Vành gorenstein và iđêan tham số bất khả quy

bộ giáo dục và đào tạo Trờng Đại học Vinh ------------------ Lê Thị Hiền Vành Gorenstein và iđêan tham số bất khả qui Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số Mã số: 60. 46. 05 Luận văn thạc sĩ toán học Ngời hớng dẫn khoa học : TS. nguyễn thị hồng loan vinh - 2008 1 Mục lục Trang Lời mở đầu . Chơng 1. Kiến thức chuẩn bị 1. 1. Hàm tử mở rộng . 1. 2. Một số khái niệm . 1. 3. Dãy chính qui và vành Cohen Macaulay . Chơng 2. Vành Gorenstein . 2. 1. Chiều nội xạ của môđun 2. 2. Vành Gorenstein Chơng 3. vành Gorenstein và iđêan tham số bất khả qui . 3. 1. Vành Gorenstein và vành Cohen Macaulay 3. 2. Một đặc trng của vành Gorenstein qua iđêan tham số bất khả qui . Kết luận Tài liệu tham khảo . 2 Lời mở đầu Trong toàn bộ luận văn chúng tôi luôn giả thiết R là vành giao hoán, có đơn vị. Cho (R, m) là vành địa phơng. Vành Gorenstein đợc định nghĩa là lớp vành có chiều nội xạ dim R inj R hữu hạn. Một iđêan I của vành R đợc gọi là iđêan tham số nếu I sinh bởi một hệ tham số của R. Iđêan I đợc gọi là bất khả qui nếu nó không phân tích đợc thành giao của hai iđêan thực sự chứa nó. R là vành Gorenstein nếu và chỉ nếu R là vành Cohen Macaulay và tồn tại một iđêan tham số của R là bất khả qui. Theo một kết quả của D. G. Northcott và D. Rees thì nếu mọi iđêan tham số của R là bất khả qui thì R là vành Cohen Macaulay. Do đó R là vành Gorenstein khi và chỉ khi mọi iđêan tham số của R là bất khả qui. Tuy nhiên vẫn tồn tại những vành không phải là vành Gorenstein nhng vẫn có iđêan tham số bất khả qui. Năm 1982, S. Goto đã chỉ ra rằng nếu tồn tại một hệ tham số (x 1 , , x d ) sao cho iđêan tham số ( ) 1 , ., n n d x x R là bất khả qui với n đủ lớn thì R là vành Gorenstein. Nói cách khác nếu R không phải là vành Gorenstein thì mỗi hệ tham số (x 1 , , x d ) tồn tại một số nguyên n (phụ thuộc vào hệ tham số) sao cho iđêan ( ) 1 , ., n n d x x R là khả qui. Nh vậy trong trờng hợp vành không Gorenstein thì có một câu hỏi tự nhiên đặt ra là liệu có một chặn đều n sao cho iđêan tham số ( ) 1 , ., n n d x x R là khả qui với mọi hệ tham số (x 1 , , x d ) của R hay không? Kết quả chính trong bài báo [5] đã chỉ ra rằng R là vành Gorenstein khi và chỉ khi tồn tại một số nguyên dơng l sao cho có một iđêan tham số nào đó chứa trong m l là bất khả qui. 3 Mục đích của luận văn là tìm hiểu về vành Gorestein và mối liên hệ giữa lớp vành này và các iđêan bất khả qui trong đó dựa vào tài liệu [3] và một bài báo gần đây của T. Marley, M. W. Rogers và H. Sakurai [5]. Nội dung của luận văn đợc chia làm 3 chơng. Chơng 1: Kiến thức chuẩn bị. Trong chơng này, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ sở của Đại số giao hoán liên quan đến các kết quả và chứng minh của những chơng sau. Chơng 2: Vành Gorenstein. Nội dung chính của chơng này là trình bày về khái niệm vành Gorenstein và một số tính chất của vành Gorenstein. Các kết quả chơng này đợc viết dựa theo [3]. Chơng 3: Vành Gorenstein và iđêan tham số bất khả qui. Nội dung chính của chơng này là trình bày chứng minh một đặc trng của vành Gorenstein thông qua iđêan tham số bất khả qui. Đây là kết quả chính trong bài báo [5]. Luận văn đợc hoàn thành vào tháng 11 năm 2008 dới sự hớng dẫn, chỉ dạy tận tình của cô giáo, TS. Nguyễn Thị Hồng Loan. Nhân dịp này, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô giáo. Đồng thời tôi cũng xin đợc cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong khoa Toán, khoa Sau đại học trờng Đại học Vinh, và các bạn bè đã tạo điều thuận lợi cho chúng tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu. Vinh, tháng 11 năm 2008. Tác giả 4 Chơng 1. Kiến thức chuẩn bị Trong chơng này, chúng tôi trình bày các kiến thức cơ sở của Đại số giao hoán cần dùng cho việc chứng minh các kết quả của những chơng sau. Nhắc lại rằng vành luôn đợc giả thiết là giao hoán và có đơn vị. 1. 1. Hàm tử mở rộng 1. 1. 1. Môđun nội xạ. Cho Q là một R môđun. Khi đó Q đợc gọi là môđun nội xạ nếu với mọi đồng cấu f : M Q và mọi đơn cấu g : M N những môđun trên R, tồn tại duy nhất một đồng cấu h : N Q sao cho hg = f. g M N f ! h Q 1. 1. 2. Lời giải nội xạ 1. 1. 2. 1. Định nghĩa. (i) Một đối phức I : 0 1 0 . . n I I I các R môđun đợc gọi là đối phức nội xạ nếu tất cả các môđun trong đối phức đó đều là nội xạ. (ii) Cho M là một R môđun. Một lời giải nội xạ của M là một đối phức nội xạ I cùng với một cấu xạ : M I 0 để đối phức sau là khớp 0 1 0 . . n M I I I Kí hiệu lời giải nội xạ trên là M I . 5 1. 1. 2. 2. Định lí. Cho M là một R môđun tuỳ ý. Khi đó M luôn có lời giải nội xạ M I . 1. 1. 2. 3. Định lí. Cho M và N là các R môđun, f : M N là một cấu xạ. Giả sử N I là một lời giải nội xạ của N. Khi đó mọi lời giải nội xạ M E của M đều tồn tại cấu xạ f : E I là nâng của f , tức là ta có biểu đồ sau giao hoán 0 M E 0 E 1 f f 0 f 1 0 N I 0 I 1 và cấu xạ f là xác định duy nhất theo nghĩa sai khác một đồng luân. 1. 1. 3. Hàm tử khớp Cho F : R mod R mod là hàm tử hiệp biến từ phạm trù các R môđun đến phạm trù R môđun. Khi đó (i) Hàm tử F đợc gọi là hàm tử khớp trái nếu từ mọi dãy khớp các R môđun 0 A B C ta có dãy khớp các R môđun 0 F(A) F(B) F(C) (ii) Hàm tử F đợc gọi là hàm tử khớp phải nếu từ mọi dãy khớp các R môđun A B C 0 ta có dãy khớp các R môđun F(A) F(B) F(C) 0 (iii) Hàm tử F đợc gọi là hàm tử khớp nếu nó vừa là hàm tử khớp trái vừa là hàm tử khớp phải. 6 Nhận xét. Cho F : R mod R mod là hàm tử hiệp biến từ phạm trù các R môđun đến phạm trù R môđun. Khi đó (i) Hàm tử F là hàm tử khớp trái nếu từ mọi dãy khớp ngắn các R môđun 0 A B C 0 ta có dãy khớp các R môđun 0 F(A) F(B) F(C) (ii) Hàm tử F là hàm tử khớp phải nếu từ mọi dãy khớp các R môđun 0 A B C 0 ta có dãy khớp các R môđun F(A) F(B) F(C) 0 (iii) Hàm tử F đợc gọi là hàm tử khớp nếu nó vừa là hàm tử khớp trái, vừa là hàm tử khớp phải. 1. 1. 4. Hàm tử dẫn xuất phải Cho F : R mod R mod là hàm tử hiệp biến, cộng tính, khớp trái. Cho M là một R môđun với lời giải nội xạ M I . Ta có phức F(I ) : 0 F(I 0 ) F(I 1 ) nói chung không khớp. Khi đó hàm tử dẫn xuất phải, R F của F là họ các hàm tử R F = { } 0 i i R F = đợc xác định bởi R i F(M) = H i (F(I )). 1. 1. 5. Hàm tử mở rộng 1. 1. 5. 1. Định nghĩa. Cho M là một R môđun. Ký hiệu hàm tử F = Hom R (M, -) : R mod R mod. 7 Ta có F là một hàm tử cộng tính, khớp trái. Khi đó hàm tử dẫn xuất phải của F là R F = { } 0 i i R F = đợc gọi là hàm tử mở rộng của M. Ký hiệu ( ) i R F M = ( , ) i R Ext M N gọi là hàm tử mở rộng thứ i của M và N. 1. 1. 5. 2. Một số tính chất cơ bản của hàm tử mở rộng (i) 0 ( , ) ( , ). R R Ext M N Hom M N (ii) ( , ) 0, 0 i R Ext M I i= khi I là R môđun nội xạ. (iii) Từ dãy khớp ngắn các R môđun 0 N N N 0 ta có dãy khớp dài 1 1 1 0 ( , ') ( , ) ( , ") ( , ') ( , ) ( , ") . R R R R R R Hom M N Hom M N Hom M N Ext M N Ext M N Ext M N Để tính Ext i R (M, N) ta làm nh sau: Lấy lời giải nội xạ N I của N: 0 N I 0 I 1 . I i . Khi đó ta có phức 0 Hom R (M, N) Hom R (M, I 0 ) . Hom R (M, I i ) Ta có Ext i R (M, N) = H i (Hom R (M, I i )). Nếu xét hàm tử F = Hom (-, M), tơng tự nh trên ta cũng đợc các hàm tử mở rộng Ext i R (N, M) với F là hàm tử phản biến. Khi đó ta có các tính chất: (i) Ext 0 R (N, M) Hom R (N, M); (ii) Ext i R (P, M) = 0, i 1; (iii) Từ dãy khớp ngắn 0 N N N 0 ta có dãy khớp dài 0 Hom R (N , M ) Hom R (N, M) Hom R (N , M ) 8 Ext 1 R (N , M ) 1. 2. Một số khái niệm 1. 2. 1. Iđêan nguyên tố liên kết (i) Iđêan p của vành R đợc gọi là iđêan nguyên tố nếu p R và với mọi x, y R mà xy p thì x p hoặc y p. (ii) Tập hợp Spec(R) = {p | p là iđêan nguyên tố của R} đợc gọi là phổ (hay phổ nguyên tố) của vành R. (iii) Cho M là một R môđun. Một iđêan nguyên tố p của R đợc gọi là iđêan nguyên tố liên kết của M nếu p là linh hoá tử của một môđun con xyclic của M. Tập hợp tất cả các iđêan nguyên tố liên kết của M đợc kí hiệu là Ass R (M) hay Ass M. 1. 2. 2. Chiều Krull của vành và môđun (i) Một dãy các iđêan nguyên tố của R p o p 1 p 2 p n đợc gọi là một xích nguyên tố có độ dài n. (ii) Cho p là một iđêan nguyên tố của R. Cận trên của tất cả các độ dài của các xích nguyên tố với p 0 = p đợc gọi là độ cao của p, kí hiệu là ht(p). Nghĩa là ht(p) = sup {độ dài các xích nguyên tố với p 0 = p}. (iii) Cận trên của tất cả các độ dài của các xích nguyên tố trong R đợc gọi là chiều Krull của vành R, kí hiệu là dim R. Ta có dim R = sup {ht(p) | p Spec(R) }. (iv) Cho M là R môđun. Khi đó dim(R / Ann R M) đợc gọi là chiều Krull của R môđun M và kí hiệu là dim R (M) hay dim M nếu ta không chú ý đến vành R. Nh vậy, dim R có thể vô hạn do ht(p) có thể vô hạn và dim M dim R. 9 1. 2. 3. Vành địa phơng (i) Iđêan m của vành giao hoán R đợc gọi là iđêan cực đại nếu m R và không tồn tại một iđêan khác R nào thực sự chứa m. (ii) Vành R đợc gọi là vành địa phơng nếu R chỉ có duy nhất một iđêan cực đại m. Khi đó R/m đợc gọi là trờng thặng d của vành R (trong luận văn này thờng kí hiệu k = R/m). 1. 2. 4. Vành chính qui Cho (R, m) là vành địa phơng, Noether. Khi đó R đợc gọi là vành chính qui nếu tồn tại một hệ tham số của R sinh ra iđêan cực đại m. Chú ý rằng nếu R là vành chính qui thì R là miền nguyên. 1. 2. 5. Đối đồng điều địa phơng Cho I là một iđêan của vành R. Với mỗi R môđun M, ta đặt ( ) I M = { } 0 (0: ) / : 0 t t M t I x M t xI = = U . Ta có ( ) I M là môđun con của M. Với mỗi đồng cấu f : M N, ta có f( ( ) I M ) ( ) I N . Vì thế có R - đồng cấu ( ) I f : ( ) I M ( ) I N , xác định bởi I (f) (x) = f(x), với x ( ) I M . Khi đó, I là hàm tử hiệp biến, cộng tính, khớp trái từ phạm trù R môđun vào phạm trù R môđun. I gọi là hàm tử I xoắ n. Hàm tử dẫn xuất phải thứ i của I đợc gọi là hàm tử đối đồng điều địa ph- ơng thứ i với giá là iđêan I, kí hiệu là i I H . Khi đó với môđun M thì H i I (M) đ- ợc gọi là môđun đối đồng điều địa phơng thứ i với giá là I. 1. 2. 6. Phức Koszul. Cho R là một vành, x R, kí hiệu K(x) : 0 0. x R R a axa 10