Iđêan tham số trong vành iđêan hóa

MỞ ĐẦUCho R là vành giao hoán địa phương Noether với iđêan cực đại duy nhất m.. , xr} xác định như vậy được gọi là một hệ tham số của vành R.Một iđêan q ⊆ R được gọi là iđêan tham số của

HOÀNG ĐỨC HẠNH

IĐÊAN THAM SỐ TRONG VÀNH IĐÊAN HÓA

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Nghệ An - 2015

HOÀNG ĐỨC HẠNH

IĐÊAN THAM SỐ TRONG VÀNH IĐÊAN HÓA

Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ

Mã số: 60 46 01 04

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học

TS NGUYỄN THỊ HỒNG LOAN

Nghệ An - 2015

MỤC LỤC

1.1 Iđêan nguyên tố, iđêan cực đại, iđêan nguyên sơ 6

1.2 Độ dài của môđun 6

1.3 Chiều Krull 8

1.4 Iđêan tham số và hệ tham số 11

1.5 Vành phân bậc 15

1.6 Vành iđêan hóa 17

2 Iđêan tham số trong vành iđêan hóa 21 2.1 Iđêan tham số trong vành iđêan hóa 21

2.2 Iđêan tham số thuần nhất trong vành iđêan hóa 25

MỞ ĐẦU

Cho R là vành giao hoán địa phương Noether với iđêan cực đại duy nhất

m Một iđêan I của vành R được gọi là iđêan m-nguyên sơ nếu I là iđêannguyên sơ và √

I = m Do tính cực đại của iđêan m nên điều kiện này cónghĩa là tồn tại số nguyên n sao cho I ⊇ mn Giả sử chiều Krull của vành

R là dim R = r Khi đó r là số nguyên bé nhất sao cho tồn tại r phần tử

x1, x2, , xr ∈ m mà (x1, x2, , xr)R là iđêan m-nguyên sơ Hệ các phần

tử {x1, x2, , xr} xác định như vậy được gọi là một hệ tham số của vành R.Một iđêan q ⊆ R được gọi là iđêan tham số của vành R nếu nó sinh bởi một

hệ tham số Như vậy, mỗi iđêan q ⊆ R sinh bởi r = dim R phần tử là iđêantham số nếu `R(R/q) < ∞, hay một cách tương đương, q ⊇ mn với n đủ lớn.Cho M là một R-môđun hữu hạn sinh trên vành giao hoán địa phương(R,m) Giả sử chiều Krull của môđun M là dim M = d Khi đó d là sốnguyên bé nhất sao cho tồn tại d phần tử x1, x2, , xd ∈ m mà

`R(M/(x1, x2, , xd)M ) < ∞

Hệ các phần tử {x1, x2, , xd} xác định như vậy được gọi là một hệ tham

số của môđun M Một iđêan q ⊆ m được gọi là iđêan tham số của môđunMnếu nó sinh bởi một hệ tham số củaM Vậy iđêan q ⊆ R sinh bởid = dim Mphần tử là iđêan tham số của môđun M nếu `R(M/qM ) < ∞, hay một cáchtương đương, q + AnnRM ⊇ mn với n đủ lớn Từ đây ta cũng suy ra: q làiđêan tham số của R-môđun M nếu và chỉ nếu q là iđêan tham số của vànhR/AnnRM, trong đó AnnRM là linh hóa tử của M

Khái niệm hệ tham số và iđêan tham số là một trong những khái niệm cơ

bản và quan trọng trong Đại số giao hoán Thông qua những khái niệm này

có thể nói lên cấu trúc của vành và môđun

Cho (R,m) là vành giao hoán địa phương Noether, M là một R−môđunhữu hạn sinh Khái niệm iđêan hóa đã được M Nagata đưa ra năm 1962trong [10] như sau: trên tích Đêcac R × M định nghĩa hai phép toán cộng vànhân:

(r1, x1) + (r2, x2) = (r1 + r2, x1 + x2),(r1, x1).(r2, x2) = (r1r2, r1x2 + r2x1),trong đó r1, r2 ∈ R, x1, x2 ∈ M; với hai phép toán này R × M trở thành mộtvành ký hiệu bởiRnM và vành này được gọi là iđêan hóa của M trên vành R.Vành iđêan hóa RnM cũng là vành giao hoán địa phương Noether với iđêancực đại duy nhất m× M Phép chiếu chính tắc ρ : RnM → R, ρ((a, x)) = a

và phép nhúng chính tắc σ : R → RnM, σ(a) = (a, 0) làm cho mỗi môđuntrên vành R có thể được xem là môđun trên vành iđêan hóa RnM và ngượclại mỗi môđun trên vành iđêan hóa RnM có thể được xem như là môđuntrên vành R Hơn nữa, ta có đơn cấu  : M → RnM, (x) = (0, x) Do đó

có thể coi M như là một iđêan của vành iđêan hóa Như vậy thuật ngữ iđêanhóa môđun M có thể được hiểu là biến môđun M thành một iđêan của vànhiđêan hóa RnM

Cho I là một iđêan của vành R, M là một R−môđun, N là một môđuncon của M Khi đó I × N là iđêan của vành RnM khi và chỉ khi IM ⊆ N.Trong [6], Huckaba cho rằng mỗi iđêan của vành RnM đều có dạng I × N.Tuy nhiên, D Anderson và M Winders [3] đã chỉ ra rằng không phải iđêannào của RnM cũng đều có dạng I × N Do đó, D Anderson và M Winders[3] đã coi vành iđêan hóa RnM như là một vành phân bậc và họ đã chứngminh được rằng một iđêan của vành iđêan hóa RnM có dạng I × N khi vàchỉ khi nó là iđêan thuần nhất

Cho Q là một iđêan của vành RnM Đặt q := ρ(Q) Khi đó Q là m× M

-nguyên sơ khi và chỉ khi q là m nguyên sơ Như đã nói trong phần đầu,mỗi iđêan tham số trong vành RnM là một iđêan m × M-nguyên sơ Tuynhiên điều ngược lại nói chung là không đúng, nghĩa là không phải iđêan

m× M-nguyên sơ nào cũng đều là iđêan tham số của vành iđêan hóa RnM.Theo sự hiểu biết của chúng tôi hiện nay chưa có tài liệu nào viết đầy đủ

về hệ tham số và iđêan tham số trong vành iđêan hóa Vì vậy, trong luận vănnày chúng tôi trình bày một số kết quả về iđêan tham số trong vành iđêanhóa Đặc biệt đưa ra được câu trả lời cho câu hỏi mà chúng tôi tiếp cận vấn

đề này đó là: Mọi iđêan tham số thuần nhất trong vành iđêan hóa Rn Mđều có dạng q×qM (Định lí 2.2.10)

Trong luận văn này ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo,chúng tôi trình bày nội dung luận văn thành hai chương Chương 1: Kiếnthức chuẩn bị Trong chương này chúng tôi trình bày những kiến thức đại

số giao hoán cơ sở nhằm hỗ trợ trong quá trình theo dõi luận văn, bao gồm:Iđêan nguyên tố, iđêan cực đại, iđêan nguyên sơ; Độ dài môđun; Chiều Krull;Vành phân bậc; Iđêan tham số và hệ tham số; Vành iđêan hóa Chương 2:Iđêan tham số trong vành iđêan hóa Trong chương này chúng tôi trình bàynhững kết quả đạt được trong quá trình nghiên cứu, bao gồm:

2.1 Iđêan tham số trong vành iđêan hóa;

2.2 Iđêan tham số thuần nhất trong vành iđêan hóa

Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫntận tình, chu đáo của cô giáo TS Nguyễn Thị Hồng Loan Tác giả xin đượcbày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô giáo TS Nguyễn Thị Hồng Loan đã tậntình hướng dẫn, động viên và tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốtquá trình học tập và làm đề tài

Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong Bộmôn Đại số, các thầy cô giáo Khoa Toán đã trực tiếp giảng dạy lớp Cao họcĐại số; Tác giả cũng xin cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa, các thầy cô giáo trong

Khoa Sư phạm Toán, Phòng Đào tạo Sau đại học, Trường Đại học Vinh.Tác giả xin gửi lởi cảm ơn sâu sắc tới gia đình và tập thể lớp cao học toánkhóa 21 đã luôn động viên, và tạo điều kiện để tác giả hoàn thành khóa học.

Nghệ An, tháng 09 năm 2015

Tác giả

CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Iđêan nguyên tố, iđêan cực đại, iđêan nguyên sơ

1.1.1 Định nghĩa Cho I 6= R là một iđêan của vành R Khi đó

(i) I được gọi là một iđêan nguyên tố nếu ∀x, y ∈ R mà xy ∈ I và x /∈ Ithì y ∈ I

(ii) I được gọi là iđêan nguyên sơ nếu ∀x, y ∈ R mà xy ∈ I và x /∈ I thìtồn tại số tự nhiên n sao cho yn ∈ I

(iii) I được gọi là iđêan cực đại nếu không tồn tại iđêan J 6= R mà I ( J.1.1.2 Mệnh đề Cho I là một iđêan của vành R Khi đó:

(i) I là iđêan nguyên tố khi và chỉ khi R/I là miền nguyên;

(ii) I là iđêan cực đại khi và chỉ khi R/I là trường

1.1.3 Nhận xét Nếu q là một iđêan nguyên sơ thì rad(q) = p là một iđêannguyên tố Khi đó ta nói q là iđêan p-nguyên sơ Điều ngược lại có thể khôngđúng, nghĩa là, nếu rad(q) là một iđêan nguyên tố thì q có thể không phải làiđêan nguyên sơ Tuy nhiên nếu rad(q) = m là iđêan cực đại thì điều ngượclại là đúng, nghĩa là, q là iđêan m−nguyên sơ

1.2 Độ dài của môđun

1.2.1 Định nghĩa Một dãy hợp thành của một R− môđun M là một dãygiảm gồm một số hữu hạn các môđun con:

M = M0 ⊃ M1 ⊃ ⊃ Mn = 0

sao cho Mi/Mi+1, (0 ≤ i ≤ n − 1) là các môđun đơn (môđun đơn là môđunchỉ có hai môđun con đó là 0 và chính nó) Khi đó số n được gọi là độ dàicủa dãy hợp thành này.

Theo Định lí Jordan-Holder, nếu môđun M có dãy hợp thành thì tất cảcác dãy hợp thành của M đều có cùng độ dài Khi đó độ dài chung củacác dãy hợp thành của M được gọi là độ dài của môđun M, và kí hiệu là

`R(M ) Nếu R−môđun M không có dãy hợp thành nào thì ta quy ước độdài `R(M ) = ∞

1.2.2 Định lí Cho R là một vành Noether và M là một R−môđun hữu hạnsinh Khi đó các khẳng định sau là tương đương:

(1) `R(M ) < ∞;

(2) Mỗi P ∈ AssR(M ) là một iđêan cực đại;

(3) Mỗi P ∈ SuppR(M ) là một iđêan cực đại

Chứng minh (1)⇒(2): Giả sử `R(M ) < ∞ khi đó có một chuỗi không nhấtthiết là chuỗi hợp thành của M là:

M = M0 ⊃ M1 ⊃ ⊃ Mn = {0}

sao cho Mi−1/Mi ∼= R/P

i trong đó Pi là các iđêan nguyên tố (1 ≤ i ≤ n) vàAssR(M ) ⊂ {P1, , Pn} Do `R(M ) hữu hạn nên `R(Mi−1/Mi) = `R(R/Pi)

là hữu hạn (do định định lí về tính cộng tính của độ dài) Suy ra R/Pi làmiền nguyên Artin Xét một phần tử 0 6= x ∈ R/Pi khi đó ta có một dãygiảm các iđêan của R/Pi là (x)n với n ≥ 1 Mà R/Pi là Artin nên tồn tại

t ∈ N∗ sao cho (x)t+1 = (x)t Điều này dẫn đến tồn tại y ∈ R/Pi sao cho

xt = y.xt+1, lại do R/Pi là miền nguyên nên ta có thể thực hiện luật giảnước tức là 1 = y.x hay x khả nghịch, suy ra R/Pi là một trường Từ đó suy

ra Pi là iđêan cực đại với mọi i = 1 n Do đó mọi iđêan nguyên tố thuộcAssR(M ) đều cực đại

(2)⇒(3): Ta biết rằng các phần tử cực tiểu của hai tập AssR(M ) vàSuppR(M ) là như nhau, vì vậy các phần tử cực tiểu của tập SuppR(M )

là những cực đại Do đó với mỗi P ∈ SuppR(M ) đều là một iđêan cực đại.(3)⇒(1): Ta có M là hữu hạn sinh trên R Noether nên tồn tại một chuỗihữu hạn

M = M0 ⊃ M1 ⊃ ⊃ Mn = {0}

sao cho Mi−1/Mi ∼= R/P

i trong đó Pi là các iđêan nguyên tố (1 ≤ i ≤ n) vàSuppR(M ) ⊃ {P1, , Pn} Do các Pi là cực đại nên R/Pi là các môđun đơn(1 ≤ i ≤ n) Và như vậy Mi−1/Mi là các môđun đơn hay:

M = M0 ⊃ M1 ⊃ ⊃ Mn = {0}

là một chuỗi hợp thành của M Tức là `R(M ) < ∞

1.3 Chiều Krull

1.3.1 Định nghĩa Cho R là một vành Khi đó một xích các iđêan nguyên

tố của vành R là một dãy hữu hạn tăng thực sự các iđêan nguyên tố của R

có dạng

p0 ⊂ p1 ⊂ ⊂ pn, trong đó pi 6= pi−1, ∀i = 1, , n

Số nguyên n được gọi là độ dài của xích

Chiều Krull của một vành R là cận trên đúng của tất cả độ dài của cácxích iđêan nguyên tố trong vành R và được kí hiệu là dim R

1.3.2 Định nghĩa Cho p là một iđêan nguyên tố của vành R Khi đó dimRpđược gọi là độ cao của p và kí hiệu bởi ht(p) Và dim(R/p) được gọi là đốichiều cao của p, kí hiệu là coht(p) Với mỗi iđêan I của vành R thì chiều caocủa I được xác định bởi ht(I) = Inf{ht(p)|p ⊃ I}, còn đối chiều cao của I

là coht(I) = sup{coht(p)|p ⊃ I}

1.3.3 Nhận xét Từ Định nghĩa 1.3.2, ta rút ra rằnght(p)+coht(p) ≤ dimRvới mọi iđêan nguyên tố p Do đó ht(I) + coht(I) ≤ dimR với mọi iđêan I.

Từ định nghĩa độ cao và chiều ta suy ra kết quả sau đây

1.3.4 Mệnh đề Cho (R,m) là vành địa phương với iđêan cực đại duy nhất

m Khi đó

dim R = ht(m)

1.3.5 Định nghĩa Cho M là một R−môđun Số dim(R/AnnM ) được gọi

là chiều Krull của M và được kí hiệu là dimRM (viết gọn là dim M nếukhông để ý đến vành R) Nếu M = 0 thì ta quy ước dimRM = −1

1.3.6 Định nghĩa Cho(R,m) là vành địa phương, Noether với iđêan cực đại

m, và M 6= 0 là một R−môđun hữu hạn sinh Chiều Chevalley của M, là sốnguyên nhỏ nhấtr sao cho tồn tại a1, , ar ∈ m để `R(M/(a1, , ar)M ) <

∞, được kí hiệu là s(M )

Nếu M = 0 thì quy ước s(M ) = −1

1.3.7 Định lí (Định lí cơ bản về chiều) Cho M là một R−môđun hữuhạn sinh trên vành địa phương, Noether R Khi đó ta có:

1.3.9 Hệ quả Cho R là vành địa phương, Noether với iđêan cực đại m,

x ∈ m và không là ước của 0 Khi đó ta có:

dimR/(x) = dim R − 1

Định lý sau đây là dạng tổng quát của Định lý PIT 1.3.8.

1.3.10 Định lí Cho R là một vành Noether và x1, , xr ∈ R là các phần

tử không khả nghịch Giả sử p là một iđêan nguyên tố tối tiểu của R trong sốnhững iđêan nguyên tố chứa x1, , xr Khi đó htp ≤ r

Hệ quả sau đây được coi là chiều ngược của Định lý PIT

1.3.11 Hệ quả Cho R là một vành Noether và p là một iđêan nguyên tố bất

kì củaR Nếu htp = r thì p là iđêan nguyên tố tối tiểu trên của một iđêan sinhbởi r phần tử nào đó Hay nói cách khác, tồn tại r phần tử x1, , xr ∈ psao cho p là iđêan nguyên tố tối tiểu trong số các iđêan nguyên tố chứa(x1, , xr)

Chứng minh Ta chứng minh bằng quy nạp theo r Giả sử với mọi số nguyên

n thỏa mãn 0 6 n < r ta đều chọn được n phần tử x1, , xn ∈ p sao choht(x1, , xn)R = n Ta cần chỉ ra tồn tại phần tử xn+1 ∈ p sao cho xn+1không nằm trong bất kỳ iđêan nguyên tố tối tiểu trên nào của (x1, , xn)R

vàht(x1, , xn+1)R = n + 1 Thật vậy, theo Định lý tránh nguyên tố ta luônchọn được phần tửxn+1 tránh hết tất cả các iđêan nguyên tố tối tiểu trên của(x1, , xn)R Khi đó theo Định lý 1.3.10 thìn < ht(x1, , xn+1)R 6 n + 1

Từ đó suy ra ht(x1, , xn+1)R = n + 1

1.3.12 Mệnh đề Cho(R,m)là một vành địa phương Noether vàx1, , xr ∈

R Khi đó các phát biểu sau là tương đương:

(i) rad(x1, , xr)R = m;

(ii) mn ⊂ (x1, , xr)R với n ∈ N∗ đủ lớn;

(iii) m là iđêan nguyên tố tối tiểu chứa (x1, , xr)R

Chứng minh (i) ⇒ (ii): Giả sử ngược lại mnkhông bị chứa trong(x1, , xr)Rvới mọi n ∈ N∗ Khi đó tồn tại x ∈ mn với mọi n ∈N∗ mà x /∈ (x1, , xr)R.Khi đó x ∈ ∩

n∈N∗mn Theo Định lý giao Krull ta có ∩

n∈N∗mn = 0 Suy ra x = 0

Điều này là mâu thuẫn vì như vậy 0 /∈ (x1, , xr)R Vậy tồn tại n ∈ N∗ đủlớn để mn ⊂ (x1, , xr)R.

(ii) ⇒ (iii): Giả sử tồn tại p là một iđêan nguyên tố của vành R sao cho

mn ⊂ (x1, , xr) ⊂ p ⊂ m Khi đó mn ⊂ p ⊂ m nên suy ra rad mn ⊂rad p ⊂ rad m Suy ra m ⊂ p ⊂ m Do đó p = m Vậy m là iđêan nguyên tốtối tiểu chứa (x1, , xr)

(iii) ⇒ (i): Theo định nghĩa thì rad(x1, , xr)R là giao của tất cả cáciđêan nguyên tố chứa (x1, , xr)R Theo (iii), m là iđêan tối tiểu chứa(x1, , xr) và nó là duy nhất nên rad(x1, , xr)R = m

1.4 Iđêan tham số và hệ tham số

Từ những kết quả trên và đặc biệt là 1.3.11 và 1.3.12 chúng ta có hệ quảquan trọng sau đây

1.4.1 Hệ quả Giả sử (R,m) là một vành địa phương Noether với iđêan cựcđại duy nhất m Khi đó dim R là số nguyên d nhỏ nhất sao cho tồn tại dphần tử x1, , xd ∈ m mà mn ⊂ (x1, , xd) với n  0

Chứng minh Giả sử có d phần tử x1, , xd ∈ m sao cho mn ⊂ (x1, , xd)vớin  0.Khi đó m là tối tiểu trong số các iđêan nguyên tố chứa(x1, , xd).Thật vậy, giả tồn tại một iđêan nguyên tố p ⊆ m sao cho p ⊇ (x1, , xd).Khi đó p ⊇ mn Theo Định lý Tránh nguyên tố thì p = m Vì vậy theo Định

lý PIT (Định lý 1.3.8), ta có dim R 6 d

Mặt khác, theo Hệ quả 1.3.11 (chiều ngược của Định lý PIT) thì do ht m =dim R nên m là iđêan nguyên tố tối tiểu trên của một iđêan sinh bởi dim Rphần tử Do đó ta có thể chọn các phần tửx1, , xd ∈ m, vớid = dim R saocho m là iđêan nguyên tố tối tiểu trên của (x1, , xd) Khi đó vành thươngR/(x1, , xd) chỉ có một iđêan nguyên tố duy nhất là m/(x1, , xd) Suy

ra mọi phần tử của m/(x1, , xd) là lũy linh Do đó tồn tại n  0 sao cho

mn ⊂ (x1, , xd).

1.4.2 Mệnh đề Giả sử (R,m) là một vành địa phương Noether với iđêancực đại duy nhất m và q ⊂ m Khi đó `R(R/q) < ∞ khi và chỉ khi mn ⊂ qvới n  0

Chứng minh ⇒) : Giả sử `R(R/q) < ∞, khi đó theo Định lí 1.2.2 thì vớimỗi P ∈ SuppR(R/q) đều cực đại Do R là vành địa phương nên P = m suy

ra SuppR(R/q) = {m} điều này có nghĩa là chỉ có duy nhất iđêan nguyên tố

Hệ quả 1.4.1 đã khẳng định rằng khi cho một vành địa phương, Noether(R,m) với dim R = d thì luôn luôn tồn tại d phần tử x1, , xd ∈ m sao cho

mn ⊆ (x1, , xd) ⊆ m với n  0(theo Mệnh đề 1.4.2, điều này tương đươngvới `(R/(x1, , xd)) < ∞) Do đó ta có định nghĩa sau

1.4.3 Định nghĩa Cho (R,m)là một vành địa phương Noether với dimR =

d

(1) Hệ các phần tử x1, , xd ∈ m được gọi là một hệ tham số của vành

R nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau:

(i) Iđêan sinh bởi các phần tử x1, , xd là m−nguyên sơ;

1.4.4 Ví dụ Cho (R,m) là vành địa phương chính qui khi đó m là một iđêantham số của vành R.

1.4.5 Định nghĩa Cho (R,m) là vành địa phương Noether và M là một

R-môđun hữu hạn sinh với dim M = r > 0 Vì dimM = dim(R/AnnM ),

từ Hệ quả 1.4.1 ta suy ra r là số nguyên bé nhất sao cho tồn tại r phần

tử x1, , xr ∈ m thỏa mãn `(M/(x1, , xr)M ) < ∞ Hệ các phần tử

x1, , xr mang nhiều thông tin quyết định về môđun M và chúng được gọi

là hệ tham số của M Một iđêan q của R được gọi là iđêan tham số của Mnếu tồn tại một hệ tham số x1, , xr của M sao cho qM = (x1, , xr)M.1.4.6 Nhận xét Cho (R,m) là vành địa phương Noether, M là một R-môđun hữu hạn sinh và q là một iđêan của vànhR.Khi đó`R(M/qM ) < +∞khi và chỉ khi rad(Ann(M/qM )) = m Thật vậy, vì M hữu hạn sinh nênM/qM cũng hữu hạn sinh Do R là vành địa phương nên theo Định lí 1.2.2

ta có: `R(M/qM ) < ∞ ⇔ SuppR(M/qM ) = {m} ⇔ m là iđêan nguyên tốduy nhất chứa Ann(M/qM ) (vì đối với môđun hữu hạn sinh N thì ta cóSuppN = V (AnnN )) ⇔ rad(Ann(M/qM )) = m

1.4.7 Mệnh đề Cho M là một R−môđun hữu hạn sinh với dimM = r Khi

đó với mỗi iđêan q bất kì của R ta đều có

rad(Ann(M/qM )) = rad(q+ AnnM )

Đặc biệt, nếu R là một vành địa phương, Noether với iđêan cực đại duy nhất

m thì các điều kiện sau là tương đương:

(1) q là iđêan tham số của M;

(2) (q+ AnnM ) ⊃ mn với n đủ lớn và q sinh bởi r phần tử nào đó;

(3) q là iđêan tham số của R/(AnnM )

Chứng minh Trước hết ta chứng minhrad(Ann(M/qM )) = rad(q+AnnM )

Ta nhắc lại rằng nếu I là một iđêan của vành R thì

P ⊃ q+ AnnM Như vậy, (*) được chứng minh

Bây giờ ta chứng minh ba điều kiện (1), (2) và (3) là tương đương nhau.(1)⇒(2): Vì q là iđêan tham số của M nên q sinh bởi r phần tử nào đó

(3)⇒ (1): Giả sử q là iđêan tham số của R/AnnM Khi đó q được sinh bởidim R/AnnM = dim M = r phần tử và

mn ⊂ Ann[(R/AnnM )/q(R/AnnM )] = Ann[R/(q+ AnnM )] = q+ AnnMhay m = rad(q + AnnM ) = rad[Ann(M/qM )] Vậy q là một iđêan tham sốcủa M theo Nhận xét 1.4.6

Từ mệnh đề trên ta có hệ quả sau đây

1.4.8 Hệ quả Giả sử dim M = dim R = d Nếu x = {x1, , xd} làmột hệ tham số của vành R thì x cũng là hệ tham số của môđun M NếuAnnM ⊆q = (x1, , xd) thì chiều ngược lại cũng đúng.

Chứng minh Nếu x = {x1, , xd} là một hệ tham số của vành R thì q =(x1, , xd) là một iđêan tham số của vành R Khi đó tồn tại số tự nhiên

n  0 sao cho mn ⊆ q Do đó mn ⊆ q + AnnM và như vậy theo Mệnh đề1.4.7 thì q là iđêan tham số của M

Ngược lại nếu q là iđêan tham số của M, theo Mệnh đề 1.4.7 ta có mn ⊆

q+ AnnM với n  0 Do AnnM ⊆ q nên suy ra mn ⊆ q Do đó q là iđêantham số của vành R và x là một hệ tham số của vành R

1.5 Vành phân bậc

1.5.1 Định nghĩa Ta xem Z như là một nhóm cộng Khi đó một vành giaohoán có đơn vị R được gọi là một vành Z−phân bậc, nếu tồn tại một họ cácnhóm con cộng giao hoán {Rα}α∈Z của vành R thỏa mãn các điều kiện sau:(i) R = L

α∈Z

Rα,(ii) RαRβ ⊂ Rα+β với mọi α, β ∈ Z.

Người ta thường gọi Rα là thành phần bậc α của R và kí hiệu là [R]α.Nếu Rα = 0 với mọi α < 0 khi đó R được gọi là vành phân bậc dương hay

trong đó xα ∈ Rα với mọi α ∈Z.

Mỗi phần tử x ∈ Rα được gọi là phần tử thuần nhất bậc α và kí hiệu bậccủa x là degx = α Phần tử 0được coi là một phần tử thuần nhất bậc tùy ý

1.5.2 Ví dụ Cho K là một trường, ta có vành đa thức R = K[X1, , Xd].Khi đó vành này có thể phân bậc như sau:

(i) Gọi Rn là tập tất cả các đa thức thuần nhất bậc n, tính cả đa thức 0.Khi đó R = L

n≥0

Rn trở thành một vành N− phân bậc Kiểu phân bậc nhưvậy của vành đa thức được gọi là phân bậc chuẩn, hay phân bậc tự nhiên.(ii) Ta biết rằng Nd là một vị nhóm giao hoán với phép cộng Với mỗi

α = (α1, , αd) ∈ Nd, đặt Rα = K[Xα1 Xαd] Khi đó R = L

α∈N d

Rα cũng làmột vành Nd−phân bậc

Như vậy ta thấy rằng trên cùng một vành có thể có nhiều cách phân bậckhác nhau

1.5.3 Mệnh đề Nếu R = L

α∈Z

Rα là một vành Z−phân bậc, thì R0 là mộtvành con của vành R chứa đơn vị, và Rα là các R0−môđun với mọi α ∈ Z.

(i) I = L

α∈Z

(I ∩ Rα).(ii) Với mỗi a ∈ I thì mọi thành phần thuần nhất của a cũng thuộc I.(ii) I sinh bởi các phần tử thuần nhất

1.5.6 Mệnh đề Cho I, J là các iđêan thuần nhất của vành phân bậc R Khi

iđêan sinh bởi các phần tử thuần nhất của I Khi đó nếu I là iđêan nguyên

tố thì I∗ cũng là iđêan nguyên tố

1.5.9 Mệnh đề Vành R = L

α∈Z

Rα Khi đó R là Noether khi và chỉ khi R0

là Noether và R là một R0−đại số hữu hạn sinh

1.6 Vành iđêan hóa

Các kết quả viết trong mục này được tham khảo từ [3]

1.6.1 Định nghĩa Cho R là một vành giao hoán có đơn vị là 1, và M làmột R−môđun Khi đó trên tích Đêcác R × M ta trang bị hai phép toáncộng và nhân như sau:

(r1, m1) + (r2, m2) = (r1 + r2, m1 + m2),(r1, m1)(r2, m2) = (r1r2, r1m2 + r2m1)

với (r1, m1), (r2, m2) ∈ R × M Khi đó R × M với hai phép toán trên lậpthành một vành giao hoán có đơn vị là (1, 0), và được gọi là vành iđêan hóacủa M hoặc là mở rộng tầm thường của R bởi M Ta kí hiệu vành này là

RnM

1.6.2 Nhận xét Phép chiếu chính tắc ρ : R n M → R xác định bởiρ((r, m)) = r và phép nhúng chính tắc σ : R → R n M xác định bởiσ(r) = (r, 0)là các đồng cấu địa phương Do đó ta có thể xem mỗiR−môđunnhư một RnM −môđun và ngược lại, bởi các đồng cấu ρ và σ Đặc biệt, cấutrúc R−môđun cảm sinh bởi đồng cấu hợp thành ρσ chính là cấu trúc banđầu

Định lí sau đây sẽ cho ta thấy được điều kiện cần và đủ để một iđêan củavành RnM có dạng I × N

1.6.3 Định lí Cho I là một iđêan của vành R và N là một môđun con của

M khi đó

(i) I × N là một iđêan của vành RnM khi và chỉ khi IM ⊆ N.

(ii) Giả sửI×N là một iđêan của vành RnM Khi đóM/N làR/I−môđunvà

đó m là iđêan cực đại của vành R

(ii) Mỗi iđêan nguyên tố của vành RnM có dạng p× M, trong đó p làiđêan nguyên tố của vành R

(iii) Mỗi iđêan căn của RnM có dạng I × M, trong đó I là iđêan căn củaR