mối liên hệ giữa các hình hình học trong không gian và ứng dụng

Mục lục Mở đầu Lí chọn đề tài Nội dung Phần 1: Cơ sở lí luận việc ngiên cứu mối liên hệ hình hình học không gian Cơ sở triết học Cơ sở tâm lí học Cơ sở giáo dục học Thuyết liên tởng Phần 2: Mối liên hệ hình hình học không gian ứng dụng Mét sè thĨ hiƯn cđa h×nh häc cao cÊp 1.1 Hình hoc Afin 1.2 Hình học Euclice Mối liên hệ hình không gian 2.1 Xem hình phận hình khác 2.2 Phân chia khối đa diện thành nhiều khối đa diện Khai thác toán ứng dụng chơng trình hình học không gian 11 12 (chơng chơng 2) Kết luận Tài liệu tham khảo M ĐẦU Lí chọn đề tài “Hình học khơng gian mơn tốn học nghiên cứu tính chất hình khơng gian” Trong chương trình hình học phổ thơng , việc nghiên cứu hình khơng gian dựa hình biểu diễn chúng mặt phẳng Từ hình biểu diễn học sinh hình dung hình cho nghiên cứu mối quan hệ, tính chất chúng hình biểu diễn Đây khó học sinh chuyển từ hình học phẳng sang hình học khơng gian, từ tư cụ thể sang tư trừu tượng Theo GSTS Đào Tam, dạy học hình học khơng gian giáo viên cần trọng cho học sinh biết khai thác phương pháp khác nhau, giải dạng tốn hình học không gian đường tổng hợp, cần bồi dưỡng cho học sinh lực thiết lập mối liên hệ kiến thức hình học khơng gian với kiến thức hình học phẳng dược học trường trung học phổ thơng Ngồi giáo viên cần ý quan tâm bồi dưỡng cho học sinh khả chuyển tính chất từ hình học khơng gian sang hình học khơng gian khác đơn giản nhờ xét mối quan hệ hình hình học Việc nghiên cứu mối liên hệ hình học khơng gian có vai trị quan trọng chương trình hình học phổ thơng vì: - Nghiên cứu mối liên hệ hình giúp học sinh có điều kiện củng cố tính chất hình, thiết lập mối liên hệ hình, từ nhìn nhận hình phận hình khác hay biêt tách phận hình để nghiên cứu - Nhận biết mối liên hệ hình giúp học sinh chuyển hóa tốn từ hình ban đầu sang hình khác đơn giản hơn, góp phần giải lớp tốn mà tính tốn trực tiếp gặp khó khăn phức tạp - Góp phần phát triển tư trừu tượng, tư thuật tốn trí tưởng tượng không gian cho học sinh Néi dung Phần 1: Cơ sở lí luận việc ngiên cứu mối liên hệ hình hình học không gian ứng dụng Cơ sở triết học Ăngghen ®· viÕt: “phÐp biƯn chøng lµ lÝ ln vỊ mèi liên hệ phổ biến, môn khoa học quy luật phổ biến vận động, phát triển tự nhiên, xà hội, loài ngời, t Theo quan điểm vật biện chứng, tính thống vật chất giới sở mối liên hệ vật, tợng Các vật tợng tạo thành giới dù đa dạng, phong phú, dù khác song chúng dạng khác giới nhÊt, thèng nhÊtthÕ giíi vËt chÊt Nhê cã tÝnh thống mà chúng tồn biệt lập, tách rời mà tồn tác động qua lại, chuyển hóa lẫn theo quan hệ xác định Thuyết vật biện chứng khẳng định: mâu thuẫn động lực thúc đẩy trình phát triển Trong dạy học mâu thuẫn yêu cầu nhận thức với kiến thức kinh nghiệm sẵn có đa ngời học vào tình có vấn đề Tình phản ánh cách lôgic biện chứng quan hệ bên kiến thức cũ, kĩ cũ, kinh nghiệm cũ với yêu cầu tìm hiểu, giải thích kiện mới, t mới, thay đổi tinh toán Và lần mâu thuẫn xuất lại đợc giải hiểu biết học sinh lại tiến thêm bớc theo quy luật gọi phủ định phủ định Nh nghĩa nói có mâu thuẫn xuất tức có bất lực Trớc tình hình yêu cầu học sinh phải tìm cách giải tợng Nghiên cứu khoa học đa đến kiến thức cho phép giải tợng Những kiến thức ban đầu tởng nh mâu thuẫn kiến thức cũ (phủ định lần) nhng sau đà hiểu sâu lại thấy thống với kiến thức cũ, kế thừa mở rộng kiến thức cũ Hêghen đà khẳng định mâu thuẫn nguồn gốc tất vận động tất sù sèng, chØ chõng mùc mét vËt chøa ®ùng mâu thuẫn vận động, có xung lực hoạt động Sự phủ định thay vật vật khác trình vận động phát triển, nhng phủ định biện chứng phủ định trơn, bác bỏ tất phát triển trớc mà mang tính khách quan Kế thừa điều kiện cho phát triển, trì gìn giữ nội dung tích cực giai đoạn trớc, lặp lại số điểm xuất phát nhng sở cao hơn, phát triển tiến lên theo đờng thẳng mà đờng xoáy trôn ốc Nhiệm vụ nhận thức khoa học phải tìm nguyên nhân tợng tự nhiên, xà hội,t Để giải thích đợc tợng dạy học ph¶i chó ý rÌn lun cho häc sinh kh¶ nhìn nhận đối tợng toán học mối quan hệ nhân để tìm cách chứng minh định lí hay giải toán cách không khó khăn Chẳng hạn với toán: (Bài 15a chơng 1, Hình học 12 nâng cao) Cho tam giác ABC điểm S thay đổi Thể tích khối chãp S.ABC cã thay ®ỉi nÕu ®Ønh S di chun mặt phẳng song song với mặt phẳng (ABC) Với toán câu trả lời có không ể đến kết luận toán học sinh phải bám sát đề bài, liên hệ với kiến thức đà học để tìm lời giải thích cho tợng Thể tích khối chóp V = d SABC = SH.SABC (?) Khi S thay ®ỉi yếu tố thay đổi? SH thay đổi SABC không thay đổi ABC c định Giả sử (P) // (ABC) S thay đổi (P) Khi ®ã S SH = d = d = const Từ suy V(S.ABC) P không đổi Vậy câu trả lời không Từ kết luận to¸n cho O B A H O’ C ta rót kết luận sau +d =d với O Là điểm thuộc (p) (p) // (ABC) + d =3V(S,ABC)/ S Phân tích tổng hợp thao tác t mà thao tác t khác xem dạng xuất (biến thể) khác thao tác Phân tích tách (trong t tởng) hệ thống thành vật, tách vật thành tợng riêng lẻ Tổng hợp liên kết (trong t tởng) phận thành vật, liên kết nhiều vật thành hệ thống Phân tích chia chỉnh thể thành nhiều phận Tổng hợp nhìn bao quát lên chỉnh thể, cố miêu tả đợc tranh toàn cảnh chỉnh thể, mối quan hệ, phận chỉnh thể liên hệ chỉnh thể với môi trừơng xung quanh Phân tích, tổng hợp trình trái ngợc nhau, nhng lại mặt trình thống Chúng hoạt động trí tuệ trình t duy, hoạt động trí tuệ khác diễn tảng phân tích - tổng hợp Lênin nói rằng: “Từ trực quan sinh động đến tư trừu tượng từ trở thực tiễn đường nhận thức chân lí” Đặc điểm mơn tốn tính trừu tượng cao độ tính thực tiễn phổ dụng Với tốn học tốn học phát triển trừu tượng nhiêu Chẳng hạn từ hình ảnh hạt bụi, sợi dây căng thẳng, mặt hồ lặng gió … tiến lên xây dựng khái niệm toán học điểm, đường thẳng, mặt phẳng … Từ Hình học phẳng xây dựng trừu tượng lên Hình học khơng gian, từ có chỗ dựa trực quan đến chỗ dựa trực quan hình học Cơ sở tâm lí học Hoạt động học hoạt động chiếm lĩnh, hay nói cách khác hoạt động lĩnh hội tri thức, kĩ năng, kĩ xảo tương ứng với tri thức Nghĩa tri thức, kĩ năng, kĩ xảo đối tượng hoạt động học Như học sinh thực hoạt động học chiếm lĩnh (lĩnh hội) tri thức, kĩ năng, kĩ xảo Khi học sinh thực hoạt động học học sinh trở thành chủ thể chiếm lĩnh nội dung học tập mới, chủ thể hoạt động tích cực trí óc chân tay, q trình chức tâm lí học sinh hoạt động tích cực Hoạt động học làm thay đổi chủ thể, chủ thể lĩnh hội tri thức, kĩ năng, kĩ xảo nhờ tạo phát triển tâm lí người học Có thể nói hoạt động học tạo biến đổi người học, hình thành nhân cách cho học sinh Xét mặt tâm lí học, học sinh lĩnh hội kiến thức vừa sức em với nỗ lực trí tuệ định, phù hợp với phát triển tâm lí trình độ tư Các em dễ nhận vấn đề điều quen thuộc, nhìn thấy chức đối tượng quen biết, suy đốn đối tượng có dựa quy tắc, kinh ngiệm định mà khơng phải đốn mị Từ biểu tượng đối tượng biết hình thành hay sáng tạo hình ảnh đối tượng chưa biết chưa có đời sống Cuộc sống dòng chảy hoạt động Dạy học không hướng cho học sinh lĩnh hội tri thức học tập, kĩ năng, kĩ xảo mà lĩnh hội phương thức hoạt động học tập, điều yêu cầu giáo viên không dạy học kiến thức mà phải biết định hướng cách học, phương pháp học tập tạo cho học sinh niềm vui hứng thú học tập Cơ sở giáo dục học Toán học mơn học có tính hệ thống cách chặt chẽ, kiến thức tốn học hiểu kĩ vững học sinh nắm chúng cách có hệ thống, vận dụng chúng cách linh hoạt từ có sở để rèn luyện tư duy, giới quan khoa học, nâng cao khả nhận thức học sinh Vì dạy học giáo viên phải làm cho học sinh thấy mối liên hệ kiến thức toán trước với toán sau, tập với tập khác, tài liệu với tài liệu khác Theo phương châm tư tưởng Hồ Chí Minh “Từ gốc đến ngọn, từ gần đến xa, từ dễ đến khó, có tham mau tham nhiều lúc” Thuyết liên tưởng Thuyết liên tưởng trường phái tâm lí học lớn bắt nguồn từ triết học Aristotle, đặc biệt từ triết học cảm Anh Các đại biểu hàng đầu Thomas Hobbes (1588 – 1679), J.Hartley (1705 - 1757), J.Mill (1737 - 1836) … Những luận điểm thuyết liên tưởng là: Thứ nhất: Tâm lí (hiểu theo nghĩa yếu tố ý thức) cấu thành từ cảm giác Cấu thành cao biểu tượng, ý nghĩ, tình cảm … thứ hai xuất nhờ liên tưởng cảm giác Nói cách khác đường hình thành tâm lí liên kết cảm giác ý tưởng Thứ hai: Điều kiện hình thành liên tưởng gần gũi q trình tâm lí Thứ ba: Sự liên kết cảm giác ý tưởng để hình thành ý tưởng kết hợp giản đơn cảm giác ý tưởng có mà giống kết hợp nguyên tố hóa học để tạo thành hợp chất Thứ tư: Các mối liên tưởng bị quy định linh hoạt cảm giác ý tưởng thành phần liên tưởng tần số nhắc lại chúng kinh nghiệm Nghĩa cảm giác hay ý tưởng sống động hơn, thường xuyên tạo cảm giác ý tưởng mạnh cảm giác ý tưởng yếu thường xuyên Thứ năm: Các liên tưởng hình thành theo số quy luật: - Quy luật tương tự: ý thức dễ dang từ ý tưởng sang ý tưởng khác tương tự với - Quy luật tương cận: ta nghĩ đến vật ta có khuynh hướng nhớ lại vật khác trải qua nơi thời gian - Quy luật nhân quả: có ý tưởng kết thường xuyên xuất ý tưởng nguyên nhân dẫn đến kết đó.Sự phát triển nhận thức trình tích lũy mối liên tưởng Sự khác biệt trình độ nhận thức quy định số lượng tốc độ hoạt hóa liên tưởng Trong dạy học nói chung dạy học tốn nói riêng kiến thức đặt cho học sinh học tập, lĩnh hội kiến thức hoàn toàn xa lạ tách rời với kiến thức cũ Kiến thức đặt ln có liên hệ gần gũi với kiến thức cũ, kiến thức có trước Học sinh tạo liên kết dựa vào số quy luật: “sự tương tự vấn đề với vấn đề cũ nội dung hay hình thức,sự gần gũi kiến thức, quy luật nhân … Người học có khả liên tưởng tốt, có nhiều liên tưởng có phát triển nhận thức tốt người khác PHẦN II: Mối liên hệ hình hình học khơng gian ứng dụng Một số thể hình học cao cấp 1.1 Hình học afin (A )  m _ phẳng Cho không gian afin A liên kết với không gian véc tơ Gọi I điểm A không gian Khi  = {M A /  } gọi phẳng  qua điểm I có phương - Trong Hình học sơ cấp: Điểm 0_ phẳng Đường thẳng 1_ phẳng Mặt phẳng 2_phẳng  Siêu phẳng (n -1)- phẳng không gian afin A (R) gọi siêu phẳng A -Trong Hình học sơ cấp Siêu phẳng mặt phẳng đường thẳng Siêu phẳng không gian mặt phẳng  Tâm tỉ cự hệ điểm Trong không gian Afin A cho họ hữu hạn điểm { P , P , …, P } * Điểm G A gọi tâm tỉ cự hệ điểm { P , P , …, P }  bộ số thực { ,  , …, } thõa mãn ≠0  = (Với O điểm tùy ý không gian) * Điểm G A gọi tâm tỉ cự hệ điểm { P , P , …, P }  bộ số thực { ,  , …, } thõa mãn  = =  Nếu  =  = … =  = điểm G gọi trọng tâm hệ điểm { P , P , …, P } - Trong Hình học sơ cấp Trọng tâm G điểm A, B trung điểm đoạn AB + = Trọng tâm điểm không thẳng hàng { A, B, C} trọng tâm tam giác ABC Ta có hệ thức vecto + += hay = ( + + ) (với O điểm bất kỳ) 10 cho m =1, 2, ta khái niệm định lí hình học sơ cấp Mối liên hệ hình hình học khơng gian 2.1 Xem hình phận hình khác Mọi vật tượng có mối liên hệ với nhau, liên hệ bên bên ngoài, phận tổng thể … Hình học khơng gian hình khơng gian có mối liên hệ mật thiết với Nếu trình học mà người học ý quan sát đồng thời thực thao tác tư phân tích, tổng hợp … nhận mối liên hệ hình Các mối liên hệ ứng dụng vào giải toán giúp giải lớp toán với cách làm hay thú vị Hơn cịn góp phần rèn lun tư duy, nâng cao trí tưởng tượng khơng gian Chẳng hạn:  Hình tam giác phận hình bình hành, tam giác vng phận hình chữ nhật A D B C A B D C Và ta có liên hệ diện tích S = S  Xem tứ diện phận hình hộp -Trường hợp 1: cạnh tứ diện cạnh hình hộp A D B C Trong trường hợp ta có liên hệ thể tích V = V với V thể tích hình hộp 14 -Trường hợp 2: cạnh tứ diện cá đường chéo hình hộp B A D C Trong trường hợp ta có liên hệ thể tích V= V, với V thể tích hình hộp Đối với tốn, học sinh phân tích giả thiết để biết áp dụng trường hợp hay trường hợp Một số trường hợp cụ thể: Tứ diện phận hình lập phương (hình a) B A A C D a B D C b Tứ diện gần phận hình hộp chữ nhật (hình b) Ngồi xem tứ diện gần phận tứ diện vuông 15 A D’ C B’ B D’ B D A C C’ D C’ B’ Tứ diện trực tâm phân hình hộp thoi (là hình hộp có tất cạnh nhau) B A D C Người học nắm tính chất hình có trí tưởng tượng khơng gian tốt, nhận biết mối quan hệ linh hoạt chuyển hóa tốn từ làm việc hình ban đầu sang hình mà việc giải tốn dựa hình đơn giản 2.2 Phân chia khối đa diện thành nhiều khối đa diện Phân chia khối đa diện thành nhiều khối đa diện dùng mặt phẳng cắt khối đa diện thành nhiều khối đa diện mà khối đa diện khơng có điểm chung với Một khối đa diện ln phân chia thành khối tứ diện Việc phân chia khối đa diện thành nhiều khối tứ diện quan trọng cho việc tính thể tích khối đa diện đồng thời góp A phần nâng cao trí tưởng tượng khơng gian cho học sinh B C Ví dụ 1: Phân chia khối lăng trụ tam giác thành khối tứ diện B’ A’ C’ Khối lăng trụ ABC.A’B’C’ chia làm 16 khối tứ diện: A.A’B’C’; A.CC’B’; A.BCB’ Hơn cịn có V = V= V A = V M Ví dụ (Bài 2- trang 5, Hình nâng cao) Hãy dùng mặt phẳng để học M’ 12 C N B chia khối N’ tứ diện cho khối tứ diện D D Giả sử ABCD khối tứ diên cho Chia AB thành doạn diểm chia M M’, chia đoạn CD diểm chia N N’ N’ Khi mặt phẳng (ABN), (ABN’), (CDM), (CDM’) chia khối tứ diện thành khối tứ diện B Ví dụ Phân chia khối hộp thành khối tứ diện C D A Khối hộp ABCD.A’B’C’D’ phân chia thành khối tứ diện B A ’ ’ A’AB’D’, BAB’C, C’CB’D’, DACD’ Và ta có liên hệ thể tích C D ’ ’ V=V=V=V= V = V - = (V thể tích khối hộp) Ví dụ (Hình học 12 nâng caoHãy phân chia khối tứ diện khối tứ trang 7) A thành M diện mặt phẳng Xét tứ diện ABCD Chọn điểm M nằm A B, nằm C D Hai mặt phẳng (AND) C B N D D điểm N (CMD) chia tứ diện ABCD thành khối tứ diện 17 AMND, AMNC, BMND, BMNC V í dụ Phân chia khối hộp thành khối tứ diện Ta dễ dang phân chia khối hộp thành khối lăng trụ tam giác, khối lăng trụ tam B A C D giác ta lại chia thành 3khối tứ diện Cách làm ta phân chia khối hộp ABCD.A’B’C’D’ thành khối tứ diện AA’B’D’, ABB’D’, ABD’D, B’ A’ C’ D’ C’BB’D’, C’DD’B, C’CBD Hơn thể tích khối tứ diện thể tích khối hộp Việc phân chia khối đa diện gắn liền với tốn tính thể tích Một khối đa diện phân chia thành nhiều khối đa diện thể tích tổng thể tích khối đa diện phận Vì từ đầu lớp 12 giáo viên cần trọng rèn luyện cho học sinh thực phân cắt hình vừa rèn luyện kĩ năng, vừa nâng cao trí tưởng tượng khơng gian cho học sinh, thuận lợi cho việc dạy học tính thể tích khối đa diện sau.Tuy nhiên để trở thành kĩ khó với tốn cần phân chia phức tạp, trí tưởng tượng học sinh chưa cao phần dễ bị trồng lên dẫn đến liệt kê thiếu thừa hình Thực phân cắt tốt học sinh thực hiên tốn tính thể tích hình phức tạp tốt Một số toán ứng dụng chương trình hình học khơng gian lớp11 lớp12 Mỗi tốn thường có nhiều cách giải, việc phát khám phá cách giải khác phụ thuộc vào khả nhìn nhận vấn đề nhiều góc độ mơi trường khác người Để rèn luyện cho học sinh khai thác mối liên hệ hình ứng dụng giải toán giáo viên cần hướng đẫn cho học sinh khai thác tính chất hình liên hệ chúng với tính chất hình khác, nhìn nhận tập giải tổng thể hình 18 dạng không gian Định hướng hướng dẫn cho học sinh chuyển đổi hình thức, ngơn ngữ tốn để tìm lời giải hay, súc tích khơi dậy tinh thần hứng thú học tập cho học sinh Học sinh vừa có dịp ơn lại tính chất hình, vừa góp phần nâng cao trí tưởng tượng khơng gian, rền luyện tính linh hoạt học tập, rền luyện khả tự học cho học sinh Ví dụ Hình hộp ABCD.A’B’C’D’ hình hộp thõa mãn điều kiện sau: a) Tứ diện AB’CD’ có cặp cạnh đối b) Tứ diên AB’CD’ có cặp cạnh đối vng góc c) Tứ diện AB’CD’ tứ diện A Giải B C D a) Ta có AB’= CD’ mà AB’ = C’D  CD’ =C’D  CC’D’D hình chữ nhật Tương tự cho cặp cạnh lại C’ B’ A’ D’ Vậy ABCD.A’B’C’D’ hình hộp chữ nhật b) Ta có AB’  C’D B CD� D,CD�  = � C �  = 90  � AB,� C A D  CC’D’D hình thoi Tương tự cho cặp cạnh cịn lại Vậy hình hộp ABCD.A’B’C’D’ hình hộp thoi B’ C’ A’ D’ c) Tứ diện AB’CD’ tứ diện đều, theo câu a suy hình hộp ABCD,A’B’C’D’ hình hộp chữ nhật Mặt khác AB’ = AD’  A’B’ =A’D’ Và AB’ = AC  AA’ = BC =A’D’ Vậy AA’ = A’B’ = A’D’ nên ABCD.A’B’C’D’ hình lập phương 19 Ví dụ (Bài 20 - trang 103, Hình học 11 nâng cao) Cho tứ diện trực tâm ABCD Chứng minh B M A tổng bình phương cặp cạnh đối diện N Với tốn náy giải trực tiếp, P D Q găp dấu hiệu tứ diện trực tâm giáo viên có C thể hướng dẫn cho học sinh đưa vao hình hộp thoi Hơn cịn đưa tốn tổng bình Với với tốn giải trực tiếp, gặp dấu hiệu tứ diện trực tâm giáo viên hướng dẫn cho học sinh đưa vào hình hộp thoi Hơn cịn đưa tốn tổng bình phương độ dài đoan thẳng chéo tính tổng độ dài đoạn thẳng nằm mặt phẳng Yêu cầu toán chứng minh AB + CD = AC + BD = AD + BC Xem tứ diện ABCD phận hình hộp AMBN.PCQD Khi tốn chuyển chứng minh tổng bình phương cặp đường chéo mặt bên mặt đáy hình hộp thoi AMBN.PCQD Đây tốn mà học sinh giải đơn giản Ví dụ (Bài 33 Hình hoc 11 nâng cao_trang 118) Cho hình hộp thoi ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a �BAA�  �DAA�  �BAA�  �DAA�= 60 Tính khoảng cách mặt phẳng đáy Từ giả thiết toán B �BAD  �BAA�  �DAA�= 60 AB = AD= AA’ =a A D  tứ diện AA’BD đều, cạnh a Mặt khác d=d C A’ B ’ D ’ C ’  tốn chuyển tính chiều cao tứ diện cạnh a 20 Tách tứ diện AA’BD tính chiều cao tứ diện đều, toán quen thuộc học sinh Khi có dấu hiệu quen thuộc giáo viên phải tổ chức hướng dẫn cho học sinh nhận biết, suy luận để xem hình phận hình khác phát phận hình đặc biệt hình, từ đưa tốn giải hình đặc biệt hơn, cách làm đơn giản hơn, làm cho học sinh dễ hiểu mà tạo hứng thú học tập khám phá cách làm mới, trở thành kĩ Và trỏ thành kĩ thi trí tưởng tượng khơng gian cua em tốt hơn, trừu tượng mơ hình giảm xuống liên hệ với thực tiễn sống Ví dụ (Bài 9, trang 46 Hình học 12 nâng cao) Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC biết SA = a, SB= b, SC =c cạnh SA, SB, SC đôi vng góc Chứng minh M điểm S, trọng tâm tam giác ABC tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp thẳng hàng P A Đây tốn mà học sinh giải O theo cách thơng thường xác định tâm bán kính tính diện tích mặt cầu N B G S Q C Cách làm phù hợp với suy nghĩ học sinh nhiên lâu địi hỏi tính tốn nhiều Nếu q trình học, người học có phân tích Trong hình hộp chữ nhật, đỉnh ln có góc tam diện vuông Qua điểm không đồng phẳng tồn mặt cầu Một hình hộp chữ nhật nội tiếp mặt cầu Do mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật mặt cầu ngoại tiếp tứ diện vng có đỉnh trùng với đỉnh hình hộp chữ nhật Vậy ta giải tốn cách đơn giản xem tứ diên SABC phận hình hộp chữ nhật AMNP.SBQC Khi ta có 21 Tâm mặt cầu ngoại tiếp SABC tâm O hình hộp bán kính R = Diện tích mặt cầu S = 4R = (a +b + c) _ Cũng dễ dàng nhận trọng tâm G tam giác ABC  SN (bài toán quen thuộc) O  SN  S, G, O thẳng hàng Vậy từ toán hoạt động hình chóp chuyển hóa linh hoạt đưa tốn hoạt động hình hộp hình “có nhiều tính chất” nên việc giải tốn trở nên đơn giản Có điều người học phải trải qua q trình rèn luyện, nắm vững tính chất hinh, có tư cao, phân tích liên hệ sắc sảo góp phân nâng cao trí tưởng tượng khơng gian Chẳng hạn: Ví dụ Tính thể tích khối tứ diện ABCD có cặp cạnh đối AB = CD = a, AC = BD = b, AD =BC = c Khi nói đến thể tích tứ diện học sinh nghĩ đến công thức học cách làm gặp khó khăn tính chiều cao hình chóp Nhưng người học biết nhìn nhận M thấy hình hộp chữ nhật, đường chéo mặt đối diện nhau, đường B N A chéo lựa chọn hợp lí ln tạo cho ta tứ diện có cáccặp cạnh đối Bây người học phải xem xét mối quan hệ thể tích P D Q C tứ diện với thể tích hình hộp Việc tính V cịn việc tính thể tích hình hộp so sánh thể tích tứ diện với thể tích hình hộp, thể tích hình hộp tính dễ dàng Xem tứ diện ABCD phận hình hộp AMBN.CPDQ Theo ví dụ 1phần III AMBN.CPDQ hình hộp chữ nhật,và tích V Đặt AM = x, AN = y, AR = z ta có 22  Dễ thấy V= V = V= V= V  V = V  V = xyz  điều cần phải chứng minh Cách 2: Nếu quan sát kĩ trình học người học rút tứ diện vuông A.BCD (đỉnh A), ta lấy B, C, D trung điểm CD, BD, BC, tứ diện ABCD tứ diện có cặp đối Người học cần xét mối quan hệ thể tích tứ diện ABCD với thể tích tứ diện A.BCD Trên mặt phẳng (BCD) ta dựng d, d, d qua đỉnh B, C, D song song với CD, BD, BC; đường thẳng cắt D theo giao điểm B, C, D Ta có BCDC hình bình hành  BC = CD B C = c, BC = CD = a ∆DBC = ΔCBD  BC = BD  CD= DB= C D A B c  D trung điểm CB  CB =2c =2AD  ΔACB vuông A Chứng minh tương tự ta có ΔACD, ΔABD tam giác vuông A Đặt AB=x, AC = y, AD = z, làm tương tự cách cho ta kết toán Vậy tốn liên quan đến tứ diện vng, tứ diện gần đều,tứ diện mà phải tính tốn phức tạp chuyển tốn hoạt động hình hộp Đối với tốn tính thể tích, đặc biệt tính thể tích khối đa diện mà chưa có cơng thức tính thường phải thực thao tác phân cắt khối đa diện thành khối đa diện quen thuộc có cơng thức tính 23 Ví dụ (Bài 22_trang 28, Hình học 12 nâng cao) Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ Gọi M trung điểm AA’ Mặt phẳng qua M, B’, C chia khối lăng trụ thành phần Tính tỉ số thể tích phần Đặt V = V, V = V Rõ ràng V V chưa có cơng thức tính  thực phân cắt khối đa diện Chẳng hạn phân chia khối đa diện MA’B’C’C thành khối tứ diện MA’B’C’ MB’CC’ So sánh V MA’B’C’ với V (V thể tích khối lăng trụ) V = MA’.S = AA’ S = V A C B So sánh V MCC’B’ với V V = d S = d S = AB S = V = V  V = V + V = V tỉ lệ thể tích M A’ phần C’ B’ Các cơng thức tính thể tích khối chóp, khối lăng trụ liên quan đến chiều cao diện tích đáy tương ứng, nên phân cắt hình người học phải phân tích, so sánh để tìm mối liên hệ chiều cao diện tích đáy với chiều cao diện tích đáy biết hay tính được, để có phân cắt hợp lí Ví dụ (Bài 1.20_ Bài tập Hình học 12 bản) Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, BC = b, AA’ = c Gọi E F điểm thuộc cạnh BB’ DD’ cho BE = EB’, DF = FD’ Mặt phẳng (AEF) chia khôi hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ thành khối đa diện H H’ Gọi H’ khối đa diện chứa đỉnh A’ Hãy tính thể tích H tỉ số thể tích H H’  Dựng thiết diện: Trên CC’ lấy điểm K cho CK = KC’  BK//AF EM đường thẳng qua E song song với BK cắt CC’ M 24  Thiết diện AEMF A D B C E F K A’ M B’ D’ C’ Ta có BE = CK = DF = AA’ = KM  diện tích hình thang BCME DCMF tính nên ta chia H thành khối chóp tứ giác A.BCME A.DCMF Nhận biết điều tốn khơng cịn khó khăn Ví dụ ( Bài 2.46, Hình học 12 nâng cao) Cho khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ canh a Các điêm E, F trung điểm C’B’ C’D’ a) Dựng thiết diện hình lập phương cắt mặt phẳngAEF b) Tính tỉ số thể tích phần khối lập phương bị chia mặt phẳng (AEF) A Lời giải + kéo dài D C B EF cắt AB’ P AD’ Q AP  BB’ = M AQ  DD’ =N D’ A’ B’ P E C’ Q F  Thiết diện AMEFN 25 +Thiết diện chia khối hộp thành phần (H) (chứa đỉnh A’) (H) Đặt V=V,V =V,V=V Để so sánh tỉ lệ thể tích phần H H thường có hướng làm tính thể tích H H theo a, so sánh thể tích phần với thể tích khối đa diện mà dễ tính thể tích Để tính V V trực tiếp học sinh phải tiến hành phân chia chúng thành khối chóp Chẳng hạn ta chia H thành khối tứ diện M.ABC, N.ACD, C.AME, C.AEF, C.AFN Tuy nhiên trí tưởng tượng khơng gian khơng tốt học sinh dễ liệt kê thiếu thừa hình, việc tính tốn trường hợp phức tạp nên không giải toán theo hướng Mặt khác từ cách dựng thiết diện H phận tứ diện vuông A’APQ V(H) = V - V - V Bài tốn chuyển tính thể tích tứ diện vng theo a Việc làm khơng cịn khó học sinh Nói chung tốn ln có nhiều cách giải khác nhau, nhiên học sinh cịn thụ động việc giải tốn, chưa biết cách khai thác cách giải toán khác nhau, dễ nhàm chán sức ì lớn gặp tình có vấn đề Việc hướng dẫn cho người học tìm tịi khám phá cách giải hay giúp cho người học có nhiều hướng học học tập mơn tốn Riêng với mơn hình học khơng gian, với tốn trước hết người học phải luyện tập vẽ hình nhiều hình khác nhau, từ chọn hình hợp lí cho tốn, có vẽ hình tốt học môn này, đồng thời phải xem xét đối tượng không gian mối liên hệ với để khai thác nội dung tốn theo nhiều hướng, bóc trần nội dung bị che phủ hình thức rắc rối, từ có nhiều cách giải hay nâng cao hiệu học tập 26 KẾT LUẬN Tóm lại, hình học khơng gian, việc giúp học sinh tìm mối liên hệ hình quan trọng, công đổi phương pháp giáo dục Việc tìm mối liên hệ giúp học sinh thấy phong phú hình học khơng gian, đồng thời góp phần nâng cao trí tưởng tượng khơng gian cho học sinh.Hơn hình học khơng gian có ứng dụng thực tiễn lớn, Lênin nói “ tõ trùc quan sinh ®éng ®Õn t trõu tợng từ trở lại thực tiễn l chân lí nhận thức, nên phát triển tư duy, nâng cao trí tưởng tượng khơng gian cho học sinh góp phần đào tạo người động, sáng tạo, có lực giải vấn đề đáp ứng nhu cầu đất giai đoạn hiên Đề tài “ Mối liên hệ hình hình học không gian ứng dụng” bồi dưỡng lực tư trừu tượng, lực giải tốn hình học không gian cho học sinh, làm tăng niềm vui hứng thú học tập cho học sinh 27 TÀI LIỆU THAM KHẢO Đoàn Quỳnh, Văn Như Cương, Phạm Khắc Ban, Tạ Mân Hình học 11 nâng cao Nhà xuất Giáo dục, 2008 Trần Văn Hạo, Nguyễn Mộng Hy, Khu Quốc Anh, Nguyễn Hà Thanh, Phan Văn Viện Hình học 11 Nhà xuất Giáo dục, 2008 Văn Như Cương, Phạm Khắc Ban, Tạ Mân Bài tập Hình học 11 nâng cao Nhà xuất Giáo dục, 2008 Nguyễn Mộng Hy, Khu Quốc Anh, Nguyễn Hà Thanh Bài tập hình học 11 Nhà xuất Giáo dục, 2008 Đoàn Quỳnh, Văn Như Cương, Phạm Khắc Ban, Lê Huy Hùng, Tạ Mân Hình học 12 nâng cao Nhà xuất Giáo dục, 2008 Văn Như Cương, Phạm Khắc Ban, Lê Huy Hùng, Tạ Mân Bài tập Hình học 12 nâng cao Nhà xuất Giáo dục, 2008 Nguyễn Mộng Hy, Khu Quốc Anh, Trần Đức Huyên Hình học 12 Nhà xuất Giáo dục, 2008 Nguyễn Mộng Hy, Khu Quốc Anh, Trần Đức Huyên Bài tập hình học 12 Nhà xuất Giáo dục, 2008 Đào Tam Phương pháp dạy học hình học trường THPT Nhà xuất Đại học sư phạm, 2007 10 Bùi Văn Nghị Giáo trình phương pháp dạy học nội dung cụ thể mơn tốn Nhà xuất Đại học sư phạm, 2008 11 Phạm Khắc Ban, Phạm Bình Đơ Hình học afin hình học Ơclít Nhà xuất Đại học sư phạm, 2005 12 Văn Như Cương, Tạ Mân Hình học afin hình học Ơclít Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, 1998 13 Triết học Mac - Lê nin - NXB Chính trị quốc gia 14 Tâm lý học 28 ... II: Mối liên hệ hình hình học khơng gian ứng dụng Một số thể hình học cao cấp 1.1 Hình học afin (A )  m _ phẳng Cho không gian afin A liên kết với không gian véc tơ Gọi I điểm A không gian. .. hình học afin hình học Euclide 13 cho m =1, 2, ta khái niệm định lí hình học sơ cấp Mối liên hệ hình hình học khơng gian 2.1 Xem hình phận hình khác Mọi vật tượng có mối liên hệ với nhau, liên hệ. .. Hình học khơng gian hình khơng gian có mối liên hệ mật thiết với Nếu trình học mà người học ý quan sát đồng thời thực thao tác tư phân tích, tổng hợp … nhận mối liên hệ hình Các mối liên hệ ứng