Hình học của nhóm các phép dời trong mặt phẳng, trong không gian và ứng dụng của nó vào giảng dạy toán phổ thông

BỘ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠIĐÀO HỌC VINH BỘ GIÁO DỤC TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN VŨ THÀNH HÌNH HỌC CỦA NHĨM CÁC PHÉP DỜI TRONG MẶT PHẲNG, TRONG GIAN ĐỀ CƢƠNG LUẬN VĂN THẠC SỸ KHƠNG TỐN HỌC VÀ ỨNG NĨ CÁC VÀO GIẢNG DẠY HÌNH HỌCDỤNG CỦACỦA NHĨM PHÉP DỜI TRONG MẶT PHẲNG, TỐN PHỔ TRONG THƠNG KHƠNG GIAN VÀ ỨNG DỤNG CỦA NĨ VÀO GIẢNG DẠY TỐN Ở PHỔ THƠNG LUẬN NGÀNH VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC CHUN : HÌNH HỌC TƠPƠ Học viên: Nguyễn Vũ Thành Ngƣời hƣớng dẫn khoa học : PGS.TS Nguyễn Huỳnh Phán NGHỆ AN - 2016 BỘ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN VŨ THÀNH HÌNH HỌC CỦA NHÓM CÁC PHÉP DỜI TRONG MẶT PHẲNG, TRONG KHƠNG GIAN VÀ ỨNG DỤNG CỦA NĨ VÀO GIẢNG DẠY TỐN PHỔ THƠNG CHUN NGÀNH : HÌNH HỌC TƠPƠ MÃ SỐ : 60.46.01.05 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS NGUYỄN HUỲNH PHÁN NGHỆ AN- 2016 LỜI CẢM ƠN LỜI CẢM ƠN Luận văn thực hoàn thành trường Đại học Vinh hướng dẫn thầy giáo PGS.TS Nguyễn Huỳnh Phán Nhân dịp xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, thầy người đặt toán, rõ đề cương nghiên cứu cho tơi, thầy tận tình bước hướng dẫn thực nghiên cứu đề tài, từ việc gợi ý, cung cấp tài liệu nghiên cứu, hướng dẫn phương pháp thực hiện, truyền đạt góp ý nhiều kiến thức q báu suốt q trình hồn chỉnh nội dung luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn quý thầy giáo, cô giáo Khoa Sau Đại học, tạo điều kiện giúp đỡ q trình học tập Đặc biệt, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn đến thầy, giáo Khoa Tốn nói chung thầy, tổ Bộ mơn Hình Học nói riêng Trường Đại học Vinh giúp tơi hồn thành tất học phần Khóa học, nâng cao trình độ kiến thức, chun mơn, có phương pháp học tập hữu ích Giúp tơi hồn thành học phần, đặc biệt luận văn tốt nghiệp Xin chân thành cảm ơn quan tâm lãnh đạo Sở Giáo dục Đào tạo Hà Tĩnh, Ban Giám hiệu trường THPT Hà Huy Tập, tập thể tổ Toán trường THPT Hà Huy Tập, Huyện Cẩm Xuyên, tỉnh Hà Tĩnh toàn thể quý đồng nghiệp, bạn khóa học, gia đình động viên, giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tơi học tập hồn thành luận văn tốt nghiệp Một lần chân thành cảm ơn! Nghệ An, ngày tháng năm 2016 Tác giả Nguyễn Vũ Thành MỤC LỤC Nội Dung Trang Lời cảm ơn Mục Lục Mở đầu Nội dung Chƣơng I Kiến thức chuẩn bị 1.1 Đa tạp khả vi 1.2 Ánh xạ khả vi hai đa tạp 11 1.3 Nhóm Lie 14 1.4 Tập đại số Zarisky tơpơ Zarisky 22 1.5 Khơng gian Ơclit 33 Nhóm phép dời mặt phẳng, không gian ứng dụng giảng dạy tốn phổ thơng 42 Một số tính chất hình học hình học đại số nhóm phép dời mặt phẳng không gian 42 Phần II Ứng dụng tính chất nhóm phép dời mặt phẳng khơng gian vào giảng dạy phép dời hình phổ thông 49 Chƣơng II Phần I Kết luận 57 Danh mục tài liệu 58 MỞ ĐẦU Một định luật toán học nhà nữ toán học Pháp, Sophie Germain (1776-1831) phát biểu là: “Hình học chẳng qua đại số vẽ ra, đại số chẳng qua hình học viết ra” Nói cách khác, hình học đại số chẳng qua thứ, mô tả cách khác Qua học tập nghiên cứu chun ngành hình học tơpơ, chúng tơi hiểu sâu hình học nói chung nghiên cứu tính chất bất biến khơng gian Hình học đại số mơn nghiên cứu hình tập nghiệm đa thức hình có xuất xứ từ Mỗi tập nghiệm gọi tập đại số Hình học đại số có vai trị quan trọng tốn học đại kết nối nhiều ngành tốn học Giải tích, Đại số, Hình học, tơpơ, … lại với Chẳng hạn, thấy hầu hết hình hình học hình học phổ thơng, Hình học afin, Hình học xạ ảnh nhiều hình thường xét ngành toán học khác, tập đại số Qua nhiều năm giảng dạy trường THPT, tơi nhận thấy hình học Ơclit chiếm phần lớn nội dung chương trình hình học phổ thơng Nó gần gũi với thực tiễn góp phần quan trọng hình thành tri thức tốn phổ thơng cho người học Bộ mơn hình học chủ yếu nghiên cứu tính chất bất biến qua nhóm phép dời Do vậy, để hiểu sâu sắc tốn phổ thơng nói chung, hình học phổ thơng nói riêng, chúng tơi chọn đề tài luận văn là: “HÌNH HỌC CỦA NHĨM CÁC PHÉP DỜI TRONG MẶT PHẲNG, TRONG KHÔNG GIAN VÀ ỨNG DỤNG CỦA NĨ VÀO GIẢNG DẠY TỐN PHỔ THƠNG” NỘI DUNG CHƢƠNG I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 ĐA TẠP KHẢ VI Trong mục này,chúng tơi trình bày kiến thức chuẩn bị cho luận văn; Bao gồm 03 mục Mục nêu khái niệm liên quan tới Đa tạp khả vi; Mục trình bày Ánh xạ khả vi hai đa tạp; Mục nhắc lại kiến thức nhóm Lie Các kết lấy tài liệu tham khảo [2], [3], [4], [6], [7] [8] 1.1.1 Các định nghĩa Định nghĩa 1.1.1.1 Giả sử ( , không gian với sở đếm được, tập mở ánh xạ ) gọi đồ tập mở đồng phơi Chú ý ( ) - Với ( ) Khi ( tọa độ địa phương độ địa phương ( ) gọi ) (( ) gọi hệ tọa ) - Một điểm thuộc nhiều đồ , có nhiều tọa độ địa phương khác Ví dụ Trong , ta lấy Xét *( Khi rõ ràng ánh xạ ) *( | + )| {( √ tập mở ( √ )| ( , ) + ( )}; ) tập mở Như vậy, ( ) đồ Chứng minh song ánh:  Ta lấy hai điểm thuộc Với  /, ( ) √ / ( ) đơn ánh , ta xét điểm ( √ Với ( ) ) , ta có: tồn ánh Vậy - Vì , ta suy Vậy √ với phép chiếu lên trục hoành nên liên tục - Mặt khác ( √ ( - Ta có: ( ) Với Từ ) ( ) √ liên tục, ta suy Như vậy, ( 1.1.1.2 ) , ( ) liên tục ) đồ Định nghĩa Giả sử ( ( ánh xạ ) )và ( Khi ( ) hai đồ ) ( cho ) gọi phù hợp vi phôi (song ánh khả vi hai chiều) Chú ý - Ta thấy ( ( ) ( ) , ký hiệu ) ( ( ) Khi ) phù hợp ánh xạ phôi, ( ) vi đổi tọa độ từ ( ) sang ( - Quy ước ( gọi công thức ) điểm ) ( ) ( ) phù hợp Trở lại ví dụ 1.2 xét thêm đồ ( *( ( , ( ) ) | + ) Ta kiểm tra tính phù hợp ( ) ( *( ( ) ( ) , Ta xét: )với ) ( ( ) | + ) ) Khi ta có: √ ( Mặt khác, với ( ) song ánh khả vi ),ta có: ( ) ( ) ( Vậy 1.1.1.3 vi phôi hay ( ) ( ( )( ) ( )) ) hai đồ phù hợp Định nghĩa i Giả sử *( không gian ) họ đồ + thỏa mãn: a/ Ui iI b/ ( ) ( Thì ta nói ) phù hợp với atlat *( ii Hai atlat ( ) ) ( Nhận xét: Nếu +, 2( ) gọi phù hợp ) phù hợp với hai atlat phù hợp atlat Định nghĩa 1.1.1.4 i Nếu atlat cực đại atlat nào) ii Một (tức khơng nằm gọi cấu trúc khả vi không gian có cấu trúc khả vi gọi đa tạp khả vi -chiều Nhận xét: - Atlat cực đại gọi cấu trúc khả vi vi phơi với - Trong q trình khảo sát tính khả vi đa tạp, ta cần atlat thích hợp với số đồ để tính tốn phép khả vi Ta tiếp tục xét , thêm đồ sau: Trở lại với ví dụ 1.2., ta đặt: 3 {( ) ( 1) | } { √ / y {( ) ( 1) √ { |y } / y Tương tự, ta chứng minh ( ) ( ) hai đồ Dễ thấy hai đồ phù hợp Do Ui i 1 *( )+ alat Vậy đa tạp khả vi 1-chiều Nhận xét: Cho đa tạp -chiều Ta thấy ; Nếu tập mở đa tạp -chiều Chứng minh Thật vậy, ta thường lấy atlat Bây giả sử *( )+ {( là đa tạp )} thu hẹp atlat -chiều với tập đồ bão hòa là đa tạp ( ) ) Khi { } ( ) ( ) atlat tập Đềcác đa tạp khả vi ( Vậy -chiều với tập đồ bão hòa Ký hiệu ( )-chiều Ví dụ ( Ký hiệu ( ) *các tự đẳng cấu truyến tính ) Là đa tạp khả vi + Khi -chiều Chứng minh ( Ta đồng tập ( ) ) tất ma trận vuông cấp 10 với ( SL(1, ), ) ,S ( ) tập đại số Zariski Chứng minh (Phép chứng minh chi tiết chúng tôi) SL(1, ) = {1} nên tập đại số (nó nghiệm đa thức f(x) = x – 1) Ta chứng minh cho trường hợp S ( ) Với S ( ) chứng minh tương tự ( Giả sử ), A có dạng: [ ] + ( Đồng ) ký hiệu đa thức biến ( ) + ( Thế Vậy ( ) ( ) ) tập nghiệm đa thức Zarisky Hơn siêu mặt nên tập đại số Mệnh đề O(1, ), ( ), ( ) tập đại số Zariski Chứng minh (Phép chứng minh chi tiết chúng tôi) O(1, ) = {1, -1} nên tập đại số (nó nghiệm đa thức f(x) = (x – 1)(x + 1)) 44 ( Ta chứng minh cho trường hợp ) Với ( ) chứng minh tương tự Ta có ( ) 10 , Ký hiệu ba đa thức biến , Thế ( ( ( ( ( ) ) ) ) nghiệm chung đa thức trên, nên ) tập đại số Zarisky Mệnh đề ( SO(1, ), ) ( ) tập đại số Zariski Chứng minh (Phép chứng minh chi tiết chúng tôi) Thật SO(1, ) = {1} = SL(1, hai tập đại số Zariski ( Tương tự ( ( ) O(1, ) ( ) ( ) giao ) nên tập đại số Zariski ) giao hai tập đại số Zariski ) nên tập đại số Zariski Mệnh đề O(1, ), ( ) ( ) tập compact Chứng minh (Phép chứng minh chi tiết chúng tôi) 45 ( ) ( Ta chứng minh cho trường hợp ) Với ( ) chứng minh tương tự ( Vì ) tập đại số nên tập đóng Ngồi ra, từ chứng minh suy rằng, ma trận trực giao Cho nên ( ( ) ) tập (nằm trên) mặt cầu gốc tọa độ bán kính √ Vì ( ( ) tập compact có tâm ) tập bị chặn Do Mệnh đề ( ) ( ) tập compact Chứng minh Thật vậy, ( ) tập đóng tập compact ( tập đóng tập compact ) nên ( ( ) ), ( ( ) ) tập compact Mệnh đề Các nhóm Lie ( ), ( ), ( ) ( ) tập compact Chứng minh (Phép chứng minh chi tiết chúng tôi) ( Ta chứng minh cho trường hợp ( ) ( ) Với ( ) ) chứng minh tương tự Thật vây, có dạng: ( ) tập đóng, khơng bị chặn ví dụ tập ma trận ( ), tập khơng bị chặn , mơdun A 46 A =  x, 1-x, 1, 1 = x + (1-x)2 + +   x   nên ( ) tập compact Tiếp theo, ( ) tập không bị chặn nên ( ) không compact ( ( ) chứa tập ) không bị chặn, nên Định nghĩa khơng gian liên thơng đƣờng Ta nói khơng gian tôpô kỳ liên thông đường với hai điểm , tồn ánh xạ liên tục ( ) gọi đường - nối bất , cho ( ) Một tập liên thông đường lớn gọi thành phần liên thông đường Mệnh đề ( ) ( ) ( ) có hai thành phần liên thông đường Chứng minh (Phép chứng minh chi tiết chúng tôi) ( Ta chứng minh cho trường hợp ) Với ( ) chứng minh tương tự ( Đầu tiên ta thấy ) khơng liên thơng đường, trái lại với tồn đường ( ) nối Khi ánh xạ định thức: ( ) 47 ( ) (chú ý ( (, ánh xạ liên tục (thực khả vi vô hạn lần), nên ánh xạ tập liên thông , tập chứa tập số , tập không liên thông (đoạn , ( Tiếp theo ta chứng tỏ, tập ( -)) - * + - bỏ số 0) Điều vơ lý ) có hai thành phần liên thơng đường, ) tất ma trận định thức dương tập ( ) tất ma trận định thức âm Với tập thứ nhất,mọi ma trận có đường ( ) nối với ma trận đơn vị Còn tập thứ hai, ma trận đề có đường nối với ma trận ( Giả sử ( ( Nếu ) đưa dạng Jordan, nghĩa tồn ma trận ) cho ) ma trận Jordan, tức 1, số thực dương, đường ( ) [ ( ) ( ( đường ( ) có dạng: ( ) Vì vậy, ) ) nối ] , - ; ( ) ( đường ) nối với ma trận Nếu âm, thì: ( ) [ đường ( ) ( ( ) - số dương Cho nên ( ) nối với ma trận 48 ) ( ) ] , ( ( ) , - ) -, ( ) đường Nếu , không đưa dạng Jordan, nghĩa thực, coi ma trận phức, nên ta lại đưa khơng có giá trị riêng dạng Jordan chứng minh tương tự Mệnh đề ( ) tập liên thông đường Chứng minh (Phép chứng minh chi tiết chúng tôi) Với ( Vì ), , nên đa thức đặc trưng: [ ] ( ) ln có nghiệm Do ( trận ) cho ( ) ma trận Jordan, tức số thực ( ) đưa dạng Jordan nghĩa tồn ma Áp dụng lập luận trên, ta tìm đường trận đơn vị Do ( có dạng ( ) nối với ma ) liên thơng đường PHẦN II: ỨNG DỤNG CÁC TÍNH CHẤT CỦA NHÓM CÁC PHÉP DỜI TRONG MẶT PHẲNG VÀ TRONG KHƠNG GIAN VÀO GIẢNG DẠY PHÉP DỜI HÌNH Ở PHỔ THƠNG Trong chương trình tốn trung học phổ thơng, phép dời hình trình bày chương sách giáo khoa hình học lớp 11, gồm phép: Tịnh tiến, đối xứng tâm, đối xứng trục phép quay Trong sách giáo khoa 49 trình bày định nghĩa số tính chất phép dời theo tính trực quan mà chưa trọng đến cơng cụ đại số để giải toán Qua việc nghiên cứu số tính chất phép dời trình bày phần chương này, thấy việc sử dụng cơng cụ đại số để giải tốn phép dời hình đơn giản hiệu Do phần tìm biểu thức tọa độ ma trận biến đổi phép dời hình trình bày sách giáo khoa hình học 11 Với việc làm vậy, xem ứng dụng tính chất hình học đại số nhóm phép dời vào dạy hình học phổ thơng Nhận xét: Các phép dời hình chương trình tốn phổ thơng phép biến đổi tuyến tính Nên để tìm biểu thức tọa độ ma trận biến đổi phép dời hình, ta tìm ảnh vectơ đơn vị áp dụng tính chất tuyến tính (Ngoại trừ phép tịnh tiến) 2.1 PHÉP TỊNH TIẾN 2.1.1 Định nghĩa phép tịnh tiến Trong mặt phẳng cho vectơ ⃗ Phép tịnh tiến biến điểm cho ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ thành ⃗ gọi phép tịnh tiến theo vectơ ⃗ Ký hiệu ( ⃗⃗) ⃗ gọi vectơ tịnh tiến 2.1.2 Biểu thức tọa độ ma trận biến đổi phép tịnh tiến Với hệ tọa độ trực chuẩn tiến ( ⃗⃗) với ⃗ Với điểm ( ( ( với vectơ đơn vị ⃗, ⃗ Xét phép tịnh ) Ta có: ) ta có ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) ảnh ( 50 ⃗ Nên ) ( ⃗⃗) ( ( ⃗⃗) ( ) ) ( ( ) ) { suy ra: ( ) Theo phép nhân ma trận ( ) viết dạng: [ ] 10 1 (1) Vậy công thức (1) công thức tọa độ phép tịnh tiến theo vectơ⃗⃗⃗⃗ Ma trận ma trận biến đổi phép tịnh tiến theo vectơ⃗⃗⃗⃗ 2.2 PHÉP QUAY: 2.2.1 Định nghĩa phép quay Cho điểm góc lượng giác , phép biến hình biến nó, biến điểm ( ) thành thành góc lượng giác cho gọi phép quay tâm góc Ký hiệu: ( ) , O: tâm, : góc quay 2.2.2 Biểu thức tọa độ ma trận biến đổi phép quay: với vectơ đơn vị ⃗, ⃗ Xét phép Với hệ tọa độ trực chuẩn quay tâm (Nếu tâm không trùng với gốc hệ trục tọa độ ta dùng phép tịnh tiến để biến đổi hệ trục tọa độ Oxy hệ có gốc tọa độ trùng tâm) (⃗) ( Với điểm ( Khi ) ) gọi ( ) ( ( ⃗) ) ) ảnh ( ) ( Nên: ( thì: ( ) ) ( ) { 51 Theo phép nhân ma trận ( ) viết dạng: [ ] 10 (2) Vậy công thức (2) công thức tọa độ phép quay tâm Ma trận góc quay ma trận biến đổi phép quay tâm góc quay 2.3 PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC 2.3.1 Định nghĩa phép đối xứng trục Cho đường thẳng cố định Phép biến hình biến điểm thành điểm cho: - Nếu - Nếu Ký hiệu đường trung trực đoạn thẳng , : gọi trục đối xứng 2.3.2 Biểu thức tọa độ ma trận biến đổi phép đối xứng trục Với hệ tọa độ trực chuẩn Xét phép đối xứng trục với vectơ đơn vị ⃗, ⃗ đó: với d đường thẳng qua gốc tọa độ O (nếu d không qua O ta dúng phép tịnh tiến biến đổi hệ tọa độ Oxy hệ có tâm thuộc d) hợp với trục Ox góc , ta có: (⃗) ( Với điểm ( ( ) ) ( ⃗) ( ) gọi ( ) ảnh ( ) ( ) ( thì: ) ) 52 ( ) { Nên Theo phép nhân ma trận ( ) viết dạng: [ ] 10 (3) Vậy công thức (3) công thức tọa độ phép đối xứng trục Ma trận ma trận biến đổi phép đối xứng trục 2.4 PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM 2.4.1 Định nghĩa phép đối xứng tâm Cho điểm cố định Phép biến hình biến điểm biến điểm thành điểm thành trung điểm cho Ký hiệu , : gọi tâm đối xứng 2.4.2 Biểu thức tọa độ ma trận biến đổi phép đối xứng tâm Theo định nghĩa ta thấy coi phép đối xứng tâm phép quay tâm O góc Áp dụng công thức tọa độ phép quay tâm công thức tọa độ phép đối xứng tâm [ ] Ma trận 0 10 góc ta có là: (3) ma trận biến đổi phép đối xứng tâm 53 2.5 MỘT SỐ NHẬN XÉT VÀ VÍ DỤ 2.5.1 Nhận xét Qua việc nhìn nhận phép dời hình ngơn ngữ đại số tìm biểu thức tọa độ ma trận biến đổi phép dời hình Dựa vào ta dễ dàng tìm ảnh điểm qua tích phép dời hình Thật Xét tích hai phép dời hình Với ( 1; [ ) qua phép dời hình ( ) kết hợp với: với ma trận biến đổi là: ] ta có: 10 1 ( ) [ ] [ ] nên ta có: ( ) [ ] 1/ ([ ]0 1) =0 10 ( [ ] ) Qua ta nhận thấy thực tích hai phép dời hình ta thực phép nhân ma trận biến đổi (ta mở rộng cho hai tích phép dời hình) 2.5.2 Ví dụ 2.5.2.1 Tích phép quay tâm O với góc lần lƣợt Áp dụng cơng thức hai phép dời hình ta có: 54 Ma trận biến đổi là [ ] [ ] Khi ma trận tích phép dời hình [ ][ ] [ ] ( ( [ ) ) ( ( ) ] ) Kết cho ta thấy tích hai phép quay tâm O với góc phép quay tâm , góc Điều phù hợp với kết mà ta có 2.5.2.2 Tích hai phép đối xứng trục có trục đối xứng cắt Khơng tính tổng qt giả sử hai trục đối xứng cắt O Xét hai phép đối xứng trục [ với , ] có ma trận biến đổi là: [ ] góc hợp trục đối xứng , Khi ma trận tích phép dời hình [ ][ [ là: ]= ] 55 [ ( ( ) ) ( ( ) ] ) Kết cho ta thấy tích hai phép đối xứng trục phép quay giao điểm hai trục góc quay gấp đơi góc tạo hai trục Điều phù hợp với kết mà ta có 2.5.2.3 Nhận xét: Ta dùng ma trận biến đổi kiểm tra kết biết phép dời phổ thơng như: tích số chẵn (lẽ) phép đối xứng trục có trục đối xứng đồng quy phép quay (đối xứng trục), tích phép quay (tâm quay khác nhau) phép quay,… 56 KẾT LUẬN Những kết chủ yếu mà luận văn đạt là: Trình bày xếp theo hệ thống định nghĩa, khái niệm kèm với chứng minh chi tiết mệnh đề, định lý đa tạp khả vi, ánh xạ khả vi Trình bày định nghĩa nhóm Lie, ví dụ nhóm Lie, điều kiện xác định nhóm Lie Trình bày định nghĩa tập đại số Zariski tôpô Zariski ví dụ Trình bày định nghĩa không gian Ơ clit, khái niệm ánh xạ đẳng cự, phép dời hình, chứng minh số tính chất phép dời hình Nêu chứng minh tính chất hình học hình học đại số nhóm phép dời mặt phẳng không gian Nhiều chứng minh chi tiết kết chúng tơi tự thực Nhìn nhận phép dời mắt đại số ứng dụng giảng dạy tốn phổ thơng Phép dời hình ứng dụng vấn đề mà quan tâm tiếp tục nghiên cứu Chúng hi vọng đạt nhiều kết thời gian tới 57 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Duy Bình-Phạm Ngọc Bội-Trương Đức Hinh - Nguyễn Hữu Quang (1999), Bài tập hình học afin Ơclit, NXB Giáo dục [2] Văn Như Cương – Tạ Mân (2002) , Hình học afin hình học Ơclit, NXB ĐHQG Hà Nội [3] Văn Như Cương – Hoàng Trọng Thái (2005), Hình học cao cấp, NXB ĐHSP Hà Nội [4] Nguyễn Mộng Hy (2001), Hình học cao cấp, NXB Giáo dục [5] Nguyễn Mộng Hy (2003), Các phép biến hình mặt phẳng NXB Giáo dục [6] Nguyễn Huỳnh Phán (2012), Hình học nhóm phép biến đổi, Bài giảng chuyên đề cho nghiên cứu sinh chuyên ngành hình học tôpô Viện nghiên cứu phát triển công nghệ [7] Nguyễn Huỳnh Phán (2015) Nhập mơn hình học đại số, Bài giảng chuyên đề Cao học chuyên ngành hình học tơpơ [8] Nguyễn Hữu Quang, Đại học Vinh (2005) Bài giảng đại số Lie nhóm Lie [9] Sách giáo khoa phổ thơng (2008): Đại số 10, Hình học 10; Đại số giải tích 11, hình học 11 Giải tích 12, Hình học 12 NXB Giáo dục 58 ... sắc toán phổ thơng nói chung, hình học phổ thơng nói riêng, chúng tơi chọn đề tài luận văn là: “HÌNH HỌC CỦA NHĨM CÁC PHÉP DỜI TRONG MẶT PHẲNG, TRONG KHƠNG GIAN VÀ ỨNG DỤNG CỦA NĨ VÀO GIẢNG DẠY... số nhóm phép dời hình mặt phẳng khơng gian Phần nói ứng dụng chúng giảng dạy tốn phổ thơng PHẦN I: MỘT SỐ TÍNH CHẤT HÌNH HỌC VÀ HÌNH HỌC ĐẠI SỐ CỦA NHĨM CÁC PHÉP DỜI TRONG MẶT PHẲNG VÀ TRONG KHÔNG... NHĨM CÁC PHÉP DỜI HÌNH TRONG MẶT PHẲNG, TRONG KHÔNG GIAN VÀ ỨNG DỤNG CỦA NĨ TRONG GIẢNG DẠY TỐN PHỔ THƠNG Chương nội dung luận văn Nó gồm hai phần Phần trình bày tính chất hình học hình học đại