Hình học riemann trên mặt cầu

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH HONG èNH BNG hình học riemann mặt cầu CHUYấN NGÀNH: HÌNH HỌC - TƠPƠ Mã số:60.46.10 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN DUY BÌNH VINH - 2011 MỤC LỤC Trang LỜI MỞ ĐẦU Chƣơng KIẾN THỨC CƠ SỞ §1 Đa tạp Riemann §2 Chuyển dịch song song 10 §3 Đường trắc địa đa tạp Riemann 12 §4 Ánh xạ mặt 15 Chƣơng HÌNH HỌC RIEMANN TRÊN MẶT CẨU 19 §1 Đường trắc địa mặt cầu 19 §2 Phép chuyển dịch song song mặt cầu 22 §3 Các trường hợp tam giác cầu 30 §4 Diện tích số hình mặt cầu 34 KẾT LUẬN 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO 40 LỜI MỞ ĐẦU Hình học Riemann đời từ nửa kỷ 19.Thực chất hình học Riemann nghiên cứu tính chất hình học đa tạp Riemann Nó có nhiều ứng dụng tốn học, học, vật lý ngành khác kĩ thuật thực tiễn Từ đến hình học Riemann nghiên cứu rộng rãi nhà tốn học vật lý học.Trong vấn đề chuyển dịch song song, đường trắc địa, diện tích thiết diện Được nhiều nhà khoa học quan tâm nghiên cứu Với mục đích tìm hiểu nghiên cứu chuyển dịch song song, đường trắc địa, góc hôlônômi, phép đẳng cự mặt cầu Được hướng dẫn TS.Nguyễn Duy Bình thầy giáo mơn hình học, tơi chọn đề tài: Hình học Riemann mặt cầu Nội dung luận văn chia làm hai chương Chƣơng 1: Kiến thức sở Trong chương giới thiệu số khái niệm đa tạp Riemann, khái niệm liên thơng tuyến tính, liên thơng Lêvi - Civita đa tạp Riemann, đạo hàm trường véc tơ dọc cung tham số Các khái niệm chuyển dịch song song, đường trắc địa ánh xạ mặt đa tạp Riemann Chƣơng 2: Hình học Riemann Mặt cầu Trong chương xác định đường trắc địa mặt cầu, phép chuyển dịch song song mặt cầu cách tính góc hơlơnơmi mặt cầu,của tam giác cầu Tính diện tích tam giác cầu, tứ giác cầu đa giác cầu Các trường hợp tam giác cầu Luận văn thực hoàn thành Khoa Sau Đại học Trường Đại học Vinh hướng dẫn thầy giáo TS Nguyễn Duy Bình Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến thầy, cảm ơn thầy giáo tổ hình học giảng dạy dẫn vấn đề có liên quan tới đề tài nghiên cứu Chúng xin chân thành cảm ơn tới thầy giáo, cô giáo làm việc khoa sau đại học, đồng nghiệp, bạn bè gia đình tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tơi hồn thành luận văn Vinh, tháng 12 năm 2011 Tác giả Chƣơng KIẾN THỨC CƠ SỞ §1 Đa tạp Riemann Ta kí hiệu: M đa tạp khả vi thực với sở đếm với hệ đồ {U , } I TpM: Không gian vectơ tiếp xúc với M p F (M): Tập hàm khả vi M B (M): Tập trường vectơ khả vi M 1.1 Định nghĩa (xem [5]) Một cấu trúc Riemann g M, ánh xạ g: p  gp, p  M gp :TpM×TpM  R , gp thoả mãn: +) gp tích vơ hướng TpM +) g phụ thuộc khả vi vào p (tức là: g (X,Y) (p) = gp (Xp ,Yp) g hàm khả vi theo p) Đa tạp (M,g) gọi đa tạp Riemann 1.2 Liên thông Lêvi - Civita đa tạp Riemann 1.2.1 Định nghĩa (xem [5]) Cho M đa tạp khả vi Liên thơng tuyến tính M ánh xạ :  :B  M   B  M   B  M   X,Y  XY thỏa mãn điều kiện sau: 1) X1 X2 Y  X1 Y  X2 Y; X1,X2 ,YB  M  2) X Y  X Y; X,Y  B  M  ,  f  M  3) X  Y1  Y2   X Y1  X Y2 ; X,Y1,Y2 B  M  4) X  Y   X Y  X  Y; X,Y B  M  ,  f  M  X Y gọi đạo hàm thuận biến trường vectơ Y dọc theo trường vectơ X 1.2.2 Định nghĩa (xem [5]) Cho M đa tạp Riemann Liên thơng tuyến tính  M gọi liên thông Lêvi-Civita M thỏa mãn hai điều kiện sau: 5) Trường tenxơ xoắn T = ( nghĩa T  X,Y   X Y  Y X   X,Y  với X,Y B  M  ) 6) Với trường vectơ X, Y, Z M thì: X  Y, Z   X Y, Z  Y, X Z ; X.Y, Z B  M  Tức là, X B  M  ta có Xg  (trong  Y, Z  g(Y, Z) ) 1.2.3 Ví dụ Giả sử M đa tạp khả song n – chiều với trường mục tiêu E1,E , ,E n  n n i 1 i 1   Với X,Y  B  M  : X   Xi Ei ;Y   YE i i X i ,Yi  f  M  ;i  1,n n Ta đặt  X Y   X  Yi  Ei Khi  liên thơng tuyến tính M i 1 Thật với X,X',Y,Y'  B  M  ;  f  M  ta có: n 1) XX 'Y    X  X'  Yi  Ei i 1 n n i 1 i 1   X  Yi  Ei   X ' Yi  E i  X Y  X ' Y n 2)X  Y  Y'   X  Yi  Yi ' Ei i 1 n n i 1 i 1   X  Yi  Ei   X  Yi ' Ei  X Y  X Y' 3) X Y n    X   Yi  Ei i 1 n   X  Yi  Ei i 1   X Y n 4)  X  Y    X  Yi  E i i 1 n    X  Yi   Yi X Ei i 1 n n i 1 i 1   X  Yi  Ei  X   YE i i  X Y  X  Y Bây ta kiểm tra hai điều kiện liên thông Lêvi -Civita Thật do: Ei [E [ ]]=E [Ei [ ]],i, j = 1, , n j j 5) Ta có [X,Y][  ] = X[Y[  ]] - Y[X[  ] n n  X   Yi Ei    Y  Xi Ei    i 1   i 1    X Yi Ei     Yi X  Ei   -  Y  X i Ei     X iY  Ei   i 1 i 1 i 1 i 1 n n n   X Yi Ei   -  Y  X i Ei   n n i 1 i 1   ( X Yi Ei  Y  Xi  Ei )   n i 1 = ( X Y Y X )[ ] Vậy T ( X ,Y )   X Y Y X  [X, Y] = 6) Mặt khác ta dễ dàng chứng minh được: n X[g (Y,Z)] = g ( X Y ,Z ) + g ( Y, XY ) Vậy  liên thông Lêvi -Civita M 1.2.4 Mệnh đề (xem [5]) Liên thông Lêvi- Civita đa tạp M tồn Chứng minh +) Sự tồn liên thông Lêvi-Civita M Giả sử X,Y  B (M) ta xác định X Y phương trình sau: X Y, Z    X  Y, Z   Y  Z,X   Z  X,Y      Z,  X,Y   Y,  Z,X   X, Y, Z   (1) Z trường vectơ tùy ý B (M) Khi đó, ánh xạ  : BM  BM  BM  X,Y  XY liên thơng tuyến tính Ta chứng minh  liên thông Lêvi-Civita M Đặt T  X,Y   X Y  Y X   X,Y Do công thức (1) ta dễ dàng kiểm tra T  X,Y  , Z  0, Z B  M  Suy ra, T (X,Y) =0 Bây giờ, ta chứng minh g  Thật vậy, với  X,Y, Z B  M  ta có: X Y, Z  Y, X Z  X  Y, Z  ( suy từ (1)) hay g  Vậy  liên thơng Lêvi-Civita M (2) +) Chứng minh tính  Để chứng minh tính  ta chứng tỏ X Y thỏa mãn điều kiện T (X,Y)=0 g   thỏa mãn phương trình (1) Thật với  X,Y, Z B  M  ta có: X  Y, Z   X Y, Z  Y, X Z (3) Y  X, Z   Y Z,X  Z, Y X (4) Z  X,Y   ZX,Y  X, ZY (5) Ta có X Z  ZX   X, Z   ZX  X Z   X, Z Y Z  ZY   Y, Z   ZY  Y Z   Y, Z Khi (5)  Z  X,Y   X Z,Y   X, Z,Y  X, Y Z  X, Y, Z (6) Ta có X Y  Y X   X,Y   Y X  X Y   X,Y (4)  Y  Z,X   Y Z,X  Z, X Y  Z, X,Y (7) Cộng vế theo vế (3) (7) trừ vế theo vế cho (6) ta có: X  Y, Z   Y  Z,X   Z  X,Y   X Y, Z  X, Y, Z  Y,  Z,X  Z,  X,Y  X Y, Z    X  Y, Z   Y  Z,X   Z  X,Y      Z,  X,Y   Y,  Z,X   X, Y, Z  Đây đẳng thức (1) Vậy tính chứng minh  1.3 Đạo hàm trƣờng vectơ dọc đƣờng cong Giả sử  đường cong đa tạp Riemann M với liên thông LêviCivita  cho tham số hóa:  : J  M, t (t) (  khoảng mở R,  khả vi) Một trường vectơ X dọc  việc đặt tương ứng t  J với vectơ tiếp xúc X (t ) T (t ) M Ta nói X khả vi X  (t ) [ ] khả vi theo t, với  hàm số khả vi dọc  ( t  J ) Nếu U1,U , ,U n  trường mục tiêu khả vi tập mở chứa  ( J ) n X (t )   X i (t ).U i (t ), t  J M ta ln có biểu diễn: i 1 Khi X khả vi dọc  X i (t ) khả vi với i  1,2, , n 1.3.1 Định nghĩa (xem [5]) Cho  liên thơng tuyến tính đa tạp M  : J  M ; t  (t) đường cong M Đạo hàm trường véc tơ X t0 dọc  trường véc  tơ dọc  , kí hiệu: X dt dt (hay X t0 n X dt ) xác định công thức sau : t0 n   X 'i (t ) U i (t0 )   X i (t )   'U i t ; t0 J i 1 t0 i 1 t0 t0 1.3.2 Nhận xét Nếu M  Rn ; Ei  trường mục tiêu tự nhiên Rn Khi đó,   ' Ei t  ( D ' Ei t )  0; i  1, 2, , n; t0  J Vì X dt n   'i (t ) Ei (t0 ) t0 i 1 t0 Chẳng hạn, ta xét với n = 3, đường cong  cho tham số hóa  : (0,1)  R3 , t (t , t  2, t  1) X (t )  (t  2, t  4,1  t ) 25 2.5 Nhận xét 1) Góc hơlơnơmi cung điểm cung 2) Khi  đường cong kín góc hơlơnơmi tính cơng thức b    21 (  '(u))du a Trong 21 dạng liên kết (M , < , >) trường mục tiêu U1;U  Chứng minh Giả sử X song song dọc  ln có biểu diễn : X (t )  c(cos (t ).U1  (t )  sin  (t ).U  (t )) trường vectơ song song dọc t  với  (t )   (a)   21 (  '(u ))du (*) ( xem [6]) a Ta có X (a)  c(cos (a).U1  (a)  sin  (a).U  (a)) X (b)  c(cos (b).U1  (b)  sin  (b).U  (b)) Khi  (a)   (b)  U1  (a)  U1  (b);U  (a)  U  (b) Do U1;U  trường mục tiêu trực chuẩn nên ta có: X (a), X (b)  c (cos (a).cos (b)  sin (a).sin (b))  c 2cos( (b)   (a)) (1) X (a), X (b)  X (a) X (b) cos  c 2cos  Mặt khác ta lại có : cos  cos( (b)- (a))    ( (b)- (a)) Từ (1) (2) ta suy (2) (3) Từ (*) ta có : b b  (b)   (a)    (  '(u))du   (b)   (a)   21 (  '(u))du a b Từ (3) (4) suy    21 (  '(u ))du a 3) Xét phép chuyển dời song song dọc  f : Tp S  Tp S , ' a (4) 26 Và phép chuyển dời song song dọc  g : Tp S  Tp S , '  '' f,g tự đẳng cấu Tp S  Tp S Ta xét hợp thành đường        Ta có g f ( )   '' phép chuyển dời song song sinh  Giả sử p  S , cung tham số có điểm đầu điểm cuối p nhờ phép chuyển dời song song dọc cung, đặt tương ứng với tự đẳng cấu Tp S  Tp S , hợp thành cung tương ứng với hợp thành tự đẳng cấu Tất tự đẳng cấu tạo thành nhóm nhóm tuyến tính GL ( Tp S ) tất tự đẳng cấu Tp S Nhóm gọi nhóm hơlơnơmi S p Bây giờ, ta xét mặt cầu S với cấu trúc Riemann tắc Xét tham số hóa địa phương   r : U  {(u,v)  R  u  2 ; - < v < - }  E3 2 (u, v) r (u, v)  ( R cos u.cos v, R sin u.cos v, R sin v) 2.6 Mệnh đề Góc hơmơnơmi vĩ tuyến u [0,2 ]   (u)=r(u,v0 )   2 sinv0 Chứng minh Xét trường mục tiêu tiếp xúc trực chuẩn U1 ,U  tiếp xúc theo thứ tự với vĩ tuyến kinh tuyến mặt cầu Với U1  v O u Ru R ;U  v ; Ru Rv Hình 2.1 27 Ru  ru '  ( R sin u.cos v, R cos u,0) Ru  rv '  ( Rcosu.sin v,  R sin u.sin v, R cos v)   Ru  R cos v  (do v  ( , ) nên cos v  ) ; Rv  R  2 Vậy ta có U1  Ru R ;U  v ; R cos v R   Giả sử E1 , E2    ,  trường mục tiêu tiếp xúc trực chuẩn U thì:  u v  r * E1  Ru ; r* E2  Rv (Xem [6]) Do với  1;  trường mục tiêu U1 ,U  ta có : r * ( E1 )   (r* E1 )   ( Ru )   ( R cos vU )  R cos v. (U1 ); r * ( E2 )   (r* E2 )   ( Ru )   ( RU )  0; Suy r * ( E2 )  Rdv( E2 )  r *  Rdv Ta có r *  R(r * )  d ( Rdv)  r * d  d (r * )  d ( R cos v.du)  d ( R cos v)  du = -R sin v.dv  du  R sin v.du  dv Mặt khác r * d  r * (21   )  r *21  r * r * d  r * (12   )  r *12  r* r * d  sin v.du  Rdv  sin v.du  r * r * d   sin v.du  r * Do r * d  R cos v.du nên r * d  Từ suy r *21   sin v.du Ta thấy, r *21 ( X )  21 (r* X )  21 (  '(u)) Ta cần tìm X thỏa mãn đẳng thức này, tức r* X   (u) mà  '(u)  ru '(u, v0 )  Ru  r* E1 28 Vì X  E1 Ta có 21 (  '(u))  r *21 ( E1 )   sin v.du( E1 )   sin v Khi v  v0 21 (  '(u))   sin v0 Vậy góc hơlơmơmi vĩ tuyến  (u)  r (u, v0 ) : 2 2 0 2    21 (  '(u ))du    sin v0du   sin v0 u  2 sin v0 (vì  (0)   (2 ) ) Nhận xét Khi vĩ tuyến đường xích đạo tức v0 =   , cịn vĩ tuyến xa xích đạo ( V0 tăng lên gần  ) “ quay” lớn Rõ ràng phép chuyển dời song song phụ thuộc cung đoạn tham số nối hai điểm cho trước Bây giờ, xét tam giác cầu ABC (được hợp ba cung đoạn ba đường tròn lớn mặt cầu) véc tơ  véc tơ tiếp xúc với AB A, qua phép chuyển dịch song song dọc theo tam giác ABC ta véc tơ  , góc   ( ,  );0     , gọi góc hơmơnơmi tam giác ABC 2.7 Mệnh đề Cho mặt cầu bán kính R E3 với cấu trúc Riemann tắc Khi góc hômônômi tam giác ABC A  B  C   Chứng minh Ta có cung tròn lớn mặt cầu đường trắc địa nó, áp dụng định lý 2.4 để chứng minh mệnh đề a) Xét trường hợp "tam giác ABC" có góc vng mà coi vng A, AB cung "xích đạo", AC cung kinh tuyến, BC cung tròn lớn Giả sử U1 trường vectơ đơn vị tiếp xúc cung trắc địa CA U1 song song dọc CA Ta có U1 (C) vectơ tiếp xúc đơn vị CA C +) Trước tiên ta xét phép chuyển dời song song U1 (C) dọc cung CA 29 f1 : U1 (C ) U1 ( A) +) Xét phép chuyển dời song song U1 (A) dọc cung AB f : U1 ( A)  TB S Gọi 1 vectơ tiếp xúc với AB B góc ( , 1 )  A  góc hai véc tơ tiếp xúc với cung AC, AB A, A    (góc A ) +) Xét phép chuyển dời song song  dọc cung BC f3 :   TC S   U (C ) C U ( A) O 2  A 1 B Hình 2.2 Vậy  kết phép chuyển dời song song vectơ U1 (C ) dọc "tam giác ABC" Ký hiệu   (U1 (C ),  ) Ta cần chứng minh   A  B  C   Thật vậy, gọi  vectơ tiếp xúc với BC C C  ( ,U1 (C )) gọi  vectơ tiếp xúc với BC B ( ,  )  ( ,  )  nằm cung tròn lớn gốc A chứa C nên B góc nhọn)   B (vì C 30    Từ suy   C  (  B)  C  B   A  B  C   (vì A  ) 2 b) Trường hợp tam giác trắc địa tùy ý góc hôlônômi ABC A B  C  Thật vậy, với tam giác trắc địa tùy ý ABC vạch "đường cao" CH, tùy theo H hay hay ngồi AB Ta phân tích chuyển dời song song dọc CAB thành dọc CAH, dọc CHB ; hay dọc CHB dọc CHA Cũng lý luận phân tích chuyển dời song song cho phép xét "tam giác" vuông không chứa cạnh cung nửa cung tròn lớn Xét tương tự trường hợp a) ta chuyển dời song song dọc tam giác trắc địa ABC có góc hơlơnơmi A  B  C   §3 Các trƣờng hợp tam giác cầu 3.1 Định nghĩa Hai hình gọi chúng ảnh qua phép đẳng cự Nhận xét: Vì mặt cầu ảnh qua phép đồng dạng khơng gian Ơclít, nên để khảo sát phép đẳng cự mặt cầu ta xét S mặt cầu tâm O bán kính đơn vị 3.2 Mệnh đề f : S  S đẳng cự tồn đẳng cự F : E  E , F (0)  cho f  F S Chứng minh +) Nếu f  F S với F : E  E đẳng cự Tp f  Tp F Tp S tích vơ hướng, f đẳng cự S bảo toàn 31 +) Ngược lại, giả sử f : S  S đẳng cự , p q với e1 , e2 sở trực chuẩn Tp S p e1 '  Tp f (e1 ), e2 '  Tp f (e2 ) sở trực chuẩn Tq S q  Xét phép đẳng cự F : E  E biến O thành O sở Op, e1 , e2 Oq, e ', e ' (F xác định nhất) Dễ thấy  thành f F S Hệ : Nhóm phép đẳng cự S đẳng cấu với nhóm trực giao O(3) 3.3 Bổ đề Cho hai đơn hình S (A0A1 An) S (A’0A’1 A’n) không gian En với đỉnh tương ứng (A0A1 An) (A’0A’1 A’n) thỏa mãn đẳng thức d ( Ai , Aj )  d ( A 'i , A ' j ), i, j  0, n có phép đẳng cự f : E n  E n cho f ( Ai )  A 'i , i  0, n (Xem[3]) 3.4 Mệnh đề Cho hai tam giác cầu ABC A’B’C’ mặt cầu S tâm O thỏa mãn AB  A ' B '; AC  A ' C '; BC  B ' C ' tồn đẳng cự f : S  S cho f (A) = A’ ; f (B) = B’; f (C) = C’ f (AB) = A’B’ ;f (AC) = A’C’ ; f (BC) = B’C’ ( trường hợp c.c.c) Chứng minh Theo gt AB  A ' B '; AC  A ' C '; BC  B ' C ' ;  AB  A ' B '; AC=A'C'; BC=B'C' Theo bổ đề 3.3 ta có : F : E3  E3 F (O )  O F ( A)  A ' F ( B)  B ' F (C )  C '  AB  A ' B '; AC  A ' C '; BC  B ' C ' 32 Vậy tồn phép đẳng cự f  F S : S  S biến tam giác ABC thành A’B’C’ Từ Mệnh đề 3.2, xác định F nên f : S  S biến ABC thành A’B’C’ 3.5 Mệnh đề (xem [4]) Nếu  ,  ,  góc phẳng góc tam diện C góc nhị diện đối diện với góc phẳng  : cos  cos  cos   sin  sin  cosC Chứng minh Khơng tính tổng qt đặt   (a, b),   (b, c),   (c, a) Giả sử   ,  ,    (khi      định lý kiểm tra trực tiếp) Nếu hai góc  ,  tù, chẳng hạn    xét tia đối a’ a qua S xét góc tam diện tạo a’,b,c Mặt phẳng (R) vng góc với c C cắt a,b tương ứng điểm A, B Giả sử , SC = : BC  t g;AC  tg;SB  1 ;SA  cos cos Áp dụng định lý hàm số côsin dối với tam giác ABC SAB ta có: AB2  tg 2  tg   2tgtg cosC Và AB2  (1) 1   cos  2 cos  cos  coscos   Từ (1) (2) ta suy ra: 1  tg    tg   2tgtg cosC 2 cos  cos  2cos   coscos cos    tgtg cosC  coscos  coscos  sin  sin  cosC  cos (2) S  A a C c B b Hình 2.3 33 Hệ quả: Dựa vào tính chất góc tam diện đối cực ta có: Với A,B,C nhị diện góc tam diện,  góc phẳng đối diện với góc nhị diện C : cos C   cos Acos B  sin Asin B cos  3.6 Mệnh đề Cho hai tam giác cầu ABC A’B’C’ mặt cầu S tâm O thỏa mãn A  A '; B  B '; C  C ' tồn đẳng cự f : S  S cho : f (A) = A’ ; f (B) = B’; f (C) = C’; f (AB) = A’B’ ;f (AC) = A’C’ ; f (BC) = B’C’ (trường hợp g.g.g) Chứng minh Giả sử hai tam giác cầu ABC A’B’C’ có A  A '; B  B '; C  C ' Do góc đỉnh tam giác cầu ABC A’B’C’ góc nhị diện góc tam diện Kí hiệu  ,  ,  góc phẳng đối diện với nhị diện A,B,C Từ suy góc tam diện O.ABC O.A’B’C’ có góc phẳng nhị diện tương ứng Theo công thức cos A   cos B cos C  sin B sin C cos (hệ mệnh đề 3.5)  cos  cos '     ' Tương tự    ' ,   '  AB  A ' B ', AC  A 'C ', BC  B 'C ' , ta đưa trường hợp (c.c.c) Nhận xét : Trường hợp khơng xảy hình học Ơclit 3.7 Mệnh đề Cho hai tam giác cầu ABC A’B’C’ mặt cầu S tâm O thỏa mãn AB  A ' B '; AC  A ' C '; A  A ' tồn đẳng cự f : S  S cho f (A) = A’ ; f (B) = B’; f (C) = C’ f (AB) = A’B’ ; f (AC) = A’C’ ; f (BC) = B’C’ (trường hợp c.g.c) 34 Chứng minh Cho hai tam giác cầu ABC A’B’C’ mặt cầu S tâm O thỏa mãn AB  A ' B '; AC  A ' C '; A  A ' Từ suy tứ diện OABC OA’B’C’ có AB=A’B’, AC=A’C’     ',    ' Theo công thức cos   cos  cos   sin  sin  cosC (hệ mệnh đề 3.5) (Trong  ,  ,  góc phẳng góc tam diện C góc nhị diện đối diện với góc phẳng  ) Do C = C’  cos  cos '     ' , ta đưa trường hợp (g.g.g) 3.8 Mệnh đề Cho hai tam giác cầu ABC A’B’C’ mặt cầu S tâm O thỏa mãn AB  A ' B '; A  A '; B  B ' tồn đẳng cự f : S  S cho f (A) = A’ ; f (B) = B’; f (C) = C’ f (AB) = A’B’ ;f (AC) = A’C’ ; f (BC) = B’C’ (trường hợp g.c.g) Chứng minh Giả sử hai tam giác cầu ABC A’B’C’ mặt cầu S tâm O thỏa mãn AB  A ' B '; A  A '; B  B ' Ta có tứ diện OABC OA’B’C’ có góc phẳng nhị diện tương ứng A=A’,B=B’ Do BC=B’C’     ' (góc phẳng tam diện) Theo công thức cos C   cos Acos B  sin Asin B cos   cos C  cos C '  C = C' , từ ta đưa trường hợp (g.g.g) §4 Diện tích số hình mặt cầu 4.1 Định nghĩa Cho K miền compact với bờ đa tạp hai chiều S En hay K đa tạp hai chiều compact với bờ En,  : K  R hàm số liên tục 35 Lát K họ ri : Ci  K ri (u, v) (Ci miền compact với bờ R2) (u, v) Và định nghĩa tích phân  K   (hoặc  dS ) K Với       (r (u, v)) i i K K Gr ((ri )u' ,(ri )'v )dudv Ci (ri )u' (ri )u' Trong Gr ((r ) ,(r ) ) định thức Gram (ri )v' (ri )u' ' i u ' i v (ri )u' (ri )v' (ri )v' (ri )v' Biểu thức  (hoặc  dS ) gọi diện tích miền K (tức   1) K K 4.2 Mệnh đề Cho tam giác ABC tam giác cầu mặt cầu bán kính R E Khi diện tam giác cầu ABC R (A  B  C   ) Chứng minh Ta có : Ba đường trịn lớn phân biệt mặt cầu tạo thành tam giác cầu Ta xét hai múi cầu đỉnh A mà có chứa tam giác ABC; tham số hóa múi có dạng ( , ) r (   R, , ) Theo định nghĩa diện tích miền mặt cầu chứa A S A  1  1 Gr (r , r )d d   ' A ' A A =  EG  F d d =  A r' r' r' r' r' r' d d r' r' d d A Mặt khác r'  ( ' ,' ,' ); r'  ( ' ,' ,' )  r'  r'   [ 2cos2 (' ' -' ' )2 +cos2 (' ' -' ' )+(' ' -' ' )]   4cos2  R4cos2 36   Vậy diện tích miền mặt cầu chứa A S A  R  d  cos d  R 2 0 Tương tự ta xét B C Từ suy diện tích mặt cầu 4R 2 Mỗi hai múi cầu đỉnh A, đỉnh B, đỉnh C chứa tam giác cầu ABC tam giác cầu A’B’C’ (xuyên tâm đối ABC) nên: S  S A  SB  SC  2S ABC  2S A ' B 'C '  4R 2  4R 2  4R   4R 2  4S ABC Vậy S ABC  R2 (       ) (  ,  ,  độ lớn tính radian theo thứ tự góc A,B,C tam giác cầu ABC) Từ suy tổng góc tam giác cầu      S ABC   (  ,  ,  độ lớn tính radian theo thứ tự R2 góc A,B,C tam giác cầu ABC) Từ ta tính diện tích tứ giác cầu giới hạn bốn cung trịn lớn Giả sử ta tính diện tích tứ giác cầu ABCD Theo ta có: Tổng góc tam giác cầu AB1D1 là: A  B1  D1  S AB D   R2 1 (1) D Tổng góc tam giác cầu CB2 D2 là: C  B2  D2  S AB2 D2 R2 C 2 (2) A B Hình 2.4 37 Cộng vế với vế (1) (2) ta A  B  C  D  S ABCD  2 R2 Vậy diện tích tứ giác cầu ABCD S ABCD  R2 ( A  B  C  D)  2 Tương tự trường hợp ngũ giác cầu, lục giác cầu Tổng quát: giả sử A1 A2 A3 An đa giác cầu n cạnh Khi tổng góc A1  A2  A3   An  dt ( A1 A2 A3 An )  (n  2) R2 Suy diện tích S A A A A  R ( A1  A2  A3   An )  (n  2) n 38 KẾT LUẬN Trong luận văn đạt kết sau: +) Trình bày số khái niệm tính chất liên thông Lêvi Civita đa tạp Riemann, đạo hàm hiệp biến dọc đường cong, phép chuyển dịch song song, đường trắc địa đa tạp Riemann +) Trình bày khái niệm số tính chất đường trắc địa mặt cầu +) Trình bày khái niệm góc hơlơnơmi tính góc hơlơnơmi mặt cầu tam giác cầu +) Trình bày khái niệm diện tích tính diện tích tam giác cầu, tứ giác cầu, , đa giác cầu +) Trình bày khái niệm hai đơn hình trường hợp tam giác cầu Trước viết lời kết luận văn, nêu hướng phát triển tiếp đề tài áp dụng hình học Riemann cho đa tạp Riemann chiều khác mặt trụ, mặt xuyến cho đa tạp Tác giả cố gắng kiểm tra lỗi tả nhiều lần sửa chữa ý diễn đạt trước kết thúc luận văn, chắn cịn nhiều thiếu sót nên tác giả mong thầy bạn đóng góp ý kiến để tác giả hồn thiện Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy cô bạn góp ý cho tác giả hồn thành luận văn 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Thị An (2010), Đa tạp trắc địa hồn tồn , Luận văn thạc sĩ tốn học, Đại học Vinh [2] Khu Quốc Anh - Nguyễn Doãn Tuấn (2005), Lý thuyết liên thơng hình học Riemann ), NXB ĐHSP Hà Nội [3] Nguyễn Duy Bình - Phạm Ngọc Bội - Trương Đức Hinh - Nguyễn Hữu Quang (1999), Bài tập hình học afin & Hình học Ơclít, NXBGD [4] Trương Đức Hinh - Đào Tam (1995), Giáo trình sở hình học hình học sơ cấp, NXBGD [5] Nguyễn Hữu Quang (2005), Mở đầu hình học Riemann, Đại học Vinh [6] Đồn Quỳnh (2007), Hình học vi phân, NXBĐHSP, Hà Nội [7] Nguyễn Thị Thu Nga (2007), Hình học vi phân mặt cầu E3, Luận văn thạc sỹ toán học, Đại học Vinh [8] Vũ Thị Như Trang (2002), Về phép chuyển dời song song đa tạp Riemann hai chiều, Luận văn thạc sỹ toán học, Đại học Vinh Tiếng Anh [9] Barrett, O'Neill (1983)- Semi Riemann geometry, Academic Press New York London ... mặt đa tạp Riemann Chƣơng 2: Hình học Riemann Mặt cầu Trong chương xác định đường trắc địa mặt cầu, phép chuyển dịch song song mặt cầu cách tính góc hơlơnơmi mặt cầu, của tam giác cầu Tính diện... ĐẦU Hình học Riemann đời từ nửa kỷ 19.Thực chất hình học Riemann nghiên cứu tính chất hình học đa tạp Riemann Nó có nhiều ứng dụng toán học, học, vật lý ngành khác kĩ thuật thực tiễn Từ đến hình. .. Bài tập hình học afin & Hình học Ơclít, NXBGD [4] Trương Đức Hinh - Đào Tam (1995), Giáo trình sở hình học hình học sơ cấp, NXBGD [5] Nguyễn Hữu Quang (2005), Mở đầu hình học Riemann, Đại học Vinh