SKKN Một số ứng dụng của số phức trong giải toán Đại số và Hình học chương trình THPT Bỉm Sơn

22 1.5K 1
SKKN Một số ứng dụng của số phức trong giải toán Đại số và Hình học chương trình THPT Bỉm Sơn

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT BỈM SƠN. SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TÊN ĐỀ TÀI: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA SỐ PHỨC TRONG GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ VÀ HÌNH HỌC CHƯƠNG TRÌNH THPT. Người thực hiện: Ngô Thị Thủy Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc môn: Toán THANH HÓA NĂM 2013. 1 A- ĐẶT VẤN ĐỀ : Trong chương trình đổi mới nội dung Sách giáo khoa, số phức được đưa vào chương trình toán học phổ thông và được giảng dạy ở cuối lớp 12. Ta biết sự ra đời của số phức là do nhu cầu mở rộng tập hợp số, số phức là cầu nối hoàn hảo giữa các phân môn Đại số, Lượng giác, Hình học và Giải tích (thể hiện sâu sắc mối quan hệ đó là công thức 01 iπ e =+ ). Số phức là vấn đề hoàn toàn mới và khó đối với học sinh, đòi hỏi người dạy phải có tầm nhìn sâu, rộng về nó. Do những tính chất đặc biệt của số phức nên khi giảng dạy nội dung này giáo viên có nhiều hướng khai thác, phát triển bài toán để tạo nên sự lôi cuốn, hấp dẫn người học. Bằng việc kết hợp các tính chất của số phức với một số kiến thức đơn giản khác về lượng giác, giải tích, đại số và hình học giáo viên có thể xây dựng được khá nhiều dạng toán với nội dung hấp dẫn và hoàn toàn mới mẻ. Một trong các vấn đề tôi xây dựng là dạng toán ''ỨNG DỤNG CỦA SỐ PHỨC TRONG GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ VÀ HÌNH HỌC" trên cơ sở khai thác tính chất của số phức và vận dụng khai triển nhị thức Newton. B- NỘI DUNG NGHIÊN CỨU : I- CƠ SỞ LÝ LUẬN : Đổi mới phương pháp dạy học với mục đích phát huy tốt nhất tính tích cực, sáng tạo của người học. Nhưng không phải thay đổi ngay lập tức bằng những phương pháp hoàn toàn mới lạ mà phải là một quá trình áp dụng phương pháp dạy học hiện đại trên cơ sở phát huy các yếu tố tích cực của phương pháp dạy học truyền thống nhằm thay đổi cách thức, phương pháp học tập của học sinh chuyển từ thụ động sang chủ động. Vì mới đưa vào chương trình SGK nên có rất ít tài liệu về số phức để học sinh và giáo viên tham khảo. Bên cạnh đó, lượng bài tập cũng như các dạng bài tập về số phức trong SGK còn nhiều hạn chế. Để giúp học sinh có cái nhìn sâu, rộng hơn về số phức, trong quá trình giảng dạy tôi luôn tìm tòi khai thác và kết 2 hợp các kiến thức khác về toán học để xây dựng các dạng bài tập mới cho học sinh tư duy, giải quyết. Một trong các vấn đề tôi xây dựng là dạng toán ''ỨNG DỤNG CỦA SỐ PHỨC TRONG GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ VÀ HÌNH HỌC" trên cơ sở khai thác một số tính chất của số phức. II- THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ : Đây là vấn đề mới đối với học sinh phổ thông ,Bộ giáo dục đã chuyển tải nội dung này từ nội dung học đại học năm thứ nhất xuống lớp 12 vừa được năm năm. Vì mới đưa vào chương trình SGK nên có rất ít tài liệu về số phức để học sinh và giáo viên tham khảo. Bên cạnh đó, lượng bài tập cũng như các dạng bài tập về số phức trong SGK còn nhiều hạn chế. Với thời lượng cho phép dạy trên lớp môn toán có hạn. Số phức trở thành một phần học khá trừu tượng đối với học sinh phổ thông trung học.Đối với các đối tượng là học sinh khá giỏi thì câu hỏi mà học sinh thường đưa ra là số phức đưa ra để làm gì? Do trong thực tế cuộc sống hằng ngày không dùng đến tập số phức. Do vậy hứng thú đối với phần học số phức là hạn chế. III- GIẢI PHÁP THỰC HIỆN: Để phát huy tính năng động và sáng tạo của học sinh khá giỏi, đồng thời giúp học sinh thấy được tầm quan trọng của số phức trong toán học và thực tiễn tôi đã giới thiệu và biên soạn hệ thống ví dụ bài tập có tính mở rộng ở nhiều mảng toán học giải phương trình, giải hệ phương trình , giải bài toán lượng giác, hình học. 1. Hệ thống các kiến thức cơ bản về số phức: 1. Hệ thống các kiến thức cơ bản về số phức: 1.1- Khái niệm số phức: • Là biểu thức có dạng a + b i , trong đó a, b là những số thực và số i thoả mãn 2 i = –1. • Ký hiệu là z = a + b i với a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo. 3 • Tập hợp các số phức kí hiệu là £ = {a + b i / a, b∈ ¡ và 2 i = –1}. Ta có ¡ ⊂ £ . • Số phức có phần ảo bằng 0 là một số thực: z = a + 0. i = a∈ ¡ ⊂ £ • Số phức có phần thực bằng 0 là một số ảo: z = 0.a + b i = b i . Đặc biệt i = 0 + 1. i • Số 0 = 0 + 0. i vừa là số thực vừa là số ảo. 1.2- Số phức bằng nhau:  Cho hai số phức z = a + b i và z’ = a’ + b’ i . Ta có z = z′ ⇔ ' ' a a b b =   =  1.3Biểu diễn hình học của số phức:  Mỗi số phức z = a + b i được xác định bởi cặp số thực (a; b).  Trên mặt phẳng Oxy, mỗi điểm M(a; b) được biểu diễn bởi một số phức và ngược lại.  Mặt phẳng Oxy biểu diễn số phức được gọi là mặt phẳng phức. Gốc tọa độ O biểu diễn số 0, trục hoành Ox biểu diễn số thực, trục tung Oy biểu diễn số ảo. 1.4-Môđun của số phức:  Số phức z = a + b i được biểu diễn bởi điểm M(a; b) trên mặt phẳng Oxy. Độ dài của véctơ OM uuuur được gọi là môđun của số phức z. Kí hiệu 2 2 z = a + bi = a + b 1.5-Số phức liên hợp:  Cho số phức z = a + b i , số phức liên hợp của z là z a bi = − . -z a bi z a bi = + ⇔ = ; z z = , z z = * Chú ý iiiiZZ nn =−−== ;;)()( 4 Z là số thực ⇔ Z Z = ; Z là số ảo ⇔ ZZ −= * Môđun số phức Z=a + b.i (a; b ∈ R) 2 2 .Z OM a b z z= = + = Chú ý: ZZ = z ∀ ∈ C  Hai điểm biểu diễn z và z đối xứng nhau qua trục Ox trên mặt phẳng Oxy. 1.6-Cộng, trừ số phức:  Số đối của số phức z = a + b i là –z = –a – b i  Cho z a bi = + và ' ' 'z a b i = + . Ta có ' ( ') ( ')z z a a b b i ± = ± + ±  Phép cộng số phức có các tính chất như phép cộng số thực. 1.7-Phép nhân số phức:  Cho hai số phức z a bi = + và ' ' 'z a b i = + . Nhân hai số phức như nhân hai đa thức rồi thay 2 i = –1 và rút gọn, ta được: . ' . '- . ' ( . ' '. )z z a a b b a b a b i = + +  k.z = k(a + b i ) = ka + kb i . Đặc biệt 0.z = 0 ∀z∈ £  z. z = (a + b i )(a – b i ) hay 2 2 2 z.z = a + b = z  Phép nhân số phức có các tính chất như phép nhân số thực. 1.8-Phép chia số phức: Số nghịch đảo của số phức z a bi = + ≠ 0là -1 2 1 z z z z = = hay 2 2 1 -a bi a bi a b = + + .Cho hai số phức z a bi = + ≠ 0 và ' ' 'z a b i = + thì 2 ' '.z z z z z = hay 2 2 ' ' ( ' ' )( - )a b i a b i a bi a bi a b + + = + + 1.9-Lũy thừa của đơn vị ảo: Cho k∈ N 4 4 1 4 2 4 3 1; ; -1; - k k k k i i i i i i + + + = = = = 5 1.10- Căn bậc hai của số phức và giải phương trình bậc hai: 1.10- Căn bậc hai của số phức và giải phương trình bậc hai: a/Căn bậc hai của số phức: Cho số phức w, số phức z = a + b i thoả 2 z = w được gọi là căn bậc hai của w.   w là số thực: w = a∈ ¡ •a = 0: Căn bậc hai của 0 là 0 •a > 0: Có hai căn bậc hai đối nhau là a và – a •a < 0: Có hai căn bậc hai đối nhau là .a i và – .a i   w là số phức: w = a + b i (a, b∈ ¡ , b ≠ 0) và z = x + y. i là 1 căn bậc hai của w khi 2 2 2 2 - ( ) 2 x y a z w x yi a bi xy b  = = ⇔ + = + ⇔  =  •Mỗi số phức đều có hai căn bậc hai đối nhau. b/Phương trình bậc hai: +Phương trình bậc hai với hệ số a,b,c là số thực: 2 2 0 ( 0), 4ax bx c a b ac + + = ≠ ∆ = − .  ∆ ≥ 0: Phương trình có 2 nghiệm thực 1,2 2 b x a − ± ∆ =  ∆ < 0: Phương trình có 2 nghiệm phức 1,2 | |. 2 b i x a − ± ∆ = +Phương trình bậc hai với hệ số phức: 2 2 0 ( 0), 4Ax Bx C A B AC + + = ≠ ∆ = − , a bi ∆ = +  ∆ = 0: Phương trình có nghiệm kép 2 B x A − = 6  ∆ ≠ 0: Phương trình có 2 nghiệm 1,2 2 B x A δ − ± = với δ là 1 căn bậc hai của ∆. 1.11-Dạng lượng giác của số phức: 1.11-Dạng lượng giác của số phức: a/ a/Acgumen của số phức z ≠ 0:  Cho số phức z = a + b i ≠ 0 được biểu diễn bởi điểm M(a; b) trên mặt phẳng Oxy. Số đo (rađian) của góc ( , )Ox OM ϕ = uur uuuur được gọi là một acgumen của z.  Mọi acgumen của z sai khác nhau là k2π tức là có dạng ϕ + k2π (k∈ ¢ ) (z và nz sai khác nhau k2π với n là một số thực khác 0). • z biểu diễn bởi OM uuuur thì –z biểu diễn bởi – OM uuuur nên có acgumen là ϕ + (2k + 1)π • z biểu diễn bởi M′ đối xứng M qua Ox nên có acgumen là – ϕ + k2π • – z biểu diễn bởi – 'OM uuuuur nên có acgumen là – ϕ + (2k + 1)π • 1 z = 1 2 | | z z z − = , vì 2 1 | |z là một số thực nên 1 z − có cùng acgumen với z là – ϕ + k2π. b/ Dạng lượng giác của số phức z = a + b i :  Dạng lượng giác của số phức z ≠ 0 là z = r (cos ϕ + i sin ϕ ) với ϕ là một acgumen của z.  ( ) 2 2 cos sin ; ; cos ; sin a b z a bi z r i r a b r r ϕ ϕ ϕ ϕ = + ⇔ = + = + = =   Chú ý : 7 •Số – cos ϕ – i sin ϕ có dạng lượng giác là cos( ϕ + π) + i sin( ϕ + π) •Số cos ϕ – i sin ϕ có dạng lượng giác là cos(– ϕ ) + i sin(– ϕ ) •Số – cos ϕ + i sin ϕ có dạng lượng giác là cos(π – ϕ ) + i sin(π – ϕ ) c/ Nhân, chia số phức dưới dạng lượng giác: Cho z = r (cos ϕ + i sin ϕ ) và z′ = r ′(cos ϕ ’ + i sin ϕ ’) với r , r ′≥ 0 . ' . '[cos( ') sin( ')]z z r r i ϕ ϕ ϕ ϕ = + + + và [cos( - ') sin( - ')] ' ' z r i z r ϕ ϕ ϕ ϕ = + ( r ′≠ 0) •Ta có 1 'z và z có cùng acgumen là – ϕ ’ + k2π nên 1 1 [cos( ') sin( ')] ' ' i z r ϕ ϕ = − + − . Do đó [cos( - ') sin( - ')] ' ' z r i z r ϕ ϕ ϕ ϕ = + ( r ’ ≠ 0) d/ Công thức Moa–vrơ (Moivre) và ứng dụng: e/Công thức Moa–vrơ: Cho số phức z = r (cos ϕ + i sin ϕ )  [ ] (cos sin ) (cos sin ) n n r i r n i n ϕ ϕ ϕ ϕ + = + (n∈ * ¥ ) f/Căn bậc hai số phức dạng lượng giác:`  Mọi số phức z = r (cos ϕ + i sin ϕ ) ( r > 0) có 2 căn bậc hai là cos sin 2 2 r i ϕ ϕ δ   = +  ÷   và 2 2 cos sin cos sin 2 2 2 2 r i r i ϕ ϕ ϕ ϕ δ δ π π         = − + ⇒ = + + +  ÷  ÷  ÷           2.Một số ứng dụng của số phức: 8 a/ Trong đại số: I>Ứng dụng số phức trong một số bài toán giải phương trình-Hệ phương trình : Bài toán 1: Giải phương trình bậc ba: 3 2 0ax bx cx d+ + + = ;(a≠0)(1) Năm 1545 nhà toán học người Ý, Cardano Ginolamo, năm 1545 đã tìm ra công thức nghiệm của phương trình bậc ba thu gọn trình bày theo cách ký hiệu hiện nay: Gọi 2 2 2 ; 27 3 3 a ab a q p b = − = + ; và δ là 1 căn bậc 2 của 2 3 4 27 p p + ;u là căn bậc 3 của ; 2 q δ − + v là căn bậc 3 của 2 q δ − − . Khi đó ta có nghiệm của phương trình (1) là: x 1 =u+v ; 3 a − x 2 =uz+vz 2 ; x 3 =uz 2 +vz 3 3 a − . Trong đó: z= 2 3 1 3 1 3 ; ; 1. 2 2 2 2 i z i z− + = − − = Bài toán 2: Giải hệ phương trình: 2 2 2 2 1 2 1 3 1 4 2 1 7 x x y y x y    + =   ÷ +        − =  ÷  +    Giải: Nhân 2 vế của phương trình thứ 2 với i rồi cộng từng vế với phương trình đầu. Đặt z=x+yi ta được phương trình ẩn z: 2 2 4 2 7 3 z z i z + = + (2) Phương trình (2) 2 1 0 1 2 2 2 2 7 3 21 1 2 1 2 3 21 3 21 ; 2 2 2 2 2 2 7 7 z az z i x x y y ⇔ − + =     ⇔ = ± + ±  ÷  ÷  ÷       = + = −     ⇒     = + = −     9 Thử lại ta thấy hai nghiệm trên đều thỏa mãn hệ. II> Ứng dụng giải một số bài toán tính tổng các tổ hợp : Dạng 1:Khai triển (1 + x) n , cho x nhận giá trị là những số phức thích hợp hoặc khai triển trực tiếp các số phức Bài toán 3: Tính tổng A= 0 2 4 6 2004 2006 2008 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 C C C C C C C − + − + + − + Giải:Xét khai triển: (1 + x) 2009 = 2009 2009 C 2009 x 2008 2009 C 2008 x 2 2009 C 2 x 1 2009 xC 0 2009 C +++++ Cho x = - i ta có: (1 – i ) 2009 = 2009 2009 C 2009 i 2008 2009 C 2008 i 2 2009 C 2 i 1 2009 iC 0 2009 C +++++ = ( 2008 2009 C 2006 2009 C 2004 2009 C 6 2009 C 4 2009 C 2 2009 C 0 2009 C +−++−+− ) + + ( 2009 2009 2007 2009 C 2005 2009 C 7 2009 C 5 2009 3 2009 C 1 2009 C CC −+−−+−+− )i Mặt khác: 2009 π π 2009 2009 (1 i) ( 2) cos isin 4 4        ÷  ÷  ÷       − = − + − 2009π 2009π 2009 ( 2) cos isin 4 4    ÷   = − = i 1004 2 1004 2 2 2 i 2 2 2009 )2( 4 π isin 4 π cos 2009 )2( −=−=−               So sánh phần thực và phần ảo của (1 – i ) 2009 trong hai cách tính trên ta được: A = 2008 2009 C 2006 2009 C 2004 2009 C 6 2009 C 4 2009 C 2 2009 C 0 2009 C +−++−+− = 2 1004 Bài toán 4:Tính tổng: D = 10 0 9 2 8 4 7 6 2 16 18 20 3 3 3 3 3 3 20 20 20 20 20 20 20 C C C C C C C− + − + + − + 10 [...]... rộng rãi cho học sinh và đồng nghiệp dạy 12 Tuy nhiên các ví dụ cũng cần được sưu tập thêm, với sự cộng tác của độc giả chắc chắn đề tài sẽ đem lại nhiều lợi ích Ngoài ra phương pháp giải các ví dụ có thể chưa tối ưu cần sự góp ý bổ sung của bạn đọc D- TÀI LIỆU THAM KHẢO: 1.Báo toán học và tuổi trẻ 2.Phân dạng và phương pháp giải toán số phức của thầy : Lê Hoành Phò 3.Các đề thi đại học thống nhất... cốt lõi mà chương trình lớp trên kế thừa và áp dụng thì mỗi giáo viên chúng ta nên chỉ ra và tạo mọi điều kiện để các em nắm bắt được kiến thức cũng thấy được ứng dụng của kiến thức đó vào thực tiễn một cách sinh động Có như vậy, các môn học tự nhiên mới trở thành niềm đam mê ở các em học sinh Hy vọng rằng với đề tài này có thể giúp học tự học và thích học phần số phức II-... đều có tâm S và A'B'O là một tam giác đều khác có cùng hướng nhưng S khác A' và S khác B' Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng A'B và AB' Chứng minh rằng các tam giác SB'M và SA'N đồng dạng Giải: Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABO, đăt ε= cos +i sin 2π 3 2π Ta xét bài toán trong mặt phẳng phức Chọn S là gốc tọa độ và SO là 3 trục thực Khi đó, tọa độ của các điểm... 20 20 20 20 20 20 20 (3) Cộng vế theo vế (1), (2) và (3) ta được: 220 + (1 + ε )20 +(1 + ε 2 )20 = 3S Mặt khác: (1 + ε 2 ) 20 = (−ε) 20 = ε 20 = ε 2 (1 +ε) 20 = (− 2 ) 20 = ε 40 = ε ; ε 20 Do vậy: 3S = 220 – 1 Hay S = 2 − 1 3 III> Ứng dụng giải một số bài toán lượng giác: π 5 Bài toán 7: Chứng minh rằng cos = π 5 Giải: Đặt x= cos ; y= sin 1+ 5 4 π π π và z=x+iy= cos +i sin Ta có z5=-1 hay(z+1)(z45... c+b'ε+aε2=0 Tâm của tam giác đều AC'B; BA'C; CB'A lần lượt có 1 3 1 3 1 3 tọa độ là: a''= ( a '+ b + c ) ; b''= ( a + b '+ c ) ; c " = ( a + b + c ') Do đó , bằng các phép tính đại số ta được 3(c''+a''ε+b"ε2)= (a+b+c')+(a'+b+c)ε+(a+b'+c)ε2 =(b+a'ε+cε2)+( c+b'ε+aε2)+( a+c'ε+bε2) =0 Tức là tâm của các tam giác này là các đỉnh của một tam giác đều 3 .Một số bài tập: a/ Giải pt, hệ pt Bài 1: Giải các phương trình. .. = cos = 4 5 4 Bài toán 8: Chứng minh rằng cos Giải: Đặt z= cos π 3π 5π 1 + cos + cos = ; 7 7 7 2 π π +i sin Khi đó z7=cosπ+i sinπ=-1 hay z7+1=0 7 7 Vì z7+1=0 nên z10=-z3 và z8=z.Suy ra z10+ z8+ z6+ z4+ z2+1= z6+ z4-z3+ z2- z+1= Z6- z5+ z4-z3+ z2-z+1+z5= z7 +1 5 + z = z5 z +1 π 3π 5π z5 1 Mặt khác ta có: cos + cos + cos = = ; (đpcm) 7 7 7 2z5 2 IV> Ứng dụng trong hình học: 13 Bài toán 9: (IMO Shortlst)... dựng ba n - giác đều Tìm tất cả giá trị của n sao cho tâm của các n - giác đều này là đỉnh của một tam giác đều B0 A C0 C B A0 17 Bài 5: Cho bốn điểm phân biệt A,B,C,D trong mặt phẳng Chứng minh rằng AB.CD + AD.BC ≥ AC.BD.Đẳng thức sảy ra khi và chỉ khi A,B,C,D thẳng hàng hoặc A,B,C,D cùng thuộc một đường tròn với A,C đối diện với B,D Bài 6: Cho tam giác nhọn ABC Một đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn... 33,3% Yếu 17 % 13,6% 2 7 6,7% 23,3% 18 Rõ ràng qua ba năm thực hiện đề tài này, kết quả là học sinh học phần số phức có tiến bộ rõ rệt C-KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT: I- KẾT LUẬN Việc viết sáng kinh nghiệm là một trong những vấn đề cấp thiết nhất cho gian đoạn hiện nay ,giai đoạn công nghiệp hóa hiện đại hóa đất nước, một đất nước đang phát triển như Việt nam ta nói chung ,riêng đối với ngành giáo dục cần phải... học và tuổi trẻ 2.Phân dạng và phương pháp giải toán số phức của thầy : Lê Hoành Phò 3.Các đề thi đại học thống nhất toàn quốc năm 2008 -2009 4.Bộ tài liệu ôn thi đại học ( TS Vũ Thế Hựu - NXB đại học sư phạm ) 5.Chuyên đề ứng dụng Số phức của thầy Cao Minh Quang 19 E- MỤC LỤC: NỘI DUNG TRANG 1.Tên đề tài ………………………1 2 Đặt vấn đề: …………………… 2 3 Cơ sở lý luận: ……………… 2 4.Cơ sở thực tiễn: ………………3 5 Nội... −15.215 −15.215 i So sánh phần thực 2 2   và ảo của 30(1 + i)29 trong hai cách tính trên ta có: E = - 15.215 Dạng 3: Khai triển (1 + x)n, cho x nhận giá trị là các căn bậc ba của đơn vị 1 3 Ta có các nghiệm của phương trình: x3 – 1 = 0 là x1 = 1; x = − + i; 2 2 2 1 3 1 3 x =− − i Các nghiệm đó chính là các căn bậc ba của1 Đặt: ε = − − i 3 2 2 2 2 1 3 ⇒ ε2 = − + i và ε có các tính chất sau:1) ε + ε 2 = .          2 .Một số ứng dụng của số phức: 8 a/ Trong đại số: I> ;Ứng dụng số phức trong một số bài toán giải phương trình- Hệ phương trình : Bài toán 1: Giải phương trình bậc ba: 3 2 0ax. duy, giải quyết. Một trong các vấn đề tôi xây dựng là dạng toán '&apos ;ỨNG DỤNG CỦA SỐ PHỨC TRONG GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ VÀ HÌNH HỌC" trên cơ sở khai thác một số tính chất của số phức. . SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT BỈM SƠN. SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TÊN ĐỀ TÀI: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA SỐ PHỨC TRONG GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ VÀ HÌNH HỌC CHƯƠNG TRÌNH THPT. Người thực hiện:

Ngày đăng: 16/04/2015, 07:24

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan