Rèn luyện cho học sinh kỹ năng khai thác và phát triển một tính chất đồng phẳng của ba vectơ trong không gian

Mục lục Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài……………………………………………… 1.2 Mục đích nghiên cứu ……………………………………… 1.3 Đối tượng nghiên cứu………………………………………… 1.4 Phương pháp nghiên cứu …………………………………… Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm …………………… 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm… 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề……………… 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường…………………… Kết luận, kiến nghị 3.1 Kết luận……………………………………………………… 3.2 Kiến nghị…………………………………………………… Tài liệu tham khảo………………………………………………… Danh mục đề tài SKKN đánh giá đạt từ loại C trở lên Trang Trang Trang Trang Trang Trang Trang Trang Trang Trang Trang 11 Trang 12 Trang 12 Trang 13 Trang 14 Trang 15 MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Phần tốn hình học khơng gian Đặc biệt phần vectơ không gian quan hệ chúng phần khó học sinh, phần mà học sinh “ngại học” Gặp dạng toán học sinh thường lúng túng bở ngỡ Việc học sinh nắm cách giải, cách phát triển toán phần giúp củng cố kiến thức, rèn luyện kỹ Qua vận dụng vào dạng tốn khác cách nhanh nhạy, linh hoạt mở rộng khả tư trừu tượng Cũng có tài liệu tham khảo có đề cập đến tốn liên quan đến vectơ khơng gian song chúng thường điểm qua Do đó, học sinh lúng túng gặp toán vào cụ thể Với mong muốn trang bị cho học sinh cách nhìn đơn giản quan hệ ba vectơ không gian từ đồng phẳng ba vectơ ta khai thác, phát triển ứng dụng tính chất ba vectơ đồng phẳng để giải số tốn liên quan, tơi lựa chọn nghiên cứu triển khai thực đề tài: “Rèn luyện cho học sinh kỹ khai thác phát triển tính chất đồng phẳng ba vectơ khơng gian” 1.2 Mục đích nghiên cứu Hệ thống cho học sinh số tập ứng dụng tính chất ba vectơ đồng phẳng, tơi trình bày cách giải phương pháp giải tương ứng số , từ cách giải làm nội bật lên ứng dụng phương pháp dùng tính chất ba vectơ đồng phẳng, làm cho đa số học sinh tiếp thu vận dụng 1.3 Đối tượng nghiên cứu Bài toán liên quan đến ứng dụng tính chất ba vectơ đồng phẳng; phương pháp giải toán 1.4 Phương pháp nghiên cứu Đề tài sử dụng phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lí thuyết phương pháp khảo sát thực tế, thu thập thông tin NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Ngoài kiến thức vectơ mà sách giáo khoa trình bày, đề tài cịn sử dụng kiến thức sau: r r r Kiến thức cần nhớ: 1) Nếu a, b, c ba vectơ không đồng phẳng r r r r ma  nb  pc  m  n  p  ur 2) Nếu ba vectơ không đồng phẳng với với vectơ d , ta tìm ur r r r số m, n, p cho d  ma  nb  pc Hơn nữa, số m, n, p Tơi cho học sinh tự chứng minh tốn Trong không gian cho tam giác ABC a Chứng minh điểm M thuộc mp( ABC ) có ba số  ,  ,  mà uuuu r uuu r uuu r uuur       cho OM   OA   OB   OC với O b Ngược lại, có điểm O khơng gian cho , điểm M thuộc mp( ABC ) (Trong sách giáo khoa Hình học nâng cao lớp 11 nhà xuất giáo dục trang 91 tập 5) 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Đối với mảng kiến thức vectơ, thông thường học sinh giải tốt tập đơn giản như: chứng minh đẳng thức; phân tích vectơ theo ba vectơ; chứng minh hai vectơ vng góc; xác định góc hai vectơ Với tốn tính đồng phẳng ba vectơ ứng dụng để chứng minh đẳng thức hình học khơng gian, em thường lúng túng tìm hướng giải Vướng mắc em gặp phải cách biểu thị vectơ theo ba vectơ lại Với học sinh biểu thị khơng vận dụng tính chất đồng phẳng, để từ suy đẳng thức cần chứng minh Do đó, học sinh thường khơng giải tốn hay giải chật vật, kể với học sinh mức Và gặp dạng tập đề thi, em có xu hướng bỏ qua, dẫn tới kết thi không cao 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề Để khắc phục tình trạng trên, đầu tiên, tơi giới thiệu cho học sinh khái niệm ba vectơ đồng phẳng, tính chất liên quan đặc biệt cho học sinh chứng minh tốn Tơi nhấn mạnh đến xuất ba số có tổng Sau đó, tơi đưa ví dụ liên quan cách chứng minh Cho học sinh nhận xét cách giải Chỉ ưu điểm nhược điểm cách Với cách làm vậy, học sinh dễ dàng thấy vai trò phương pháp dùng tính chất ba vectơ đồng phẳng, điểm thuộc mặt phẳng Qua nâng cao tư duy, đến mức đó, em hồn tồn tự làm tập khó Cụ thể, tơi đưa toán sau đây: Bài toán 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi K trung điểm cạnh SC Mặt phẳng qua AK cắt cạnh SB, SD M N Chứng minh : SB SD  3 SM SN Trước tiên cho học sinh giải tốn cách thơng thường Lời giải Cách 1: Gọi O  AC �BD, I  SO �AK S Hỏi ? Điểm I điểm đặc biệt tam giác SAC? Suy I trọng tâm tam giác SAC I �MN Hỏi ? Chứng minh SB SD SO   ? SM SN SI K N Xét tam giác SBD, từ B D kẻ đường thẳng song song với đường thẳng MN cắt đường thẳng SO E F Giả sử E thuộc đoạn IO Ta có SB SE SO  OE   SM SI SI SD SF SO  OF   OE  OF SN SI SI SB SD SO     Suy SM SN SI I M D C O A B S N (đpcm) I M B E O D F Cho học sinh nhận xét làm Tơi phân tích cách làm nêu ưu, nhược điểm Sau đưa cách giải phương pháp ứng dụng tập Cách 2: Lời giải uur r uur r uuu r r SB r r r SD  m,  n Ta có a, b, c không đồng phẳng SM SN mn 3 Ta cần chứng minh uuur uuu r uuu r r r r Hỏi ? Biểu thị SM , SN , SK qua a, b, c ? Đặt SA  a, SB  b, SD  c, Ta có uuur uur r uuu r uuu r 1r SM  SB  b, SN  SD  c, m m n n uuu r uuu r uuu r uuur uuu r uuu r r r r SK  SC  SD  DC  SD  AB  c  b  a 2 2       Hỏi ? A, M, K, N đồng phẳng nên theo tập ta có điều gì? Theo giả thiết A, M, K, N đồng phẳng nên theo tập ta có tồn uuu r uur uuur uuu r  ,  ,  với       thoả mãn SK   SA   SM   SN r r r r r r � c  b  a   a  b  c khơng đồng phẳng nên ta có m n � 1 � 1   � � 2 � � 1 m n � � m � �  � �  �    1�    � m  n  (đpcm ) m 2 2 � � � � n  �n  � � �   Nếu học sinh lớp 12 đưa cách giải tốn phương pháp tỉ số thể tích Cách 3: Lời giải Gọi O  AC �BD, I  SO �AK S Hỏi ? Điểm I điểm đặc biệt tam giác SAC? Suy I trọng tâm tam giác SAC I �MN Gọi V thể tích khối chóp S.ABCD K VSIMK VSINK VSMNK ; ; theo SOBC VSOCD VSBCD Hỏi ? Tính tỉ số thể tích V cạnh? N I M D VSIMK VSIMK SI SM SK   Ta có VSOBC V SO SB SC C O A B VSINK VSINK SI SN SK   VSOCD SO SD SC V V V V  VSINK V SM SK SN � SIMK  SINK  SIMK  SMNK  VSOBC VSOCD V SB SC SD SBCD V SI SM SK SI SN SK SM SK SN   Suy (1) SO SB SC SO SD SC SB SC SD SB SD SO   Hỏi ? Chứng minh ? SM SN SI SB SC SD SO Nhân hai vế (1) với ta SM SK SN SI SO SB SD  suy   (đpcm) Mà SI SM SN Để củng cố tơi đưa tốn tương tự Tơi cho học sinh phân tích cách làm nêu ưu, nhược điểm cách Tôi nhấn mạnh cách giải việc ứng dụng tốn nên Tơi cho học sinh phát triển tốn dạng hỏi theo hình thức trắc nghiệm như: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi K trung điểm canh SC Mặt phẳng qua AK cắt cạnh SB, SD M N Khi tổng A SB SD  SM SN B C D Bài toán 2: Đề thi chọn học sinh giỏi Toán cấp tỉnh Thanh Hóa năm học 2017 -2018 Cho tứ diện SABC có SA  SB  SC  Một mặt phẳng ( ) thay đổi qua trọng tâm G tứ diện, cắt cạnh SA, SB, SC A ', B ', C ' Chứng minh biểu thức T  1   có giá trị khơng đổi SA ' SB ' SC ' Lời giải uuur uuur uuur uuuu r uuuu r Hỏi? Nêu mối quan hệ vectơ MS , MA, MB, MC MG ? Vì G tâm tứ diện SABC nên ta có tính chất , với M nột điểm tùy uuuu r uuur uuur uuur uuuu r MG  MS  MA  MB  MC ý   Áp dụng tính chất cho M trùng với S ta uuu r uur uur uur uuu r uur uur uuu r SG  SS  SA  SB  SC  SA  SB  SC 4 uur SA uuur u u u r uur SB uuur r SC uuur 1 uuur uuu uuur SA '  SA ', SB  SB '  SB ', SC  SC '  SC ' Lại có SA  SA ' SA ' SB ' SB ' SC ' SC '     uuu r Do SG  uuur uuur uuur SA '  SB '  SC ' SA ' 4SB ' 4SC ' Vì bốn điểm A ', B ', C ', G đồng phẳng nên phải có 1    � T  4 SA ' SB ' SC ' Tôi cho học sinh phát triển tốn dạng hỏi theo hình thức trắc nghiệm như: Cho tứ diện SABC có SA  SB  SC  Một mặt phẳng ( ) thay đổi qua trọng tâm G tứ diện, cắt cạnh SA, SB, SC A ', B ', C ' Giá trị biểu thức T  1   SA ' SB ' SC ' A B C D Bài toán 3: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi B’, D’ trung điểm cạnh SB, SD Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC C’ Chứng minh SC = 3SC’ Lời giải S uur r uur r uuu r r SC ' m SC Ta cần chứng minh m  r r r uuur Hỏi ? Biểu thị vectơ SC ' qua a, b, c ? uuur r uuur r Ta có SB '  b, SD '  c 2 Đặt SA  a, SB  b, SD  c, C' D' B' A uuur uuu r uur uuur uur uuur r r r r r r SC '  mSC  m SB  BC  m SB  AD  m b  a  c   ma  mb  mc     C D   B Hỏi ? Tìm mối quan hệ m với  ,  ,  ? Theo giả thiết A, B’, C’, D’ đồng phẳng nên tồn  ,  ,  với       thoả mãn uuur uur uuur uuur r r r r r r SC '   SA   SB '   SD ' �  ma  mb  mc   a  b  c (*) 2 Hỏi ? Tìm m ? r r r a, b, c khơng đồng phẳng nên ta có � �   m   m � � � � (*) � �  m � �  2m �2 �   2m � � m � �2       nên m  2m  2m  � m  ( đpcm ) Tôi cho học sinh phát triển tốn dạng hỏi theo hình thức trắc nghiệm như: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi B’, D’ trung điểm cạnh SB, SD Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC C’ Tính tỉ số A SC ? SC ' B C D Bài tốn 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Một mặt phẳng (P) cắt SA, SB, SC, SD K, L, M, N Chứng minh rằng: SA SC SB SD    SK SM SL SN Lời giải S Cách 1: HD Áp dụng chứng minh cách toán Gọi O  AC �BD, I  KM �LN L N SA SC SO SB SD 2SO   ;   Ta chứng minh SK SM SI SL SN SI GV: Gọi học sinh lên bảng làm Cách 2: Đặt M K B A C D uur r uur r uuu r r SA SC SB SD SA  a, SB  b, SD  c,  x,  y,  m,  n SK SM SL SN Hỏi ? Ta cần chứng minh điều ? Ta chứng minh x  y  m  n r 1r �uuu SK �  xa � r r r r r r r �uur r uuur uuu uuur Hỏi ? Biểu thị SM qua a, b, c ? �SL  b , SM  SC  a  b  c m y y � u u u r r � �SN  n c � uuur uuu r uur uuu r Hỏi ? Tìm mối liên hệ vectơ SM , SK , SL, SN ?   Theo giả thiết K, L, M, N đồng phẳng nên tồn  ,  ,  với       uuur uuu r uur uuu r 1 r 1r 1r r r r thoả mãn SM   SK   SL   SN � y a  y b  y c  x a  m b  n c �  1 �  x  �x  y � y � � � � m � �  �  �m y � y � � n  �  � �n y � y r r r a, b, c khơng đồng phẳng nên ta có x m n Vì       � y  y  y  �  x  m  n  y � x  y  m  n (đpcm) Tôi cho học sinh phát triển tốn dạng hỏi theo hình thức trắc nghiệm như: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Một mặt phẳng (P) cắt SA, SB, SC, SD K, L, M, N Đẳng thức sau SA SC SB SD  SK SM SL SN SA SC SB SD    C SK SM SL SN A SA SC SB SD    SK SM SL SN SA SB SC SD  D SK SL SM SN B Bài toán 5: Cho hình chóp S.ABC G trọng tâm tam giác ABC Một mặt phẳng (P) cắt cạnh SA, SB, SC, SG theo thứ tự A’, B’, C’, G’ Chứng minh SA SB SC 3SG    SA ' SB ' SC ' SG ' Lời giải Cách Hỏi ? Đặt ba vectơ không đồng phẳng ? uur r uur r uuu r r Đặt SA  a, SB  b, SC  c, , S A' C' SA SB SC SG  x,  y,  z, m SA ' SB ' SC ' SG ' G' B' A C G B Hỏi ? Ta cần chứng minh điều ? Ta chứng minh x  y  z  3m r r r Hỏi ? Biểu thị qua a, b, c ? �uuur r �SA '  x a � �uuur r Ta có �SB '  b y � �uuur r �SC '  c � z uuur uuu r 1� r uur uur uuu SG '  SG  � SA  SB  SC m m� uur uur uuu r uuu r nên SA  SB  SC  3SG )  r r r  �  a  b  c � � 3m ( G trọng tâm tam giác ABC uuur uuur uuur uuur Hỏi ? Tìm mối liên hệ véc tơ SG ', SA ', SB ', SC ' ? Theo giả thiết A’, B’, C’, G’ đồng phẳng nên tồn  ,  ,  với       uuur uuur uuur uuur r r r r r r � a  b  c  a  b  c thoả mãn SG '   SA '   SB '   SC ' 3m x y z   khơng đồng phẳng nên ta có � x �  �x  3m � 3m � � y � � � �  �  �y 3m � 3m z � �  �  � � 3m �z 3m Vì       nên x y z    hay x  y  z  3m 3m 3m 3m (đpcm) Cách Tôi hướng dẫn học sinh giải toán cách ứng dụng tỉ số thể tích V V V SA ' B ' G ' ; SB 'C 'G ' ; SA 'C 'G ' theo cạnh? Hỏi ? Tính tỉ số thể tích V VSBCG VSACG SABG Gọi V thể tích khối tứ diện S.ABC VSA ' B 'G ' VSA ' B 'G ' SA ' SB ' SG ' VSB 'C 'G ' VSB 'C 'G ' SB ' SC ' SG '   ,   1 Ta có VSABG SA SB SG VSBCG SB SC SG , V V 3 VSA 'C 'G ' VSA 'C 'G ' SA ' SC ' SG '   , VSACG SA SC SG V 10 VSA ' B 'G '  VSB 'C 'G '  VSA 'C ' G ' V  SA ' B 'C ' Mặt khác VSABC V SA ' SB ' SG ' SB ' SC ' SG ' SA ' SC ' SG ' SA ' SB ' SC ' �    SA SB SG SB SC SG SA SC SG SA SB SC SA SB SC SG SA SB SC 3SG    Nhân hai vế đẳng thức với ta SA ' SB ' SC ' SG ' SA ' SB ' SC ' SG ' ( đpcm) Tôi cho học sinh phát triển toán dạng hỏi theo hình thức trắc nghiệm như: Cho hình chóp S.ABC G trọng tâm tam giác ABC Một mặt phẳng (P) cắt SA, SB, SC, SG theo thứ tự A’, B’, C’, G’ Đặt SA SB SC SG   m Khi giá trị m SA ' SB ' SC ' SG ' A B C D BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Cho hình tứ diện ABCD Gọi A’, B’, C’, D’ điểm chia đoạn AB, BC, CD, DA theo tỉ số k, tức là: uuuur uuuur uuuur uuuur uuuur uuuur uuuuu r uuuur A ' A  k A ' B, B ' B  k B ' C , C ' C  kC ' D, D ' D  k D ' A Với giá trị k điểm A’, B’, C’, D’, đồng phẳng Bài 2: Cho hình chóp tam giác S.ABC M điểm nằm tam giác ABC Các đường thẳng qua M, song song với AS, BS, CS, theo thứ cắt mặt phẳng (SBC), (SCA), (SAB) A’, B’, C’ Chứng minh tổng MA ' MB ' MC '   khơng phụ thuộc vào vị trí M SA SB SC tam giác ABC Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành M trung điểm SC Một mặt phẳng (P) chứa AM cắt cạnh SB, SD SB ' SD ' �  � SB SD 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Sau áp dụng đề tài vào giảng dạy trường THPT Quảng Xương IV, bước đầu thu số kết khả quan Học sinh có tiến rõ rệt, thể qua chất lượng kì thi khảo sát đặc biệt học sinh giải số tốn vectơ Đa số học sinh trung bình trở lên giải điểm B', D' khác S Chứng minh rằng: 11 toán Các em bắt đầu yêu thích, hào hứng chinh phục tốn lớp tập này, khơng cịn tâm lí bỏ qua gặp chúng Học sinh khá, giỏi không dừng lại dạng tập giới thiệu mà biết áp dụng cách tư “quy lạ quen” để giải toán phức tạp hơn, bước nâng cao tư khả vận dụng linh hoạt kiến thức học Thơng qua đó, chất lượng giảng dạy mơn Tốn nói riêng chất lượng giáo dục nói chung ngày nâng cao Đề tài thảo luận, đánh giá tổ chuyên môn đồng nghiệp áp dụng công tác giảng dạy Tất có phản hồi tích cực hiệu đề tài Không vậy, việc giải nội dung hạn chế đề tài lại nguồn cảm hứng cho đồng nghiệp việc nghiên cứu khoa học Từ đó, phong trào nghiên cứu khoa học, trau dồi kiến thức, bồi dưỡng nghiệp vụ ngày trọng Kết thực nghiệm Sau thử nghiệm dạy nội dung đề tài cho 30 em học sinh – giỏi lớp 11A 11B (mỗi lớp 15 em), tiến hành cho em làm kiểm tra với nội dung câu Tôi thu kết sau: Biến đổi giả thiết Giải Câu Lớp toán toán 11A 15/15 15/15 11B 15/15 15/15 11A 15/15 15/15 11B 15/15 14/15 11A 15/15 14/15 11B 15/15 13/15 11A 15/15 13/15 11B 14/15 12/15 11A 15/15 14/15 11B 14/15 11/15 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Qua đề tài thu số học: - Phải cho học sinh tiếp xúc với nhiều toán với cách giải khác - Rèn luyện cho học sinh phân tích tốn để tìm lời giải tối ưu - Rèn luyện cho học sinh cách trình bày cách chặt chẽ, đọng 12 - Việc cho học sinh tiếp cận với lớp tập hệ thống, phân dạng, có phương pháp giải xếp từ dễ đến khó giúp em khắc phục tâm lí “sợ” tốn khó, tạo hứng thú học tập, đặc biệt học sinh khơng thực có tính sáng tạo cao, tư khơng thật tốt, học sinh có lực học trung bình trở xuống, bước cải thiện điểm số em Đặc biệt, đề tài hữu dụng với học sinh đặt mục tiêu điểm 8, kì thi TNTHPT Quốc gia Nó tài liệu tham khảo hữu ích giáo viên dạy ơn chun đề thi học sinh giỏi 3.2 Kiến nghị Tuy nhiên, thời gian có hạn nên phạm vi viết, giải số tập Cịn số dạng tốn ứng dụng tính chất ba vectơ đồng phẳng phức tạp hơn, chưa giải Mong bạn đồng nghiệp đóng góp ý kiến để có cách khác thác tốt cho toán thuộc thể loại XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG Thanh Hóa, ngày 10 tháng năm 2021 ĐƠN VỊ Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Lê Duy Lâm 13 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Sách giáo khoa Hình học nâng cao nhà xuất giáo dục Việt Nam [2] Đề thi chọn học sinh giỏi Tốn cấp tỉnh Thanh Hóa năm học 2017 -2018 [3] Báo Toán học tuổi trẻ 14 DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Lê Duy Lâm Chức vụ đơn vị công tác: Tổ trưởng chun mơn tổ Tốn - Tin Kết Cấp đánh giá đánh giá xếp loại TT Tên đề tài SKKN (Ngành GD cấp xếp loại huyện/tỉnh; Tỉnh ) (A, B, C) Vai trò hệ số góc, phương trình tham số hình học giải tích mặt phẳng Sở giáo dục đào tạo Thanh Hóa C Vài kỹ thuật nhận dạng tam giác Sở giáo dục đào tạo Thanh Hóa C Sở giáo dục đào tạo Thanh Hóa C Hướng dẫn học sinh kỹ thuật chứng minh bất đẳng thức chương trình Tốn học trường THPT Quảng Xương nhằm nâng cao hiệu dạy học Hướng dẫn học sinh kỹ thuật chọn hệ số điều chỉnh tích phân phần nhằm nâng cao hiệu giảng dạy học chương trình Sở giáo dục đào tạo Thanh Hóa C Năm học đánh giá xếp loại Số: 932/QĐSGD&ĐT ngày 11/ 9/ 2008 Số: 539/QĐSGD&ĐT ngày 18/10/ 2011 Số: 743/QĐSGD&ĐT ngày 04/11/ 2013 Số: 988/QĐSGD&ĐT ngày 03/11/ 15 mơn Tốn lớp 12 trường THPT Quảng Xương 2015 16 ... ta khai thác, phát triển ứng dụng tính chất ba vectơ đồng phẳng để giải số tốn liên quan, tơi lựa chọn nghiên cứu triển khai thực đề tài: ? ?Rèn luyện cho học sinh kỹ khai thác phát triển tính chất. .. vectơ không gian song chúng thường điểm qua Do đó, học sinh lúng túng gặp toán vào cụ thể Với mong muốn trang bị cho học sinh cách nhìn đơn giản quan hệ ba vectơ không gian từ đồng phẳng ba vectơ. .. hình học khơng gian Đặc biệt phần vectơ không gian quan hệ chúng phần khó học sinh, phần mà học sinh “ngại học? ?? Gặp dạng toán học sinh thường lúng túng bở ngỡ Việc học sinh nắm cách giải, cách phát