Hình học afin và hình học ơclít những ví dụ và bài tập phần 1

Trang 1

PHẠM KHẮC BAN - PHẠM BÌNH ĐŨ

Hình hoc afin

va hinh hoc Oclit

trên những ví dụ và bài tập EBOOKBKMT.COM

Trang 2

PHẠM KHẮC BAN - PHẠM BÌNH ĐƠ

HINH HOC AFIN VA HINH HOC OCLIT trên những ví tlụ và bài tap

EBOOKBKMT.COM

Trang 3

LỜI NÓI ĐẦU

Nội dung được đề cập trong quyển sách này nhằm hai chủ ý cơ bản sơu đây:

1 Cung cấp cho sinh uiên ngành Toán các trường Đại học Sư phạm một hệ thống bài toán chọn lọc thuộc dạng mẫu mực thường gặp uà những kĩ thuật giải chúng Qua đó sinh uiên có thể thực hiện được các bời thì hết môn hoặc thi tốt nghiệp mơn Hình học afin Hình học Oclit,

9 Cung cấp cho sinh uiên một số bài tốn có nội dung sâu sắc hơn để những sinh uiên có thiên hướng uê hành học hoặc muốn biết nhiều hơn uê hình học có dịp đi sâu tùm hiểu uê nó Tuy nhiên để bảo đảm cho hâu hết sinh uiên có thể sử dụng được toàn bộ sách chúng tôi không đưa uào sách những bời tập quá khó có tính chất chun khảo

Sách được chia làm hai phần uà phân công biên soạn chính như sau :

Phân thứ nhất Hình học afin: Phạm Khắc Ban

Phần thứ hai Hình học Ơclit: Phạm Bình Đô

Trong mỗi phân, chúng tơi nêu ra một số dụ uè sau đó là những bài tập Ví dụ thường là dạng bài toán mẫu, hoặc dài, hoặc tương đối khó uới lời giải đây đủ, nhằm giảm nhẹ cho sinh vién uê thời gian học tập Các bài tập đêu có hướng

Trang 4

kĩ năng thuần tuý Người học lần đầu có thể tạm thời để tại

những vi du va bai tập có đánh dấu (*), sau đó tiếp tục xem xét chúng

“Chúng tôi đã cố gắng tỉnh lọc để nội dung quyển sách ngắn gọn mà uẫn đầy đủ mọi uấn đê cơ bản của môn học, nhưng chắc chắn có những uấn đê mị các bạn đơng nghiệp va sinh vién sé phat hién va thấy cần bổ khuyết Chúng tôi mong nhận được sự góp ý phê bình của độc giả Chúng tôi

xin chân thành cảm ơn GS Đoàn Quỳnh, PGS Văn Như

Cương đã dành thời gian đọc kĩ nội dung quyển sách uà đóng góp những ý kiến quí báu để quyển sách được hoàn hảo hơn uà sớm ra mắt bạn đọc

Trang 5

PHẦN THỨ NHẤT

Trang 6

§1 KHƠNG GIAN AFIN, m- PHẲNG AFIN 1 Không gian afin

Cho tap A # Ø và không gian véctơ V" trên trường sé K

Giả sử có ánh xạ: @:AxA->V"

thỏa mãn hai điều kiện:

@) Với bất kì M e A và bất kì ÿ e V" đều có duy nhất

N eA sao cho 9 (M, N) =¥ Ỳ

đì) Với bất kì M, N, P e A đều có

9 (M, N) + 9 (N, P)=9 4M, P)

Khi đó bộ ba (A, ọ, V") gọi là một không gian añn liên kết với V" bởi ánh xạ liên kết ọ

Kí hiệu

Ấ" =V", "=(A,9, V)

MN = 9 (M, N)

Me A" © MeA

ve AT eo tev

Nếu K = R thì A" gọi là không gian afïn thực Nếu K = C thì A" là khơng gian afin phức Một không gian afin mà Â, Ọ@,

V" đã cho cụ thể thì gọi là một mơ hình của không gian afin

Trang 7

a Mơ hình thơng thường

A là không gian thông thường hay một mặt phẳng thông thường, V là không gian véc tơ tự do trên không gian (hay mặt

phẳng) A, còn ọ (M, N) là một véc tơ tự do xác định bởi véc tơ buộc MN

b Mơ hình chính tắc A=Vv

@(ä, b)= b- ä (với ä, b e A= V),

2.m- phẳng añn

Trong A” = (A, ọ, V"), cho điểm I e A, không gian véc tơ

con m chiều W c V" Tập hợp '

a={MeA| IM e W)}, Gịn kí hiệu ơ là ơ =M + W)

gọi là cái phẳng m chiêu (hay nói gon hon 1a m — phẳng)

cudt phat tit I, có phương W Kí hiệu & là W

Rõ ràng là với mọi J e ơ ta đều có ơ = {M e A | JMeW} đậy mọi điểm của œ đều có thể đóng vai trò điểm xuất phát

Với m = 0 thì œ là một điểm Với m = n thì ơ = A Ta gọi n — 1) - phẳng là siêu phẳng; 2 - phẳng là mặt phẳng;

— phẳng là đường thẳng Nếu œ là m — phẳng thì ta viết lima = m

Cho hai cái phang a, B của A", cái phẳng nhỏ nhất chứa

a a, B gọi là phẳng tổng của œ, B và kí hiệu là œ + Nếu .zØ thì ø© B là một cái phẳng, gọi là phẳng giao của œ, B

Trang 8

dima + đimB = dim(œ + B) + dim(ơ ¬ 8) , nếu œ ¬ B z Ø

dima + dimB = dim(u + B) + dim(é 4B )—- 1 nếu œ¬B=Ø

8 Một số ví dụ

Ví dụ 1 Cho không gian véctơ V" trên trường K, một dạng

tuyến tính 0: V" -> K mà 0 + 0 Đặt A=0'),

Ä =6 '0), :AxA->V": ựŒ, ÿ) = ÿ -

a) Chứng minh rằng y (Ax A)c A

b) Dat 9: AxAA, oŒ, ÿ)= (Œ, ÿ)=ÿ —Ẩ

Chứng minh rằng bộ ba (A, ọ, A) là một không gian añn

(n~ 1) chiều trên trường K

c) Chứng minh rằng A là một siêu phẳng của khơng gian

afin chính tắc xây dựng từ V"

Giải

a) Cho (x, ¥)eAxA thi ä, ÿ e6ˆ!4), do đó 6 (4) = 0(ÿ) = 1

=0(ÿ—§) =0=ÿ - še A =W( ÿ) eÄ

=>wAxA)c A

b) Thu nghiém cac tién dé cua khéng gian afin:

@) Cho XeÄ.veA thì có duy nhất ÿ=x+v thoả mãn

Trang 9

(ii) cho & y, Ze Athi

ọŒ, ÿ) + 0Œ, 2) = - Ä) + (2-ÿ)=2~ X =0(, 2)

Vậy hai tiên đề (), đi) được nghiệm đúng

Vì 0 là dạng tuyến tính trên V", A =Ker@nén dimA=n-1 Do do (A, ọ, A) là một khơng gian n (n —1) chiếu trên K

© Gọi A" là không gian aBn chính tắc xây dựng từ V"

thì A" = V", ánh xạ lên kết añn là W: V" x V" -› V" với

quy tắc (,ÿ)=ÿ- Lấy một điểm ãạeAthì @(%)=1 Ta có xeAkhi và chỉ khi 0(X)=lhay ®(X)=9(ạ) © O(%-X,)=0%-%, cA ws, x)eA Vi A la khong gian

véc td (n — 1) chiều nên A={s|w(Œ, 8) eÄ} ,

Chứng tỏ rằng A là siêu phẳng có phương A

Ví dụ 2 Cho không gian véc tơ V" trên trường K và không gian con (n — 1) chiểu H của V" Gọi A là tập hợp các không gian con một chiều X của V" sao cho H ¬ X = {0}, nhu

thế V"=H@X

a) Chứng minh rằng với hai phần tử X, Y e A có thể xác định được một ánh xạ tuyến tính duy nhất

f: V"/H->H theo quy tắc như sau:

Cho [ý] eV"/H Viết ý=h, + với h,e H, äe X và viết

ÿ=h,+yvới h,eH,ÿYVvà đặt f([2])=ÿ-# (Như thế

fe Hom( V⁄4,,H])

Trang 10

b) Chứng minh rằng ánh xạ

o:AxA—> Hom (V4.4) cho bởi quy tắc:

với X, Y) e A x A thì ọŒX, Y) = f là một ánh xạ liên kết n,

nói cách khác (A, ọ, Hom (VZ⁄4®)) là một khơng gian añn

trên trường K Hãy xác định số chiều của không gian afñin này

Giải

a) Với X, Y e A, có thể mô tả ánh xạ

ọŒ, Y): V"/H —› H như sau:

Xét py: V > V’, py: VW @G, Y): Why — H la caéc

phép chiếu chính tắc lên thành phần thứ hai của các tổng trực

tiép V" = H © Y, thi ánh xạ vov

VE py (¥)—Px (V)

là đồng cấu và triệt tiéu trén H nén né gay nén déng cau

ọ(X, Y): V"/H-—>H có ảnh trong H

Nhu thé 9 (X, Y) « Hom (Y4) b) Cho X e A và đồng cấu f:V"/H>H

) Lấy #eXMØ thì p(@=š và có H c V thi

f[s]+#=ÿeH Đặt (ÿ)=YeA thì p@)=ÿ và @(x.Y)[x]=f[x]

đo đó dim Ÿ⁄(=I nên @ŒX, Y) = F

Trang 11

2) Ngược lại, nếu có Y' để ọ(X, Y') = f thì với nói trên

Py =f [X]+ py (8) =f [X]+ = ý suy ra Y'=(y)=Y Vậy có

duy nhất Y e A để @(X, Y) =f

Với mọi X, Y, Z thuộc A, @Œ, Y) = oY, Z) + o(X, Z) do Py ~ Px + pz — py = pz ~ Px

Vi dim V"/H=1 nén dim Hom(V"/H, H) = dimH = dimV —

1, tức là A khéng phai afin c6 sé chiéu dimV — 1

Vi du 3 Cho khéng gian véc to V" trén trường K và không gian véc tơ con W" của V", véc tơ äye V", tập hợp œ = {ä,+ §:Xe W" } Xem V" là khơng gian afđin chính tắc

xây dựng từ V",

a) Ching minh rang œ là một cái phẳng xuất phát từ a,,

có phương ở = W",

b) Chứng minh rằng tổn tại m véc tơ ä,, , ä„ e V" để có

Trang 12

Vì „ý là véc tơ nối hai điểm á, và y nên đẳng thức cuối

cùng chứng tỏ œ là m— phẳng đi qua ä,„ có phương W",

b) Lấy một cơ sở é,, é„ của W" và đặt

á, =á, +ế, (=1, m) thì

œ =lá,+#|xeW"}

= {At XX =, tot Ame grrr km € K)}

={ÿ |ÿ — ä, =,(4,— a) + | + 2gl&y, — Hy I}

lý =Œ—3:— —Àu)ấ, +iẩ, + +A„ấ„}

tị=Ây 1> 0} S 2 o Lay t,= 1, t, = =t, = 0, t Lấy t,= 0, tị = 1, tạ= tụ = 0, Lay tị = 1 còn tụ = 0, k #j, ta có y=ajea Vay moi điểm 4, đều thuộc ơ

Ví dụ 4 Trong A" cho hai cái phẳng ơ, B Chứng minh rằng: a) Véc tơ ÿeö khi và chỉ khi có hai điểm M, N sao cho

b) ac § khi và chỉ khi œ ¬ B # Ø và äc B

c) a =f khi va chi chi &@=f va có điểm M e ơœ, N e B sao

cho MNeử

Trang 13

Giải

a) Lấy điểm M bất kỳ thuộc œ thì có thể viết

œ={NeA"[MN e ở}

Theo tiên để thứ nhất của khơng gian n: cho M e A" và ÿ € & c A” thì có duy nhất N e A" sao cho MN = ÿ Do đó nếu

cho ¥ € & thicdM, Neadé + = MN

Ngược lại, nếu cho M, N e ơ thì lấy M làm điểm xuất phát của œ ta có ÿ = MN e ö

b) Cho œ c B thì có điểm M e œ 5 Với ÿ e ở thì có

Neadé MN = ¥.ViM,NeBnén ve B (theo cau a) Vay c Ö

Ngược lại, giả sử có điểm M e œ ^ B và đ c B thi véi bat

kỳ N e ơ ta có MN cỡ, do đó MN eB, suy ra N e (vì M e §,

MN cổ) Vậy ơœ c 8

c) Néu a = B thi tất nhiên ữ = ỗ và với hai điểm bất kì

M,Neư,Bta có MN e ö =ỗ

Ngược lại, giả sử ở = và có M e œ, N e B để MÑN e đ= thi

Nea(iMea, MN ed) vaMeB(WiNe B, NM =— MN ỗ),

nghia 1a M, N € a B Theo câu b) thì œ c B (vì có M e œ¬ B vaac B) vaBca(vicéNe anf va ac B) Vay a=B

Ví dụ ð Trong A" cho hai cai phang a va 8 Chứng minh rằng:

Trang 14

a) Nếu ơ ¬ B = Ø thì với mọi điểm P e ơ và mọi điểm Q eB

ta đều có PQ £ d + Ổ Ngược lại, nếu có điểm P e ơ, điểm

Qe B sao cho PQ #£ d + thianp=

b) Cho tùy ý điểm P e a và điểm Q e B thi

Giải

a) Giả sử œ=Ø mà có P e œ Q e B sao cho PQez+B

thì có thể viết PQ = ä + bvới äcữ, b e Lấy điểm A e œ

sao cho PA= 4 thi b = PQ -PA = AQ ef Do do A € B, suy rad OB #@, diéu nay trai vdi gia thiết Vậy với moi

điểm P e œ, Q e B đều phải có PQ £ õ + B

Ngược lại, nếu có P e a, Q € B sao cho PQ sẽ + mà œ ¬ B #Ø thì lấy một điểm chung A e œ B, ta có

PQ = PA + AQeat 8, nhưng điểu này mâu thuẫn với giả thiết PQ £ ä + § Vậy từ PQ £ð + B phải suy ra œ ¬ B = Ø

b) Vi đ, Ö, <PQ> là những không gian con của œ+B

nên @ + B + (P8) c a+p (*)

Ngược lại, cho tùy ý các điểm P € a, Q « B thi cái

phẳng y đi qua P có phương ¡+đ+(P8) cũng đi qua Q (vì Pe y, ở cy) và chứa B (vì Q e y, ð c7) Nhưng điều này

suy ra œ+B Cÿy =ở + + (PQ) (**)

Trang 15

Từ (*) va Œ*) ta suy ra: a +6 =o +B + (PQ)

Nhận xét : + Néua op #@ thi lấy P trùng với Q thuộc

œ8, lúc đó œ+B = ä +

+ Nếu a OB = © thi với mọi P e ơ, Q e B ta đều có

PQ # 0 Véi moi ¥e (& + B) A (PQ) ta đều viết được

X=kPQ € a +B ma PQ¢ a +B nénk=05% = 0 Vay

(4 +B) (PQ) = {0} va a+B=(a +B) @ (PQ)

—

4 Bài tập

1.1.1 Cho không gian véc tơ n chiều V trên trường K, va không gian con m chiều W của V, (m < n) Goi p:V > V/Wla phép chiếu chính tắc lên khơng gian thương

a) Dat © là tập hợp tất cả các ánh xạ tuyến tính

9:V/W>Vsao cho peo=]ld, Ching minh rằng

V=W®9(V/W) va anh xa F:@—>(V/W) là một song ánh từ ®lên tập các không gian véc tơ con bù tuyến tính của W trong V

b) Đặt A = Hom(V/W, V) và xem A là không gian n

chính tắc xây dựng khơng gian véc tơ Hom(V/W, V) Chứng minh rằng ® là các phẳng của A Tìm phng đ cia â v s chiều của œ

1.1.2 Cho hai khơng gian n (A, @¡, Vị) và (Á;, @;, V;)

trên cùng một trường K Dat A = ÂixÁ;, V=V, x V, và

Trang 16

ø (MỤ,M,), (Nụ, N2) = (60M, NỤ), @(M,, N,))

Chứng minh rằng bộ ba (A, ọ, V) là một không gian n trên trường R Tính dimA theo dimÂ; và dimÂ;

1.1.3 Cho không gian afin (A, 9, V") trén trường K,

không gian con W" c V"- Hai điểm M, N e A gọi là ¿ương

đương nếu MN e W"

a) Chứng minh rằng quan hệ M, NÑ tương đương vừa định

nghĩa là một quan hệ tương đương theo nghĩa thuyết tập hợp (tức quan hệ ấy có tính tự ứng, đối xứng, bắc cầu)

b) Gọi Ä là tập hợp các lớp tương đương theo quan hệ

tương đương nói trên Kí hiệu lớp tương đương của điểm M là

[M] va @: A x K > VW cho bdi quy tắc:

ø(MỊ, [N]) = [MN] 1a lớp tương đương của véc tơ MN

trong không gian véc tơ thương V"/W" Chứng minh ring

(Ã,s, V"'W") là một không gian afin trên trường K có số

chiều là (n — m)

1.1.4 Trong không gian añn Â" = (A, ọ, V") trên trường

K, cho một m— phẳng ơ Lập ánh xạ : œx œ-> đ cho bởi

quy tắc ự(M, N) = o(M, N) với M, N cơ Chứng minh rằng (œ, , ở) là một không gian an m — chiều (gọi là không

gian con của Â")

Trang 17

1.1.5 Trong khong gian afin A" (n > 1), chứng minh rằng: a) Hai đường thẳng phân biệt mà cắt nhau thì giao là

một điểm

b) Hai siêu phẳng phân biệt mà cất nhau thì giao là (n-) - phẳng

c) Mét đường thẳng không thuộc siêu phẳng mà cắt siêu phẳng thì giao là một điểm

3 Moi m — phẳng a va (n — m) — phẳng B mà có ở ¬ B ={Ư}

thì đều cắt nhau và œ ¬ B là một điểm

1.1.6 Trong không gian añn A" (n > 1) Chứng mỉnh rằng:

a) Tổng của một điểm và một đường thẳng là một đường thẳng hoặc là một mặt phẳng Chỉ rõ phương của phẳng tổng

b) Tổng của hai đường thẳng phân biệt hoặc là một mặt phẳng hoặc là một 3 — phẳng Chỉ rõ phương của phẳng tổng

1.1.7 Trong khơng gian n A" cho họ hữu hạn điểm P,,

P, s+) Pa» Họ đó gọi là họ độc lập nếu hệ {B,P, , PP, } độc

lập tuyến tính Họ chỉ có một điểm cũng gọi là #o độc lập

a) Chứng minh rằng định nghĩa trên vẫn còn đúng khi ta

lấy một điểm P, bất kì của họ cho đóng vai trò Pạ

Trang 18

1.1.8 Trong không gian afin A” cho mặt phẳng œ và mặt

phang B (dim a = dim = 2) Cho điểm P e ơ và diém Q € B

Nêu tất cả các vị trí tương đối có thể xảy ra giữa œ và và chỉ ra điều kiện cần và đủ đối với mỗi trường hợp

1.1.9 Trong A" cho hai siêu phẳng ơ và B Chứng minh rằng với œ¬ B = Ø thì d = 8 Khi đó ta néi ava Ø song song

uới nhau

Trang 19

§2 TỌA ĐỘ AFTN PHƯƠNG TRINH CUA m- PHANG

1 Mục tiêu afñin và tọa độ afin

Trong A” trên trường số K cho điểm O và một cơ sở

(6, ẻ,, ế,) của A” Ta gọi bộ (O; é,, ẽ,, ế,) là một

mục tiêu afin cua A" Điểm O gọi là gốc của mục tiêu Cơ sở (ề,,6;, 6„) gọi là cơ sở củœ mục tiêu

Giả sử M là một điểm bất kì của A" Khi đó có thể biểu

thị một cách duy nhất

OM = x,6, + +x,8, (x, € K)

B6 sé (x,, , x,) goi la toa dé afin của điểm M đối với muc

tiêu đã cho và ki hiéu M = (x,, , x,) hay M (x, , x,)

Véi véc td ¥ bat kica A” cing biéu thị được ÿ duy nhất

dưới dạng ÿ = viề, + + v,6, (Vv; K) Bộ số (vị, Voy +) Vp)

được gọi là toa dé afin cia ý đối với mục tiêu đã cho và kí

hiéu ¥ =(v,, , v,) hay ¥ (Vụ, , V.)

Rõ ràng rằng nếu MŒx,, Xu), NƠy, y„) thi MN = yi —Xị, , Vạ — Xg)

2 Đổi tọa độ afin

Trong A” (n 2 1) cho hai muc tiéu afin (O; 6, 6.) và

(O) ẽ/, 6,") Gia stt cho biét OO'= a, 6, + +.a,6 nen +

Trang 20

- ằ

G=| đa có |C| #0)

Khi đó, nếu điểm M e A" có tọa độ đối với mục tiêu thứ

nhất là (xị, x„) và đối với mục tiêu thứ hai là @), xu) thì

co x! '

Xj HCyjXp to FC QXn FA

Công thức này gọi là công thức đổi tọa độ từ mục tiêu thứ

nhất sang mục tiêu thứ hai

Kí hiệu

thì cơng thức trên có thể viết dưới dạng ma trận Cx+a

Trang 21

Nếu ý có tọa độ đối với mục tiêu thứ nhất là (v,,

đối với mục tiêu thứ hai là (v', v'„) thì

[rẻ]

trong đó v và v' là ma trận các cột tọa độ của ý đối với hai

mục tiêu đã cho

-› Vụ) VÀ

3 Phương trình tham số của m ~ phẳng

Trong A" trén trường K (n > 1) cho một m - phẳng a

(0 < m<n) Lấy một mục tiêu afin (O; 6,, , 6,) cha A® Gia

sử I là một điểm của œ có tọa độ I (a¡, aạ) và (b,, , b,) 1a

một cơ sở của ở có tọa độ

= (Day sees Dy):

Khi đó điểm M (x,, , xạ) thuộc vào œ khi và chỉ khi có các số tị, , t„ e K sao cho

Hệ đẳng thức trên gọi là phương trùnh tham số của œ đối

với mục tiêu đã cho, các số tị, -» tạ BỌI là các /ham số ứng với

điểm M

Trang 22

trình tham số của ơ có thể viết dưới dạng ma trận

vet ty by +a (a la cột tọa độ của D Chú ý rằng (by, Ba hàng| =m Din mn

4 Phương trình tổng quát của m- phẳng

Trong A" (n 2 1) cho m — phang ơ thì với một mục tiêu añn (O; ẽ,, Ê„) của A" bao giờ cũng tìm được một hệ

phương trình bậc nhất dạng

trong đó

sao cho điểm MQX, xạ xụ) € œ khi và chỉ khi Œị, X;)

Trang 23

Trường hợp m = n — 1, tức œ là siêu phẳng thì hệ phương trình trên tương đương với một phương trình Do đó phương trình tổng quát của siêu phẳng có thể viết đưới dạng

8iXi † † ayX, + =0 ]

Nếu ơ có phương trình tổng quát như trên thì điều kiện

cần và đủ để véc tơ VỆy,

V6i a), , a, không đông thời bằng 0

+» Vn) thuộc vào ở là:

Hệ phương trình này (với ẩn số Vị, Vụ) gọi là phương

trình tổng quát của phương ở đối với mục tiêu đã cho 5 Một số ví dụ

Ví dụ 1 Trong An (n > 1) cho mục tiêu añn và (n + 1)

diém Đụ, P\, Pạ có tọa độ

Pị= (an, , am),1=0,1, ,n

Chứng minh rằng họ { P,, , P.} độc lập khi và chỉ khi

1j

Giải Ta có

Trang 24

Ho {P,, P,} độc lập khi và chỉ khi họ {PP,, " P,P}

độc lập tuyến tính, điều này xảy ra khi và chỉ khi

ay Ay, - đn ~ on

ơ #0

any 8ạy + ann Bon

ao a, I

wy [Aner Bin “Bon OF Lg

an ~8ại Ann —8ạn 0

Ag, +++ Ap, 1 ay a, 1

eo pu #0 ,

Aye Sạn ||

Ví dụ 2 Trong A" (n > 1) cho hai mục tiêu (O; ,, €,) va (O'; é, , 6) Chứng minh rằng nếu cho một họ n + 1 điểm độc lap {P,, ., P,} va tọa độ của từng diém P, (i= 0, ., n) theo hai mục tiêu nói trên thì có thể lập được công thức đổi tọa độ từ mục tiêu thứ nhất sang mục tiêu thứ hai Nêu rõ cách thành lập công thức

Giải

Trang 25

+ Ca¥, + C, ony (*)

Để tìm (€¡, , cụ„, œ;) ta thay lần lượt tọa độ các điểm Đụ

P, vào đẳng thức đầu ta được

Vì {Pạ, P,} độc lập nên Ay Bạn 1

#0

1

Do đó từ hệ đẳng thức nêu trên ta xem như hệ n + 1

phương trình bậc nhất với n + 1 ẩn e¡, , cụ, c¡ có thể giải ra

được (G¡,, , cị„, c¡) một cách duy nhất

Một cách tương tự có thể tìm được moi dòng (Gạ, , cạ„, e)

theo cách trên

Cách giải khác

Để lập công thức đổi tọa độ ta phải tính được tọa độ điểm Ở và tọa độ của các véc tơ ế; „ 6 theo mục tiêu (O; 6,, ,6,) Muén vay ta phan tich véc to OO' nhu sau:

O0!= OP - O'P =S4,6, - Yale’ G@=0,1 , 0)

Trang 26

Hệ n + 1 đẳng thức này tương đương với hệ " > = Age j 5 Dai,g Ầ ©

Do đó từ hệ (*) có thể giải ra ế;, e„ một cách duy nhất theo 6,, .,6, Nghia là tìm được tọa độ của ế,, é, theo cơ

sở (€; „ 6, ) Thay kết quả tìm được vào

= Dae -dais ;

Trang 27

Vi du 3 Trong A" (n > 1) cho n điểm độc lập P, , P„, có

toa độ trong một mục tiêu afin là P,= (a , 8), ¡ =

an

a) Chứng minh rằng phương trình tổng quát của siêu phẳng ơ đi qua P,, ., P, có thể viết dưới dang

x, x, 1

11 Ay 1 =0

a 7a, 1

b) Viết phương trình của œ trong trường hợp

P,=(0, 0, a,, 0 0) với a, # 0

Giải

a) Điểm MŒQx,, , x,„) thuộc vào œ khi và chỉ khi

PMc a=(PB,, PP,)

© PM, P,P,, P,P, phụ thuộc tuyến tinh

œM, P,, P, không độc lập Theo ví dụ 2, điều này có

nghĩa là

xX, x, 1

a M1 a In =0

a - đạn 1

Đây là phương trình tổng quát của ơ

Trang 28

xX, x, 1 a, 0 1

=0 0 a, 1y

Khai triển định thức vế trái theo dòng đầu ta được xa, wee Ay ve Ag Ayo AL =O

isl

(kí hiệu â, nói rằng khơng có a; trong tích)

hay là

Xn

Xị —TL+, +

a 1 a " =1

Chú ý ‘

Trường hợp này có thể làm đơn giản hơn như sau:

Giả sử phương trình của œ là

u,x, + + ux, + U, = 0

Thay tọa độ từng điểm P, vào ta được u¡a, + uạ = 0 hay

u,= =9 @=1, ,n) ay Vậy œ có phương trình : , 0 W, o = ——2x, - -—2 x, FU, = 0 a, ay

Rõ ràng uạ phải khác 0 nên phương trình trên chuyển thành

x x,

—++ + el

a,

Trang 29

Ví dụ 4 Trong 4" (n > 1) trên trường K cho muc tiéu afin và hai siêu phẳng ơ, ơ' có phương trình tổng quát :

@:a,x,+ +a,x,+ b=0 nu

0: aXxi + ta xy,+b =0,

Giả sử œ # œ' và œ ¬ œ' # Ø Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để siêu phẳng ÿ chứa ơ ¬ œ là phương trình của y

có dạng

of Sax °) +a{ Sian +) =0

isl

với p, q không đồng thời bằng 0 Phương trình trên gọi là phương trình chùm siêu phẳng xác định bởi œ và ơ'

Giải

Điều kiện cân Giả sử y là một siêu phẳng chứa ơ 2 œ, Khi đó có điểm M,(x}, x”) e y mà M, ¢ a a’ Dat p= Sa; x? +b’, s=-|Ÿ sa) thì p, q không đồng thời mt iH bằng 0 (vì nếu p = q = 0 thì Mụ e ø, M, e a’, M, gaa’, hay a =a’, trai gia thiét) Khi dé phuong trinh

of Sax +) +a{San eo} =0 @ im

xác định một siêu phẳng Rõ ràng mọi điểm thuộc œ ¬ œ' đều

có tọa độ thỏa mãn phương trình (*) và điểm M, (x), .,.x°)

cũng có toạ độ thoả mãn phương trình (*) Suy ra phương trình Œ) là phương trình của siêu phẳng H

Trang 30

Điêu hiện đủ Cho hai số p, q € không đồng thời bằng 0 Vì ang 4G nén aa’, do đó có ít nhất một chỉ số 1 để pa, + qa',= 0

Suy ra phương trình

of San +» -a|Šax +] =0 7 inl

tức phương trình ¥ (wa, +qa;)x, + (pb + qb’) =0 ¬

xác định một siêu phẳng Các điểm của œ 5 œ có tọa độ thỏa

mãn phương trình đó nên siêu phẳng này chứa œ ^ Œ

6 Bài tập

1.9.1 Trong A" cho mục tiêu afin (O; ẻ,, ế„) và các véc

to 6 =6,, 6-6, +6 te tiểu Chứng minh rằng

(O'; ẻ;, , e„) là một mục tiêu afđn Viết cơng thức đổi tọa độ

từ mục tiêu đã cho sang mục tiêu mới

1.2.2 Trong A? cho hai mục tiêu afin (O; 6,,6,) va (O'; &, &) Gia su ba điểm P, Q, R có tọa độ đối với mục tiêu

thứ nhất là P@, 1), Œ, 1), RŒ, -1) và có tọa độ đối với mục tiêu thứ hai là P(6, - 2), Q(4, =1), RŒ, — 3) Tim công thức đổi tọa độ (x;, x;) từ mục tiêu thứ nhất sang tọa độ (X›, x';) đối

với mục tiêu thứ hai

1.2.3 Trong A” cho mục tiêu añn (O; ẻ,, ế;, ẻ;) và các điểm: P,d,1,1, P,@,0,0, P;¿d,0,0, Pd, 0)

Q,(0,0,0), Q,(,1.0), @¿Œ.0.7) QC, 0, 1)

Trang 31

Đặt ú,=PP,, i=1,9,3

( =Q,Q i=1.2,3

Ching minh rang (P,; U,,U,,U,) va (Q.; ¥,,V¥,,¥,) 1a hai

mục tiêu añn của A” Lập công thức đổi tọa độ từ mục tiêu

(P; ủ,,ú,,¿) sang mục tiêu (Qu; Ý,, ở, ,)

1.2.4, Trong A" cho mục tiêu añn (O; ẽ,„ 6,) Goi E, 1a điểm xác định bởi OE, = 6, (= 1, n) và gọi ơ; là siêu phẳng đi qua O và đi qua tất cả các điểm E; ma không đi qua E¡

a) Chứng minh rằng œ= ñ œ, là m — phẳng đi qua các

i=m+i

diém O, E,, ., Ey

b) Viết phương trình tổng quát của m — phang a

1.2.5 Trong A" cho mục tiêu afñn (O; Ể¡, , €„), một m - phẳng ơ và một k — phẳng B có phương trình tổng quát:

a) Tìm điểu kiện cần và đủ để ơ và B cắt nhau theo một p — phang (ta nói œ và B cắt nhau cấp Pp)

b) Tìm điều kiện cần và đủ để ở c Ư (ta nói œ SOng song

Trang 32

e) Tìm điểu kiện cần và đủ để œ 8B = Ø và đSÕ là không gian véc tơ q — chiều mà q # m, q # k (ta néi a va B chéo nhau cép 4)

1.2.6 Trong A‘ cho hai cai phẳng œ và B có phương trình

X,+X,—-X,+2x,+1=0 œ:

2x, —X;,+X; +X, =1 = Ô B: x, 2x, +x,=0

“|x, -2x,+x,=0 a) Tim sé chiéu cua o va B

b) Viết phương trình siêu phẳng di qua a va di qua điểm

M (1, -2, 3, ) ,

e) Tìm phẳng giao của œ và ÿ d) Tìm phẳng tổng của a va B,

e) Viết phương trình của cái phẳng y đi qua điểm 1Œ, 1, 1, 1) có cùng số chiều với cái phẳng œ va song song với

Trang 33

§3 TỈ SỐ ĐƠN TÂM TỈ CỰ

1 Tỉ số đơn

Trong A" trên trường K cho ba điểm thẳng hàng P, QR

ma Q # R Khi dé c6 864 € K sao cho RP=ARQ S62 goi lat? số đơn của bộ ba điểm thẳng hàng P, Q, R và kí hiệu

1.= [PQR]

Giả sử trường K có đặc số khác 3 Nếu [PQR] = - 1 thì

R gọi là (rung điểm của cặp điểm (P, Q)

Chú ý rằng với giả thiết Pz thì ^ z 1

Bây giờ trong A" (n > 1) cho một mục tiêu añn và giả sử

P,Q,Rcó toa dé 1a P(a,, ., an), QŒ;, , bạ), RG, ., ¢,), khi

d6 [PQR] = 0 <> RP=1RQ e a,- c,= ^Œ, — c) Vì R z Q nên có chỉ số ¡ để b, # c„ với chỉ số ¡ đó ta có

2 Tâm tỉ cự

Trong A" trên trường K với đặc số bằng 0 cho họ hữu hạn

điểm bất kì P,, , P, và họ hữu hạn số 2„„ , A, của K thỏa mãn h † +, #0 Điểm G của An gọi là tam ti cv cia ho

{Py Ay) «5 (Pp, A,)} nếu:

Trang 34

Trường hợp Ay = = Ar (# 0) thì G gọi là trọng tâm của

họ điểm P,, , P„ Khi đó ta có thể thay 4, =h,=1

Chú ý rằng trọng tâm của một điểm P, chính là P;, trọng

tâm của họ hai điểm {P,, P,} chinh là trung điểm của cặp (P›, P;)

Tính chất a) Trong Â" trên trường K với đặc số bằng 0

cho họ điểm tuỳ ý P¿, P, và họ 80 Ay, «+5 Ay thuộc K với a, to +4, #0 thi ton tai duy nhat diém G 1a tam ti cy cua

ho {(Py, Ay); + Py Ad} Be định như sau: Với điểm 0 lấy tùy ý

trong A” thi

1 Ay tee thy 0G= (2, OP: + +2, OFF)

b) Nếu G là tâm tỉ cự của họ {(P,, Ay), oy Py Aq} ma

hy te + Dg #0, Pag Foe HA, FO thi (Py, Ay), oy Pp Md} 06

tâm tỉ cự G¡ và {Pu Axa), > (Pe Ay)} 06 tim tỉ cự G; và G chính là tâm tỉ cự của họ

(Gy, Ay tee + As (Gray Pacer + oo + ADI

Hệ quả Nếu trong A” cho một mục tiêu n và P; có tọa

độ P(a„, aạ) thì tâm tỉ cự G của họ {Œ„, Ay), - Pr ^„)} có tọa

độ G (xị, ., x„).Xác định bởi ay tetas | G= 1,0): Ag ten tA, i

Néi riéng, trong tam cua ho {P,, - P,} có tọa độ xác

định bởi

Trang 35

Nhận xét Ba điểm thằng hàng P, Q, R có tỉ số đơn

[PQR] = ^ có nghĩa là điểm R là tâm tỉ cự của họ hai điểm

{Œ, Ð, (Q, =1) vì [PQR)] =^ © RỂ - AR@ = 6}

3 Tọa độ tỉ cự

Trong A" (n > 1) trên K cho họ điểm độc lập {Pạ, P\, P,)

Goi a là r — phẳng đi qua P„ P, Khi đó với mỗi điểm

M eơ thì có duy nhất một họ số 2q, ., A, thuộc K thỏa mãn Jo + +2, = 1 sao cho M là tâm tỉ cự của họ {Œ%, Aq), Œ,„, ^,)} Bộ số (Ao, ., 4,) Boi 1a toa dé ti cv hay toa độ trọng tâm của

điểm M đối với mục tiêu (tọa độ) tỉ cự {PỤ, , P,} Ngược lại,

cho tùy ý bộ số (1, , A,) của K mà Au + + A„ = 1 thì tổn tại điểm M e ơ nhận bộ số đó làm tọa độ tỉ cự đối với mục tiêu (Pu, ., P,) Kí hiệu MQ, ., 4,) hay M = (Ap, , 4,) Theo tinh

chất a) thì với điểm O bất kì ta có,

OM=A, OP, + +2,OP, (ty + ou: +A, = 1)

4 Một số ví dụ

Ví dụ 1 Trong A" trên trường K cho họ điểm Đụ, P, Gọi œ là phẳng tổng của PQ, , P,

a) Chứng minh rằng điểm M thuộc ơ khi và chỉ khi M là

tâm tỉ cự của họ điểm {ŒPạ, Àq), , CP,„ ^,)} ứng với một họ số

Trang 36

b) Từ đó suy ra rằng điểm M thuộc ơ khi và chỉ khi với một điểm O bất kì đều có thể viết

OM=k,OP, + +k, ÖP,, với kạ + + k, = 1 Giải a) Giả sửM e œ thì P,M e ä = (BP, PsP.) © BM = t,P,P, + +t,PỤP, © B.M =t, (MP, - ME) + + t, (MP -MP,) (q-t— —- t) MP; +t,MB, + +t,MP, =0

Dat Ay = (1-ty— -t), Ay = ty = thiag+Ayt tA, = 140

va ta dude AMP, + +,MP, = 0 Đẳng thức này chứng tỏ

rằng M là tâm tỉ cự của họ điểm {ŒPu, A9), - (P„ A,)}-

Ngược lại, nếu M là tâm tỉ cự của họ diém {(Po, Ao),

(P,, Ad}

thi A) MP, + +2,MP, = 0

© Ao MP, + 2,(MP, + P,P.) + + %,(MP, + P,P.)=0 © (ho ton t2)MB, +2, P,P, + + 2,P oP, = oO

=< 1,P,P+ +A,PiP

©B,M= Ag teeth, eado@MeA

Trang 37

b) Theo câu a), điểm M e œ © M là tâm tỉ cự của một họ điểm {ŒP, ^,), , (P,, ^,)) Điều này có nghĩa là với điểm O bất

^,OP, tinth, OP Ao tet,

ki thi OM =

Dat k,=-—*_ G=0, , x) thi Ag tet,

OM =k,OP, + +k,OP., kẹạ+ +k,=1

Ví dụ 2 Trong A" cho họ điểm {ŒQ, ^,), , (P„ ^,)}, có

tâm tỉ cự là G Giả sử A¿ + + A, # 0 và E là tâm tỉ cự của họ

điểm {(Po, Ao), «+» (Pi, Ay)}- Chting minh rằng G là tâm tỉ cự

của họ điểm ((E, Xo + +24), (Preis Anais «(Pps Ay}

Giải

Ta có A,GP, + +A,GP, = Ư

GP,

© tp tie ty) Ào wt), GP,

thy +i GP, + +2,GP, =0 0 © (lot tA)GE + GP, + +2,GP.=6

= Gla tam ti cu cita ho {(B, Ap + + ys (Phas aa)» Pr

Vi du 3 Trong A" (trên trường số K có đặc số bằng 0) mỗi họ m + 1 điểm độc lập {Pạ„ , P„} còn gọi là mét m — don hình với các đỉnh Pụ, P„ và kí hiệu là AŒP,, P„) Mỗi họ con r + 1

Trang 38

điểm của nó gọi là một 7 — mặt bên, họ con các điểm còn lại là

một (m — r— 1) ~ mặt bên gọi là mặt bên đổi diện của r - mặt bên đó Mặt bên tạo bởi hai đỉnh (tức 1 ~ mặt bên) gọi là cạnh

2) giơ là+— phẳng chứa một r— mặt bên và P là (m—~r~ 1)= phẳng

chứa (m —r— 1)— mặt bên đối diện Chứng minh rằng ơ © B

=D

b) Chứng minh rằng tất cả các đường thẳng đi qua trọng tâm của hai mặt bên đối diện đều đồng quy tại trọng tâm G của m — đơn hình Với hai trọng tam G,, G, cua hai mat bén đối diện đó, hãy tính tỉ số đơn [G;G;G]

c) Chứng minh rằng các phẳng tổng của từng r - mặt bên và trọng tâm của (m — r— 1) - mặt bên đối diện đều đồng

quy tai G

Giải

a) Nếu ơ ¬ B # Ø thì theo công thức số chiều, ta có :

dim a+ dim B = dim (a + B) + dim (a 0 B)

ert(m—r-1)=m+dim (an B)

= dim @ 0B) =-1, diéu nay vơ lí Vay a9 BHD

b) Trọng tâm G của AŒ,, P„) là tâm tỉ cự của họ {(Po, Van Pn» D}- Theo tinh chất a) thì G là tâm tỉ cự của họ

{(G,, r + 1), (G¿, m— r)} Do đó G thẳng hàng với G¡, G„, tức là G;G; qua G Mặt khác ( + NGG, +(m- GG, = 0 nén r-m r t6?" 66, Vay [6,6.6]=*—™ GG, =F GG, Vay [G.G.G]= “5

c) Gia sử xét r — mat bén A(P,y, « , P,) Gọi E là trọng tâm của mặt bên đối diện thì theo ví dụ 2), G là tâm tỉ cự của họ

Trang 39

điểm {(Po, 1, (P,, 1), (E, m — r)} Do đó G thuộc vào phẳng „

tổng của P,, ., P,, E Két qua nay đúng cho mọi r ~ mặt bên

Do đó mọi phẳng tổng đã nói đều đồng quy tai G

Ví dụ 4* Trong A" (trên trường số K với đặc số bằng 0)

cho họ n + 1 điểm độc lập P,„ , P, Với điểm M e A" kí hiệu

tọa độ tỉ cự của M đối với mục tiêu tọa độ ti cu {P,, ., P,} la M(Ao, ., An), con tọa dé afin cua M déi véi muc tiéu afin (P,,

P,P, -) PyP,) 1a M(x, « , x,)

a) Tìm tọa độ tỉ cự của các điểm P,, P, va cua trong

tam G cua ho diém {P,, ., P,}

b) Tìm tập hợp các điểm M có tọa độ tỉ cự MỌ,, ., O, , A„), số

0 có chỉ số tọa độ là ¡ (tức là À¡=0)

c) Tim lién hé giita tọa độ ti cul (Ao, ., A) Va tọa d6 afin (x,, ., X,) cua cùng điểm M đối với hai mục tiêu đã chọn

d Chứng minh rằng điểu kiện cần và đủ để điểm MA, « , ^„) thuộc vào một siêu phẳng œ là tọa độ tỉ cự của nó thỏa mãn một phương trình dạng

UpAg # + UU„ = 0,

với các hệ số uụ, u, không đồng thời bằng 0 Từ đó suy ra

rằng phương trình của một m — phẳng B có dạng (theo tọa độ tỉ cự):

thọ + inn +u,À,<=0

Ag+ uA, =0 mn

Trang 40

với hạng | =n-m

e) Với j < k, gọi y là phẳng tổng của các điểm M, Pụ, , P„ mà khơng có điểm Pi, Py Giả sử điểm M có tọa độ M (X„ , À„) với mọi ^; # 0 Tìm điều kiện VỀ Ào, , Àạ để y cắt đường thẳng P,P, tại đúng một điểm Mụ nào đó Tính tỉ số đơn [P,P,MI]

Giải

ra2 = =

Điểm G là trọng tâm của họ điểm {P,, ., P,} khi và chỉ khi

1 GP, + 4GP,=0 © 1&Ẹ, + + 1GP =0 Vì 1+ n n n + =1 n

(với n số hang) nên tọa độ tỉ cự của G là d5 3) n n

b) Điểm M = (4, 0, ., A„) khi và chỉ khi (i)

dg MP; + 4 0+ MB, + 42,MP,= 0, dot tO4 A= 1

© Mla tâm tỉ cự của ho điểm {CP, 2u, (P,2„} mà