Hình học AFIN trên mặt phẳng (2018)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ************* LÊ THỊ TUYẾT HÌNH HỌC AFIN TRÊN MẶT PHẲNG KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chun ngành: Hình học HÀ NỘI – 2018 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TỐN *********** LÊ THỊ TUYẾT HÌNH HỌC AFIN TRÊN MẶT PHẲNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS NGUYỄN NĂNG TÂM Hà Nội – Năm 2018 LỜI CẢM ƠN Để hồn thành khóa luận này, trước hết em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới PGS.TS Nguyễn Năng Tâm – Giảng viên trường Đại học sư phạm Hà Nội Người truyền thụ kiến thức, tận tình giúp đỡ, hướng dẫn em suốt trình học tập, nghiên cứu hồn thành khóa luận Em xin chân thành gửi lời cảm ơn tới thầy giáo cơng tác khoa Tốn thầy cô giáo công trong trường Đại học sư phạm Hà Nội giúp đỡ em trình học tập trường tạo điều kiện cho em hồn thành khóa luận Do lần làm quen với công tác nghiên cứu khoa học, lực thân hạn chế nên khơng tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận đóng góp ý kiến thầy giáo, giáo tồn thể bạn đọc để khóa luận hồn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2018 Sinh viên Lê Thị Tuyết LỜI CAM ĐOAN Khóa luận hồn thành sau q trình tự tìm hiểu, nghiên cứu thân em hướng dẫn tận tình PGS.TS Nguyễn Năng Tâm Trong khóa luận em có tham khảo tài liệu có liên quan hệ thống mục tài liệu tham khảo Em xin cam khóa luận khơng trùng với khóa luận em xin chịu hoàn toàn tránh nhiệm lời cam đoan Hà Nội, tháng năm 2018 Sinh viên Lê Thị Tuyết Mục lục LỜI MỞ ĐẦU 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian vectơ 1.1.1 Định nghĩa không gian vectơ 1.1.2 Một số tính chất khơng gian vectơ Các vectơ độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính 1.2.1 Các định nghĩa 1.2.2 Điều kiện để vectơ phụ thuộc tuyến tính 1.3 Hạng hệ hữu hạn vectơ 1.4 Cơ sở số chiều không gian vectơ 1.2 MẶT PHẲNG AFIN 2.1 2.2 12 Định nghĩa mặt phẳng afin 12 2.1.1 Định nghĩa 12 2.1.2 Các tính chất đơn giản 13 Tọa độ afin 14 2.2.1 Mục tiêu afin 14 2.2.2 Tọa độ afin điểm 14 2.2.3 Đổi tọa độ afin 15 i Khóa luận tốt nghiệp Đại học 2.3 2.4 2.5 LÊ THỊ TUYẾT Phương trình đường thẳng 16 2.3.1 Phương trình tham số đường thẳng 16 2.3.2 Phương trình tổng quát đường thẳng 17 Tỉ số đơn, tâm tỉ cự 18 2.4.1 Tỉ số đơn 18 2.4.2 Tâm tỉ cự 19 Một số ví dụ 20 ĐƯỜNG TRONG A2 3.1 3.2 3.3 24 Đường bậc hai 24 3.1.1 Định nghĩa 24 3.1.2 Giao đường bậc hai với đường thẳng 25 3.1.3 Tâm 27 3.1.4 Điểm kì dị 29 3.1.5 Phương tiệm cận đường tiệm cận 30 3.1.6 Siêu phẳng kính liên hợp đường bậc hai 30 3.1.7 Tiếp tuyến đường bậc hai 32 Phân loại đường bậc hai 34 3.2.1 Phương trình chuẩn tắc đường bậc hai 34 3.2.2 Phân loại đường bậc hai A2 37 Một số ví dụ 37 KẾT LUẬN 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO 45 ii Khóa luận tốt nghiệp Đại học LÊ THỊ TUYẾT LỜI MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Toán học mơn khoa học chiếm vị trí quan trọng Toán học sở, tảng để nghiên cứu môn khoa học khác Trong trình học tập, em nghiên cứu chuyên ngành hình học, phận quan trọng tương đối khó chương trình tốn phổ thơng Với mong muốn nghiên cứu sâu hình học hướng dẫn thầy hướng dẫn, em chọn đề tài “Hình học afin mặt phẳng” để trình bày khóa luận tốt nghiệp đại học Mục đích nghiên cứu Mục đích khóa luận hệ thống lại số khái niệm, định lý tính chất hình học afin mặt phẳng Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu số lý thuyết hình học afin mặt phẳng Đối tượng phạm vi nghiên cứu + Đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu kiến thức hình học afin mặt phẳng + Phạm vi nghiên cứu: Các kiến thức hình học afin mặt phẳng qua tài liệu liên quan Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu giáo trình, sách tham khảo tài liệu liên quan đến nội dung nghiên cứu Khóa luận tốt nghiệp Đại học LÊ THỊ TUYẾT Cấu trúc khóa luận Ngồi lời mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, khóa luận gồm chương: Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Chương 2: Mặt phẳng afin Chương 3: Đường A2 Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương trình bày sơ lược khơng gian vectơ Các kiến thức phục vụ cho việc xây dựng mặt phẳng afin trình bày chương sau Các kiên thức chương viết dựa tài liệu [2], [5] 1.1 1.1.1 Không gian vectơ Định nghĩa không gian vectơ Định nghĩa 1.1 Cho R trường.Tập V khác rỗng gọi không gian vectơ R phần tử V gọi vectơ tập V trang bị hai phép toán, gồm: Phép cộng: + : V × V −→ V → − → − − − (→ a , b ) −→ → a + b Phép nhân: Khóa luận tốt nghiệp Đại học × : LÊ THỊ TUYẾT R × V −→ V, − − (m, → a ) −→ m.→ a m∈R Thỏa mãn điều kiện sau đây: (V1 ) (a + b) + c = a + (b + c) (V2 ) ∃0 ∈ V : + a = a + = a, (V3 ) ∀a ∈ V, ∃a ∈ V : a + a = a + a = (V4 ) a + b = b + a, (V5 ) (m + n)a = ma + n.a, (V6 ) m.(a + b) = m.a + m.b, (V7 ) m(na) = (mn)a, (V8 ) 1.a = a, ∀a ∈ V ∀a, b ∈ V ∀m, n ∈ R, ∀a ∈ V ∀m ∈ R, ∀a, b ∈ V ∀m, n ∈ R, ∀a ∈ V ∀a ∈ V Khi V với hai phép toán cho gọi không gian vectơ trường R hay R− không gian vectơ (gọi tắt không gian vectơ thực) 1.1.2 Một số tính chất khơng gian vectơ Giả sử V R− khơng gian vectơ Ta có tính chất sau suy từ định nghĩa khơng gian vectơ Tính chất 1: Vectơ nói tiên đề (V2 ) nhất, phần tử trung lập phép cộng gọi vectơ khơng Tính chất 2: Với vec tơ a ∈ V, phần tử a nói tiên đề (V3 ) Nó phần tử đối a phép cộng V kí Khóa luận tốt nghiệp Đại học LÊ THỊ TUYẾT → −c phương tiệm cận (trái với giả thiết) Vậy phương trình phương trình siêu phẳng Vì tâm (S) có tọa độ thỏa mãn phương trình Ax + a = nên thỏa mãn phương trình siêu phẳng nói 3.1.7 Tiếp tuyến đường bậc hai Định nghĩa 3.4 Đường thẳng d gọi tiếp tuyến đường bậc hai (S) nếu: + Hoặc phương d phương tiệm cận (S) d cắt (S) điểm (điểm kép), ta nói d tiếp xúc với (S) điểm + Hoặc phương d phương tiệm cận d nằm (S), ta nói d tiếp xúc với (S) điểm d Định lý 3.3 Nếu đường bậc hai (S) có phương trình: xt Ax + 2at x + a0 = cho điểm B = (b1 , b2 ) nằm (S) đường thẳng d qua B −c = (c , c ) tiếp tuyến bt Ac + at c = có phương → Chứng minh Theo mục 3.1.2 để tìm giao điểm đường thẳng đường bậc hai ta đến giải phương trình: (ct Ac)λ2 + 2P λ + Q = 32 Khóa luận tốt nghiệp Đại học LÊ THỊ TUYẾT Trong : P = bt Ac + at c = 2 aij bi cj + i,j c i i=1 Q = bt Ab + 2at b + a0 Vì B ∈ (S) nên Q = Vậy phương trình tương đương với phương trình: (ct Ac)λ2 + 2P λ = −c phương tiệm cận Để đường + Nếu ct Ac = 0, tức → thẳng d tiếp tuyến (S) điều kiện cần đủ d cắt (S) điểm nhất, tức phương trình có nghiệm Điều tương đương với ∆ = hay P = hay bt Ac + at c = + Nếu ct Ac = đường thẳng d tiếp tuyến (S) chi d nằm (S), tức phương trình nhận giá trị λ nghiệm Điều tương đương với p = hay bt Ac + at c = Hệ 3.2 Nếu B điểm kì dị (S) đường thẳng qua B tiếp tuyến (S) Thật vậy, B = (b1 , b2 ) điểm kì dị (S) B tâm B ∈ (S) Do tọa độ B thõa mãn phương trình Ab + a = hay bt A + at = ⇒ bt Ac + at c = −c = (c , c ) phương đường thẳng qua B ) ( với → Định lý 3.4 Nếu B ∈ (S) B điểm không kì dị tiếp tuyến B (S) tạo thành siêu phẳng Siêu phẳng gọi siêu tiếp diện (S) điểm B Chứng minh Nếu B = (b1 , b2 ), M = (x1 , x2 ), M = B M nằm −−→ −c (λ = 0) thỏa tiếp tuyến (S) điểm B BM = λ→ 33 Khóa luận tốt nghiệp Đại học LÊ THỊ TUYẾT mãn điều kiện: bt Ac + at c = Hay bt A(x − b) + at (x − b) = Hay (bt A + at )(x − b) = Vì B điểm khơng kì dị nên B tâm, tức Ab + a = hay bt A + at = Vậy phương trình cho ta siêu phẳng 3.2 3.2.1 Phân loại đường bậc hai Phương trình chuẩn tắc đường bậc hai Định lý 3.5 Trong A2 cách chọn mục tiêu thích hợp, đường bậc hai (S) có phương trình thuộc dạng sau: r i=1 r εi x2 i = 1, εi = ±1, ≤ r ≤ εi x2 i = 0, εi = ±1, ≤ r ≤ i=1 εi x2 = 2x2 , εi = ±1 Ba dạng gọi phương trình chuẩn tắc đường bậc hai − − Chứng minh Trong không gian afin A2 với mục tiêu afin {O;→ e1 , → e2 } cho đường bậc hai S có phương trình tổng quát: 2 aij xi xj + i,j=1 x i + a0 = i=1 34 Khóa luận tốt nghiệp Đại học LÊ THỊ TUYẾT − → − − Ta gọi A2 không gian vectơ liên kết với A2 , ε = {→ e1 , → e2 } sở − → A2 aij xi xj Ta tìm sở Xét dạng tồn phương i,j=1 → − → − ε = { e1 , e2 } cho dạng toàn phương sở trở thành chuẩn tắc, tức có dạng: εi x i với εi = ±1 εi = i=1 → − → − Khi mục tiêu afin {O; e1 , e2 } phương trình (S) có dạng: 2 εi x i +2 i=1 x i + a0 = (3.3) i=1 Vì aij khơng đồng thời nên phải có εi = Ta giả sử εi = 0, ≤ i, r ≤ ε2 = Dùng phép đổi mục tiêu:    X = x + ε a , i = 1, i i i i  X =x 2 Ta đưa phương trình (3.3) dạng r 2 Xi + a = 0, ≤ r ≤ εi X i + i=1 (3.4) i=r+1 Xét trường hợp sau: Trường hợp 1: Nếu (3.4) có a1 = a2 = a = ta 35 Khóa luận tốt nghiệp Đại học LÊ THỊ TUYẾT phương trình (S) là: r εi X i = 0, εi = ±1, r = 1, i=1 Trường hợp 2: Nếu (3.4) có a1 = a2 = a = εi cách đặt λi = − , i = 1, ta được: a0 r λi X i = 1, r = 1, (3.5) i=1 Sau áp dụng phép biến đổi mục tiêu:  √    X = λi Xi , λi >   i X j = −λj Xj , λj <      X = X ,r < k < k k Khi phương trình (3.5) đưa dạng: r εi X i = 1, r = 1, i=1 Trường hợp 3: Nếu (3.4) tồn aj = chẳng hạn a2 = 0, ta dùng phép đổi mục tiêu:    X = −a X − 2   X = X ,i = i i Ta đưa phương trình (3.4) dạng : εi X i = 2X 36 a0 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 3.2.2 LÊ THỊ TUYẾT Phân loại đường bậc hai A2 Dựa phương trình chuẩn tắc đường bậc hai, ta xếp đường bậc hai thành loại với tên tương ứng sau: x1 + x2 = đường Elip x1 − x2 = đường Hypebol −x1 − x2 = đường Elip ảo x1 + x2 = cặp đường thẳng ảo cắt −x1 + x2 = cặp đường thẳng cắt 3.3 x1 = 2x2 đường Parabol x1 = cặp đường thẳng song song −x1 = cặp đường thẳng ảo song song x1 = cặp đường thẳng trùng Một số ví dụ Ví dụ 3.1 Trong A2 cho đường bậc hai (S) có phương trình: 2 aij xi xj + x i + a0 = i=1 i,j=1 Xét ma trận    a11 a12 a1     A= a a a  21 22    a1 a2 a0 ∼ 37 Khóa luận tốt nghiệp Đại học LÊ THỊ TUYẾT ∼ Chứng minh (S) có điểm kì dị det A = Điều ngược lại có khơng? Tại sao? Bài giải (S) có phương trình: 2 aij xi xj + i,j=1 x i + a0 = i=1    Ax + a = Điểm I(x1 , x2 ) điểm kì dị ⇔ có nghiệm  t  ax+a =0 Tương đương với hệ    a11  a  21  a1   a12    x1 +  a   22   a2       −a1      =  −a        −a0 (3.6) có nghiệm Gọi B ma trận hệ số (3.6) Ma trận bổ sung B có dạng:    a11 a12 −a1     B bs =  a a −a   21 22   a1 a2 −a0 Mà hệ (3.6) có nghiệm ⇔ RankB = RankB bs ≤ ∼ ⇒ Rank A ≤ ∼ ⇒ det A = Điều kiện điều kiện cần điều kiện đủ Thật vậy, A2 cho đường bậc hai (S) có phương trình 38 Khóa luận tốt nghiệp Đại học LÊ THỊ TUYẾT x2 − a = 0(a > 0) có   1 0   ∼  , det A = A= 0     0 a ∼ suy (S) có tâm I(0, b) khơng có điểm kì dị I ∈ / (S) Ví dụ 3.2 [4, tr.21] Trong A2 cho đường bậc hai (S) có phương trình (αx1 + βx2 + γ)2 + 2(Ax1 + Bx2 + C) = 0, α β =0 A B Chứng minh a) (S) đường Parabol b) Đường thẳng l có phương trình αx1 + βx2 + γ = đường kính (S) Xác định phương liên hợp với c) Đường thẳng d có phương trình Ax1 + Bx2 + C = tiếp tuyến (S) giao điểm d với (S) a) Đặt Vì α β A B Bài giải    x = αx + βx + γ   x2 = Ax1 + Bx2 + C = nên (x1 , x2 ) tọa độ afin Phương trình (S) theo tọa độ (x , x ) x1 + 2x2 = Đây phương trình tắc Parabol hay (S) đường Parabol 39 Khóa luận tốt nghiệp Đại học LÊ THỊ TUYẾT b) Đường thẳng l có phương trình αx1 + βx2 + γ = đường kính − liên hợp với phương → v = (v , v ) phương trình l có dạng: v1 ∂F ∂F + v2 = 0, F = (αx1 + βx2 + γ)2 + 2(Ax1 + Bx2 + C) ∂x1 ∂x2 Tức là: α(v1 α + v2 β)x1 + β(v1 α + v2 β)x2 + (v1 α + v2 β)γ + v1 A + v2 B = Hai phương trình đường thẳng l phải tương đương với nên: α(v1 α + v2 β) β(v1 α + v2 β) (v1 α + v2 β)γ + v1 A + v2 B = = α β γ ⇔ v1 A + v2 B = Chọn (v1 , v2 ) = (B, −A) l đường kính liên hợp với phương → − v = (B, −A) c) Giao đường thẳng d với (S) xác định hệ phương trình:      αx + βx + γ =  (αx + βx + γ)2 = 2 hay    Ax1 + Bx2 + C =  Ax1 + Bx2 + C = Vì α β = nên suy d ∩ (S) điểm M0 A B Phương trình (S) : (αx1 + βx2 + γ)2 + 2(Ax1 + Bx2 + C) = ⇔ α2 x2 + β x2 + 2αβx1 x2 + 2(A + αγ)x1 + 2(B + βγ)x2 + 2C + γ = − Phương d xác định → v = (B, −A), mà 40 Khóa luận tốt nghiệp Đại học LÊ THỊ TUYẾT α2 B + β (−A)2 + 2αβB(−A) = (αB − βA)2 = α β =0 A B − Nên → v không phương tiệm cận (S) Do theo định nghĩa tiếp tuyến d tiếp tuyến (S) M0 Ví dụ 3.3 Trong A2 với mục tiêu chọn, cho đường bậc hai có phương trình là: (S) : x2 + 2x1 x2 − 3x2 + 2x1 − 2x2 + = Tìm tâm, điểm kì dị, phương tiệm cận đường tiệm cận (nếu có) (S) Bài giải Ta có:     1    A= ,a =   −3 −1 Điểm I(x1 , x2 ) tâm đường bậc hai (S) tọa độ điểm I thỏa mãn:      x +x +1=0  x = −1 2 Ax + a = ⇔ ⇔    x1 − 3x2 − =  x2 = − 12 Vì I ∈ / (S) nên I khơng điểm kì dị đường bậc hai (S) −c (c , c ) phương tiệm cận đường bậc hai (S ) Khi → −c Gọi → 41 Khóa luận tốt nghiệp Đại học LÊ THỊ TUYẾT thỏa mãn:      c2 + c2 >  c2 + c2 > 2 ⇔    c1 + 2c1 c2 − 3c2 =  ct Ac =  → −  c1 = (1, 1) → − c2 = (−3, 1) Giải ta Đường bậc hai (S) có: + Tâm I(− 12 , − 12 )  → −  c1 = (1, 1) + Hai phương tiệm cận  → − c2 = (−3, 1) − Gọi d1 = I, → c1 lượt − , d2 = I, → c2    x =t− d1 :   x2 = t − 2 Khi phương trình d1 , d2 lần    x = −3t − , d2 :   x2 = t − 12 Ta xét giao điểm d1 , d2 với (S) Xét: t− 2 +2 t− 2 −3 t− 2 +2 t− −2 t− +1 =1=0 Suy d1 không cắt (S) nên d1 đường tiệm cận Xét: −3t − 2 +2 −3t − t− −3 t − 2 +2 −3t − =1=0 Suy d2 không cắt (S) nên d2 đường tiệm cận Vậy (S) có hai đường tiệm cận d1 , d2 42 −2 t − +1 Khóa luận tốt nghiệp Đại học LÊ THỊ TUYẾT Ví dụ 3.4 Tìm phương trình chuẩn tắc, tên gọi đường bậc hai sau: x2 + 2x1 x2 − 3x2 + 2x1 − 2x2 + = Bài giải x2 + 2x1 x2 − 3x2 + 2x1 − 2x2 + = ⇔ (x1 + x2 + 1)2 − 4x2 − 4x2 = Với phép đổi tọa độ :    x =x +x +1   x2 = x2 Khi đường bậc hai có dạng: x − 4x 2 − 4x2 = ⇔ x − 4(x2 + )2 + = Với phép đổi tọa độ:   x =x 1   x = x2 + Khi đường bậc hai có dạng : x − 4x2 + = 43 Khóa luận tốt nghiệp Đại học LÊ THỊ TUYẾT Với phép đổi tọa độ:   X =x 1   X2 = 2x Khi đường bậc hai có dạng: −X1 + X 2 = Vậy (S) đường Hypebol 44 Khóa luận tốt nghiệp Đại học LÊ THỊ TUYẾT KẾT LUẬN Phần nội dung khóa luận trình bày hình học afin mặt phẳng Sau trình nghiên cứu, em tìm hiểu củng cố cho thêm nhiều kiến thức hình học Mặc dù có nhiều cố gắng song điều kiện khách quan chủ quan, khóa luận khơng tránh khỏi thiếu sót, em mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô giáo bạn Một lần em xin chân thành cảm ơn tất quý thầy cô giáo bạn giúp đỡ em suốt q trình nghiên cứu hồn thành khóa luận 45 Tài liệu tham khảo [1] Phạm Khắc Ban, Phạm Bình Đơ (2007), Hình học afin hình học Ơclit ví dụ tập, NXB Đại học Sư phạm [2] Lê Khắc Bảo (1982), Hình học giải tích, NXB Giáo dục [3] Văn Như Cương, Tạ Mân (1998), Hình học afin hình học Ơclit, NXB Đại học Sư phạm [4] Hà Trầm (2008), Bài tập hình học afin hình học Ơclit, NXB Đại học Sư phạm [5] Phan Hồng Trường (2001), Đại số tuyến tính, Đại học Sư phạm Hà Nội 46 ...TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN *********** LÊ THỊ TUYẾT HÌNH HỌC AFIN TRÊN MẶT PHẲNG KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chun ngành: Hình học Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS NGUYỄN... nghiệp đại học Mục đích nghiên cứu Mục đích khóa luận hệ thống lại số khái niệm, định lý tính chất hình học afin mặt phẳng Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu số lý thuyết hình học afin mặt phẳng Đối... nghiên cứu + Đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu kiến thức hình học afin mặt phẳng + Phạm vi nghiên cứu: Các kiến thức hình học afin mặt phẳng qua tài liệu liên quan Phương pháp nghiên cứu Nghiên