Chứng minh đại số và hình học của định lý jung (2018)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ************* ĐỖ THỊ THỦY TIÊN CHỨNG MINH ĐẠI SỐ VÀ HÌNH HỌC CỦA ĐỊNH LÝ JUNG KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học HÀ NỘI – 2018 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ************* ĐỖ THỊ THỦY TIÊN CHỨNG MINH ĐẠI SỐ VÀ HÌNH HỌC CỦA ĐỊNH LÝ JUNG KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học Người hướng dẫn khoa học ThS Đinh Thị Kim Thúy HÀ NỘI – 2018 ✶ ▲❮■ ❈❷▼ ❒◆ ❊♠ ①✐♥ ❣û✐ ❧í✐ ❝↔♠ ì♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ✤➳♥ ❚❤s✳ ✣✐♥❤ ❚❤à ❑✐♠ ❚❤ó② ❧➔ ♥❣÷í✐ trỹ t ữợ õ ổ t t ữợ t t➟♣ ❞÷đt ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❜➯♥ ❝↕♥❤ ✤â ❝ỉ ✤➣ sû❛ ❝❤ú❛ ♥❤ú♥❣ s❛✐ sât ❝❤♦ ❡♠ ✤➸ ❡♠ ❝â t❤➸ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ✤÷đ❝ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ ♥➔②✳ ❊♠ ①✐♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ❝↔♠ ì♥ ❝→❝ t❤➛② ❝ỉ ❣✐→♦ ❑❤♦❛ ❚♦→♥ tr÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❙÷ ♣❤↕♠ ❍➔ ◆ë✐ ✷✱ ✤➦❝ ❜✐➺t ❧➔ tê ❤➻♥❤ ❤å❝✱ ✤➣ t↕♦ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ t❤✉➟♥ ❧ñ✐ ❝❤♦ ❡♠ tr♦♥❣ q✉→ tr➻♥❤ ❤å❝ ✣↕✐ ❤å❝ ✈➔ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ❜↔♥ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ ♥➔②✳ ❳✉➙♥ ❍á❛✱ t❤→♥❣ ✵✺ ♥➠♠ ✷✵✶✽ ❚→❝ ❣✐↔ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ ✣é ❚❤à ❚❤õ② ❚✐➯♥ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ ✣é ❚❤à ❚❤õ② ❚✐➯♥ ▲❮■ ❈❆▼ ✣❖❆◆ ữợ sỹ ữợ ❝õ❛ ❚❤s✳ ✣✐♥❤ ❚❤à ❑✐♠ ❚❤ó② ❡♠ ✤➣ ❧➔♠ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ ♥➔② ✈➔ ❦❤ỉ♥❣ trò♥❣ ✈ỵ✐ ❝→❝ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ ❦❤→❝✳ ❚r♦♥❣ ❦❤✐ t❤ü❝ ❤✐➯♥ ✤➲ t➔✐ ♥➔② ❡♠ ✤➣ sû ❞ö♥❣✱ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ❝→❝ t➔✐ ❧✐➺✉ ❦❤♦❛ ❤å❝ ❝õ❛ ❝→❝ ♥❤➔ t♦→♥ ❤å❝ ✈ỵ✐ ❧á♥❣ ❜✐➳t ì♥ s➙✉ s➢❝✳ ❳✉➙♥ ❍á❛✱ t❤→♥❣ ✵✺ ♥➠♠ ✷✵✶✽ ❚→❝ ❣✐↔ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ ✣é ❚❤à ❚❤õ② ❚✐➯♥ ✐ ▼ö❝ ❧ö❝ ▲❮■ ▼Ð ✣❺❯ ✶ ỵ ụ ♣❤÷ì♥❣ ✸ ✶✳✶ ✣↕♦ ❤➔♠ tr➯♥ ♠ët ✈➔♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸ ✶✳✷ ✣↕♦ ❤➔♠ ❧ô② ❧✐♥❤ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ✈➔ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❏❛❝♦❜✐❛♥ ✳ ✳ ✹ ỵ tsr ụ tr ự ỵ k[X, Y ] ✳ ✶✵ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✺ ✷ ỵ tr tPs tr✐➸♥ ◆❡✇t♦♥✲P✉✐s❡✉① ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✽ ✷✳✷ ❑❤❛✐ tr✐➸♥ ◆❡✇t♦♥✲P✉✐s❡✉① t↕✐ ✈æ ❤↕♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✾ ✷✳✸ ❇➟❝ ❤➻♥❤ ❤å❝ ❝õ❛ →♥❤ ①↕ ❋❂✭P✱◗✮ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✷ ✷✳✹ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ỵ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✽ ✷✳✺ ❱➼ ❞ö ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✵ ❑➌❚ ▲❯❾◆ ✸✸ ❚⑨■ ▲■➏❯ ❚❍❆▼ ❑❍❷❖ ✸✸ ✐✐ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ ✣é ❚❤à ❚❤õ② é ỵ ữủ t ✈➔ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤➛✉ t✐➯♥ ✈➔♦ ♥➠♠ ✶✾✹✷ ❜ð✐ ❍✳❲✳❊✳ ự tỹ ỗ ✤❛ t❤ù❝ ❤❛✐ ❜✐➳♥ tr➯♥ ♠ët tr÷í♥❣ ❝â ✤➦❝ sè ổ sỹ ủ t tỹ ỗ ❝➜✉ ❝ì ❜↔♥✳ ❙❛✉ ỉ♥❣ ❝â r➜t ♥❤✐➲✉ ♥❤➔ t♦→♥ ự ỵ t ữợ t trt rrst tsr ✭✶✾✻✽✮✱ ▼❛❦❛r✲▲✐♠❛♥♦✈ ✭✶✾✼✵✮✱ ❆❜❤②❛♥❦❛r ✈➔ ▼♦❤ ✭✶✾✼✺✮✱ ❉✐❝❦ ✭✶✾✽✸✮✱ ◆❣✉②➵♥ ❱➠♥ ❈❤➙✉ ✭✷✵✵✸✮✱✳✳✳ ◆➠♠ ✶✾✺✸ ❱❛♥❞❡r ❑✉❧❦ ✤➣ ♠ð rë♥❣ ự ỵ tr ởt trữớ õ tr÷♥❣ ❜➜t ❦ý ✤➳♥ ♥➠♠ ✶✾✼✷ ◆❛❣❛t❛ ✤➣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ rở ỵ tr trữớ ủ ✈➔ ỉ♥❣ ✤➣ ♣❤→t ❜✐➸✉ r➡♥❣✿✧❦❤✐ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➲ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ❜❛ ❜✐➳♥ ❤♦➦❝ tr÷í♥❣ ❤đ♣ tê♥❣ q✉→t ❤ì♥ t❤➻ ♥â ❝â ♥❤✐➲✉ ❝→❝❤ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❦❤→❝ ♥❤❛✉ ❤ì♥ ❝õ❛ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ❤❛✐ ❜✐➳♥✧✳ ❚r♦♥❣ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ ❝õ❛ ❡♠✱ ❡♠ t ự ỵ tr tr÷í♥❣ ❤đ♣ ❤❛✐ ❜✐➳♥ ✈➔ tr➯♥ tr÷í♥❣ ❝â ✤➦❝ sè ổ t ữợ t õ ỗ õ ữỡ ữỡ ữỡ ỵ ụ ữỡ ỵ ❏✉♥❣ ✈➔ ❦❤❛✐ tr✐➸♥ ◆❡✇t♦♥✲P✉✐s❡✉①✧✳ ❈❤÷ì♥❣ ✶ ❞ü❛ tr➯♥ ❝→❝ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ✈➲ ✤↕♦ ❤➔♠ tr➯♥ ♠ët ✈➔♥❤✱ ✤↕♦ ❤➔♠ ụ ữỡ ự ỵ tsr õ ỵ tr ự ỵ ữỡ tr tr tPs ❦❤❛✐ tr✐➸♥ ◆❡✇t♦♥✲ P✉✐s❡✉① t↕✐ ✈æ ❤↕♥✱ ❜➟❝ ❤➻♥❤ ❤å❝ ❝õ❛ →♥❤ ①↕ ✤❛ t❤ù❝ ✤➸ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✶ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ ✣é ❚❤à ❚❤õ② ❚✐➯♥ ❜ê ✤➲ ❝❤✐❛✳ ❙❛✉ ✤â →♣ ❞ö♥❣ ❜ê ✤➲ ❝❤✐❛ ✤➸ ự ỵ ỏ t ✷✵✶✽ ❚→❝ ❣✐↔ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ ✣é ❚❤à ❚❤õ② ❚✐➯♥ ✷ ữỡ ỵ ụ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ✶✳✶ ✣↕♦ ❤➔♠ tr➯♥ ♠ët ✈➔♥❤ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳ ✣↕♦ ❤➔♠ tr➯♥ ♠ët ✈➔♥❤ A ❜➜t ❦➻ ❧➔ ♠ët →♥❤ ①↕ ❝ë♥❣ t➼♥❤ D : A −→ A t❤ä❛ ♠➣♥ ❝→❝ q✉② t➢❝ ▲❡✐❜♥✐③✿ ✈ỵ✐ ♠å✐ a, b ∈ A t❛ ❝â✿ D(a + b) = D(a) + D(b) D(ab) = aD(b) + bD(a) ▼ët ♣❤➛♥ tû s∈A ❍↕❝❤ ❝õ❛ ✤↕♦ ❤➔♠ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ♠ët ❧→t ❝➢t D : A A ữủ ỵ ❚➟♣ t➜t ❝↔ ❝→❝ ✤↕♦ ❤➔♠ tr➯♥ ✈➔♥❤ ❈❤♦ D t❛ ♥â✐ ❧➔ ♠ët D k−✤↕✐ ❧➔ ♠ët t➜t ❝↔ ❝→❝ A ♥➳✉ ❤➔♠ ♥➳✉ ✤÷đ❝ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ ❤➔♠ tr➯♥ A ❧➔ D ◦ f = 0✳ Derk A✳ ✸ D(s) = 1✳ ker(D, A)✳ DerA✳ sè ❝↔♠ s✐♥❤ ỗ k k A f : k −→ A t❤➻ ❱➔ ❦❤✐ ✤â t❛ ❦➼ ❤✐➺✉ t➟♣ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ ✣é ❚❤à ❚❤õ② ❚✐➯♥ ❱➼ ❞ö ✶✳✶✳✶✳ ❈❤♦ A ❧➔ ♠ët ✈➔♥❤✱ D ∈ Der(A), f ∈ A[T ] ✈➔ a ∈ A✳ ❚❛ ❝â D(f (a)) = f (D)(a) + f (a)D(a)✱ ✈ỵ✐ f ∈ A[T ] ❧➔ T −✤↕♦ ❤➔♠ ❝õ❛ f ✈➔ f (D) = i D(ai)T i ∈ A [T ]✱ ✭ð ✤➙② f = i aiT i, ∈ A✮✳ ❍ì♥ ♥ú❛ ♥➳✉ f ∈ A[T1, T2, , Tn] ✈➔ a1, , an ∈ A t❤➻✿ n D(f (a1 , , an )) = f (D) (a1 , , an ) + fTi (a1 , , an )D(ai ) i=1 ✈ỵ✐ fT i = ∂f ∂Ti ∈ A[T1 , , Tn ]✳ ✶✳✷ ✣↕♦ ❤➔♠ ❧ơ② ❧✐♥❤ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ✈➔ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❏❛❝♦❜✐❛♥ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷✳ ❈❤♦ k ❧➔ ♠ët tr÷í♥❣ ❝â ✤➦❝ sè ❜➡♥❣ ✈➔ A ❧➔ ♠ët k−✤↕✐ sè✳ ❚❛ ♥â✐ r➡♥❣ ♠ët k−✤↕♦ ❤➔♠ D : A −→ A ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❧ơ② ❧✐♥❤ ✤à❛ ữỡ ợ ộ a A tỗ t số ♥❣✉②➯♥ N > s❛♦ ❝❤♦ DN (a) = 0✳ ◆➳✉ D : A −→ A f ◦ D : A −→ A ❧➔ ❧ơ② ❧✐♥❤ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ✈➔ f ∈ kerD t❤➻ ✤↕♦ ❤➔♠ ❝ô♥❣ ❧➔ ❧ô② ❧✐♥❤ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣✳ ❱➼ ❞ư ✶✳✷✳✶✳ ❳➨t g(X, Y ) ❧➔ ✤❛ t❤ù❝ ❜➜t ❦➻ t❤✉ë❝ k[X, Y ]✳ ●✐↔ sû degX g = n ≥ 1✳ ❑❤✐ ✤â ✈ỵ✐ D = ∂X∂ t❛ ❝â DN +1g = 0✳ ❱➟② D = ∂X∂ ❧➔ ✤↕♦ ❤➔♠ ❧ơ② ❧✐♥❤ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➯♥ k[X, Y ]✳ ❚÷ì♥❣ tü t❛ ❝ơ♥❣ ❝â D = ∂Y∂ ❧➔ ✤↕♦ ❤➔♠ ❧ơ② ❧✐♥❤ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➯♥ k[X, Y ]✳ ✹ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ ✣é ❚❤à ❚❤õ② ❚✐➯♥ k[X] = k[X1 , X2 , , Xn ] ●✐↔ sû ✈➔ F = (F1 , F2 , , Fn ) ∈ k[X]n t❤ä❛ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❏❛❝♦❜✐❛♥✿ detDF = ❱ỵ✐ ♥❤ú♥❣ ✤❛ t❤ù❝ trà k−✤↕♦ ❤➔♠ ữủ ữ tr tữỡ ự ợ aij (X) = (−1)i+j DF (X) ✈ỵ✐ ❣✐→       ∂     ∂F1   ∂X1                =((DF (X))−1 )t                           ∂ ∂Xn ∂Fn   ∂F1 (X) ∂F1 (X) ∂Xn   ∂X1   =⇒ DF (X) =     ∂Fn (X) ∂Fn (X) ∂Xn ∂X1 −1 (aij (X))t ✤â : DF (X) = detDF (X) ❚r♦♥❣ ✤â n ∂ ∂ ∂F1 , , ∂Fn ❝â ❞↕♥❣ ♥❤÷ s❛✉✿  ❑❤✐ F ij ❧➔ ♣❤➛♥ ❜ò ✤↕✐ sè ❝õ❛ ✈à tr➼ ij ❧➔ ✤à♥❤ t❤ù❝ ❝♦♥ ❜ò ❝õ❛ ✈à tr➼ {1, 2, , n}✳ ✺ (1) (i, j) tr♦♥❣ (i, j) tr♦♥❣ DF (X); i, j ∈ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ ✣é ❚❤à ❚❤õ② ❚✐➯♥ ∞ −k y(x) = x ck x m , gcd{k : ck = 0} = ◆❣♦➔✐ r❛ ✈ỵ✐ ✐✮ ❈❤✉é✐ y(τ −m ) < |τ | < ✐✐✮ R t❛ ❝â✿ ①→❝ ✤à♥❤ ♠ët ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ tr➯♥ ✤➽❛ t❤õ♥❣ R✳ P (τ −m , y(τ −m )) = 0✳ ✐✐✐✮ ⑩♥❤ ①↕ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ τ −→ (τ −m , y(τ −m )), < |τ | < R ✱ ①→❝ ✤à♥❤ ♠ët t❤❛♠ sè ❤â❛ ❝õ❛ ♠ët ♥❤→♥❤ t↕✐ ✈ỉ ❤↕♥ ❝õ❛ ✤÷í♥❣ ❝♦♥❣ V (P )✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✷✳✷✳ ✣❛ t❤ù❝ = P ∈ C[x, y] ✈ỵ✐ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ P = P1a1 P2a2 Pkak tr♦♥❣ ✤â Pi ❧➔ ✤❛ t❤ù❝ ❜➜t ❦❤↔ q✉②✱ ∈ N, Pi = Pj ✱ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ✤❛ t❤ù❝ rót ❣å♥ ♥➳✉ a1 = a2 = = ak = ỵ ỵ t sỷ P (x, y) = a0yd + a1(x)yd−1 + + ad−1(x)y + ad(x), a0 = ∈ C ❧➔ ✤❛ t❤ù❝ rót ❣å♥ ❜➟❝ d✳ ❑❤✐ ✤â✿ ✐✮ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ P (x, y) = ❝â d ♥❣❤✐➺♠ ◆❡✇t♦♥✲P✉✐s❡✉① t↕✐ ✈æ ❤↕♥ yi (x) ❦❤→❝ ♥❤❛✉ tø♥❣ ✤æ✐ ♠ët✳ ✐✐✮ P ❝â ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ❞↕♥❣✿ d (y − y(x)) P (x, y) = a0 i=1 ✷✶ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ ✣é ❚❤à ❚❤õ② ❚✐➯♥ ❍➺ q✉↔ ✷✳✶✳ ●✐↔ sû P ❧➔ ✤❛ t❤ù❝ rót d tr ỵ ữớ V (P ) ❝❤➾ ❝â ♠ët ♥❤→♥❤ ❜➜t ❦❤↔ q✉② t↕✐ ✈ỉ ❤↕♥✳ ❑❤✐ ✤â ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ P (x, y) = ❝â ♥❣❤✐➺♠ ◆❡✇t♦♥✲P✉✐s❡✉① t↕✐ ✈æ ❤↕♥ ∞ −k ck x m , gcd{k : ck = 0} = y(x) = x k=0 ✈➔ d (y − y(v i x)) P (x, y) = a0 i=1 ✈ỵ✐ v ❧➔ ❝➠♥ ❜➟❝ d ❝õ❛ ✶✳ ✷✳✸ ❇➟❝ ❤➻♥❤ ❤å❝ ❝õ❛ →♥❤ ①↕ ❋❂✭P✱◗✮ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✷✳✸✳ ❇➟❝ ❤➻♥❤ ❤å❝ ❝õ❛ →♥❤ ①↕ ✤❛ t❤ù❝ F : C2 −→ C2 số ữỡ tr F = a ợ a ∈ Cn ❝â ✈à tr➼ tê♥❣ q✉→t ✈➔ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ deggeoF ✳ ❑❤✐ F ❧➔ →♥❤ ①↕ r✐➯♥❣✱ tù❝ ❧➔ F −1(K) ❧➔ t➟♣ ❝♦♠♣❛❝t K ∈ Cn✱ ❜➟❝ ❤➻♥❤ ❤å❝ deggeoF ❜➡♥❣ ❝❤➼♥❤ sè ♥❣❤✐➺♠ ❦➸ ❝↔ ữỡ tr F = a ợ a Cn ✳ ❳➨t →♥❤ ①↕ ✤❛ t❤ù❝✿ F : C2 −→ C2 (x, y) −→ (P (x, y), Q(x, y) t❤ä❛ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥✿ ❛✮ #F −1 (0) < ∞❀ ✷✷ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ ❜✮ P ✈➔ Q ✣é ❚❤à ❚❤õ② ❚✐➯♥ ❧➔ ❝→❝ ✤❛ t❤ù❝ rót ❣å♥ degy P = degP = m ✈➔ degy Q = degQ = n❀ ❝✮ ▼é✐ ✤÷í♥❣ ❝♦♥❣ P =0 ✈➔ Q=0 ❝❤➾ ❝â ♠ët ♥❤→♥❤ ❜➜t ❦❤↔ q✉② t↕✐ ✈ỉ ❤↕♥✳ ❱ỵ✐ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❛✮ ✈➔ ❜✮ ❝→❝ ✤❛ t❤ù❝ P✱◗ ❝â ❞↕♥❣ ❲❡✐❡rstr❛ss✳ ◆❤÷ ✈➟② tø ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝✮ t❛ ❝â t❤➸ →♣ ❞ö♥❣ ❤➺ q✉↔ ✷✳✶ ❝❤♦ ✤❛ t❤ù❝ P ✈➔ Q✳ ❑❤✐ ✤â t❛ ❝â t❤➸ ①→❝ ✤à♥❤ ✤÷đ❝ ♥❣❤✐➺♠ ◆❡✇t♦♥✲P✉✐s❡✉① t↕✐ ✈ỉ ❤↕♥ t÷ì♥❣ ù♥❣ ❝õ❛ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ P =0 ✈➔ Q=0 ❧➔✿ ∞ −k u(x) = x ak x m , gcd{k : ak = 0} = k=0 ∞ −k bk x n , gcd{k : bk = 0} = v(x) = x k=0 ✣➦t ✈➔ ϕ(t) = u(tm ) ψ ✈➔ ψ(t) = v(tn ) t❛ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ ❝→❝ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ t÷ì♥❣ ù♥❣ ①→❝ ✤à♥❤ tr➯♥ ♠✐➲♥ |t| > 1 ✱ Rm 1 ✈ỵ✐ Rn |t| > R>0 ϕ ✤õ ❧ỵ♥ ♥➔♦ ✤â✳ ⑩♣ ❞ư♥❣ ❍➺ q✉↔ ✷✳✶ t❛ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝✿ ❇ê ✤➲ ✷✳✶✳ ◆➳✉ m = degP, n = degQ t tỗ t ởt số R > ✈➔ ❤➔♠ ϕ = {t ∈ C : |t| > R1 } ✈➔ ψ = {t ∈ C : |t| > R1 } ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ t↕✐ ✈ỉ ❝ò♥❣ s❛♦ ❝❤♦✿ m n P (x, tm ) = (x − ϕ(εt)), |t| > εm =1 Q(x, tn ) = (x − ϕ(ηt)), |t| > η n =1 ✷✸ 1 Rm 1 Rn ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ ✣é ❚❤à ❚❤õ② ❚✐➯♥ ❱ỵ✐ ϕ ✈➔ ψ ❧➔ ❝→❝ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ①→❝ ✤à♥❤ tr♦♥❣ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✷✳✸✱ t❛ ✤➦t✿ ✶✮ d = gcd(m, n), m = kd, n = ld❀ ✷✮ {α ∈ Z : α = deg(ϕ(tl ) − ψ(ηtk ), ηn = 1} = {N1, N2, Ne} ✈ỵ✐ N1 > N2 > > Ne❀ ✸✮ J0 = {η : ηn = 1} ✈➔ Ji = {η ∈ J0 : deg(ϕ(tl ) − ψ(ηtk )) < Ni}, i = 1, e − 1✳ ❇ê ✤➲ ✷✳✷✳ ❱ỵ✐ ❝→❝ ❦➼ ❤✐➺✉ ð ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✶✱✷✱✸ ð ❜ê ✤➲ ✷✳✶ t❛ ❝â✿ ✐✮ l|Ne ❤♦➦❝ k|Ne❀ ✐✐✮ Ni = klpi ✈ỵ✐ pi ∈ Z, i = 1, e − 1; ✐✐✐✮ #Ji = gcd(p0, p1, , pi)l ✈ỵ✐ i = 1, e − 1, p0 = d✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚ø ❣✐↔ t❤✐➳t ✭✐✮ ❝â Ni > −∞, i = 1, , e✳ ❚❛ ❣✐↔ sû r➡♥❣✿ Ne = deg(ϕ(tl ) − ψ(tk )) ❈❤♦✿ ϕ(t) = ar1 tr1 + ar2 tr2 + ; (|t| > R m ) r1 > r2 > , ri ∈ Z ✈➔ ar1 = 0, ✈ỵ✐ ψ(t) = bs1 ts1 + bs2 ts2 + ; (|t| > R n ) ✈ỵ✐ bsi = 0, s1 > s2 > s3 > , si ∈ Z✳ ❚❛ ①➨t ϕ(tl ) − ψ(tk ) ❝❤♦ |t| > R kld ✳ ❑❤✐ ✤â✿ Ne = deg(ϕ(tl ) − ψ(tk )) = kld ▼➔ l|kld ❤♦➦❝ k|kld s✉② r❛ l|Ne ❤♦➦❝ k|Ne ✳ ❱➟② ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ (i) ✤÷đ❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ●✐↔ sû e|Ne t❤➻ ♠å✐ i s❛♦ ❝❤♦ ri > Ne |l✱ ✷✹ t❛ ❝â lri = ksi ✈➔ ari = bsi ✳ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ ❱➻ (l, k) = ▲➜② η ♥➯♥ l|si ❜➜t ❦➻ s❛♦ ❝❤♦ ✈➔ ✣é ❚❤à ❚❤õ② ❚✐➯♥ k|ri ✳ ηn = ❉♦ ✤â t❛ ❝â ✭✐✐✮✳ t❤➻ t❛ ❝â✿ ϕ(tl ) − ψ(ηtk ) = akp1 (1 − η lp1 )tN1 + + akpe−1 (1 − η tPe−1 )tNe−1 + ◆➳✉ t❤ù η ∈ Ji ✱ n t❤➻ η lp1 = 1, , η lpi = 1✳ ❚❛ ❞➵ ❞➔♥❣ ❦✐➸♠ tr❛ r➡♥❣ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ✤ì♥ ✈à t❤ä❛ ♠➣♥ ✤➥♥❣ t❤ù❝ tr➯♥ ❜➡♥❣ (p0 , , pi )l ✭t❛ ✤÷đ❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✭✐✐✐✮✮✳ ❇ê ✤➲ ✷✳✸✳ ◆➳✉ deggeoF ❧➔ ❜➟❝ ❤➻♥❤ ❤å❝ ❝õ❛ F t❤➻ deggeoF = degQ(tm, ϕ(t)) ợ |t| > R m ỵ ●✐↔ sû F = (P, Q) : C2 −→ C2 ❧➔ →♥❤ ①↕ ✤❛ t❤ù❝ t❤ä❛ ♠➣♥ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✭❛✱❜✱❝✮ tr♦♥❣ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✷✳✸✳ ❑❤✐ ✤â ✿ e−1 [gcd(p0 , p1 , , pi−1 ) − gcd(p0 , p1 , , pi )]pi } deggeo F =kl{ i=1 + gcd(p0 , p1 , , pe−1 )Ne ✈➔ k|Ne, l|Ne✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚ø ❜ê ✤➲ ✷✳✶ ✈➔ ❜ê ✤➲ ✷✳✸ t❛ t❤➜②✿ deggeo F = 1 deg(ϕ(tl ) − ψ(ηtk )), (|t| > R kld ) l ηn =1 ▼➦t ❦❤→❝✿ e−1 l k deg(ϕ(t ) − ψ(ηt )) = η n =1 #(Ji−1 \ Ji )Ni + #Je−1 Ne i=1 ✷✺ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ ✣é ❚❤à ❚❤õ② ❚✐➯♥ ❑➳t ❤đ♣ ❝ò♥❣ ❜ê ✤➲ ✷✳✷ t❛ ❝â ✤✐➲✉ ♣❤↔✐ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚ø ✤â t❛ ❝â ❝→❝ ❤➺ q✉↔ s❛✉✿ ❍➺ q✉↔ ✷✳✷✳ ◆➳✉ F = (P, Q) : C2 −→ C2 ❧➔ →♥❤ ①↕ ✤❛ t❤ù❝ t❤ä❛ ♠➣♥ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✤➣ ♥➯✉ tr♦♥❣ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✷✳✸ t❤➻✿ degP |deggeo F gcd(degP, degQ) degQ ❤♦➦❝ gcd(degP, |deggeo F degQ) ✭✷✳✸✮ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❱➻ degP ✱ degQ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❝õ❛ C2 ✱ ✈➔ deggeo F ❧➔ ✤↕✐ ữủ ổ tỹ ỗ t õ t❤➸ ❣✐↔ sû r➡♥❣ ❤➺ sè ❝õ❛ ❤➺ tû ❝❛♦ ♥❤➜t ❜➡♥❣ ✶ ✤è✐ ✈ỵ✐ x P ✈➔ ✈➔ Q ❧➔ ❝→❝ ✤❛ t❤ù❝ ❝â degx P = degP, degx Q = degQ✳ ◆➳✉ ❝→❝ ♥❤→♥❤ ❝õ❛ ✤÷í♥❣ ❝♦♥❣ P =0 ✈➔ Q=0 ð ✈ỉ ❝ò♥❣ ❧➔ ✤ì♥ t❤➻ ✭✷✳✸✮ ữủ tứ ỵ ữớ ❝♦♥❣ ð ✈ỉ ❝ò♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❧➔ ✤ì♥ t❤➻ r P = P1 , Q = Q1 ❣✐↔♥ tr♦♥❣ M [x]✳ s t❤✉ë❝ M [x], r, s ∈ N✱ ✈ỵ✐ ❚❛ ❞➵ ❞➔♥❣ ❦✐➸♠ tr❛ r➡♥❣ P1 , Q1 P1 ✈➔ trữớ ủ trữợ õ degP1 |deggeo F1 gcd(degP1 , degQ1 ) ❤♦➦❝ degQ1 |deggeo F1 gcd(degP1 , degQ1 ) ✈ỵ✐ F1 = (P1 , Q1 )✳ ✷✻ ❧➔ ❝→❝ ♣❤➛♥ tû tè✐ Q1 ❧➔ ✤❛ t❤ù❝ t❤ä❛ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ ✣é ❚❤à ❚❤õ② ❚✐➯♥ ❚ø ❝→❝ ✤✐➲✉ tr➯♥ t❛ t❤➜②✿ deggeo F = rs.deggeo F1 degP = r.degP1 degQ = s.degQ1 ❑❤✐ ✤â✿ deggeo F degP | degQ r.s r.gcd( degP r , s ) ❍♦➦❝ degQ deggeo F | degQ r.s s.gcd( degP r , s ) ❙✉② r❛ degP |deggeo F gcd(degP, degQ) ❤♦➦❝ degQ |deggeo F gcd(degP, degQ) ❱➟② t❛ ❝ô♥❣ t❤✉ ✤÷đ❝ ✭✷✳✸✮ tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ♥➔②✳ ❇ê ✤➲ ✷✳✹✳ ✭❇ê ✤➲ ❝❤✐❛✮ ◆➳✉ F = (P, Q) : C2 −→ C2 ❧➔ tü ✤➥♥❣ ❝➜✉ ✤❛ t❤ù❝ ❝õ❛ C2 t❤➻ ✿ degP |degQ ❤♦➦❝ degQ|degP ✭✷✳✹✮ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚r♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ♥➔② ❣✐↔ sû ❝õ❛ ❤➺ q✉↔ ✷✳✷ ❧➔ rã r➔♥❣ t❤ä❛ ♠➣♥✳ ❍ì♥ ♥ú❛ t❛ ❝â deggeo F = ♥➯♥ tø ✭✷✳✸✮ t❛ s✉② r❛ ✭✷✳✹✮✳ ✷✼ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ ✣é ❚❤à ❚❤õ② ❚✐➯♥ ❇ê ✤➲ ✷✳✺✳ ●✐↔ sû P, Q ∈ k[X, Y ] ❧➔ ❤❛✐ ✤❛ t❤ù❝ t❤✉➛♥ ♥❤➜t t❤ä❛ ♠➣♥✿ [P, Q] = Px Qy − Py Qx ≡ tr♦♥❣ k[X, Y ] õ tỗ t c k s❛♦ ❝❤♦✿ P n1 = cQm1 degQ tr♦♥❣ ✤â m1 = degP ✈ỵ✐ d = gcd(degP, degQ)✳ d , n1 = d ự ỵ ỵ ỵ tỹ ỗ tự C2 t ỳ tỹ ỗ ❝➜✉ ❝➜♣✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❈❤♦ F = (P, Q) tỹ ỗ tự C2 t trữớ ủ s degF = t❤➻ F ❧➔ ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ❛❢✐♥♥❡ ❝â ❞↕♥❣✿ F = (a1 x + b1 y + c1 , a2 x + b2 y + c2 ), , bi , ci ∈ C, i = 1, • ❳➨t tr÷í♥❣ ❤đ♣ degF > 1✱ sû ❞ư♥❣ ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ❛❢✐♥ (x, y) −→ (y, x) ❑❤æ♥❣ ♠➜t t➼♥❤ tê♥❣ q✉→t t❛ ❝â t❤➸ ❣✐↔ sû ❚❤❡♦ ❜ê ✤➲ ❝❤✐❛ s✉② r❛ degQ|degP ✱ ✷✽ degP ≥ degQ ✈➔ degP > tỗ t mZ s õ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ degP = m.degQ✳ ❱➻ ✣é F = (P, Q) tỹ ỗ ❝➜✉ ♥➯♥ t❛ ❝â✿ Px Qy − Py Qx ≡ const = 0✳ ❉♦ ✤â ❝→❝ t❤➔♥❤ ♣❤➛♥ t❤✉➛♥ ♥❤➜t ❜➟❝ ❝❛♦ ♥❤➜t PdegP ✈➔ QdegQ t❤ä❛ ♠➣♥ ❣✐↔ t❤✐➳t cC tỗ t õ PdegP = cQm degQ ✳ deg(P − cQm ) < degP ✳ F = F1 ◦ F ◆➳✉ s❛♦ ❝❤♦ t❤➻ t❛ ❝â degF > ❱➟② ♥➳✉ ✤➦t s❛♦ ❝❤♦ degF < degF ✳ t❛ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ ✤➥♥❣ ❝➜✉ ❝➜♣ ❚✐➳♣ tư❝ q✉→ tr➻♥❤ tr➯♥✱ ❞♦ ❜➟❝ ❝õ❛ F F2 ✈➔ →♥❤ ①↕ ✈ỵ✐ degF k = 1✳ ✤÷đ❝ t❤❛② F = F2 ◦ F ❧➔ ❤ú✉ ❤↕♥ ♥➯♥ s❛✉ ♠ët sè ♥➔♦ ✤â ❝❤ó♥❣ t❛ s➩ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ ✤➥♥❣ ❝➜✉ ❝➜♣ F k = Fk ◦ F k−1 F ❜➡♥❣ ❝→❝❤ ❧➟♣ ❧↕✐ q✉→ tr➻♥❤ tr➯♥ ✤è✐ ✈ỵ✐ F1 k ✈➔ ✤➦t degF = deg(F1 ◦ F ) < degP = degF t ữợ F1 = (x cy m , y) Fk ✈➔ ✤➥♥❣ ❝➜✉ ❑❤✐ ✤â t❛ ❝â✿ F k = Fk ◦ F k−1 = Fk ◦ Fk−1 ◦ F k−2 = Fk ◦ Fk−1 ◦ Fk−2 ◦ ◦ F1 ◦ F tr♦♥❣ ✤â ✤↔♦ ❝õ❛ Fi (i = 1, k) Fi ❧➔ ❝→❝ ✤➥♥❣ sỡ ữ ỵ r ụ ❝→❝ ✤➥♥❣ ❝➜✉ ❝➜♣✳ ❚ø ✤â t❛ ❝â ❜✐➸✉ ❞✐➵♥✿ −1 F = F1−1 ◦ F2−1 ◦ ◦ Fk−1 ◦ Fk−1 ◦ F k ◆❤÷ ✈➟② F ❝â t❤➸ ♣❤➙♥ t➼❝❤ ✤÷đ❝ t❤➔♥❤ t➼❝❤ ❤ú✉ ❤↕♥ ❝→❝ tü ✤➥♥❣ ❝➜✉ ❝➜♣✳ ✷✾ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ ✣é ❚❤à ❚❤õ② ❚✐➯♥ ✷✳✺ ❱➼ ❞ö ❈❤♦ tỹ ỗ tự F : C2 C2 (x, y) −→ (y + β(y + αx2 )2 + γ(y + αx2 )3 ; y + αx2 ) ✈ỵ✐ α, β, γ ∈ C∗ ✣➦t✿ P (x, y) = y + β(y + αx2 )2 + γ(y + αx2 )3 ; Q(x, y) = y + αx2 ❑❤✐ ✤â✿ ❙✉② r❛ degP = m= degP degQ ✈➔ degQ = =3 ▲↕✐ ❝â ❝→❝ t❤➔♥❤ ♣❤➛♥ t❤✉➛♥ ♥❤➜t ❜➟❝ ❝❛♦ ♥❤➜t PdegP = γα3 x6 QdegQ = αx2 õ tỗ t cC s x6 = c.(αx2 )3 ✸✵ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ ❙✉② r❛ ✣➦t✿ ✣é ❚❤à ❚❤õ② ❚✐➯♥ c=γ F1 = (x − γy ; y) ✈➔ F = F1 ◦ F = (x − γy ; y) ◦ (y + β(y + αx2 )2 + γ(y + αx2 )3 ; y + αx2 ) = (y + β(y + αx2 )2 ; y + αx2 ) ❚❛ t❤➜② ❜➟❝ ❝õ❛ F1 ❧ỵ♥ ❤ì♥ ✶ ♥➯♥ t❛ t✐➳♣ tö❝ q✉→ tr➻♥❤ tr➯♥✳ ✣➦t✿ P1 (x, y) = y + β(y + αx2 )2 Q1 (x, y) = y + αx2 ❚❛ ❝â✿ degP1 = ❚❛ ❧↕✐ ❝â✿ ✈➔ degQ1 = 2✳ PdegP1 = βα2 x4 ✈➔ ❙✉② r❛ m1 = QdegQ1 = αx2 ✳ degP1 degQ1 =2 ◆➯♥ βα2 x4 = c1 (αx2 )2 =⇒ c = β ❉➦t✿ F2 = (x − βy ; y) ✈➔ F = F2 ◦ F = (x − βy ; y) ◦ (y + β(y + αx2 )2 ; y + αx2 ) = (y + β(y + αx2 )2 − β(y + αx2 )2 ; y + αx2 ) = (y; y + αx2 ) ✸✶ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ ❚ø ❝→❝ ✤✐➲✉ tr➯♥ s✉② r❛ ✣é ❚❤à ❚❤õ② ❚✐➯♥ F = F ◦ F1 ◦ F ❙✉② r❛ F = F1−1 ◦ F2−1 ◦ F ▼➦t ❦❤→❝ t❛ ❧↕✐ t❤➜② F1−1 = (γy + x; y) F2−1 = (βy + x; y) ❱➟② F = (γy + x; y) ◦ (βy + x; y) ◦ (y; y + αx2 ) ✸✷ ❑➌❚ ▲❯❾◆ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tr ỵ ự ỵ t ữợ t ữợ t tự t ữủ tr tr ữỡ ✶ ❧➔ ❞ü❛ tr➯♥ ❝→❝ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ✈➲ ✤↕♦ ❤➔♠ tr➯♥ ♠ët ✈➔♥❤✱ ✤↕♦ ❤➔♠ ❧ơ② ❧✐♥❤ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ✤➸ ự ỵ tsr õ ỵ tsr ự ữủ ỵ ữợ t✐➳♣ ❝➟♥ t❤ù ❤❛✐ ❡♠ ✤÷❛ r❛ tr♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ✷ ❧➔ sû ❞ö♥❣ ❦❤❛✐ tr✐➸♥ ◆❡✇t♦♥✲P✉✐s❡✉①✱ ❦❤❛✐ tr✐➸♥ ◆❡✇t♦♥✲P✉✐s❡✉① t↕✐ ✈æ ❤↕♥✱ ❜➟❝ ❤➻♥❤ ❤å❝ ❝õ❛ →♥❤ ①↕ ✤❛ t❤ù❝ t❛ ❝â ❜ê ✤➲ ❝❤✐❛✳ ❙❛✉ ✤â →♣ ❞ö♥❣ ❜ê ự ỵ tớ ❣✐❛♥ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ ✈➔ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝õ❛ ❜↔♥ t❤➙♥ ❝á♥ ❤↕♥ ❝❤➳ ♥➯♥ ❦❤æ♥❣ tr→♥❤ ❦❤ä✐ ♥❤ú♥❣ s❛✐ sõt rt ữủ sỹ õ ỵ ❝→❝ t❤➛② ❝æ ✈➔ ❝→❝ ❜↕♥ s✐♥❤ ✈✐➯♥ ✤➸ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ ❝õ❛ ❡♠ ✤÷đ❝ ❤♦➔♥ t❤✐➺♥ ❤ì♥✳ ❈✉è✐ ❝ò♥❣ ❡♠ ①✐♥ ❜➔② tä ❧á♥❣ ❜✐➳t ì♥ ❝→❝ t❤➛② ❝ỉ ❣✐→♦ ✤➦❝ ❜✐➺t ❧➔ ❚❤s✳ ✣✐♥❤ ❚❤à ❑✐♠ ❚❤ó② ✤➣ t➟♥ t ữợ ú ♥❤✐➲✉ t❤✐➳✉ sât ✤➸ ❡♠ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ ♥➔②✳ ✸✸ ❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ❬❆❪ ✲ ❚➔✐ ❧✐➺✉ ❚✐➳♥❣ ❆♥❤ ❬✶❪ ❆r♥♦ ✈❛♥ ❞❡♥ ❊ss❡♥✳ P♦❧②♥♦♠✐❛❧ ❆✉t♦♠♦r♣❤✐s♠s✿ ❛♥❞ t❤❡ ❏❛❝♦✲ ❜✐❛♥ ❝å♥❡❝t✉r❡ ✭✶✾✾✺✮ ✺✻✲✻✺✳ ❆ s✐♠♣❧❡ ♣r♦♦❢ ♦❢ ❏✉♥❣✬s t❤❡♦r❡♠ ♦♥ ♣♦❧②♥♦✲ ♠✐❛❧ ❛✉t♦♠♦r♣❤✐s♠s ♦❢ C2✳ ❆❝t❛ ▼❛t❤ ❱✐❡t♥❛♠ ✭✷✵✵✸✮ ✷✵✾✲✷✶✹✳ ❬✷❪ ❈❤❛✉ ◆❣✉②❡♥ ❱❛♥✳ ❬✸❪ ❉✳❉❛✐❣❧❡✳ ▲♦❝❛❧❧② ♥✐❧♣♦t❡♥t ❞❡r✐✈❛t✐♦♥s✳ ✏❙❡♣t❡♠❜❡r ❙❝❤♦♦❧✑ ▲❡❝t✉r❡ ♥♦t❡s ❢♦r t❤❡ ♦❢ ❆❧❣❡❜r❛✐❝ ●❡♦♠❡tr② ▲✉❦❡❝✐♥✱ P♦❧❛♥❞✱ ❙❡♣t❡♠❜❡r ✭✷✵✵✸✮ ✶✲✹✳ ❬✹❪ ❉✳❉❛✐❣❧❡✳ ❖♥ s♦♠❡ ♣r♦♣❡rt✐❡s ♦❢ ❧♦❝❛❧❧② ♥✐❧♣♦t❡♥t ❞❡r✐✈❛✲ t✐♦♥s✳❏♦✉r♥❛❧ ♦❢ P✉r❡ ❛♥❞ ❆♣♣❧✐❡❞ ❆❧❣❡❜r❛ ✶✶✹ ✭✶✾✾✼✮ ✷✷✶✲✷✸✵✳ ❬✺❪ ❏✳ ❈❤❛❞③②♥s❦②✱ ❑✳❚✳ ❑r❛s✐♥s❦✐✳ ❖♥ ❛ ❢♦r♠✉❧❛ ❢♦r t❤❡ ❣❡♦♠❡tr✐❝ ❞❡❣r❡❡ ❛♥❞ ❏✉♥❣✬s t❤❡♦r❡♠✱ ✭✶✾✾✶✮ ✽✶✲✽✹✳ ❆♥ ❡❧❡♠❡♥t❛r② ♣r♦♦❢ ♦❢ t❤❡ ❛✉t♦♠♦r✲ ♣❤✐s♠ t❤❡♦r❡♠ ❢♦r t❤❡ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ r✐♥❣ ✐♥ t✇♦ ✈❛r✐❛❜❧❡s✱ ❏♦✉r♥❛❧ ❬✻❪ ❏✳▼❝❑❛② ❛♥❞ ❙✳❙✳✲❙✳ ❲❛♥❣✳ ♦❢ P✉r❡ ❛♥❞ ❆♣♣✐❧❡❞ ❆❧❣❡❜r❛ ✺✷ ✭✶✾✽✽✮ ✾✶✲✶✵✷✳ ❬❇❪ ✲ ❚➔✐ ❧✐➺✉ ❚✐➳♥❣ ❱✐➺t ✸✹ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ ❬✼❪ ✣✐♥❤ ❚❤à ❚r❛♥❣✳ ❞ö♥❣✭✷✵✶✹✮✳ ✣é ❚❤à ❚❤õ② ❚✐➯♥ ❑❤❛✐ tr✐➸♥ ◆❡✇t♦♥✲P✉✐s❡✉① ✈➔ ♠ët sè ù♥❣ ✸✺ ...TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ************* ĐỖ THỊ THỦY TIÊN CHỨNG MINH ĐẠI SỐ VÀ HÌNH HỌC CỦA ĐỊNH LÝ JUNG KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học Người hướng dẫn khoa học. .. ❧➔ ♠ët k−✤↕✐ sè✳ ❚❛ ♥â✐ r➡♥❣ ♠ët k−✤↕♦ ❤➔♠ D : A −→ A ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❧ơ② ❧✐♥❤ ✤à❛ ữỡ ợ ộ a A tỗ t số ♥❣✉②➯♥ N > s❛♦ ❝❤♦ DN (a) = 0✳ ◆➳✉ D : A −→ A f ◦ D : A −→ A ❧➔ ❧ơ② ❧✐♥❤ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ✈➔ f ∈ kerD... X + d Y, cY + d) ◦ (h(X), h(Y )) ❉♦ ✤â✿ ❱➟② F ∈ T (k, 2) Autk k[X, Y ] = T (k, 2) ợ k trữớ õ số ữỡ ỵ tr ◆❡✇t♦♥✲P✉✐s❡✉①✳ ✷✳✶ ❑❤❛✐ tr✐➸♥ ◆❡✇t♦♥✲P✉✐s❡✉① ❈❤♦ ✤❛ t❤ù❝ ❤❛✐ ❜✐➳♥ ♣❤ù❝ P (x, y)