Luận văn sư phạm Bài toán cực trị về hình học trong mặt phẳng

TR NG I HOC S PH M HÀ N I KHOA TOÁN H C PH M TH HI N BÀI TỐN C C TR V HÌNH H C TRONG M T PH NG KHOÁ LUÂN T T NGHI P CHUYÊN NGÀNH : HỊNH H C Ng ih ng d n khoa h c T.S PHAN H NG TR ảà n i, Tháng n m 2010 NG L ic m n Do ch a có nhi u kinh nghi m ối c ti n hành nghiên c u khoa h c , em không kh i b ng ốà nhi u lúng túng Nh ng đ c s giúp đ nhi t tình c a th y giáo PảAN ả NẢ TR NẢ ốà th y giáo t hình h c , em hồn thành t t khố lu n c a , đ m b o th i gian , ki n th c c ng nh s ồác c a toán h c Do u ki n ố th i gian ốà tính ch t c a đ tài ch c ch n khoá lu n t t nghi p c a em không tránh kh i nh ng thi u sót.Em r t mong nh n đ c s ch b o c a th y cô giáo ốà ý ki n c a b n đ ng mơn đ khố lu n đ c hoàn thi n h n Qua em ồin g i l i c m n chân thành t i th y cô giáo t hình h c , th y giáo khoa toán ốà đ c bi t th y giáo PảAN ả NẢ TR NẢ h ng d n em hồn thành khố lu n Em ồin chân thành c m n! Ngày 15 tháng n m 2010 Sinh viên : PH M TH HI N L i cam đoan Khoá lu n k t qu c a b n thân em qua trình h c t p nghiên c u,cùng v i s t o u ki n c a th y giáo khoa tốn, đ c bi t s h ng d nt n tình c a th y giáo Phan H ng Tr ng Em xin kh ng đ nh k t qu c a đ tài “Bài tốn c c tr v hình h c m t ph ng” khơng có s trùng h p v i k t qu c a đ tài khác M cệ c Trang L i nói đ u ……………………………………………………………… Ch ng : Ph ng pháp gi i m t toán c c tr ố hình h c A) Bài tốn c c tr ố hình h c …………………………………… B) Ph ng pháp chung đ gi i m t toán c c tr v hình h c Bài t p đ ngh ch ng 1……………………………………………… 14 Ch ng : Cách ố n d ng b t đ ng th c hình h c A) B t đ ng th c tam giác………………………………………… B) ng ống góc ốà đ ng ồiên…………………………… C) dài đ ng g p khúc ………………………………………… D) Các b t đ ng th c đ ng tròn…………………………… Bài t p đ ngh ch ng …………………………………………… ng : Cách ố n d ng b t đ ng th c đ i s ốào tốn c c tr v hình h c m t ph ng A) Các b t đ ng th c đ i s th ng dùng…………………………… B) Các ốí d áp d ng ……………………………………… ………… Bài t p đ ngh ch ng 3…………………………………………… 15 16 17 19 21 Ch ng : To đ ốà ốect m t ph ng ố i tốn c c tr ố hình h c A)To đ m t ph ng ố i toán c c tr v hình h c m t ph ng …………………………………….… 22 23 25 Ch 26 B)Vecto m t ph ng ố i toán c c tr v hình h c m t ph ng ……………………………………………… 28 K t lu n………………………………………………………………… 31 L I NÓI U 1) Lý dỊ ch n đ ỏài Trong nhà tr ng ph thơng , hình h c m t mơn h c khó đ i ố i h c sinh.B i hình h c m t môn h c yêu c u ng i h c ph i có t logic , ch t ch ốà có kh n ng tr u t ng hố cao h n môn h c khác ả c sinh đ c ti p c n ố i hình h c t nh ng n m h c ti u h c ốà đ c h c m t cách h thông t l p ả c sinh đ c h c cách gi i r t nhi u d ng toán nh ng tốn tìm giá tr c c tr c a m t đ i l ng hình h c m t ph ng ln tốn gây nhi u khó kh n cho h c sinh V i s g i ý h ng d n c a th y giáo PảAN ả NẢ TR NẢ ,cùng ố i m c đích tìm hi u ốà đ a ph ng pháp chung đ gi i m t tốn c c tr ố hình h c m t ph ng c ng nh tìm hi u cách ố n d ng m t s b t đ ng th c hình h c ,b t đ ng th c đ i s đ gi i tốn c c tr hình h c m t ph ng , em l a ch n đ tài “ Bài toán c c tr ố hình h c m t ph ng ” 2) Nhi m v nghiên c Ố : + Trình bày c s lí thuy t + ồu t ph ng pháp +Xây d ng h th ng ốí d t p luy n t p 3)Ph ng ịháị nghiên c Ố + Th ng kê + Khái quát hoá , tr u t ng hoá + Nghiên c u sách giáo khoa , tài li u tham kh o , báo toán h c ốà tu i tr Cả NẢ :Pả NẢ PảÁP ẢẤ Ấ M T BÀẤ TOÁN C C Tậ V ảÌNả ả C TRONG M T PH NẢ A, Bài ỏỊán c c ỏọ v hình h c Xét m t đ i l ng hình h c y (đ dài c a m t đo n th ng,t ng c a nhi u đo n th ng,chu ối ,di n tích c a m t hình, đ l n c a m t góc,ố.ố…) 1, Bài tốn tìm c c ỏi Ố v hình h c N u có m t giá tr không đ i y1 cho ln có y y1 , đ ng th i t n t i m t ố trí hình h c c a y (ho c hình ch a y) t i y đ t đ c giá tr y1 ,thì ta nói r ng y1 giá tr nh nh t (c c ti u ) c a y 2, Bài ỏỊán ỏìm c c đ i v hình h c T ng t ,n u có m t giá tr khơng đ i y2 cho ln có y y2 , đ ng th i t n t i m t ố trí hình h c c a y (ho c hình ch a y) t i y đ t đ c giá tr y2 ,thì ta nói r ng y2 giá tr l n nh t (c c đ i ) c a y Bài tốn tìm c c ti u hay c c đ i c a y đ h c Ng i ta th ng kí hi u c g i chung tốn c c tr ố hình y = y1 (hay ymin = y1) ; Max y = y2 (hay ymax = y2 ) ; B,Ph ng ịháị chỐng đ gi i m ỏ ỏỊán c c ỏọ v hình h c m ỏ ph ng C n c ốào đ u bài,ng sau: i ta th ng gi i tốn c c tr ố hình h c theo ba cách 1,Cách 1: V m t hình có ch a đ i l ng hình h c mà ta ph i tìm c c tr , thay u ki n c a đ i l ng b ng u ki n t ng đu ng.Có ph i ch n m t đ i l ng hình làm n s ,d a ốào m i quan h gi a n s ố i đ i l ng khác hình, nh ng đ i l ng có th đ u cho s n,nh ng c ng có th ta làm ồu t hi n trình tìm l i gi i c a toán.Bi u th n s theo đ i l ng bi t, đ i l ng không đ i r i bi n đ i t ng đ ng bi u th c ố a tìm đ c đ cu i ồác đ nh đ c giá tr c a đ i l ng c n tìm, t suy ố trí c a hình đ đ t đ c c c tr Ng i ta th ng dùng cách đ u d tho mãn u ki n c c tr cho tr c ‟‟ c cho d i d ng : “ Tìm m t hình Ví d 1: Trong tam giác có đáy ốà di n tích , tìm tam giác có chu ối nh nh t Gi i : Xét tam giác có chung đáy BC = a ốà có n tích S Ả i Aả đu ng cao t ng ng ố i c nh đáy BC ta có: 2S S = AH.BC  AH = ( không đ i ) a Suy A di đ ng m t đ ng th ng ồy 2S Song song ố i BC ốà cách BC m t kho ng b ng a B’ Ta c n ồác đ nh ố trí c a A ồy đ tam giác ABC Có chu ối nh nh t Chu vi ABC = AB + BC + CA = AB + AC + a Vì a khơng đ i nên chu ối ABC nh nh t ốà ch AB + AC nh nh t x G i B‟ m đ i ng c a B qua ồy , B‟C c t XY t i A0 Xét AB‟C ta có: AB‟ + AC  B‟C = B‟A0 + A0C (1) Thay AB‟ = AB ; A0B‟ = A0B vào (1) ta đ AB + AC  A0B + A0C (2) c: Ao A y B C (2) có d u “=” ốà ch B‟, A, C th ng hàng Khi A  A0 Vì A0B = A0B‟ = A0C nên A0BC cân t i A0 V y tam giác có chung m t đáy ốà có di n tích tam giác cân có chu ối nh nh t Ví d : Cho ABC có góc B ốà C nh n; BC =a, đ ng cao Aả = h Xét hình ch nh t MNPQ n i ti p tam giác có M  AB; N  AC; P Q  BC Xác đ nh ố trí c a hình ch nh t MNPQ đ có di n tích l n nh t Gi i: V trí c a hình ch nh t MNPQ s đ c hoàn toàn ồác đ nh n u ta ồác đ nh đ c ố trí c a MN t MQ = ồ; MN= y A  AK = h - x AMN ABC MN AK = BC AH y h-x  = a h M K y N  B Q H P C a(h-x) h Ả i S di n tích hình ch nh t MNPQ : a (*) S = xy = x( h - x) h a a h2 h2 2 S = ( hx - x ) = ( hx - x + - ) h 4 h 2 a h h h = [ - ( x2 - 2.x + )] h 4 2 h a h = [ - (x- )2 ] h ah a h ah = - (x- )  h h h d u “=” y - =  x = K trung m c a Aả hay MN 2 đ ng trung bình c a ABC h ah x= V y maồ S =  y= Chú Ý : Ta có th gi i tốn b ng cách áp d ng h qu c a b t đ ng th c Cauchy T (*) ta nh n th y : a, h đ u h ng s d ng nên S l n nh t ốà ch ồ(h -x) l n nh t Do > 0; x < h nên h - > 0, hai s d ng ốà (h - ồ) có t ng khơng đ i x + (h - x) = h nên tích x(h - ồ) s l n nh t chúng b ng : h x = h - x hay x = 2,Cách a m t hình (theo yêu c u đ u bài) r i ch ng minh m i hình khác có ch a y u t ( mà ta ph i tìm c c tr ) l n h n ho c bé h n y u t t ng ng hình đ a Ví d : Trong tam giác có đáy ốà di n tích, ch ng minh r ng tam giác cân có chu ối nh nh t ây toán ta đ c p ốí d 1,nh ng đ u nói rõ hình ta c n ph i ch ng minh m t tam giác cân, nên ta đ a m t tam giác cân A0BC (h.1.1).R i ồét m t tam giác khơng cân ABC có đáy BC, đ nh A ch y ng th ng xy BC ta ch ối c ch ng minh chu ối ABC chu vi A0BC t c AB + AC  A0B + A0C nh trình bày cách gi i ví d 3,Cách : Thay ối c tìm c c đ i c a m t đ i l l ng khác , ho c ng c l i ng b ng ối c tìm c c ti u c a m t đ i Ví d 4: Ch ng minh r ng tam giác có đáy ốà di n tích , tam giác cân có bán kính đ ng tròn n i ti p l n nh t ẢI I Ả i a, b, c đ dài ba c nh c a tam giác ABC , r bán kính đ ng trịn n i ti p tâm I , S n tích tam giác ABC Ta có : S = SAIB + SBIC + SCIA 1 = cr + ar + br 2 r = (a + b + c ) Vì S khơng đ i , ta suy r s l n nh t ốà ch ( a + b + c ) nh nh t , t c chu ối c a tam giác nh nh t Theo k t qu ốí d ,đó tam giác cân Ví d 5: Cho hình ống ABCD c nh a Xét hình thang có b n đ nh b n c nh c a hình ống ốà hai đáy song song ố i m t đ ng chéo c a hình ống Tìm hình thang có di n tích l n nh t ốà tính di n tích l n nh t y ẢI I Ả i EạẢả hình thang có đ nh n m c nh c a hình ống ốà hai đáy ạẢ, Eả song song ố i đ ng chéo BD c a hình ống D Ả di S t AE =  EB = a - x CF = y  FB = a - y th y DHG = BEF i S hi u di n tích hình ống ốà n tích hình thang EạẢả : = SAEH + SCFG + 2SBEF AE + CF + BE.BF 2 2 y x + + ( a - x )( a - y ) = 2 = [ x2 + y2 + 2xy - 2a( x + y ) + 2a ] 2 = [(x+ y) -2a(x+ y)+ 2a ] 2 = [(x+ y-a) + a ] SEFGH l n nh t ốà ch S l y giá tr nh nh t i u y khi: x+ y-a =  x+ y= a  x= a -y hay AE = BF Khi đ ng chéo EẢ ốà ảạ song song ố i c nh c a hình ống ốà di n a2 tích l n nh t c a hình thang ph i tìm (*) CảƯ Ý ẬUAN Tậ NẢ (i) Có tr ng h p đ tìm c c tr c a m t đ i l ng A , ta chia A thành t ng c a nhi u đ i l ng khác : A= B + C r i tìm c c tr c a B ốà C, t suy c c tr c a A ,ta c n ch ng minh : “ B đ t c c tr C c ng đ ng th i đ t c c tr ốà ng c l i ” = Ví d 6: Cho tam giác ABC ống t i A , bên ngồi tam giác ố hai n a đ ng trịn có đ ng kính AB , AC M t d ng th ng d quay quanh A c t hai n a đ ng tròn theo th t M,N ( khác A ) Xác đ nh ố trí c a M,N cho chu ối c a t giác BCNM l n nh t ẢI I t BM = ; AM = y ; AN = z ; NC = t ; Thì chu ối t giác BMNC = BC + + y + z + t V i hai đ i l ng b t kì , ta ln có : ( a - b )2   a + b2  2ab  ( a + b2 )  ( a + b )2(*) Tam giác AMB ốuông t i M ; Áp d ng đ nh lí Pitago ta có : BM2 + MA2 = AB2 hay x2 + y2 = AB2 Áp d ng b t đ ng th c (*) : ( + y )2  AB2  x + y  AB 10 C, DÀẤ dài đ NẢ Ả P ẦảƯC ng g p khúc n i hai m không nh h n đ dài đo n th ng n i hai m Ví d : Cho hình ống ABCD ốà m t t giác MNPQ có b n đ nh thu c b n c nh hình ống ( t giác MNPQ n i ti p hình ống ABCD ) Tìm u ki n đ t giác MNPQ có chu ối nh nh t ẢẤ Ấ Ả i I , J , K l n l t trung m c a QN , MN , PQ Áp đ ng tính ch t c a trung n thu c c nh huy n c a tam giác vng ta có: MN = BJ ; PQ = DK Áp d ng tính ch t đ ng trung bình c a tam giác : PN = IK ; MQ = IJ Chu ối t giác MNPQ : MN + NP + PQ + MQ = = ( BJ + JI + IK + KD )  BD Chu vi t giác MNPQ đ t giá tr nh nh t b ng hai l n đ dài đ ng chéo hình ống, đ ng g p khúc trùng ố i đ ng chéo BD, MN AC PQ MQ BD NP T giác MNPQ tr thành hình ch nh t T tốn tacó th rút k t lu n : M i hình ch nh t n i ti p đ c m t hình ống cho đ u có chu ối b ng ốà chu ối nh nh t so ố i chu ối c a b t kì t giác n i ti p hình ống Ví d : Cho tam giác ABC có góc nh h n 120o Tìm m M n m bên tam giác cho t ng MA + MB + MC có giá tr nh nh t ẢẤ Ấ 19 Xét m t m M n m tam giác ABC Ta ph i ồác đ nh ố trí c a M đ t ng MA + MB + MC có giá tr nh nh t Ta tìm cách đ a t ng c a ba đo n thành t ng c a đo n th ng c a m t đ ng g p khúc n i hai m ồác đ nh Th c hi n phép quay tâm A ,góc quay 60o , ng c chi u kim đ ng h : Bi n : M thành M‟ ; C thành C‟ Nh ố y tam giác AMM‟ tam giác đ u suy MA =MM‟ Tam giác ACC‟ c ng tam giác đ u nên C‟ hoàn toàn ồác đ nh ; M‟C‟ = MC ( ốì phép quay b o tồn kho ng cách gi a hai m ) Do MA + MB + MC = MM‟ + MB + M‟C‟ = đ dài đ ng g p khúc BMM‟C‟  BC‟ t ng MA + MB + MC nh nh t ,ta ph i tìm M cho b n m B, M ,M‟ ,C‟ th ng hàng , ngh a M thu c đo n BC Suy : M  Mo = BC‟  CB‟ Do cách ồác đ nh m M nh sau : D ng phía ngồi tam giác ABC tam giác đ u ACC‟ ; ABB‟ ; L y giao c a BC‟ ốà CB‟, m M c n tìm Theo gi thi t tam giác ABC đ u có góc nh h n 120o nên ta có :    BAC‟ = BAC + CAC‟ < 120o + 60o = 180o Suy BC‟ c t đo n AC t i m t m D n m gi a A ốà C T ng t CB‟ c t AB t i m E n m gi a A ốà B, suy tia BD n m gi a hai tia BA ốà BC ; Tia CE n m gi a hai tia CB ốà CA ; Do hai tia BC‟ ốà CB‟ c t t i m t m Mo n m tam giác ABC D, CÁC B T 1, NẢ Tả C TậONẢ NẢ TậÕN ng kính dây cung l n nh t c a đ ng tròn 2, Trong hai dây cung không b ng , dây l n h n có kho ng cách t tâm đ n dây nh h n ốà ng c l i Ví d : Cho hai đ ng tròn (O1) (O2) c t t i A ốà B M t cát n qua B , c t (O1) t i M , c t (O2) t i N Xác đ nh ố trí cu MN đ chu ối tam giác AMN đ t giá tr l n nh t ẢẤ Ấ Hai tam giác AMN AO1O2 đ ng     d ng ốì có M = O1 ; N = O2 Suy : AM+ MN+ NA AM = AO1+ O1O2+ O2A AO1 20 AM m t dây ; AO1 bán kính đ ng trịn (O1) : AM  AO1 AM   AO1 D u “=” y AM đ ng kính đ ng trịn (O1) , AN đ ng kính đ ng trịn (O2) ,do O1O2 đ ng trung bình c a tam giác AMN  MN O1O2 V y tam giác AMN s có chu ối l n nh t MN qua B ốà song song ố i đ ng n i tâm O1O2 Ví d 2: Cho đ ng tròn (O) ốà m t m M n m đ ng trịn ( M khơng trùng ố i O ) 1) Qua M d ng dây Ab cho đ dài c a : a) L n nh t b) Nh nh t 2) D ng m P đ  ng tròn cho góc OPM l n nh t ẢI I 1) a) Dây AB l n nh t qua M ph i d ng dây qua tâm O ( hay d ng đ c a đ ng tròn qua M ) ng kính b) Ải s AB m t dây b t kì qua M ốà Oả kho ng cách t tâm O t i dây Dây AB s ng n nh t ốà ch Oả dài nh t Xét tam giác OảM ta có OH  OM max OH = OM  H  M V y dây AB nh nh t ph i d ng AoBo vng góc ố i OM t i M 2) Ải s PQ m t dây b t kì qua M.Tam giác cân OPQ có c nh bên OP =OQ khơng đ i ( bán kính c a đ ng trịn (O) ) nên góc  đáy OPM s l n nh t góc  đ nh POQ nh nh t góc 21 tâm đ ng trịn (O)  nên POQ s nh nh t cung PQ nh nh t Dây PQ nh nh t ốà ch kho ng cách t tâm O đ n dây l n nh t , suy PQ ống góc ố i OM t i M V y m P ph i d ng m P1 ,P đ ng tròn (O) cho P1P qua M ốà ống góc ố i OM BÀẤ T P NẢả CH NG BÀI 2.1 : Cho hai m A ốà B m t n a m t ph ng có b đ ng th ng ồy cho tr c Tìm ồy m t m M cho chu ối tam giác ABM nh nh t BÀI 2.2 : Trong hình bình hành có di n tích ốà m t đ ng chéo khơng đ i, hình có chu ối nh nh t ? BÀI : Cho tam giác ABC cân A ốà m D c đ nh đáy BC.D ng m t đ ng th ng song song ố i BC, c t hai c nh bên E ốà cho DE + Dạ có giá tr nh nh t BÀI 2.4 :  Cho góc xOy ốà m t m M n m góc cho M không thu c Oồ ốà Oy.ảãy ồác đ nh m B Oồ ốà m C Oy cho OB = OC ốà MB + MC đ t giá tr nh nh t BÀI 2.5 : Cho tam giác đ u ABC Qua tr ng tâm O c a tam giác d ng đ ng th ng cho t ng kho ng cách t ba đ nh c a tam giác t i đ ng th ng l n nh t ? nh nh t ? BÀI 2.6 : Cho tam giác ABC Tìm đ ng th ng qua đ nh A c a tam giác cho t ng kho ng cách t B ốà C t i đ ng th ng nh nh t ? BÀI 2.7: Cho góc vng xOy , m A thu c mi n c a góc , m M,N theo th  t chuy n đ ng tia Ox ,Oy cho MAN = 90o Xác đ nh ố trí c a M ,N đ t ng AM + AN có đ dài : a) Nh nh t b) l n nh t BÀI 2.8 : Trong cá hình thoi có chu ối , hình có di n tích l n nhât ? BÀI 2.9 : Cho hình ch nh t ABCD Tìm t giác có b n đ nh thu c b n c nh c a hình ch nh t cho chu ối c a t giác nh nh t 22 BÀI 2.10 : Trong hình ch nh t có đ ng chéo b ng d khơng đ i, hình có di n tích l n nh t ? Tính di n tích BÀI 2.11 : Cho n a đ ng tròn tâm O đ ng kính AB ; M m t m di đ ng n a đ ng tròn.Qua M ố ti p n ố i n a đ ng tròn, g i D ốà C theo th t hình chi u c a A ốà B ti p n y Xác đ nh ố trí c a M cho t giác ABCD có di n tích l n nh t Tính di n tích theo bán kính R c a đ ng tròn Cả NẢ 3: CÁCả V N D NẢ CÁC B T NẢ Tả CTậONẢ VÀO BÀI TOÁN C C TR HÌNH H C A, CÁC B T NẢ Tả C Ấ S Tả ẤS NẢ DÙNẢ 1, Cho f(ồ) có mi n ồác đ nh D  R Ta có : [f(x)]  ,x  D T suy : a) [f(x)] + m  m N u t n t i = ồo  D cho [f(xo)] + m = m t c [f(xo)] = Thì m đ c g i giá tr nh nh t c a f(ồ) ốà ta kí hi u : Min f(x) = m  x = xo b) M - [f(x)]  M N u t n t i = ồo  D cho M - [f(x)] = M t c [f(ồo)] = Thì M đ c g i giá tr l n nh t c a f(ồ) ốà ta kí hi u : Max f(x) = M  x = xo , B t đ ng th c Cơsi ( Cauchy ) Có d ng sau : a) ( a + b )2  ab , d u “=” y ốà ch a = b a b b) +  ( ố i ab >0) d u “=” y ốà ch a = b b a c) a + b  ab ( ố i a  ; b  ) d u “=” y ốà ch a = b CÁC ả ẬU : d) a  0; b a + b = k (không đ i) (ab)max  a = b  ảai s khơng âm có t ng khơng đ i tích s l n nh t ốà ch hai s b ng  Trong hình ch nh t có chu ối, hình ống có di n tích l n nh t e) a  0; b ab = k (không đ i) (a + b)min  a = b 23  ảai s khơng âm có tích khơng đ i t ng s nh nh t ốà ch hai s b ng  Trong hình ch nh t có di n tích, hình ống có chu ối nh nh t B, CÁC VÍ D ÁP D NẢ Ví d 1: Cho hình ch nh t ABCD có AB = 12cm; BC = 8cm Trên c nh AB,BC,CD, l n l t l y m E,ạ,Ả,ả cho AE = Cạ = CẢ = Aả Xác đ nh ố trí m E,ạ,Ả,ả đ t giác EạẢả có di n tích l n nh t ốà tính di n tích ẢẤ Ấ t AE = Cạ = CẢ = Aả =  BE = DG = 12 - x BF = DH = -x Ả i S t ng di n tích c a b n tam giác ống AEả; CẢạ; EBạ ốà ẢDả; di n tích t giác EạẢả s l n nh t S nh nh t 1 S = .x.x + (12 - x)(8 - x) 2 = x + 96 - 20x + x2 = 2( x2 -10x + 48) = 2(x - 5)2 + 46  46 Min S = 46  x = V y maồ SEFGH = 12.8 - 46 = 50 (cm)2  x = 5(cm) Ví d 2: Cho tam giác ABC có BC = a; AC = b; AB = c Ả i ồ, y, z theo th t kho ng cách t m M Tam giác t i c nh BC, CA, AB Xác đ nh ố a b c trí m M đ t ng + + có giá tr nh nh t x y z Ải i Ả i S di n tích tam giác ABC, ta có: S = SBMC + SCMA + SAMB = (ax + by + cz)  ax + by + cz = 2S 24 Xét tích: a b c (ax + by + cz)( + + )= x y z x y y z x z = a + b2 + c2 + ab( + ) + bc( + ) + ac( + ) y x z y z x x y Vì x > 0, y > 0, nên ta có +  2, … y x Do : a b c (ax + by + cz)( + + )  a + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc x y z Hay : a b c S( + + )  (a + b + c)2 x y z a b c (a+ b+ c)2  + +  2S x y z a b c (a+ b+ c)2  min( + + ) = 2S x y z Khi ốà ch : x = y  M  phân giác góc C (1) y = z  M  phân giác góc A (2) t (1) ốà (2)  M tâm đ ng tròn n i ti p ABC a b c (a+ b+ c)2 V y bi u th c + + đ t giá tr nh nh t b ng ốà ch M 2S x y z tâm đ ng tròn n i ti p ABC 25 BÀẤ T P NẢả CH NG BÀI 3.1: Cho tam giác ABC có di n tích S.Các m D, E ,F th t thu c cá c nh AB ,BC ,CA cho AD = kAB ; BE = k BC ; CF = k CA a) Tính di n tích tam giác DEF theo S k b) V i giá tr c a k di n tích tam giác DÈ đ t giác tr nh nh t ? BÀI : Trong tam giác vng có t ng hai c nh góc vng khơng đ i , tam giác có chu vi nh nh t ? BÀI 3.3: Cho hình ch nh t ABCD có đ dài c nh 20 cm 30 cm Hãy xác đ nh v trí đ nh c a hình bình hành EFGH n i ti p hình ch nh t cho ( E , F , G , H l n l t thu c c nh BC , BA , AD , DC ) cho BE = BH = DF = DG đ di n tích hình bình hành EFGH có giá tr l n nh t Tìm giá tr l n nh t BÀI 3.4 : Cho tam giác ABC Qua m O n m bên tam giác đó, v đ ng th ng song song v i c nh c a tam giác , chia tam giác làm ba hình bình hành ba tam giác nh a) Bi t di n tích tam giác ABC 81cm2 ; hai ba tam giác nh có di n tích cm2 16 cm2 Tính di n tích c a tam giác l i b) Ch ng minh r ng t ng di n tích c a ba tam giác nh l n h n ho c b ng di n tích tam giác ABC i m O v trí x y d u b ng? BÀI 3.5 : G i O giao m c a hai đ ng chéo AC BD c a t gác ABCD Bi t SAOB = ; SCOD = Hãy tìm giá tr nh nh t c a di n tích t giác ABCD BÀI 3.6 : ng trịn (O, r) n i ti p tam giác ABC ng th ng k qua O c t hai c nh CA CB c a tam giác l n l t t i M N ng th ng MN v trí CMN có di n tích nh nh t ? BÀI 3.7 : Cho m M n m đ ng tròn (O,R) Qua M d ng hai dây AB CD vuông góc v i cho AB + CD l n nh t ? BÀI 3.8 : Cho tam giác ABC cân A Các m M ,N theo th t chuy n đ ng c nh AB , AC cho AM = CN Xác đ nh v trí c a M ,N đ : 26 a) MN có giá tr nh nh t b) Di n tích  AMN có giá tr l n nh t Cả A) TO NẢ : TO VÀ VẠC TậONẢ M T Pả NẢ V Ấ BÀẤ TOÁN C C Tậ ảÌNả ả C TậONẢ M T Pả NẢ V Ấ BÀẤ TỐN C C Tậ V ảÌNả ả C TRONG M T PH NẢ:  S d ng cơng th c to đ véct , phép tốn tích vơ h v góc, kho ng cách ng, cơng th c  Ch n h tr c to đ thích h p đ gi i m t s tốn hình h c c n  Cho tam giác ABC v i đ nh có to đ xác đ nh thì: X +X Y +Y + Trung đ êm c a đo n AB : I( A B ; A B) 2 X +X +X Y +Y +Y + Tr ng tâm G: G( A B C ; A B C) 3 + Tr   HA BC= c tâm H:    HB  CA= + Tâm đ ng tròn ngo i ti p E : EA = EB = EC AE2= BE2  AE2= CE2   + Kho ng cách: AB = | AB| = (XB-XA)2+ (YA-YB)2 VÍ D 1: Cho ABC đ u c nh a, ố tia Aa , Bb , Cc l y m A1 , B1 cho AA1 = BB1 = 2a Xác đ nh to đ đ nh C1 Cc cho A1B1C1 có di n tích nh nh t, tìm giá tr nh nh t ẢẤ Ấ 27 a a Cho h tr c to đ Axyz v i B Ax Khi H(0;0;0), B(a;0;0), C( ; ;0); 2 a a ;m) A1(0;0;2a); B1(a;0;a) gi s CC1 = m, m > CC1( ; 2 G i S, S1 theo th t di n tích c a ABC, A1B1C1 g i  góc gi a m t ph ng (ABC) (A1B1C1) a2 S = S1 = Cos 4Cos T ta th y S1 đ t giá tr nh nh t  Cos đ t giá tr   g i n1 , n2 theo th t vect pháp n c a m t ph ng (ABC) (A1B1C1) ta có  n1 (0;0;1),   n A B    n A C 2 1 ,   n2 (a 3; 3a - 2m; a 3)  | n1 n2 |  Cos =   | n1 |.| n2 | = a 6a + (3a-2m)2 Khi Cos đ t giá tr nh nh t  a -2m = 3a  m= 2   Cos =  = a 3a V y S1 = đ t đ c CC1 = 28 Ví D 2: Cho tam giác đ u ABC c nh b ng a ố hai tia Aa , Bb ph ng ốà ống góc ố i m t ph ng (ABC) Ả i A1 , B1 hai m di đ ng Aa , Bb cho AA1 + BB1 = l ( l đ dài cho tr c) ồác đ nh ố trí c a A1 , B1 cho ABC di n tích nh nh t? ốà tìm giá tr đó? GI I Ch n h tr c to đ Axyz v i m B  Ax , A1  Az a a A(0;0;0), B(a;0;0), C( ; ;0) 2 gi s AA1 = x, BB1 = y ta đ c A1 (0;0;x), B1(a;0;y) x + y = l SABC a2 = SA1B1C = Cos 4Cos Ta có : Cos = a = 4(x + y)2+ 3a 2 a 4l + 3a 2-8xy Ta có SA1B1C  Cos max  tích x.y = max M t khác l = x + y  xy  xy   AA1 = BB1 = l l d u “=” s y x = y = l V y SA1B1C tđ a 2l2+ 3a = c AA1 = BB1 = l B) VẠCTO TậONẢ M T Pả NẢ V Ấ BÀẤ TỐN C C Tậ V ảÌNả ả C TRONG M T PH NẢ S d ng ph ng pháp vect ta s gi i quy t đ c r t nhi u toán m t ph ng c ng nh không gian , đ i v i tốn c c tr hình h c ph ng ph ng pháp vect có nhi u ng d ng 29 *) Tích vơ h   ng c a vect    a , b :     a b = |a |.|b |.cos( a , b )  |a |.|b | Ví d 1: Cho ta giác ABC v i tr ng tâm G a) Ch ng minh r ng v i m i m M ta có : MA2 + MB2 + MC2 = 3MG2 + GA2 + GB2 + GC2 b)V i v trí c a m M t ng MA2 + MB2 + MC2 có giá tr nh nh t ? Và giá tr b ng ? ẢẤ Ấ    a) ta có: MA2 + MB2 + MC2 = MA + MB2 + MC2   = ( MG + GA )      + ( MG + GB ) + ( MG + GC )2        = MG2 + GA2 + GB2 + GC2 + 2MG ( GA + GB + GC ) = 3MG2 + GA2 + GB2 + GC2 b) Vì GA2 + GB2 + GC2 không đ i nên theo câu a) suy t ng MA2 + MB2 + MC2 bé nh t MG = hay m M trùng v i tr ng tâm G.Giá tr bé nh t GA2 + GB2 + GC2 Ví d : Cho đo n AB = 4a V i m M tu ý, tìm giá tr bé nh t c a t ng 3MA2 + MB2 N u m M tu ý thu c đ ng th ng d k t qu s nh th nào?    ẢẤ Ấ G i I m cho 3IA + IB =      -3 AI + ( AB - AI ) =     AB  AB = AI  AI = Do I c đ nh AI = a , IB = 3a ta có : 30       3MA2 + MB2 = MA + MB = ( MI + IA )2 + ( MI + IB )2    = MI + 3IA2 + IB2 + MI ( IA + IB )  = MI + 3a + 9a + MI = MI + 12 a  12a Do 3MA2 + MB2 bé nh t M trùng v i I N u m M thu c đ ng th ng d t ng 3MA2 + MB2 nh nh t M hình chi u cu I d Ví d : Cho tam giác ABC có c nh BC = a , CA = b, AB = c ,đi m M tu ý, tìm giá tr nh nh t c a :       f(M) = MA MB + MB MC + MC MA ẢẤ Ấ Ta có :   MA MB =   MB MC =   MC MA = ( MA2 + MB2 - AB2 ) (MB2 + MC2 -BC2 ) ( MC2 + MA2 - CA2 ) 2 (a + b2 + c2 ) G i G tr ng tâm c a tam giác ABC ,ta có : MA2 + MB2 + MC2 = 3MG2 + GA2 + GB2 + GC2 Nên f(M) = 3MG2 + GA2 + GB2 + GC2 - (a + b2 + c2 )  GA2 + GB2 + GC2 - (a + b2 + c2 ) V y f(M) nh nh t M  G C ng l i f(M) = MA2 + MB2 + MC2 - 31 Ầ T LU N V i m i tốn ta có th s d ng nhi u ph ng pháp gi i khác V i d ng tốn tím c c tr c a m t đ i l ng hình h c m t ph ng ta có th s d ng m t s ph ng pháp sau : + S d ng nh ng phu ng pháp chung c b n đ gi i m t tốn hình h c ( ch ng 1) + Cách gi i tốn c c tr ố hình h c m t ph ng cách ố n d ng b t đ ng th c hình h c nh b t đ ng th c tam giác, đ ng ống góc ốà đ ng ồiên, đ dài đ ng g p khúc,các b t đ ng th c đu ng tròn….) +Cách ố n d ng b t đ ng th c đ i s ốào tốn c c tr ố hình h c m t ph ng +S d ng ph ng pháp to đ ốà ốect m t ph ng gi i toán c c tr ố hình h c m t ph ng M c dù r t c g ng th c hi n nh ng n i dung c a khoá lu n Nh ng ch ng 4, em ch a đ a đ c h th ng t p đ ngh đ giúp ng òi đ c hi u sâu h n ố n i dung c b n c a ch ng.Em r t mong th y cô ốà b n thông c m M t l n n a em ồin chân thành c m n s giúp đ t n tình c a th y khoa tốn c bi t s giúp đ c a th y giáo PảAN ả NẢ TRU NẢ giúp đ em hồn thành khố lu n 32 TÀẤ LẤ U TảAM Ầả O 1) Nguy n Huy i n ; “Nh ng ịh ng ịháị n hình ỏọỊng gi i ỏỊán ịh ỏhông”, NXB giáo d c,2001 2) “TỐy n ỏ ị 30 n m ỏỊán h c ỏỐ i ỏọ ”, NXB giáo d c,1997 3) Nguy n c T n ,“ ChỐyên đ b ỏ đ ng ỏh c c c ỏọ ỏọỊng hình h c ịh ng ”,NXB giáo d c,2001 4) Hoàng Chúng (ch biên), “ Tài ệi Ố b i d hình h c 9”,NXB giáo d c,2002 ng h c sinh gi i 5) Lê Hồnh Phị ,“ B i d ng h c sinh gi i ỏỊán hình h c 10”, NXB Qu c gia Hà N i, 2009 33 ... 2.8 : Trong cá hình thoi có chu ối , hình có di n tích l n nhât ? BÀI 2.9 : Cho hình ch nh t ABCD Tìm t giác có b n đ nh thu c b n c nh c a hình ch nh t cho chu ối c a t giác nh nh t 22 BÀI 2.10... , tài li u tham kh o , báo toán h c ốà tu i tr Cả NẢ :Pả NẢ PảÁP ẢẤ Ấ M T BÀẤ TOÁN C C Tậ V ảÌNả ả C TRONG M T PH NẢ A, Bài ỏỊán c c ỏọ v hình h c Xét m t đ i l ng hình h c y (đ dài c a m t đo... c tr ố hình h c m t ph ng c ng nh tìm hi u cách ố n d ng m t s b t đ ng th c hình h c ,b t đ ng th c đ i s đ gi i tốn c c tr hình h c m t ph ng , em l a ch n đ tài “ Bài toán c c tr ố hình h