Tích ngoài của ba vectơ trong không gian và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM NGỌC THÀNH TÍCH NGỒI CỦA BA VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN, NĂM 2020 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM NGỌC THÀNH TÍCH NGỒI CỦA BA VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS TRỊNH THANH HẢI THÁI NGUYÊN, NĂM 2020 i Mục lục Mục lục i Danh mục ký hiệu, chữ viết tắt iv Danh mục hình vẽ v Phần mở đầu 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 Tích ngồi hai vectơ mặt phẳng 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Tính chất 1.1.3 Biểu thức tọa độ tích ngồi hai vectơ 1.1.4 Mối quan hệ tích ngồi tích vơ hướng hai vectơ 1.1.5 Diện tích tam giác 1.1.6 Diện tích hình bình hành 1.1.7 Diện tích tứ giác Tích ngồi ba vectơ khơng gian 1.2.1 Định nghĩa 1.2.2 Tính chất 1.2.3 Biểu thức xác định tích ba vectơ 1.2.4 Điều kiện đồng phẳng ba vectơ khác vectơ không 1.2.5 Tích ngồi ba vectơ hình học Euclid 1.2.6 Thể tích hình hộp ii Vận dụng tích ngồi hai vectơ để giải số tốn hình học phẳng 2.1 2.2 11 Ứng dụng tích ngồi hai vectơ mặt phẳng 11 2.1.1 Hệ thức ba vectơ 11 2.1.2 Công thức cộng cung lượng giác 12 2.1.3 Đường thẳng, giao điểm hai đường thẳng 12 2.1.4 Điều kiện đồng quy ba đường thẳng 2.1.5 Định lý Céva 14 13 Một số ví dụ minh họa ứng dụng tích ngồi hai vectơ q trình giải tốn hình học phẳng 15 Vận dụng tích ngồi ba vectơ để giải số tốn hình học khơng gian 3.1 3.2 25 Ứng dụng tích ngồi ba vectơ khơng gian 25 3.1.1 Thể tích hình tứ diện 25 3.1.2 Điều kiện đồng phẳng cho bốn điểm 26 3.1.3 Phương trình mặt phẳng hình học Euclid 27 3.1.4 Định lý Thales không gian 28 Một số ví dụ minh họa ứng dụng tích ngồi ba vectơ q trình giải tốn hình học khơng gian 29 Kết luận Tài liệu tham khảo 55 57 iii Lời cảm ơn Luận văn thực trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hoàn thành hướng dẫn Phó Giáo sư - Tiến sĩ Trịnh Thanh Hải Tác giả xin trân trọng bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc tới thầy, người tận tình bảo, hướng dẫn, động viên khích lệ tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập nghiên cứu luận văn Qua luận văn này, tác giả xin gửi lời cảm ơn tới Ban Giám hiệu trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm khoa Toán - Tin, giảng viên tham gia giảng dạy tạo điều kiện tốt để tác giả học tập nghiên cứu suốt thời gian qua Tác giả xin cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp tất người quan tâm, động viên giúp đỡ để tác giả hồn thành luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, ngày tháng năm 2020 Tác giả luận văn Phạm Ngọc Thành iv Danh mục ký hiệu, chữ viết tắt → − − (→ a, b) (a, b) S[XY Z] SXY Z → − − → − → − a ↑↑ b (→ a ↑↓ b ) → − → − a b VTCP VTPT BĐT → − − Góc lượng giác hai véc tơ → a, b Góc hai đường thẳng a, b Diện tích đại số XY Z Diện tích hình học XY Z → − − Hai véc tơ → a , b hướng (ngược hướng) → − − Hai vectơ → a , b phương Vectơ phương Vectơ pháp tuyến Bất đẳng thức v Danh mục hình vẽ Hình 1: Hình 2: Hình 3: Hình 4: 14 Hình 5: 15 Hình 6: 16 Hình 7: 17 Hình 8: 18 Hình 9: 19 Hình 10: 20 Hình 11: 22 Hình 12: 23 Hình 13: 26 Hình 14: 28 Hình 15: 29 Hình 16: 30 Hình 17: 31 Hình 18: 35 Hình 19: 36 Hình 20: 37 Hình 21: 38 Hình 22: 39 Hình 23: 40 Hình 24: 41 Hình 25: 42 vi Hình 26: 45 Hình 27: 46 Hình 28: 47 Hình 29: 48 Hình 30: 49 Hình 31: 50 Hình 32: 50 Hình 33: 51 Mở đầu Lý chọn đề tài Trong chương trình giáo dục trung học phổ thơng mơn tốn, nội dung tích ngồi vectơ, mà cụ thể tích ngồi hai vectơ mặt phẳng, tích ngồi ba vectơ không gian chưa đưa vào giảng dạy mà nội dung đề cập đến chương trình mơn tốn dành cho học sinh chun tốn Trong đề thi học sinh giỏi, có nhiều liên quan đến tích ngồi hai vectơ mặt phẳng, tích ngồi ba vectơ khơng gian Xuất phát từ thực tế trên, với mong muốn đưa cách hệ thống kiến thức tích ngồi hai vectơ mặt phẳng, tích ngồi ba vectơ khơng gian ứng dụng khái niệm, tính chất tích ngồi hai vectơ mặt phẳng, tích ngồi ba vectơ không gian để giải số tốn, tác giả lựa chọn đề tài "Tích ngồi ba vectơ không gian ứng dụng" Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu trình bày cách hệ thống tích ngồi hai vectơ mặt phẳng tích ngồi ba vectơ khơng gian Đồng thời trình bày ứng dụng tích ngồi hai vectơ mặt phẳng, tích ngồi ba vectơ không gian Nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn có nhiệm vụ: a Tìm hiểu tích ngồi hai vectơ mặt phẳng: Định nghĩa, tính chất, biểu thức tọa độ tích ngồi hai vectơ, mối quan hệ tích ngồi tích vơ hướng hai vectơ, diện tích tam giác, diện tích hình bình hành, diện tích tứ giác b Tìm hiểu tích ngồi ba vectơ khơng gian: Định nghĩa, tính chất, biểu thức xác định tích ngồi ba vectơ, điều kiện đồng phẳng ba vectơ, tích ngồi ba vectơ hình học Euclid, thể tích hình hộp c Tìm hiểu ứng dụng tích ngồi hai vectơ mặt phẳng tích ngồi ba vectơ khơng gian d Sưu tầm số tốn hình học phẳng, hình học không gian đề thi tuyển sinh Đại học, Cao Đẳng; đề thi THPT Quốc Gia; đề thi chọn học sinh giỏi nước Quốc tế khai thác tính chất tích ngồi hai vectơ, tích ngồi ba vectơ để giải Sau đưa lời giải tốn Nội dung luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo luận văn trình bày ba chương: Chương Một số kiến thức chuẩn bị Chương Vận dụng tích ngồi hai vectơ để vào giải số tốn hình học phẳng Chương Vận dụng tích ngồi ba vectơ vào giải số tốn hình học khơng gian Một cách cụ thể, luận văn trình bày kết tài liệu tham khảo [1] 44 Gọi M giao điểm đường thẳng d mặt phẳng (P ) H hình chiếu M ∆ M (4; −1; −6) Đường thẳng ∆ có VTCP u∆ = [nP , ud ] = (1; −1; 1) 25 M H qua điểmM (4; −1; −6) nhận [u∆ , nP ] = (−11; 5, 16) VTCP x = − 11t nên có phương trình y = −1 + 5t Suy H(4−11t; −1+5t; −6+16t)  z = −6 + 16t Ta thấy ∆, d hai đường thẳng chéo có khoảng cách −−→ |[u∆ , ud ].M H| |3t| t=1 √ nên = √ ⇔ √ = √ ⇔ t = −1 |[u∆ , ud ]| 42 42 42 42 Có hai đường thẳng thỏa mãn điều kiên đầu   x = −7 + t x = 15 + t ∆1 : y = − t , t ∈ R; ∆2 : y = −6 − t ,t ∈ R   z = 10 + t z = −22 + t Ví dụ 3.17 [1] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là√ hình vng, a2 SA⊥(ABCD), SA = a Diện tích tam giác SBC Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a Gọi I, J trung điểm cạnh SB SD Tính khoảng cách hai đường thẳng AI CJ Lời giải Gọi x độ dài cạnh hình vng ABCD (x > 0), có SSBC = SB.BC ⇒ x = a a3 Do VS.ABCD = SA.SABCD = 3 a a a a Chọn hệ trục Axyz cho: A(0; 0; 0); C(a; a; 0); I ; 0; ; J 0; ; 2 2 − → −→ −→ |[AI, CJ].AC| 2a Từ d(AI, CJ) = =√ − → −→ 11 |[AI, CJ]| 45 Ví dụ 3.18 [1] Cho lăng trụ đứng ABC.A B C có ABC tam giác vng cân; AB = AC = a, AA = h (a, h > 0) Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo AB BC ah ah A √ B √ a2 + h2 5a2 + h2 C √ ah 2a2 + h2 Lời giải tác giả Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho: A(0; 0; h), B(a; 0; h), B (a; 0; 0), C (0; a; 0) −−→ −−→ −→ ⇒ AB = (a; 0; −h), BC = (−a; a; −h), AB = (a; 0; 0) −−→ −−→ −→ [AB , BC ].AB ah √ Vậy d(AB , BC ) = = −−→ −−→ a2 + 5h2 |[AB , BC ]| D √ ah a2 + 5h2 46 Ví dụ 3.19 [1] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với mặt phẳng (ABCD), góc đường thẳng SC mặt phẳng (ABCD) 450 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách hai đường thẳng SB AC Lời giải √ Từ giả thiết ta có SCA = 450 ⇒ SA = AC = a Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ ta có: √ O ≡ A(0; 0; 0), S(0; 0; a 2), C(a; a; 0), B(a; 0; 0) √ −→ −→ −→ ⇒ AS(0; 0; a 2), AC(a; a; 0), AB(a; 0; 0) √ −→ −→ −→ a3 Ta có VS.ABCD = 2VS.ABC = [AB, AC].AS = √ −→ Mặt khác BS(−a; 0; a 2) 47 √ −→ −→ −→ |[BS, AC].AB| a 10 = Vậy d(SB, AC) = −→ −→ |[BS, AC]| Ví dụ 3.20 [1] Cho tứ diện OABC có góc tam diện đỉnh O góc tam diện vng OA = OB = OC = Gọi M, N theo thứ trung điểm cạnh AB, OA Tính khoảng cách hai đường thẳng OM CN Lời giải tác giả Chọn hệ trục tọa độ cho O(0; 0; 0), A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1) 1 ⇒ M ( ; ; 0), N ( ; 0; 0) 2 −−→ −→ −−→ 1 ⇒ OM = ( ; ; 0), CN = ( ; 0; −1), OC = (0; 0; 1) 2 −−→ −−→ −→ [OM , CN ].OC Vậy d(OM, CN ) = = −−→ −−→ |[OM , CN ]| 48 Ví dụ 3.21 [1] Cho lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy ABC tam giác cân đỉnh C ; đường thẳng BC tạo với mặt phẳng (ABB A ) góc 600 , AB = AA = a Gọi M, N, P trung điểm cạnh BB , CC , BC Tính khoảng cách hai đường thẳng AM N P theo a Lời giải −−→ Vẽ tia Kt vng góc với A B , với chiều tia chiều với A A −−→ −−→ − → Chọn hệ trục tọa độ K; KC , KA , Kt √ √ a a a 15 a 15 a ; 0; a), C ( ; 0; 0), A(0; ; a) B (0; − ; 0), B(0; − ; a), C( 2√ 2 √ a a a 15 a a 15 a ⇒ M (0; − ; ), N ( ; 0; ), P ( ; − ; a) 2 4 √2 √ −−→ −−→ a 15 a a −−→ a 15 a ⇒ C B = (− ; − ; a), AM = (0; −a; − ), M N = ( ; ; 0) 2 2 49 −−→ −−→ −−→ √ [AM , C B].M N a 15 Vậy d(AM, N P ) = = −−→ −−→ |[AM , C B]| Ví dụ 3.22 [1] Cho tứ diện ABCD tích V , điểm P tứ diện Trên AP, BP, CP, DP kéo dài phía P ngồi phía tứ diện, lấy điểm tùy ý A1 , B1 , C1 , D1 Bốn mặt phẳng qua A1 , B1 , C1 , D1 song song tương ứng với mặt BCD, CDA, DAB, ABC cắt tạo thành tứ diện A B C D tích V Lần lượt nối điểm A1 , B1 , C1 , D1 với đỉnh tam giác BCD, CDA, DAB, ABC tương ứng để thập nhị diện (các mặt tam giác) tích V1 Chứng minh (V1 )3 = V V Lời giải 50 Trước hết ta dễ dàng chứng minh rằng: Hai tam giác ABC A B C đồng dạng phối cảnh khơng gian thể tích khối đa diện ABCA B C tính theo SABC h.(k + k + 1) cơng thức VABCA B C = (1) k tỷ số đồng dạng, h khoảng cách hai mặt phẳng qua hai tam giác, SABC diện tích tam giác ABC (hình 5) Trở lại tốn, ta gọi V thể tích tứ diện tạo thành A B C D ; SBCD , SCDA SDAB , SABC diện tích tam giác BCD, CDA, DAB, ABC ; hBCD , hCDA , hDAB , hABC khoảng cách mặt phẳng qua tam giác BCD B C D , CDA C D A , DAB D A B , ABC A B C Ta nhận thấy hai tứ diện ABCD A B C D đồng dạng phối cảnh theo tỷ số k (có mặt tương ứng song song) Vậy V = k V (2) Áp dụng cơng thức (∗) ta có: SBCD hBCD (k + k + 1) VBCDB C D = SCDA hCDA (k + k + 1) VCDAC D A = SDAB hDAB (k + k + 1) VDABD A B = SABC hABC (k + k + 1) VABCA B C = Từ ta tính được: V = V + VBCDB C D + VCDAC D A + VDABD A B + VABCA B C = V + (SBCD hBCD + SCDA hCDA + (k + k + 1) SDAB hDAB + SABC hABC ) 51 Kết hợp với (2) ta có: (k + k + 1) k V = V +(SBCD hBCD +SCDA hCDA +SDAB hDAB +SABC hABC ) Hay V (k − 1) = (SBCD hBCD + SCDA hCDA + SDAB hDAB + SABC hABC ) = V1 − V Vậy ta có V1 = V.k Từ (2) ta có cơng thức cần chứng minh Ví dụ 3.23 [6] Cho tứ diện ABCD, D0 trọng tâm tam giác ABC Những đường thẳng song song với D0 D qua A, B, C tương ứng cắt mặt phẳng (BCD),(CAD), (ABD) A0 D, B0 D, C0 D Chứng minh thể tích tứ diện ABCD phần ba thể tích tứ diện A0 B0 C0 D0 Nếu D0 điểm tùy ý nằm bên tam giác ABC , liệu kết có cịn khơng? Lời giải Cách 1: Phương pháp tổng hợp Ta giải toán trường hợp tổng quát, D0 điểm tùy ý tam giác ABC Giả sử đường thẳng song song với D0 D qua A, B, C tương ứng cắt mặt phẳng (BCD),(CAD), (ABD) A0 D, B0 D, C0 D Trong tam giác ABC , ta dựng đường thẳng AD0 , BD0 , CD0 ; chúng cắt cạnh đối diện A ,B , C Dễ thấy A0 D giao tuyến mặt phẳng (DBC) mặt phẳng xác định hai đường thẳng song song AA0 DD0 Ta lại có A điểm chung hai mặt phẳng Do A0 ,D,A thẳng hàng Hồn tồn tương tự ta có B0 , D, B thẳng hàng C0 , D, C thẳng hàng Tại đỉnh A , B , C ta đặt trọng lượng x, y, z cho trọng tâm chúng 52 D0 Chẳng hạn, ta đặt cho z CA y BC x AB = , = , = Có thể BC x AB z CA y CA ta lấy: x = BC , y = AB , AB = z AB S(AC B ) AB AC yz Ta có: = = Tương tự ta có: S(ABC) AB.AC (x + y)(x + z) S(A B C) S(BC A ) xz xy = = S(ABC) (y + x)(y + z) S(ABC) (x + z)(z + y) S(A B C ) xy yz xz Từ = 1− − − S(ABC) (x + z)(z + y) (x + y)(x + z) (y + x)(y + z) 2xyz = (x + y)(y + z)(z + x) Vì hai tứ diện ABCD A B C D có chung đường cao nên 2xyz VABCD SA B C = (∗) = VA B C D SABC (x + y)(y + z)(z + x) A D0 AD x = Ngồi ta có: = tương tự: DA0 D0 A y+z BD y CD z = , = DB0 x + z DC0 x+y Do góc tam diện D.A B C D.A0 B0 C0 nên thể tích tứ diện A B C D A0 B0 C0 D tỉ lệ với tích cạnh bên, tức là: VA B C D A D.B D.C D xyz = = (∗∗) V A0 B C D A0 D.B0 D.C0 D (x + y)(y + z)(z + x) VABCD VA B C D Từ (∗) (∗∗) cho ta: =2 , hay VA0 B0 C0 D = 2VABCD VA B C D V A0 B C D Bây giờ, ta chuyển chỗ trọng lượng tam giác ABC cho y+z x+z điểm A có trọng lượng , điểm B có trọng lượng 2 x+y Khi trọng tâm D0 điểm C có trọng lượng Tiếp đến, ta đặt đỉnh A0 , B0 , C0 trọng lượng tương ứng x y z , , Lúc đó, trọng tâm cặp điểm (A0 , A ) điểm D, vì: 2 y+z A0 D AD0 y+z = = = x DA D0 A x Tương tự thế, trọng tâm cặp điểm (B0 , B ),(C0 , C ) điểm D Mặt khác, trọng tâm điểm A , B , C D0 trọng khối x + y + z Còn trọng tâm điểm A0 , B0 , C0 nằm 53 mặt mặt phẳng (A0 B0 C0 ), đồng thời nằm đường thẳng x+y+z Do D0 D, tức điểm D0 , trọng khối D0 D D D0 = = DD DD Điều có nghĩa tỉ số đường cao hạ từ điểm D0 D lên mặt phẳng (A0 B0 C0 ) Nhưng tứ diện A0 B0 C0 D A0 B0 C0 D0 có chung đáy A0 B0 C0 nên từ ta suy ra: VA0 B0 C0 D0 = V A0 B C D Theo chứng minh ta lại có VA0 B0 C0 D = 2VABCD Vì vậy: VA0 B0 C0 D0 = 3VABCD , điều phải chứng minh Cách 2: Phương pháp sử dụng tích ngồi ba véctơ Chọn D làm điểm gốc hệ trực chuẩn cho véctơ −−→ −−→ −−→ −−→ DA, DB, DC a, b, c tương ứng Khi đó, véctơ DD0 pa + q b + rc, với p + q + r = p, q, r > Vì vậy, điểm nằm đường thẳng qua A song song với −−→ D0 D có: DA = a + s(pa + q b + rc), điểm nằm mặt phẳng (DBC) s = − p Mà ta có A0 thỏa mãn điều kiện nên: −−→ r q DA0 = − b − c p p −−→ −−→ Tương tự, vectơ DB0 DC0 tương ứng là: p r p q − a − c − a − b q q r r → − 1→ −c ] thể tích A B C D Thể tích ABCD [− a , b ,→ 0 0 q r p r pa + q + b+ r+ c, p + a + qb + r + c, p p q q p q , p+ a+ q+ b + rc r r Suy tỉ số thể tích ABCD thể tích A0 B0 C0 D0 giá trị tuyệt đối định thức: 54 r q r+ p p r p q r+ p+ q q p q p+ q+ r r r ta tính giá trị + p + q + r = 3, điều phải chứng minh p q+ 55 Kết luận Tích ngồi ba vectơ khơng gian hàm số thực tuyến tính phản xứng Tích ngồi ba vectơ trường hợp đặc biệt tích hỗn tạp ba vectơ hình học Euclid sở trực chuẩn thuận Luận văn "Tích ngồi ba vectơ khơng gian ứng dụng" hoàn thành nhiệm vụ: Tìm hiểu tích ngồi hai vectơ mặt phẳng: Định nghĩa, tính chất, biểu thức tọa độ tích ngồi hai vectơ, mối quan hệ tích ngồi tích vơ hướng hai vectơ, diện tích tam giác, diện tích hình bình hành, diện tích tứ giác; tìm hiểu tích ngồi ba vectơ khơng gian: Định nghĩa, tính chất, biểu thức xác định tích ngồi ba vectơ, điều kiện đồng phẳng ba vectơ, tích ngồi ba vectơ hình học Euclid, thể tích hình hộp Minh họa ứng dụng tích ngồi hai vectơ mặt phẳng qua hình học phẳng từ số báo tác giả Nguyễn Minh Hà, Nguyễn Thúc Hào đăng Tạp chí Tốn học Tuổi trẻ [1] tài liệu tham khảo khác giải cách sử dụng tích ngồi hai vectơ Để làm rõ số ứng dụng thú vị tích ngồi ba vectơ không gian Luận văn sưu tầm 34 tập hình học khơng gian từ nhiều số Tạp chí Tốn học Tuổi trẻ [1] tài liệu tham khảo khác luận văn giải cách sử dụng tích ngồi ba vectơ 56 Với tinh thần cầu thị, sửa chữa sai sót, tác giả mong muốn nhận bảo, đóng góp thầy, giáo để tác giả tiếp tục hoàn thiện luận văn tìm hiểu trở trường giảng dạy sau 57 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Tạp chí Tốn học Tuổi trẻ, NXB Giáo dục Việt Nam (Các số: 142,143,146,152,162,163,413,434,449,455,457,461,466,474,488,499,503) [2] Tuyển chọn đề thi Olympic 30 tháng 4, lần thứ XV-2009, NXB Đại học sư phạm Hà Nội [3] Nguyễn Minh Hà, Nguyễn Xuân Bình (2015),Bài tập nâng cao số chuyên đề hình học lớp 10, NXB Giáo dục Việt Nam [4] Nguyễn Minh Hà (2015), Hình học phẳng định hướng, NXB Dân trí [5] Trần Thành Minh (1996), Giải tốn hình học, NXB Giáo dục Việt Nam [6] Vũ Dương Thụy, Nguyễn Văn Nho (2002), 40 năm Olympic Toán học Quốc tế, NXB Giáo dục Việt Nam Tiếng Anh [7] Antonio Galbis, Manuel Maestre (2012), Vector Analysis Versus Vector Calculus, Springer Science + Business Media [8] B.Cvetkov (1965),"A New Numerical Methor of Solving a Space Triangle", The Mathematical Gazette,Vol.49, No.368, pp.155-160 [9] Daniel Fleisch (2008), A Student’s Guide to Vectors and tensors, Cambridge University Press 58 [10] Kin Y.Li (2002), "Vecto geometry", Mathematical Excalibur, Vol.6, No.5, pp.2-4 [11] Kin Y.Li (2005), "Famous Geometry Theorems", Mathematical Excalibur, Vol.10, No.3, pp.4 ... họa ứng dụng tích ngồi hai vectơ q trình giải tốn hình học phẳng 15 Vận dụng tích ngồi ba vectơ để giải số tốn hình học khơng gian 3.1 3.2 25 Ứng dụng tích ngồi ba vectơ không gian. .. vectơ mặt phẳng, tích ngồi ba vectơ khơng gian ứng dụng khái niệm, tính chất tích ngồi hai vectơ mặt phẳng, tích ngồi ba vectơ khơng gian để giải số toán, tác giả lựa chọn đề tài "Tích ngồi ba. .. vectơ, điều kiện đồng phẳng ba vectơ, tích ngồi ba vectơ hình học Euclid, thể tích hình hộp c Tìm hiểu ứng dụng tích ngồi hai vectơ mặt phẳng tích ngồi ba vectơ không gian d Sưu tầm số tốn hình