR) Phép biến đổi Mellin ngược M−1c [F ]của hàm số F được định nghĩa như sau

M−1c [F ](x) = M−1c1 [F ](x), x ∈ R+.Hơn nữa, M−1[F ] ∈ X(a,b)

Chứng minh a) Bất đẳng thức (1.2.2) được suy ra trực tiếp từ định nghĩa

|M−1c [F ](x)| =

≤

Do đó, M−1[F ] ∈ Xc, vì c ∈ (a, b) tùy ý nên M−1[F ] ∈ X(a,b).

không phụ thuộc vào việc chọn c ∈ (a, b)

b) Nếu F ∈ H(St(a, b)) ∩ L1(St(a, b)) sao cho điều kiện (1.2.3) được thỏa mãn,thì tồn tại M−1F ∈ X(a, b) và với mỗi c ∈ (a, b)

d) Nếu α ∈ R+, thì

(M[f (xα)])(s) = α−1(Mf )s

α

, s ∈ St(αa, αb) (1.3.3)

M 1

xf

 1x

f) Phép biến đổi của tích hỗn tạp

Sử dụng Tính chất tịnh tiến c) và Tính chất e), nếu lim

x→0xs+rf(r)(x) = 0 vàlim

x→+∞xs+rf(r)(x) = 0 với r = 0, n − 1, thì

Mhxnf(n)(x)i(s) = (−1)nΓ(s + n)

Γ(s) (Mf )(s), s ∈ St(a, b). (1.3.5)

g) Phép biến đổi của toán tử vi phân

Bằng cách sử dụng công thức (1.3.5) ta thu được

M

"



x ddx

Trường hợp riêng, khi s = 1, ta thu được công thức Parseval cho biến đổiMellin

Khi s = 1, kết quả trên trở thành kết quả (1.3.10)

Định nghĩa 1.4.1 Giả sử f, g là những hàm xác định trên R+ Khi đó, tích chậpđối với biến đổi Mellin của hai hàm f, g được định nghĩa như sau

xc−1f (y)g x

y



 xy

c−1

g xy

 ... phép biến< /h3>

đổi Mellin< /h3>

Trong chương này, luận văn trình bày kết hàm ảnh hàmHermite, hàm dạng Hermite qua phép biến đổi Mellin, tích chập suy rộng củaphép biến đổi Mellin. .. 25

2.1.1 Biến đổi Mellin hàm Hermite biến< /p>

Định lý 2.1.1 Biến đổi Mellin hàm Hermite φn(x)

ϕn(s) := M[φn](s)... class="page_container" data-page="16">

Một phép biến đổi tích phân thực hữu ích tồn phép biến đổingược Vì vậy, với Mellin ta cần xác định phép biến đổi M−1 cho