Hình học afin và hình học ơclít những ví dụ và bài tập phần 2

Trang 1

PHAN THU HAI

HINH HOC OCLIT

Trang 2

§1 KHƠNG GIAN VEC TO OCLIT

1 Tích vơ hướng và không gian véc tơ Oclit

Định nghĩa Cho không gian véc to thực V và một ánh xạ

n:VxV ® mà ta kí hiệu n(X, ÿ) = šÿ hoặc Ä.ÿ Nếu ánh xạ này thoả mãn bốn điểu kiện sau thì ta gọi n là một

hàm tích vơ hướng hay một tích vơ hướng trên Vv

@ RY =H;

Gi) (%, + 8) = FF + RV ECVit V)= RVi+ X Ia Gii) (kx) ¥ = k( ÿ)= X&ÿ); *

(iv) #š# >0và ##=0 thì § =Ũ

(với mọi 8, #¡„,#¿, ÿ, Ÿ„; ÿ;e V và mọi k e R)

Số thực &.ÿ gọi là tích vô hướng của hai véc tơ %, ÿ Cặp

E = (Œ, n) gọi là một không gian véc tơ Gclit Ba điều kiện @),

(i), (ii) néi lên rằng n là một dạng song tuyến tính đối xứng trên V Điều kiện (v) nói lên rằng n là dạng song tuyến tính

xác định dương Dưới đây ta xét các véc tơ trong E

Tích vơ hướng š.š được kí hiệu là š°và gọi là bình

phương uô hướng của: # Số thực V§? được kí hiệu là | và

gọi là médun (hay độ dài) của š Như thế |

Jx| = =1 thì š gọi là véc to don vi

Trang 3

Nếu x y¥ =0 ta ndi X true giuo với ý và viết x L ý Một hệ véc tơ {ä,, ả,} mà ä,L a, (@ # j) được gọi là hệ trực giao, Một hệ trực giao mà mọi véc tơ của hệ đều là véc tơ đơn vị

được gọi là bệ (rực chuẩn

Nếu dùng kí hiệu Kronecker:

3 = ñ VỚI 1 # ]

9 1 với i=j

thi dé thấy rằng hệ véc tơ {ä,, , ä,} là trực chuẩn khi và chỉ

khi ä,ä, =ð, @j=1, ,

Nếu E có số chiều n ta sẽ kí hiệu E` thay cho E (với n là một số tự nhiên)

Tính chất ø) Ö L š với mọi § e E

b) Nếu {ã,, ä,} là một hệ trực giao và mọi ä, đều khác

Ư thì hệ đó độc lập tuyến tính

c) Néu {¥,, , 9,} là một hệ véc tơ độc lập tuyến tính thì

cóthể dựng được một hệ véc tơ trực giao {ã,, ä,} khác Ö

sao cho 4, € (¥,, , ¥,) Œ = 1, r) bởi công thức quy nạp

như sau: (k>1)

Trang 4

_đ) Trong E” có ít nhất một cơ sở trực chuẩn (Đây là hệ

quả của tính chat c)

2 Sự trực giao của những không gian con

Định nghĩa Hai không gian con W và Z của E gọi là

trực giao và kí hiệu W 1 Z nếu với mọi še W, với mọi ÿe Z ta đều có X.L ÿ

Cho khơng gian con W của E thì tập hợp

W!={ÿ eE|ÿ 1 š, với mọi še W} gọi là phần bù trực giao của W

Tinh chất a) Nếu W 1 Z thì W ¬ Z= {Ö}

b) Với mọi không gian con W của E thì W° là một không

gian con của E

c) Nếu W là một không gian con của E` thì E` =W@W*

và do đó (W')'= W

3 Bất đẳng thức Cauchy và góc giữa hai véc tơ

Tinh chat

Với hai véc tơo bất kì š, ÿ e E` ta đều có

I# #I< [I-lli

và dấu “bằng” xảy ra khi và chỉ khi x và ÿ phụ thuộc tuyến tính

(Bất đẳng thức trên gọi là bất đẳng thức Cauchy hay bất

đẳng thức Sehwarz)

Trang 5

Định nghĩa Cho hai véc tơ x, ÿ e E mà x # Ư, ý #Ú.Tì bất đẳng thức Cauchy ta có fe belly Do đó có giá trị 9 e [0, x] để cho <1

Giá trị 9 gọi là góc giữa š ÿ Kí hiệu 0 = (§ÿ)

Rõ ràng 6 = 5 khi và chỉ khi § L ÿ

4 Toạ độ trực chuẩn

Định nghĩa và tính chất Trong E cho cơ sở trực chuẩn {ẻ,, , 6,} Toạ độ của một véc tơ theo cơ sở đó được

gọi là (og độ trực chuẩn

Giả sử hai véc tơ š, ÿ e E” có toạ độ trực chuẩn là

Ä =É, X;), ÿ =Ốu, y„) thi

Trang 6

Đổi toạ độ trực chuẩn Trong E” cho hai cơ sở trực chuẩn

e= {6,05 6} } va e = {é}, , 6} Gia stt

Nếu véc tơ š e E” có toạ độ trực chuẩn theo cơ sở e là š =Œị, X,) và theo cơ sở £' là # = (Xi, x;) thì

- , h

X= Cy ¥y tee CạnX nền

Đây là công thức đổi toạ độ giữa hai tơ sở đã cho Dưới

dạng ma trận, công thức này trở thành Xị Xị x = Cx’ (x=|:|, x=|:|) Chú ý rằng CC = 1( là ma trận đơn vi) Ma trận Ccó

tính chất này gọi là một mơ trộn trực giao Từ C'C =I suy ra (detC)? = 1 hay detC = + 1 Tuy theo detC = 1 hay detC =- 1 mà ta gọi C 1a ma tran truc giao logi 1 hay loại 2

5 Dinh thức Gram

Định nghĩa Cho m véc tơ bất kì ä,, ä„, của E Ma trận đối xứng

Trang 7

ai địa; aya,

M: a,.d, al a,.a,,

a,.a, a,.a, a,

gọi là ma trén Gram cua bé véc to (a,, ., ä„) và kí hiệu là

Gr(d,, , 4,,)

Tính chất a) Gr(ä,, ä„) > 0 và do đó định thức

Gram không phụ thuộc thứ tự các véc tơ trong bộ

b) Gr(ä,, ä„) = 0 khi và chỉ khi hệ {ä,, ., ä„ } phụ

thuộc tuyến tính (Suy ra Gr(ä,, ä„) > 0 khi và chỉ khi hệ {a,, , ä„ } độc lập tuyến tính)

6 Ví dụ

Ví dụ 1 Trong R? cho dạng song tuyến tính Q : R? x R?

— R xác định bởi quy tắc:

1 1 1

O(Œ), x;), (Vị, Yo) = XY + sa; + get tee:

a) Chứng minh rằng © là một tích vơ hướng trên R°

b) Tìm một cơ sở trực chuẩn của R” đối với tích vơ hướng ©

Giải

` 1 1 1

a) Vì O(G¿, x;), (Vị, Y;)) = M1 + Met pe + Xe

1 1 V1

=yiXịi† gum + s% + gk

Trang 8

nên dạng s0ng tuyến tính © có tính đối xứng Ta chứng minh Q xác định dương ; 1, Ta có Q(G¿, X;), (Xi, X;)) = XỸ † Xi; + 3 x; 1, 1y =(x,+ —x,)?+ —x, 20 (x 5 x¿) 12*? 1 1 và O((, X2), Œ¡; x¿)) =(ị¡+ 5 x;”+ pe =0 @ (+ £m) = 0% = 0} © {x, = 0, x, = 0}

Do đó © là một tích vơ hướng trên R” ˆ

b) Lấy một cơ sở của RỶ, chẳng hạn cơ sở tự nhiên

(ẽ, = Œ, 0, ẽ, = (0, Ð)} Truc giao hoa Gram Schmidt (é,, 6,)

theo tích vơ hướng © ta được cơ sở trực giao (8,, ä,), trong đó

22 4, 6)- 3 OG, 4%) = 2 1 +

a, =4,, g,=- 2Gu &) a,+ s,=— ĐỀU Š2) 6+ 6,= -=é, +&,

+ OG, 8) QE,, €,)

sore ả 1 aa 2 1

(vì O(&,, ẻ;)= ~3} Vậy ä, -Í$ 1)

seat #\= ze 1 4

Lại có O(8,, ể,) = 1, Q(B, By) = TC -ễu): Do đó cơ sở

(8, 12 &,) là trực chuẩn theo O Nói cách khác, cặp véc tơ

¡a, 0, 8, X12)} là một cơ sở trực chuẩn của R” theo ©

Trang 9

Ví dụ 2 Xét tập hợp F các hàm số thực liên tục trên

đoạn [0, 2n] Với phép cộng hàm số và phép nhân số thực với ham số thì F trở thành một không gian véc ts thuc Lap anh xạ Q: Fx F > R theo quy tac:

với f,g e F thì QŒ, g)= [”f()ø@)dx

Chứng minh rằng © là một tích vơ hướng trên F và hệ

véc tơ

2 :

| —, cosx, sinx, cos2x, sin2x, ., cosmx, sinmx

1a mét hé truc giao déi v6i Q Ching minh rang cac véc tơ

trong hệ đó đều có mơđun bằng 4%

Giải '

Theo tính chất tích phân

fee dx = fet dx,

Jaf +bg).h dx =a [fh dx +b [gh dx @beR; £g,heF) suy ra © là một dạng song tuyến tính đối xứng trên F

Ta chứng minh O xác định dương:

ta có QŒ, 9 = [”f*(x) dx > 0 Nếu OŒ, = 0, tức là Í”f?@) dx = 0 thì f'Q) là đạo hàm của một hàm liên tục (x)

nào đó trên [0, 2n] Hàm ọ(x) đơn điệu vì có đạo hàm khơng âm Vì o(2z) = 0(0) nên ọ() là hàm hằng trên [0, 2n] Do đó @%) = Œ) = 0 Suy ra f(%) = 0 với mọi x € [0, 2m], tức là f = 0

Trang 10

Vậy © là một tích vơ hướng trên † Với tích vơ hướng © ta

, COSX, SIDX, ., COSHIX, sinms | true giao

j

chứng mình hệ |

Ta có: B 2 on JQ

As, coskx) =[ Pos kx dx

= v2 [eo kx dkx 2k 2x =0; Ù = Y2 sinkx B

a2, sinkx) = F'Êm dx

2 2 on =0 0 =- 2 soskx Với p # q, 1 <p, q<m, ta có:

O(cospx, sinqx) = Ÿ cos px.sin qx dx

1 pry

= 5 f [sin(p+q) - sin@-q@]dx =0;

Q(cospx, cosqx) = [eo px.cos qx dx

L px _

=5 f [cos(p+q)x + cos(p—q)x]dx = 0;

Q(sinpx, singx) = ữ sin px.sin qx dx

= 5 fF [eostp - a)x —cos(p +a)x]dx =0

Trang 11

3 -

Do đó hệ {2 COSX, SỈNX, COSIX, sn truc giao theo Q, {

Cuối cùng ta tính bình phương vô hướng của các vée tơ

trong hệ:

= Plas

XA SF | gk re

Q(coskx, coskx) = [eo 2kx dx

= f + Cos2kx 4 =n

2

Q(sinkx, sinkx) = f “sin ?kx dx

- a =n

2

Do đó môđun của các véc tơ ` coskx, sinkx (k= 1, , m) theo nghĩa © đều bằng va

Vi du 3 Trong khéng gian véc to Oclit E cho hé véc ta

độc lập tuyến tính {é,, , ẻ, } và hai hệ véc tơ trực giao khác 0

là {{ã,, ä,) và {P " b,} thoa man:

véi méi k = 1, , r thi a, b, €(é,, ,,) Chting minh

rang b, =), a, véi 2, la sé thuc nao dé khac 0 (k= 1, ., r)

Trang 12

Giải

Vì hệ trực giao khác 0 là hệ độc lập tuyến tính nên

a

„} là một cơ sd cua đu, wey Ay) = (Cys ves é,), tuong

tu {by b,}1a mét cơ sé của (b,, -b,) = (6.8)

Xét hai chi sé p, q € {1, , r} ma p #q Gia sl p <q TY

b, € (a, we a,) suy ra có thể biểu thị tuyến tính b, =A,a,+ + 4,a, Nhan v6 huéng hai vé đẳng thức này với ä, và sử dụng tính chất trực giao của hệ {ä,, ä,}ta

được B„.ä, = 0 Tương tự, nếu p > q ta cũng được b,.ẩ,„ = 0

4, =0

Vậy với mọi p # q ta đều có b,

Bây giờ khai triển b, = A;ẩ, + +A„ẩ„ và nhân vô hướng hai vế với ä,@ = 1, k — 1) ta được 0 = b,.ä, = ^,ä? Vì

ä? #0 nên 2; = Ú `

Vậy B„ =A„ã, vàAy#0 (do b, # 6)

Ví dụ 4 Gọi P[x] là tập hợp các đa thức một biến x, bậc nhỏ hơn hoặc bằng n với các hệ số thực Với phép cộng

đa thức và phép nhân số thực với đa thức thì P[x] trở

thành một không gian véc tơ thực

a) Chứng minh rằng hệ véc to {1, x, x’, ., x"} của P[x] là

ˆ một cơ sở của P[x]

b) Lập ánh xạ O : P[x] x PIx] + R theo quy tắc:

với Í, ø e P[x] thì 9Œ, g) = [j f(+)ø() đx

Trang 13

Chứng mình rằng © là một tích vơ hướng trên không gian

vếc tơ thực P|x] và do đó (P|x], O) là một không gian véc tơ Ơclít

(n + 1) - chiều

c*) Xét các đa thức pu(%), p,Œ), ., p,Œ) sau đây (gọi là các

đa thức Legendre)

bị) ° = 1, p6) =2 ~ GẺ = 1), p6) = cử 2 fet] a wie dx een A OT ax

(k= 1, , n)

Chứng minh rằng các đa thức p,(x), ., p,(x) 1A mot hệ

trực giao của không gian véc tơ Ởclit nói trên, và do đó hệ

này là một cơ sở của (P[x], ©)

d*) Tính mơđun |[p¿@)|| (k =0, ., n)

e) Giả sử sau khi trực giao hoá Gyam-—Schmidt co sé {1, x, x’, ., x"} ta được cơ sở trực giao tt, f, f.} Chứng

minh rằng Í, = A¿p, và chỉ rõ giá trị A„ (A„ e R; k=0, n)

Giải

a) Giả sử cho tổ hợp tuyến tính ao + a¡x + a,X? + + a,x" = 0

(a, € R) Với x = 0 ta được ao = 0 và đông nhất thức trên trở thành x(a, + a,x + + a,x"') = 0 Vì đa thức x không là đa thức 0 nên a; + a,x + a,x"! = 0 Lại cho x = 0 suy ra a, =0 Lam tiếp tục như thé ta duge a, = a, = = a, = 0 Vay hé

véc td {1, x, ., x"} déc lap tuyén tinh Cho bat kif e P[x] thì

f c6 dang f(x) = a, + a,x + + a,x? (a; € R) Vay f 1a một

tổ hợp tuyến tính của các véc tở 1, x, ., x"

Do đó hệ {1, x, x"} là một cơ sở cha P[x]

b) Chứng minh hoàn toàn giống như ở ví dụ 2

Trang 14

e) Cần chứng mình rằng với k # m thì

240 POD) = FP GOP) dx =

Muốn vậy ta dat u,,(x) = (x? — 1)" Co thể giả sử k < m, và dễ dàng nhận thấy rằng đạo hàm cấp k của u„(x) có

k

dang Stig (8) = (x? - 1)g(œ) với g(x) là một đa thức nào đó x

hà a*

(0< k<m< n) Do đó gar wo) =0, age aD =0 Suy ra

với k< m ta được: m > [xa ——=u„() dx d au = x* z —U,, (x " Vex ou (kx dx =—k fix" u,@) dx

Vì k-1<m nên áp dụng kết quả vừa thu được lại suy ra

m-2

na san » fix? ¬ A u,,08) dx

Cứ tiếp tục q trình đó sau k bước ta ave

Trang 15

Vi u(x) = &” - 1) 1a da thie bae 2k cla x nén dao ham k S16) là đa thức bậc k của x Do đó nó có dạng: Xx k

Ta 7 u(x) = Ayxt + Ay xk + +A, (với A,e R),

Suy ra

_ 1 1 a‘ a™

2.09, Pa) = [oem Gyr 4,00 ow Un GX

an

= nhai fiat ++ Ao) Frm Un dx

k a" mm TờA fxs au=ua09dx =0 =0 4) lÌp,&)l|?= vey dx đề " oan Í (= : v09 06,69]

Để tính tích phân ở vế cuối ta tính trước các đại lượng sau:

(x) _ ak ai du 09) — [œ?- 1| d® =m [O?)*— CLG)? + CRF = „ + (=1*] d 2k = a œ3 = (2k)! ia it

Trang 16

Do do: Với ¡ và j bất kì ta có 4 , 0=(x- Dix +1) | = [[œ-Ð'%+ÐU]ax 1 = Ï [i&-Df'œ+1' + j&-1)'@œ+1)” Jdx Do đó [œ-Ð'œ+1'4x = =;Ñ@=Ð"œ+ le

Bây giờ ta tính được

1 p(d* a"

|p.C©Ï? = =f, [s55]

- k0?

Trang 17

= crete [@œ-Ð*œ+1)*4x - -(U*@k)!k ka ket “ GnnarnLŒ~Ð (x+1)*" dx — (-1)?(-1)*(2k)!k(k - 1) k-2 ko ~ Fk) 2k + Dk +2) [,œ-Ð*?&+Ð*? d = (-1)**(2k)!k! 2k ~ SCI +1)(k +2) ap hi + dx 1 g2k 2 4 2*Qk+ D- 2k+1° Ll («+i 2°** (2k+1) V2k+1° k

e) Theo dinh nghia p,(x) = Sx? — 1)* thi p,(x) 1a da

Vậy |lp.@|| =

Trang 18

(theo vi du 3) {= Ap, (k = 0 , u) véi Awe R Ta tinh A,

nhu sau:

“Theo công thức (rực giao hố Gram-Sehmidt thì f,=1,

_ 9đ; xy = Ea 8) xkl g xk OG, f) OL Fea) @&>1) Vậy f, là đa thức bậc k mà hệ số bậc k (k > 0) là 1 Theo định nghĩa, pạ(x) = 1, 1_ at

Đu@Œ) = aul dak & ~ id

1 at -2

= si de [x*— Cx? + Cx — + (-)*]

“gim| 2kGk~ 1) Œ+1)x*— 2k -2)@k -3) &-)Cix**4 ]

(véi k = 1) Vay p, (vdi k > 1) là đa thức bậc k mà hệ số bậc k là

2kŒ2k~1) +1) _ (@k)!

2*k! 2*(k!??

còn pọ là đa thức bậc 0 với hệ số là 1, trong đó có thể viết

— 2.0)! _ (2k)! 2509? FAH

(với k = 0)

Vi f(x) = ^,p,Œœ) đúng với mọi x nên ^¿ là tỉ số giữa hai hệ số bậc k của f, và của py, tức là

(2k)!

Trang 19

Ví dụ ð Trong không gian véc tơ Ởclit E cho một hệ

véc tơ trực chuẩn {ể,, , „} Với véc tơ bất kì š e B đặt

x, = ¥ @, Ching minh rang

và dấu bằng đạt được khi và chỉ khi š e ,, 5 6,)

(Bất đẳng thức nói trên gọi là bất đẳng thức Bessel])

Giải

Do tính xác định dương của tích vơ hướng ta có m

(@— S)x;ẽ,)?> 0 và dấu bằng đạt được khi và chỉ khi

Vậy °?+ (3 x,;ẽ,)”- 2š x/ẽ,> 0 hay + xi?

i= isl isl

2° x,(#6,)2 0, hay ¥’— )’xi?> 0 (vì hệ {ể,, ể„} trực

il i

chuan va x, = 3Ÿ 8,)

Nghĩa là š? > Šˆx? Dấu bằng đạt được khi và chỉ khi

id

š c (,, e€„) Ngược lại nếu Ẩ e oe sánh

X= kiể,+ + kuếu„, do đó xị= X ể, =due k„ể„)€; =

Trang 20

Ví dụ 6 Trong khơng gian véc tơ Ơclit EÏ cho cơ sở trực chuẩn (6,, é„) và véc tơ đơn vị ä Gọi œ là góc giữa d va ẻ,

Chứng minh rằng ä = (cosơ,)ẻ, + + (cosơ,)€, và suy ra

cosœ; + + cosơ, = 1

Giải

Giả sử đã biểu thị á =a,ẻ,+ + a,6„ thì cosœ, =

= äẽ,= (auẽ, + + ayẽ,)ẽ, = a,(vì {ế,, ế„} là hệ trực

chuẩn) Vậy viét laidude 4 = (cosa,)é,+ + (cosa,)é, Vì

1 = a?=a/+ +a,?nén 1 =cos’a, + + cos’a, «

Vi du 7 Trong không gian véc tơ Gclit E” cho một không

gian con W mà #e W khi và chỉ khi ẩ có'toạ độ trực chuẩn (x¡, ., x„) thoả mãn hệ phương trình tuyến tinh

aX, + + a,x, = 0

Đặt ä¿, ä„ là những véc tơ có toạ độ trực chuẩn (theo

cơ sở trực chuẩn đang xét) như sau: ã; = (8, Am) , -.2

A= (Amis ‹-› Amn)‹

Chứng minh rằng W= <ä;, , ä „>:

Giải

Hệ phương trình đã cho có thể viết dưới dạng {ä¡X = 0,

wy A,X =O}

Trang 21

Vik La,.,X La, 8 yt a Payal yy (VOI mg! Ay © R)

: ao) a

nén W= {xX € EB] X 1 Qa + Ady), (A © RD} Ta

chứng mình <ä,, ä„>c W': cho ä € ấy, a,,> thi 8 =Àidi† + À„ấm với những À, nào đó Với moi X « W

tacda =A,a,+ +A2,4, 1 š nên ä e W'*,

Ta chứng mình W!C <ä;, ä„>:

Cho b e W thì b 1 8, với mọi š e W Nếu đặt b =(Q„ b,)

la toa độ của b thì điều này có nghĩa là từ 4,% = a,x, + +

tuần = Ú, , ẩm = Amik + + ameX, = O phai suy ra

b# = bx, + + b,x, = 0 Nói cách khác, phuong trinh

b,x, + + b,x, = 0 là hệ quả của hệ phương trình

{AiXi# + ay,X, = 0, 0, AX +o + AmnXn = 0}

Do do: (by, ., b,) = ty(ay, «5 yy) + ne tin(@mi +++) Amn)

hay b =t,4,+ +t, a, Vay b e<a, , a>

Vi du 8 ie không gian véc tơ Ơclit E, hai bộ véc tơ {ấu ä m} và { „b m} được gọi là twong hợp nếu ä„Ì

(kí hiệu Kroneckes)

a) Chiing minh rang néu bé {4,, ., ,,} déc lap tuyến tính

thì mọi bộ véc tơ {b, xướng bạ} tương hợp với nó cũng độc lập tuyến tính Ngược lại, nếu bộ {ä,, ä„} phụ thuộc tuyến

tính thì mọi bộ tương hợp của nó cũng phụ thuộc tuyến tính

b) Giả sử E có số chiều hữu hạn n Chứng minh rằng mọi

co sd {é,, , 6} đều tương hợp với một cơ sở duy nhất l„} và nếu X =x;ế¡ + +x„,6„ V =Vvid„ + cà TYNX

Trang 22

Giải

a) Giả sử bộ fay «2 d„} độc lập tuyến tính, tương hợp với bộ {b,, „b„} thì với một tổ hợp tuyến tính bất kì

)= a,b,

m

dy by tee thy by = 0 tacd O= AA, + + Ayd

D, + +Ag a,b, =A; G=1, ., m) Nhung moi 4, = 0 chứng tỏ rằng bộ {b,, b„} độc lập tuyến tính Vì bộ

(B,, b„} tương hợp với bộ {ä „, , ä„} nên nếu {4,, , Ag} phụ thuộc tuyến tính mà lại suy ra {b, xưng b,} độc lập tuyến

tính thì theo kết quả trên ta phải có {ä;, ä„} độc lập

tuyến tính, điều này trái với giả sử về {ä ¿, , ä „}

Vậy bộ tương hợp với bộ phụ thuộc tuyến tính là một bộ

phụ thuộc tuyến tính ‘

b) Lấy một cơ sở trực chuẩn é¿, , ẽ„ của E có toạ độ:

6, = (ii, Cạn) €ặn c Cận

6 = Cys es Can) Cay Can

Vì {ẻ¿, ẽ„} déc lap tuyén tinh nén|C| #0

ˆ Giả sử các véc tơ ủ, phải tìm có toạ độ ủ, = Œ¿, Xụ) thì

ủ, phải thoả mãn 1= ủ, ẻ,, 0= ủ, 6 0= ti, 6„, hay là:

1 = ¢,,X,, 112`11 +- + ¢,,X% 1n

0 = cu, + + Cu,

Trang 23

› phương trình bậc nhất với các

Xem hệ đẳng thức trên là

an X),, ., X,, thi hé này là hệ Cramer vì ma trận liên kết của hệ là C có định thức khác 0 Vậy có duy nhất véc tơ i, thoả mãn điểu kiện 1 = ui, 6, ., O= ú, é, Tương tự với mỗi ¡ = 2, n

ta tìm được một véc tơ duy nhất ú, thoả mãn ö, = u, 6

Vậy tổn tại duy nhất bộ véc tơ (d¿ ủ„) tương hợp với

bộ (ẽ¡, , ẽ,)

Theo câu a) thì hộ (ũ,, , ủ,) phải độc lập tuyến tính và

do đó nó là một cơ sở của E"

Néu ¥ =x,6,+ 4+x,6,, 7 Sy Gt + Yo ti, thi

Xiÿ= ($=ô)|$ằơ = Lay.) el ù

= Dd xy 8) = TT i=l UX

Chú ý Nếu {ẽ,, , ẽ„} là một cơ sở trực chuẩn của E”

thì nó tương hợp với chính nó và theo câu b) thì khơng có cơ

sở nào khác với {€,, , 6, } lại tương hợp với {ề,, , ẽ„}

Ví dụ 9 Trong E” cho hai cơ sở {ế,, 6,}, {8, , 6}

mà matrận đổi từ cơ sở thứ nhất sang cơ sở thứ hai là C = (cj)

Gọi cơ sở tương hợp với hai cơ sở này lần lượt là {§,, 8,}

và läi, ø,} và matrận đổi từ cơ sở {ÿ,, §,} sang

Trang 24

Giai

Theo gia thiét ta cd 6 = ¢,é, + + 6, va

G = brs, Ht dg,

Do đó:

a= EB) = [$.«.) [Sa i, | 3 cybạ6,6,) = 3; cgbuỗô, = À cụbụ P,q=1 pal

Dat B'= (d,) thi d, = by Do dé 8,=S'e,,d,,

pel

Điều này c6 nghia lA I= CB Suy ra Be (cyt = (Cy

Ví: dụ 10* Trong E cho m véc to bat ki a,, ., đụ

Ching minh rang Gr(a,, ., ä„) < |ä,|” [a,/ Bat dang

“hức Hadamard)

Chứng minh rằng nếu các véc tơ ä, đều khác 0 thi

Gr(ä,, ä„) = |ä,|” |ä„|” khi và chỉ khi {ä,, , ä„}

là hệ trực giao

Áp dụng: Cho ma trận vuông thực cấp n:

Trang 25

Xem dong thi i 1a dòng toạ độ trực chuẩn của một véc tạ

ả, (với cơ sở trực chuẩn nào đó), từ bất đẳng thức nói trên

hãy suy ra một bất đẳng thức về các phần tử cla ma tran A, Giải

Nếu hệ {ä „ ä„} phụ thuộc tuyến tính thì Gr(ä „ đ„) =0

nên bất đẳng thức nói trên hiển nhiên đúng Nếu hệ

{ẩi, đm} độc lập tuyến tính thì ta trực giao hố Gram

Schmidt b6 {4,, ., ä„} để được bộ {b,, ., b,,} mA theo công

thức trực giao hố thì b, = ä, còn với k > 1 thì b, có dạng

b,= - Lab, (A, € R), hay la 4, = b + Dab,

Trang 26

ab, ab, aa, dob, deb, aya,

amb, a,b, + a,a,,

| a,b, a,b, a,(b,+aib,+a0b,) a, a,

| a b, a,b, 4,(b,+%1b,+22b,) A, A, - A, b, a,b, ã„(Dạ+AibD,+AsB,) a, a,

ab, a,b, a,b, aa,

_| 4,b, a,b, a,b, aa, | _-

| 4,b, a,b, a,b, nam

bị ab, đất; « ấ:D„ | điếp tục làm cho

_| a,b, ab, a,b, ä,b,„ | đến cột thứ m)

a,b, a,b, a,b, a,b,

Với i<j thì a b,=| vệ Sa, = b, b, =0(vi b, 1 b,,

pi

với p # q)

Ti i - Ì~ ~ = -

Với i=j thi a, b, -Í + Sib, ni =B¡ @ì B, 1B, vớip< ÿ)

Trang 27

15-HHAVHHO-Do đó: BO 0 sz 1 Gr(a,, , a,)=| 52h 9 ° ấ„b, &,b, aby bz = ape "n2 3232 a2 = bjbị bm < aj, a) a3 Vay Gr(ä,, ä„) < |ä,Ƒ |„ |”

Bay gid gid sti moi ä, đều khác Ö và hệ {ä,, ä„} trực

an =

giao thì ä,ä, = 0 với ¡ #j Do d6: Gr(a,, a,,) = 47

lä,|P |a,|Ủ Ngược lại, nếu Gr(ã,, ä„) = fa, fa, ta

lại lấy bộ {B,, b„} là trực giao hoá của bộ {ã,, ä„} thì

Jel = [buf Fa [Bal > Grea, 9= [Bf Bn

Từ fa) > [6] @=1, mva fa, laff > [Bf -

suy ra |äj| = [bj] @ = 1, „ m) Khi trực giao hoá bộ

2 2 b„ {ã,, ä„} để được bộ {b,, b„} thì bộ (ã,, á;) được trực

giao hoá thành bộ (b,, b,) nên theo lập luận ở phần trên ta

c6é Gr(a,, 4,) = b?.b3, vay Gr(a,, 4,) = 47.4} Nhung

Gr(ã,, ä,) = ã?.ã7 - (8, ä,)”

Suy ra ä?.ä? = ä?.ã; — (ä, ä,)”, hay (ä, ä,)”= 0, hay

Trang 28

thuộc vào thứ tự các véc tơ trong tập {ä,, ä„} nên với

mọi ¡ # j cho trước trong tập {1, , m} ta có thé cho (i, j) dong vai trò (1, 2) va nhu thé ta duge a, 1 a, Noi cach khac, hé

{ấ,, ẩm„ } trực giao

Ap dung: Đặt ä, = (a, aị,) thì

= |AA' = |AP

con [f° = a2 + +a,2 = S]a,|? Do do ap dung bat ding ñ

thức Hadamard ta được

iA? s TTD isl j=l as)?

và dấu bằng đạt được khi và chỉ khi hoặc A có dòng (0,

hoặc hai dòng bất kì khác nhau của A có tích vơ hướng bằng 0 0)

7 Bai tập

2.1,1 Trong R° cho dạng song tuyến tính ọ : R? x R? -› R,

o(Œ¡, X›), (Yu Yo) = XiYi † Xịy; + xay¡ + 4x;y,, Chứng

minh rang ọ là một tích vơ hướng trên RẺ Tìm trong RỀ một cơ sở trực chuẩn đối với @

9.1.2 Trong không gian véc to Oclit E cho hai véc tơ bất kì š, ÿ Chứng minh rằng:

(Công thức

Trang 29

b) 2.1.3 2.1.4 228 Ix+ [| - |£- š|Í = 4#ÿ | (Cơng thức bình hành) Jx+z|<|£|+lyl (Bất đẳng thức Minkowski)

và dấu bằng đạt được khi và chỉ khi š, ÿ phụ thuộc

tuyến tính cùng với # ÿ> 0

Áp đụng: Trong mặt phẳng thông thường cho tam giác

ABC Dat AB = x, AC = ÿ và lấy điểm D sao cho AD = š + ÿ Từ đẳng thức a) và bất đẳng thức b) hãy

suy ra những kết quả về hình học sơ cấp phẳng

Hướng dẫn b) Bình phương hai vế và áp dụng bất đẳng thức Cauchy

Xét không gian véc tơ F các hàm số thực liên tục trên doan [a, bỊ Lập ánh xạ ©: F x F —> R theo quy tắc SŒ, g)= [£00.2@)dx với mọi f, g e F

không gian véc tơ thực F

b) Viết các bất đẳng thức Cauchy, bất đẳng thức

Minkowski, cơng thức bình hành trong không gian

Cho hai không gian con W và Z của không gian véc tơ

Ơclit E Chứng minh rằng:

a) (W+ 2)! = Win Zt

Trang 30

c) Néu dimE < 00, dimZ < dimW thi tén tai vée to v # 0

trong W mà ý trực giao với mọi véc tơ cua Z

Hướng dẫn c) Cần chứng mình rằng Z'¬ W z (Ô}, tức là chứng minh rằng dim(Z!¬ W) > 0 Muốn vậy dùng công thức số chiều của hai không gian con Z*, W

và chú ý rằng với dimE < o thi E =Z' @ Z

9.1.5 Trong E cho hai không gian con W va Z ma W # {0}, Z # {Ö} Ta định nghĩa góc giữa W uà Z là giá trị 9 xác

định như sau:

Nếu W đ Z = {Ư), hoặc W c Z,- hoặc Z c W thì

@=min {(%ÿ)|% eW, ÿ e7, zÖ, ÿ zÖ)}

Nếu W Z # {Ö0} và W ợ Z, Z ơ W thì

WnqWa2)¬#¬(Wna2*)=Wa2¬(Wa2'={0)

Ta định nghĩa 9 là góc giữa W (W ¬ Z)*° và

ZO (W 0 Z)' theo trường hợp trên

a) Chứng minh rằng 0 < 0 < Ễ và 0 = 0 khi và chỉ khi x 2

hoặc W c Z hoặc Zc W

b) Trong E” cho ba véc tơ ä, b, é có toạ độ trực chuẩn

a = (V3, 1, 0), b = (1, V8, 0), ẻ = (0,0, 1) Đặt

W= (4, €6),Z=(b, ¢) Tinh géc gitta W và Z

Trang 31

2.1.6 Trong E” cho hệ véc tơ độc lập tuyến tính {a,, , ả„ } và

véc tơ x bất kì Chứng minh rằng

Gray, vd OD „ Gr@, 4„., 3)

Gr,, ,ä„) — Gr(ä,, ä„;)

Hướng dẫn Đặt V, = ( ảy, ä;) Phân tích ¥ = y+ 3

với ÿe V„„ 2e Vạ' sau đó phân tích ÿ = ÿ,+ ÿ, với ÿ, c V„ ¡, ÿ; thuộc phần bù trực giao trong V„ của V„ ; thì

Trang 32

§2 KHONG GIAN OCLIT

1 Không gian và phẳng

Cho không gian vectơ Ởclit E Một khơng gian n liên

kết với E còn được gọi là một không gian Ơcii và kí hiệu là E

Néu E có số chiều n thì ta viết E" thay cho E

Hai cái phẳng œ và B sẽ được gọi là truce giao uới nhau và

kí hiệu œ L B nếu ỡ L ỗ; còn nếu & va bù trực giao thì ta

cũng nói œ và B bù trực giao

Tính chất Cho hai cái phẳng ơ, B của E”

Nếu ơ và bù trực giao thì ơ ¬ B là một điểm

2 Toạ độ trực chuẩn

Trong E" (n > 1) một mục tiêu afin (O; 6,, , €,) sẽ được

gọi là mục tiêu trực chuẩn hay hệ toạ độ Đê các uuông góc

nếu cơ sở {ẽ,, ẻ„} là một cơ sở trực chuẩn của E" Toạ độ

của điểm hay của véctơ trong mục tiêu trực chuẩn được gọi là

toạ độ trực chuẩn

Nếu cho hai mục tiêu trực chuẩn (O; ẽ,, 6„) và

(O'; ế;, e.) của E" thì cơng thức đổi toạ độ từ mục tiêu thứ nhất sang mục tiêu thứ hai có dạng

x=x+a

trong đó Ở là ma trận trực giao

Trang 33

3 Khoang cach giữa bai hình

Cho hai điểm M, N của E" Ta gọi số || MN |] la khodng

cách giữa M, N hay độ dài đoạn thẳng [MN] và kí hiệu là d(M, N)

Nếu trong E" (n > 1) cho một mục tiêu trực chuẩn và giả

sti toa d6 cua M, N 1a M = (x ns N= (yy, wes Yq) thi

2 5

d(M,N)= y(x,-y,)° + + TY.)

Cho hai hình H, và H, của E" thì ta định nghĩa khoảng

cách giữa Hị, H;, kí hiệu d(H,, H,), là một số dược xác

định bởi _

| aH, H,) = inf (4M, N)| Me H,NeH,} |

Tinh chat 1 Cho bai cái phẳng ơ và B của E" thì tổn tại

điểm A e œ, điểm B e B sao cho AB L ;UB và d(a, B) = d(A, B)

Tinh chất 9 Cho hai cái phẳng ơ và B của E" Giả sử

không gian vectd ở + 6 có cơ sở (ủ,, , ủ„) thì với điểm bất

kì A e œ, điểm bất kì B e B, ta có:

|a« p= ,|SE5 PP“ Gri, ữ„) | -¬ B.: AB)

Tính chất 8 Trong E" (n > 1) cho một mục tiêu trực

chuẩn, một điểm Ai; có toạ độ Mạ = (x?, ., x°) và một siêu n

Trang 34

4 Góc giữa bai cái phẳng

Định nghĩa, Trong E" cho hai eái phẳng ơ, 8 Góc 0 giữa hai không gian chỉ phương ở, Ồ (dịnh nghĩa ở bài tập 9 1 5)

cũng gọi là góc giữa ø uà / Kí hiệu 0 = (ơ ` B)

Vậy 0<8< - và 0 = 0 khi và chỉ khi œ // B t2ja

Tính chất 1 Trong E" cho hai đường thẳng a, B Lấy

hai vectơ chỉ phương ä, b của ơ, B thì

Tính chất 2 Trong E* cho hai siêu phẳng œ, 8 Lay hai phap vecto ri va m cia a va 8 thi

cos(œ, ;B) =

Tính chất 8 Trong E" cho đường thẳng œ và siêu phẳng

B, vecto chỉ phương ÿ của œ, pháp vectơ ä của B thì

ne | | va | | | | sin(œ, ‘p= = P= im] ni | _T ¡ còn L “(nho rằng 0 < (1B) < 5 )

5 Thé tich cha m- hộp và của m - đơn hình

Trong E* cho m + 1 điểm độc lập Py, ., P, Dat

Trang 35

Xét m—hdpH=|MeE"|P,M =A,u, + +2,0,,,0S4S1} và m-đơn hình A = (Me E"| OM = S)2,OP,,2/>0, 3)2,=1}

i0 mm

trong đó O là một điểm lấy tuỳ ý trong E"

Ta định nghĩa ¿hể (ích của H và thể tích của A là các số,

kí hiệu tương ứng là V(H) và V(A) được xác định như sau:

Va) = J[GrQ,, ú„),

Va) = 4 (Gri m 6,)

Khi n = 1 thì 1 — hộp hay 1— đơn hình đều là đoạn thẳng

[P,P.] Thể tích của 1 — hộp hay 1 — đơn hình chính là độ đài

đoạn thẳng đó

Khi n = 2 thì 2 - hộp gọi là hừuh bình hành, cịn 2 — đơn hình goi 1a hinh tam gide và thé tích của chúng gọi là điện

tích, kí hiệu là SH) và S(A) thay cho V(H) va V(A)

6 Ví dụ

Vi du 1 Trong E° cho một mục tiêu trực chuẩn

ok cu , il 2.,2.,

(O; 6,, 6, 6@,), hai véc to é, = 3 é,- 3 é,+ 3 é,,

s+ 26+ sẽ và điểm I3, 4, 5) Tìm vectơ ẽ, để 3

Trang 36

Giải

Giả sử é; có toạ độ té; = (x, y, 2) theo mục tiêu đã cho Dễ

dàng kiểm tra thấy rằng || e; || = 1, |] || =1, e; L e, nên để (; ế;, ẻ,, é;) là một mục tiêu trực chuẩn thì cần và đủ là é; 16, lel} =1, 1 2 2 3h 3 Tu =0 q) 2 TA 2 2 tức là gut get x, = 0 (2) xPt xpt xp =l (3)

Hệ phương trình (1) và (2) tương đương với hệ

x, — 2x, + 2x, = O° 2x, + 2x,+ x, = 0

Hệ này có một họ nghiệm phụ thuộc tham sé t: (x, y, z) = (-2t, t, 2t) Thay họ nghiệm này vào phương trình (3) ta được

9= 1 suy rat= + 2, 3

Với t= Ì thì ở, = -3, 1 2) và công thức đổi toa 3 , 308038

độ tương ứng là

Trang 37

v ỚI ới t= -— thi é& =|<“, 3 1 1 (2,-1.2 E - —, - =] va con 3 3 8 thức đổ ức đổi O01

toạ độ tương ứng là

1, 2, 2

Xx, = gut get gut3

2), 2), 1,

Xx, = ght gt 7 gts + 4

2, 1, 2,

X, = =x, + =x, —- =x, + 5

3 3 3

Ví dụ 9 Trong E1 với toa độ true chudn (x,, Xs, Xs, X,) cho

cái phẳng œ có phương trình

[ xi + x; + X; + Xx, =0

Xi T X; + X,- x, +1=0 38x, - xX, + 3x,;- x, + 2=0

Viết phương trình cái phẳng B đi qua điểm ï = (1, 4, 4, 1)

và bù trực giao với œ

Phương B là B = ỡ! và ö xác định bởi hệ phương trình

+X, + X,+x, = 0 lu + x,- x, = 0 =0 (8x, — x, + 38x,- x, Dat 4 =(1,1.1, 1), b=(1,-1,1,-1), 6 =(3,-1,3,-D Theo ví dụ 6§1 thì Ư =(ä, b, ẻ)=(ä, b), vì ¿= á +9b.Do

đó phương trình tham số của j là:

Trang 38

x, 1 ( 1Ì (1 x, * yet} | +t.) 1 -1 + 4 X; 1 ; 1 4 x,) 1) (=1 e hay 1a x, =t,+t,+1 (a x, =t,-t,+4 (2) x, =t,+t,+4 (3) x, =t,-t,+1 (4)

Để đổi ra phương trình tổng qt ta có thể tính ty, te

(theo x,, x,) ti (1), (2) rồi thay vào (3), (4) Sau khi tính tốn

ta được

X—-xXx+3=0, x,- x,- 3=0

Vi du 3 Trong khéng gian Oclit E" cho ba diém bat ki

M,N, P Chứng minh rằng:

d(M, P) < d(M, N) + d(N, P)

(Bất đẳng thức tam giác)

Chứng minh rằng nếu M, N, P là ba điểm phân biệt thì

bất đẳng thức trên lấy dấu bằng khi và chỉ khi N thuộc vào

Trang 39

MN? + NP*® + 2||MN|.|NP|L = (| MN ]+]] NP |)? = [a(M, N) + d(N, P)]? chỉ (Áp dụng bất đẳng thức Cauchy | MN.NP | < || MN |.||NE ||) Vậy d°M, P) < [d@M, N) + d(N, P)ƑÈ Suyra _ d(M,P)<d(M, N) +d(N, P)

Dấu bằng đạt được khi và chỉ khi

|| MP || = || MN || + || NP |

= || MN+NP ||? = (|| MN || + || NP [})? < MN.NP = || MN [|| NP |

Do đó khi M, N, P phân biệt thì dấu bằng đạt được khi và

khi MN.NP = |MN.NP| va NP = AMN (để | MN.NP | = || MN ||.||NP || tức là để bất đẳng thức Cauchy

lấy dấu bằng) Điều đó có nghĩa là

288 {ĐP =^MN và MN@.MN) = ÌMNĐ@.MN)|) ©{NE =AMN,AMN?= lMN?|} © {ĐP=¿2MN, ^= lA|} <> {NP =2MN,2>0} © {NP =-2NM , 1>0} <> [PMN] = -2.<0

Trang 40

Ví dụ 4 Trong E"cho mot điểm O và cho một số thực k # 0 Cặp điểm (M, M) được gọi là cặp điểm nghịch đảo đối với cực

O phường tích b nếu O, M, Mĩ thẳng hàng và OM.OM" =k

a) Chứng minh rằng nếu (M, M) là cặp điểm nghịch đảo

đối với cực O phương tích k thì: om’ = Som

|pM|

b) Chứng minh rằng nếu (M, M), (N, N) là hai cặp điểm

nghịch đảo đối với cực O phương tích k thì HLM Jom [on]

JMRỊ=

e) Cho bốn điểm phân biệt A, B, C, D Cho A dong vai trò

cực O, hãy từ câu b) và từ bất đẳng thức tam giác đối với ba điểm nào đó suy ra bất đẳng thức d(, D).d(A, C) < dŒ, ©) d(A, D) + d(C, D).d(A, B)

Giải

a) Vì O, M, M' thẳng hàng nên ƠM' = AOM với 2 nào đó Vì