Iđêan tham số trong vành iđêan hóa

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH HOÀNG ĐỨC HẠNH IĐÊAN THAM SỐ TRONG VÀNH IĐÊAN HÓA LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An - 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH HOÀNG ĐỨC HẠNH IĐÊAN THAM SỐ TRONG VÀNH IĐÊAN HÓA Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS NGUYỄN THỊ HỒNG LOAN Nghệ An - 2015 MỤC LỤC Mục lục Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Iđêan nguyên tố, iđêan cực đại, iđêan nguyên sơ 1.3 Chiều Krull 1.2 Độ dài môđun 1.4 Iđêan tham số hệ tham số 1.5 Vành phân bậc 11 15 1.6 Vành iđêan hóa 17 Iđêan tham số vành iđêan hóa 21 2.1 Iđêan tham số vành iđêan hóa 21 2.2 Iđêan tham số vành iđêan hóa 25 Kết luận 37 Tài liệu tham khảo 38 MỞ ĐẦU Cho R vành giao hoán địa phương Noether với iđêan cực đại m Một iđêan I vành R gọi iđêan m-nguyên sơ I iđêan √ nguyên sơ I = m Do tính cực đại iđêan m nên điều kiện có nghĩa tồn số nguyên n cho I ⊇ mn Giả sử chiều Krull vành R dim R = r Khi r số nguyên bé cho tồn r phần tử x1 , x2 , , xr ∈ m mà (x1 , x2 , , xr )R iđêan m-nguyên sơ Hệ phần tử {x1 , x2 , , xr } xác định gọi hệ tham số vành R Một iđêan q ⊆ R gọi iđêan tham số vành R sinh hệ tham số Như vậy, iđêan q ⊆ R sinh r = dim R phần tử iđêan tham số R (R/q) < ∞, hay cách tương đương, q ⊇ mn với n đủ lớn Cho M R-môđun hữu hạn sinh vành giao hoán địa phương (R, m) Giả sử chiều Krull môđun M dim M = d Khi d số nguyên bé cho tồn d phần tử x1 , x2 , , xd ∈ m mà R (M/(x1 , x2 , , xd )M ) < ∞ Hệ phần tử {x1 , x2 , , xd } xác định gọi hệ tham số môđun M Một iđêan q ⊆ m gọi iđêan tham số môđun M sinh hệ tham số M Vậy iđêan q ⊆ R sinh d = dim M phần tử iđêan tham số môđun M R (M/qM ) < ∞, hay cách tương đương, q + AnnR M ⊇ mn với n đủ lớn Từ ta suy ra: q iđêan tham số R-môđun M q iđêan tham số vành R/AnnR M, AnnR M linh hóa tử M Khái niệm hệ tham số iđêan tham số khái niệm quan trọng Đại số giao hoán Thông qua khái niệm nói lên cấu trúc vành môđun Cho (R, m) vành giao hoán địa phương Noether, M R−môđun hữu hạn sinh Khái niệm iđêan hóa M Nagata đưa năm 1962 [10] sau: tích Đêcac R × M định nghĩa hai phép toán cộng nhân: (r1 , x1 ) + (r2 , x2 ) = (r1 + r2 , x1 + x2 ), (r1 , x1 ).(r2 , x2 ) = (r1 r2 , r1 x2 + r2 x1 ), r1 , r2 ∈ R, x1 , x2 ∈ M ; với hai phép toán R × M trở thành vành ký hiệu R M vành gọi iđêan hóa M vành R Vành iđêan hóa R M vành giao hoán địa phương Noether với iđêan cực đại m × M Phép chiếu tắc ρ : R M → R, ρ((a, x)) = a phép nhúng tắc σ : R → R M, σ(a) = (a, 0) làm cho môđun vành R xem môđun vành iđêan hóa R M ngược lại môđun vành iđêan hóa R M xem môđun vành R Hơn nữa, ta có đơn cấu : M → R M, (x) = (0, x) Do coi M iđêan vành iđêan hóa Như thuật ngữ iđêan hóa môđun M hiểu biến môđun M thành iđêan vành iđêan hóa R M Cho I iđêan vành R, M R−môđun, N môđun M Khi I × N iđêan vành R M IM ⊆ N Trong [6], Huckaba cho iđêan vành R M có dạng I × N Tuy nhiên, D Anderson M Winders [3] iđêan R M có dạng I × N Do đó, D Anderson M Winders [3] coi vành iđêan hóa R M vành phân bậc họ chứng minh iđêan vành iđêan hóa R M có dạng I × N iđêan Cho Q iđêan vành R M Đặt q := ρ(Q) Khi Q m × M - nguyên sơ q m-nguyên sơ Như nói phần đầu, iđêan tham số vành R M iđêan m × M -nguyên sơ Tuy nhiên điều ngược lại nói chung không đúng, nghĩa iđêan m × M -nguyên sơ iđêan tham số vành iđêan hóa R M Theo hiểu biết chưa có tài liệu viết đầy đủ hệ tham số iđêan tham số vành iđêan hóa Vì vậy, luận văn trình bày số kết iđêan tham số vành iđêan hóa Đặc biệt đưa câu trả lời cho câu hỏi mà tiếp cận vấn đề là: Mọi iđêan tham số vành iđêan hóa R M có dạng q × qM (Định lí 2.2.10) Trong luận văn phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, trình bày nội dung luận văn thành hai chương Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương trình bày kiến thức đại số giao hoán sở nhằm hỗ trợ trình theo dõi luận văn, bao gồm: Iđêan nguyên tố, iđêan cực đại, iđêan nguyên sơ; Độ dài môđun; Chiều Krull; Vành phân bậc; Iđêan tham số hệ tham số; Vành iđêan hóa Chương 2: Iđêan tham số vành iđêan hóa Trong chương trình bày kết đạt trình nghiên cứu, bao gồm: 2.1 Iđêan tham số vành iđêan hóa; 2.2 Iđêan tham số vành iđêan hóa Luận văn hoàn thành Trường Đại học Vinh hướng dẫn tận tình, chu đáo cô giáo TS Nguyễn Thị Hồng Loan Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô giáo TS Nguyễn Thị Hồng Loan tận tình hướng dẫn, động viên tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập làm đề tài Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo Bộ môn Đại số, thầy cô giáo Khoa Toán trực tiếp giảng dạy lớp Cao học Đại số; Tác giả xin cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa, thầy cô giáo Khoa Sư phạm Toán, Phòng Đào tạo Sau đại học, Trường Đại học Vinh Tác giả xin gửi lởi cảm ơn sâu sắc tới gia đình tập thể lớp cao học toán khóa 21 động viên, tạo điều kiện để tác giả hoàn thành khóa học Nghệ An, tháng 09 năm 2015 Tác giả CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Iđêan nguyên tố, iđêan cực đại, iđêan nguyên sơ 1.1.1 Định nghĩa Cho I = R iđêan vành R Khi (i) I gọi iđêan nguyên tố ∀x, y ∈ R mà xy ∈ I x ∈ /I y ∈ I (ii) I gọi iđêan nguyên sơ ∀x, y ∈ R mà xy ∈ I x ∈ / I tồn số tự nhiên n cho y n ∈ I (iii) I gọi iđêan cực đại không tồn iđêan J = R mà I J 1.1.2 Mệnh đề Cho I iđêan vành R Khi đó: (i) I iđêan nguyên tố R/I miền nguyên; (ii) I iđêan cực đại R/I trường 1.1.3 Nhận xét Nếu q iđêan nguyên sơ rad(q) = p iđêan nguyên tố Khi ta nói q iđêan p-nguyên sơ Điều ngược lại không đúng, nghĩa là, rad(q) iđêan nguyên tố q iđêan nguyên sơ Tuy nhiên rad(q) = m iđêan cực đại điều ngược lại đúng, nghĩa là, q iđêan m−nguyên sơ 1.2 Độ dài môđun 1.2.1 Định nghĩa Một dãy hợp thành R− môđun M dãy giảm gồm số hữu hạn môđun con: M = M0 ⊃ M1 ⊃ ⊃ Mn = cho Mi /Mi+1 , (0 ≤ i ≤ n − 1) môđun đơn (môđun đơn môđun có hai môđun nó) Khi số n gọi độ dài dãy hợp thành Theo Định lí Jordan-Holder, môđun M có dãy hợp thành tất dãy hợp thành M có độ dài Khi độ dài chung dãy hợp thành M gọi độ dài môđun M , kí hiệu R (M ) dài Nếu R−môđun M dãy hợp thành ta quy ước độ R (M ) = ∞ 1.2.2 Định lí Cho R vành Noether M R−môđun hữu hạn sinh Khi khẳng định sau tương đương: (1) R (M ) < ∞; (2) Mỗi P ∈ AssR (M ) iđêan cực đại; (3) Mỗi P ∈ SuppR (M ) iđêan cực đại Chứng minh (1)⇒(2): Giả sử R (M ) < ∞ có chuỗi không thiết chuỗi hợp thành M là: M = M0 ⊃ M1 ⊃ ⊃ Mn = {0} cho Mi−1 /Mi ∼ = R/Pi Pi iđêan nguyên tố (1 ≤ i ≤ n) AssR (M ) ⊂ {P1 , , Pn } Do R (M ) hữu hạn nên R (Mi−1 /Mi ) = R (R/Pi ) hữu hạn (do định định lí tính cộng tính độ dài) Suy R/Pi miền nguyên Artin Xét phần tử = x ∈ R/Pi ta có dãy giảm iđêan R/Pi (x)n với n ≥ Mà R/Pi Artin nên tồn t ∈ N∗ cho (x)t+1 = (x)t Điều dẫn đến tồn y ∈ R/Pi cho xt = y.xt+1 , lại R/Pi miền nguyên nên ta thực luật giản ước tức = y.x hay x khả nghịch, suy R/Pi trường Từ suy Pi iđêan cực đại với i = n Do iđêan nguyên tố thuộc AssR (M ) cực đại (2)⇒(3): Ta biết phần tử cực tiểu hai tập AssR (M ) SuppR (M ) nhau, phần tử cực tiểu tập SuppR (M ) cực đại Do với P ∈ SuppR (M ) iđêan cực đại (3)⇒(1): Ta có M hữu hạn sinh R Noether nên tồn chuỗi hữu hạn M = M0 ⊃ M1 ⊃ ⊃ Mn = {0} cho Mi−1 /Mi ∼ = R/Pi Pi iđêan nguyên tố (1 ≤ i ≤ n) SuppR (M ) ⊃ {P1 , , Pn } Do Pi cực đại nên R/Pi môđun đơn (1 ≤ i ≤ n) Và Mi−1 /Mi môđun đơn hay: M = M0 ⊃ M1 ⊃ ⊃ Mn = {0} chuỗi hợp thành M Tức 1.3 R (M ) < ∞ Chiều Krull 1.3.1 Định nghĩa Cho R vành Khi xích iđêan nguyên tố vành R dãy hữu hạn tăng thực iđêan nguyên tố R có dạng p0 ⊂ p1 ⊂ ⊂ pn , pi = pi−1 , ∀i = 1, , n Số nguyên n gọi độ dài xích Chiều Krull vành R cận tất độ dài xích iđêan nguyên tố vành R kí hiệu dim R 1.3.2 Định nghĩa Cho p iđêan nguyên tố vành R Khi dimRp gọi độ cao p kí hiệu ht(p) Và dim(R/p) gọi đối chiều cao p, kí hiệu coht(p) Với iđêan I vành R chiều cao I xác định ht(I) = Inf{ht(p)|p ⊃ I}, đối chiều cao I coht(I) = sup{coht(p)|p ⊃ I} 25 Q sinh d phần tử nên Q iđêan tham số vành R M Phát biểu thứ hai suy từ Nhận xét 2.1.5 Chú ý rằng, không giả thiết Q sinh d phần tử chiều ngược lại Hệ 2.1.6 nói chung không đúng, ta giả thiết Q sinh số phần tử tổi thiểu d + phần tử có dạng (a1 , x1 ), , (ad , xd ), (0, xd+1 ) ta chọn cho a1 , , ad hệ tham số vành R lúc Q không iđêan tham số vành R M số phần tử sinh tối tiểu lớn d 2.2 Iđêan tham số vành iđêan hóa Cho I iđêan vành R, M R−môđun, N môđun M Khi I × N iđêan vành R M IM ⊆ N Trong [6], Huckaba cho iđêan vành R M có dạng I × N Tuy nhiên, D Anderson M Winders [3] iđêan R M có dạng I × N Do đó, D Anderson M Winders [3] coi vành iđêan hóa R M vành phân bậc với (R M )0 = R × 0, (R M )1 = × M (R M )i = 0, ∀i ≥ Họ chứng minh iđêan vành iđêan hóa R M có dạng I × N iđêan Mệnh đề sau điều kiện cần đủ để iđêan vành iđêan hóa 2.2.1 Mệnh đề Cho Q iđêan vành R M sinh phần tử (a1 , x1 ), , (an , xn ) Đặt q = ρ(Q), Q iđêan q × qM ⊆ Q Chứng minh (⇒:) Giả sử Q iđêan nhất, theo Định lý 1.6.7, Q có dạng I × N , ta dễ thấy I = ρ(Q) = q Theo Định lý 1.6.3 ta có qM ⊆ N q × qM ⊆ Q 26 (⇐:) Vì q × qM iđêan nên (ai , 0) ∈ q × qM ⊆ Q, ∀i = 1, , n Do ta có (0, xi ) = (ai , xi ) − (ai , 0) ∈ Q, ∀i = 1, , n Đặt N = {x ∈ M |∃a ∈ q cho (a, x) ∈ Q} Bây ta chứng minh N môđun môđun M Thật vậy, ∀x, y ∈ N, ∀r ∈ R tồn a, b ∈ q cho (a, x), (b, y) ∈ Q Do (a + b, x + y) ∈ Q nên x + y ∈ N Lại (ra, rx) = (a, x)(r, 0) ∈ Q nên rx ∈ N Vậy N môđun môđun M Mặt khác, với x ∈ qM ta có (0, x) ∈ q × qM ⊆ Q nên suy qM ⊆ N Do q × N iđêan vành R M Dễ thấy Q ⊆ q ×N Bây ta cần chứng minh q ×N ⊆ Q Trước hết ta chứng minh ∀x ∈ N (0, x) ∈ Q Thật vậy, x ∈ N nên tồn a ∈ q cho (a, x) ∈ Q Mặt khác ta có (a, 0) ∈ q × qM ⊆ Q nên suy (0, x) = (a, x) − (a, 0) ∈ Q Như với phần tử (b, y) ∈ q × N ta có (b, 0), (0, y) ∈ Q (b, 0) + (0, y) = (b, y) ∈ Q Suy q × N ⊆ Q Vậy q × N = Q Q iđêan Với n = d = dim R, mệnh đề cho ta hệ sau 2.2.2 Hệ Cho Q iđêan tham số vành R M Khi Q iđêan tham số ρ(Q) × ρ(Q)M ⊆ Q Mệnh đề sau cho ta thấy tồn iđêan tham số vành R M 2.2.3 Mệnh đề Giả sử Q iđêan tham số vành R tồn iđêan tham số R M Khi đó, M chứa Q Chứng minh Giả sử Q sinh sinh hệ tham số (a1 , x1 ), , (ad , xd ) Khi theo Định lí 2.1.4 (a1 , , ad ) hệ tham số vành R Do (ai , 0) ∈ m × M với i = 1, , d Q iđêan m × M −nguyên sơ nên với i = 1, , d tồn ni ∈ N cho (ai , 0)ni = (ani i , 0) ∈ Q 27 Gọi Q0 iđêan sinh phần tử (an1 , 0), , (and d , 0) Q0 iđêan vành R M Q0 sinh phần tử Bây ta chứng minh Q0 iđêan tham số vành R M Trước hết ta cần chứng minh (an1 , , and d ) hệ tham số vành R Thật vậy, ta chứng minh điều quy nạp theo d Với d = 1, xét dãy khớp → R/a1 R → R/a21 R → R/a1 R → Suy (R/a21 R) ≤ (R/a1 R) Tương tự dẫn đến (R/an1 R) ≤ n1 (R/a1 R) Bây ta giả sử d > Đặt E = R/an1 R F = R/(a2 , , ad )R Khi theo giả thiết quy nạp ta có (R/(an1 , , and d )R) = (E/(an2 , , and d )E) ≤ n2 nd (E/(a2 , , ad )E) = n2 nd (F/an1 F ) ≤ n1 n2 nd (R/(a1 , , ad )R) < +∞ Vậy (an1 , , and d ) hệ tham số vành R Do theo Định lí 2.1.4 (an1 , 0), , (and d , 0) hệ tham số Q0 iđêan tham số vành R M Do (ani i , 0) ∈ Q, ∀i = 1, , d nên Q0 ⊆ Q Vậy Q0 iđêan tham số chứa Q 2.2.4 Bổ đề Cho q = (a1 , , an ) iđêan vành R sinh phần tử a1 , , an Khi (a1 , 0), , (an , 0) hệ sinh iđêan q × qM Chứng minh Gọi Q iđêan R M sinh phần tử (a1 , 0), , (an , 0) Ta cần chứng minh Q = q × qM Trước hết ta chứng minh q × qM ⊆ Q Thật vậy, ∀(a, x) ∈ q × qM ta có a ∈ q x ∈ qM nên tồn ri ∈ R, yi ∈ M, i = 1, , n, cho 28 a = a1 r1 + + an rn , x = a1 y1 + + an yn Khi (a, x) = (a1 r1 + + an rn , a1 y1 + + an yn ) = (a1 r1 , a1 y1 ) + + (an rn , an yn ) = (a1 , 0)(r1 , y1 ) + + (an , 0)(rn , yn ) ∈ Q Vậy suy (a, x) ∈ Q hay q × qM ⊆ Q Mặt khác, ∈ q, ∀i = 1, , n ∈ qM nên (ai , 0) ∈ q × qM, ∀i = 1, , n Vậy phần tử sinh Q thuộc q × qM nên Q ⊆ q × qM Vậy Q = q × qM Bổ đề chứng minh Từ chứng minh Bổ đề ta có hệ sau 2.2.5 Hệ Mọi iđêan vành R M sinh phần tử (a1 , 0), , (an , 0) có dạng q × qM , q iđêan sinh phần tử a1 , , an 2.2.6 Bổ đề Giả sử q × N iđêan vành R M sinh phần tử (a1 , x1 ), , (ad , xn ) Khi q × N = q × qM xi ∈ qM, ∀i = 1, , n Chứng minh (⇒: ) Giả sử q × N = q × qM Khi (ai , xi ) ∈ q × qM nên suy xi ∈ qM, ∀i = 1, , n (⇐: ) Giả sử xi ∈ qM, ∀i = 1, , n Khi (0, xi ) ∈ q × qM Mặt khác, ρ(q × N ) = q, áp dụng Bổ đề 2.1.2 ta có q = (a1 , , an ) Vì vậy, theo Bổ đề 2.2.4, (a1 , 0), , (ad , 0) hệ sinh q × qM Do (ai , xi ) = (ai , 0) + (0, xi ) ∈ q × qM, ∀i =, , n Như phần tử sinh q × N thuộc q × qM nên q × N ⊆ q × qM suy N ⊆ qM Lại q × N nên qM ⊆ N Vậy N = qM hay q × N = q × qM Cho Q iđêan vành R M Ta kí hiệu NQ = {x ∈ M |∃a ∈ R, (a, x) ∈ Q}; NQo = {x ∈ M |(0, x) ∈ Q} Khi dễ dàng kiểm tra NQ NQo môđun M Mệnh đề sau điều kiện cần để iđêan vành iđêan hóa 29 2.2.7 Mệnh đề Cho Q iđêan vành R M Khi NQo = NQ Q iđêan Chứng minh Giả sử iđêan Q sinh phần tử (a1 , x1 ), , (an , xn ) Khi đó, (ai , xi ) ∈ Q nên xi ∈ NQ Mặt khác NQo = NQ nên (0, xi ) ∈ Q Suy (ai , xi ) − (0, xi ) = (ai , 0) ∈ Q, ∀i = 1, , n Theo Bổ đề 2.1.2, a1 , , an hệ sinh iđêan ρ(Q) Vì theo Bổ đề 2.2.4 ta có (a1 , 0), , (an , 0) hệ sinh iđêan ρ(Q) × ρ(Q)M Do ρ(Q) × ρ(Q)M ⊆ Q phần tử sinh ρ(Q) × ρ(Q)M thuộc Q Vì vậy, theo Hệ 2.2.2 Q iđêan vành R 2.2.8 Mệnh đề Nếu iđêan sinh phần tử (a, x) ∈ R M M với a = có dạng (a) × aM Chứng minh Gọi Q iđêan R M sinh phần tử (a, x) Vì Q nên (0, x) ∈ Q, tồn (r, y) ∈ R M cho (0, x) = (a, x)(r, y) = (ar, ay + rx) Suy ar = x = ay + rx Nếu a không ước không r = 0, x = ay x ∈ aM Giả sử a ước không Khi r = tương tự ta có x ∈ aM Nếu r = r ước không vành R r không khả nghịch r khả nghịch tồn r ∈ R cho rr = Điều mâu thuẫn a = a1 = a(rr ) = (ar)r = 0r = Vì R vành địa phương với iđêan cực đại m r không khả nghịch nên r ∈ m Từ suy − r ∈ / m hay − r khả nghịch Do từ x = ay + rx suy (1 − r)x = ay Điều kéo theo x = a((1 − r)−1 y) ∈ aM Như vậy, trường hợp Q = (a, x) iđêan ta có x ∈ aM Do theo Bổ đề 2.2.6 Q = (a) × aM 2.2.9 Bổ đề Cho Q iđêan tham số vành R M sinh hệ tham số (a1 , x1 ), , (ad , xd ) với d > Khi không tồn d − phần tử 30 rj ∈ R, j = i cho = a1 r1 + + ai−1 ri−1 + ai+1 ri+1 + + ad rd Chứng minh Vì Q iđêan tham số vành R M nên theo Hệ 2.1.6, q = ρ(Q) iđêan tham số vành R sinh hệ tham số (a1 , , ad ) Ta đặt qi = (a1 , , ai−1 , ai+1 , , ad ) qi ⊆ q Giả sử tồn phần tử rj ∈ R, j = i mà = a1 r1 + + ai−1 ri−1 + ai+1 ri+1 + + ad rd Khi ∈ qi nên suy phần tử sinh q thuộc qi q ⊆ qi Vậy suy q = qi Mặt khác q iđêan tham số vành R với dimR = d nên hệ sinh q có số phần tử lớn d Do ta có mâu thuẫn q sinh d − phần tử Vậy không tồn phần tử thuộc R cho = a1 r1 + + ai−1 ri−1 + ai+1 ri+1 + + ad rd Rõ ràng iđêan tham số vành R M có dạng q × qM Vấn đề ngược lại, liệu iđêan tham số vành R M có dạng q × qM hay không? Định lý sau kết tiết đưa câu trả lời cho câu hỏi vừa nêu 2.2.10 Định lí Mọi iđêan tham số Q vành R M có dạng q × qM Trong q = ρ(Q) iđêan tham số vành R Chứng minh Giả sử d = Khi tồn phần tử (a, x) ∈ R M cho Q iđêan sinh phần tử (a, x) Ta có a = a = q = ρ(Q) = mâu thuẫn với dim R = Khi Q nên theo Mệnh đề 2.2.8 ta có Q = (a) × aM Giả sử d > Q sinh hệ tham số (a1 , x1 ), , (ad , xd ) 31 Đặt Q1 = ((a1 , 0), (a2 , x2 ), , (ad , xd )) Do Q nên (a1 , 0) ∈ Q, suy Q1 ⊆ Q Mặt khác, Q nên (0, x1 ) ∈ Q tồn (ri1 , yi1 ) ∈ R M, ∀i = 1, , d cho d (ai , xi )(ri1 , yi1 ) (0, x1 ) = i=1 d (ai ri1 , yi1 + ri1 xi ) = i=1 d d rd1 , =( i=1 Từ  đây1 suy  a1 r1 + + ad rd1 = d  x1 = i=1 yi1 + d i=1 ri1 xi ⇔ d yi1 ri1 xi ) + i=1 i=1   −a1 r11 = a2 r21 + + ad rd1  (1 − r11 )x1 = d i=1 yi1 + d i=2 ri1 xi Nếu r11 khả nghịch tồn r cho −r11 r = tức a1 = r (a2 r21 ) + + r (ad rd1 ), điều mâu thuẫn với Bổ đề 2.2.9 Như r11 không khả nghịch, suy (1 − r11 ) khả nghịch Do tồn b ∈ R cho b(1 − r11 ) = d hay x1 = i=1 Đặt t1i = b(ai yi1 ) + d b(ri1 xi ) i=2 = byi1 ta có (a1 , 0)(t11 , z11 ) + (a2 , x2 )(t12 , z21 ) + + (ad , xd )(t1d , zd1 ) d d d 1 =( ti , zi + t1i xi ) i=1 i=1 i=2 d d d 1 = (b ri , b( yi ) + b( ri1 xi )) i=1 i=1 i=2 bri1 ; zi1 = (0, x1 ) Vậy (0, x1 ) ∈ Q1 Và (a1 , 0) ∈ Q1 nên ta có (a1 , 0) + (0, x1 ) = (a1 , x1 ) ∈ Q1 Như vậy, phần tử sinh Q thuộc Q1 nên Q ⊆ Q1 Do Q1 = Q hay Q = ((a1 , 0), (a2 , x2 ), , (ad , xd )) 32 Chứng minh tương tự ta có Q = ((a1 , 0), , (ad−1 , 0), (ad , xd )) Bây ta chứng minh xd ∈ qM Thật vậy, Q nên (0, xd ) ∈ Q tồn (rid , yid ) ∈ R M, ∀i = 1, , n cho d−1 (ai , 0)(rin , yid ) + (ad , xd )(rdd , ydd ) (0, xd ) = i=1 d−1 (ai rid , yid ) + (ad rdd , ad ydd + rdd xd ) = i=1 d d rid , =( i=1 yid + rid xd ) i=1 Điều tương đương với   d d  a1 r1 + + ad rdd =  −ad rdd = a1 r1d + + ad−1 rd−1 d d ⇔ d d d x = a y + r x )x = yid (1 − r  d  i i d d d d i=1 Nếu rdd i=1 khả nghịch tồn r ∈ R cho −rdd r = tức d d ad = r (a1 r1d ) + + r (ad−1 rd−1 ) = (r r1d )a1 + + (r rd−1 )ad−1 Điều mâu thuẫn với Bổ đề 2.2.9 Vậy rdd không khả nghịch nên (1 − rdd ) khả nghịch Khi tồn c ∈ R cho c(1 − rdd ) = tức d yid xd = c i=1 Vì ∈ q nên xd ∈ qM Theo Bổ đề 2.2.6 ta có Q có dạng q × qM Hệ sau suy trực tiếp từ Định lí 2.2.10 2.2.11 Hệ Cho q iđêan vành R N môđun môđun M Khi q × N iđêan tham số vành R q iđêan tham số vành R N = qM M 33 Ta nhắc lại rằng, vành (R, m) với dimR = d gọi vành địa phương qui tồn hệ sinh m gồm d phần tử Như R vành địa phương qui iđêan cực đại iđêan tham số Từ định lý ta có hệ sau 2.2.12 Hệ R M vành địa phương quy R vành địa phương quy M = Chứng minh (⇒:) Giả sử R M vành địa phương quy Khi m × M iđêan tham số vành R M Do theo Hệ 2.1.6 ρ(m × M ) = m iđêan tham số vành R Suy R vành quy Mặt khác, mM ⊆ M nên m × M iđêan tham số Do theo Định lý 2.2.10 m × M = m × mM Từ ta có mM = M Suy M = Bổ đề Nakayama (⇐): Giả sử R vành địa phương quy M = Khi R M ∼ =R nên ta có điều cần chứng minh 2.2.13 Hệ Nếu tồn iđêan tham số vành R M có dạng q × M , q iđêan tham số vành R M = Chứng minh Giả sử tồn iđêan tham số vành R M có dạng q × M , q iđêan tham số vành R Do qM ⊆ M nên q × M iđêan tham số Theo Định lý 2.2.10 q × M = q × qM Điều có nghĩa qM = M Do theo Bổ đề Nakayama M = 2.2.14 Nhận xét Định lí 2.2.10 cho thấy vành địa phương Noether R M iđêan tham số có dạng q × qM Một câu hỏi đặt liệu iđêan vành R M có dạng q × qM hay không? Để trả lời câu hỏi ta xét ví dụ sau: Cho M = Đặt q = AnnR (M ) chọn phần tử = x ∈ M Bây ta xây dựng iđêan vành R M dạng q × qM Thật vậy, R vành Noether nên iđêan hữu hạn 34 sinh Như ta giả sử a1 , , ar hệ sinh iđêan q Đặt Q = ((a1 , 0), , (ar , 0), (0, x)) dễ thấy Q iđêan vành R M (vì sinh phần tử nhất) Do q = AnnR (M ) nên qM = Suy x ∈ / qM x = Do theo Bổ đề 2.2.6 Q dạng q × qM Cho Q iđêan vành R M Theo Nhận xét 2.1.3 số phần tử sinh tối tiểu Q lớn số phần tử sinh tối tiểu ρ(Q), ρ : R M → R phép chiếu tắc xác định Nhận xét 1.6.2 Sau điều kiện để iđêan vành iđêan hóa R M có dạng q × qM 2.2.15 Mệnh đề Giả sử M = Q iđêan vành R M Khi Q có dạng q × qM số phần tử sinh tối tiểu Q số phần tử sinh tối tiểu ρ(Q), ρ : R M → R phép chiếu tắc Chứng minh (⇒): Giả sử Q có dạng q × qM Ta giả sử số phần tử sinh tối tiểu ρ(Q) n tức tồn a1 , , an ∈ R cho ρ(Q) = (a1 , , an ) Mặt khác Q có dạng q × qM nên theo Bổ đề 2.2.4 suy (a1 , 0), , (an , 0) hệ sinh Q Vậy suy số phần tử sinh tối tiểu Q phải bé n Do Nhận xét 2.1.3 số phần tử sinh Q lớn n Vậy suy số phần tử sinh tối tiểu Q số phần tử sinh tối tiểu ρ(Q) n (⇐): Giả sử số phần tử sinh tối tiểu Q số phần tử sinh tối tiểu ρ(Q) n Khi ta giả sử (a1 , x1 ), , (an , xn ) hệ sinh tối tiểu Q mặt khác a1 , , an hệ sinh ρ(Q) nên suy a1 , , an hệ sinh tối tiểu ρ(Q), tức = a1 r1 + ai−1 ri−1 + ai+1 ri+1 + an rn , ∀rj ∈ R (*) Bây ta chứng minh hoàn toàn tương tự chứng minh Định lý 2.2.10 35 sử dụng (*) thay Bổ đề 2.2.9, ta suy Q có dạng q × qM Trong [3, Corollary 3.4], D Anderson M Winders R miền nguyên iđêan vành R M M môđun chia Với giả thiết R miền nguyên Noether địa phương M = R-môđun hữu hạn sinh, mệnh đề sau vành iđêan hóa R M tồn iđêan không 2.2.16 Mệnh đề Giả sử R miền nguyên Noether địa phương M = R-môđun hữu hạn sinh Khi vành R M tồn iđêan không Chứng minh Ta chứng minh phản chứng Giả sử ngược lại, iđêan vành R M Theo [3, Corollary 3.4], điều tương đương với M môđun chia Vì R M vành địa phương Noether nên theo Mệnh đề 2.2.3, tồn iđêan tham số R M , theo Định lý 2.2.10 ta giả thiết q × qM iđêan tham số vành R M, q iđêan tham số vành R Mặt khác R miền nguyên nên ∃0 = a ∈ q không ước 0, với x ∈ M tồn y ∈ M cho ay = x (vì M chia được) tức aM = M Suy qM = M Như tồn iđêan tham số vành R M có dạng q × M nên theo Hệ 2.2.13 ta có M = Điều mâu thuẫn với giả thiết M = Vì vậy, ta có điều phải chứng minh Ở Mệnh đề 2.2.16 ta không đòi hỏi R miền nguyên liệu không? Ta có định lí sau 2.2.17 Định lí Các phát biểu sau tương đương: (i) Mọi iđêan vành R M nhất; (ii) Mọi iđêan tham số vành R (iii) M = M nhất; 36 Chứng minh (i) =⇒ (ii) (iii) =⇒ (i) hiển nhiên Bây ta chứng minh (ii) =⇒ (iii) Giả sử q iđêan tham số vành R sinh hệ tham số (a1 , , ad ) Ta chứng minh qM = M Xét phần tử x ∈ M bất kỳ, ta cần chứng minh x ∈ qM Đặt Q = ((a1 , x), (a2 , 0), , (ad , 0)) Theo Định lí 2.1.4 Q iđêan tham số vành R giả thiết (ii), iđêan tham số vành R M Mặt khác M nên Q Do theo Định lý 2.2.10 Q = q × qM Theo Bổ đề 2.2.6 điều tương đương với x ∈ qM Như M ⊆ qM suy M = qM Như vành R M tồn iđêan tham số có dạng q × M nên theo Hệ 2.2.13 M = Ta có điều phải chứng minh Từ Định lý 2.2.17 Định lý 1.6.9 ta có hệ sau 2.2.18 Hệ Giả sử R miền nguyên địa phương Noether M R-môđun hữu hạn sinh Khi M môđun chia M = Ta biết môđun nội xạ chia từ hệ ta suy không tồn môđun nội xạ hữu hạn sinh miền nguyên địa phương Noether 37 KẾT LUẬN Luận văn tập trung nghiên cứu iđêan tham số, đặc biệt iđêan tham số vành iđêan hóa Trong luận văn hoàn thành việc sau Trình bày số kiến thức sở Đại số giao hoán nhằm theo dõi nội dung luận văn (Chương 1) Chứng minh mối liên hệ hệ tham số, iđêan tham số vành R vành iđêan hóa R M (Định lí 2.1.4, Hệ 2.1.6) Mô tả iđêan tham số vành iđêan hóa R M (Định lí 2.2.10) số hệ từ kết (các hệ 2.2.11, 2.2.12, 2.2.13) Đưa điều kiện cần đủ để iđêan vành R M có dạng q × qM , với q iđêan vành R (Mệnh đề 2.2.15) Mô tả tính chất môđun M iđêan tham số vành R M (Định lí 2.2.17) Từ suy môđun hữu hạn sinh M = miền nguyên địa phương Noether không chia (Hệ 2.2.18) 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Lê Như Hảo (2014), Một số tính chất vành iđêan hóa, Luận văn thạc sĩ toán học, Trường ĐH Vinh [2] Hoàng Văn Thông (2014), Iđêan vành iđêan hóa, Luận văn thạc sĩ toán học, Trường ĐH Vinh Tiếng Anh [3] D D Anderson and M Winders (2009), Idealization of a module, J Commut Algebra, 1: 3-56 [4] M F Atiyah and I G Macdonald (1969), Introduction to commutative Algebra, Reading, Mass [5] D Eisenbud (1995), Commutative algebra with a view toward algebraic geometry, GTM 150, Springer-Verlag [6] J A Huckaba (1988), Commutative rings with zero divisors, Monographs and Text-books in Pure and Applied Mathematics 117, Marcel Dekker, Inc., New York [7] N T H Loan (2014), Pseudo Buchsbaumness for idealizations of Noetherian modules over local rings, Journal of Algebra and Its Applications Vol 13, No 2: 1350084 pp 1-8 39 [8] N T H Loan and N Q Chinh (2013), Idealizations of pseudo Buchsbaum modules over a pseudo Buchsbaum ring, Bull Korean Math Soc 50, No 5, pp 1523-1530 [9] H Matsumura (1980), Commutative algebra (second edition), Benjamin/ Cummings Publishing Co., Inc., Reading, Mass [10] Nagata (1962), Local rings, Tracts in Pure and Appl Math., No 13 (Interscience) [11] K Yamagishi (1988), Idealizations of maximal Buchsbaum modules over a Buchsbaum ring, Math Proc Camb Phil Soc., 104: 451-478 [...]... là một hệ tham số của vành R M với mọi xi ∈ M, i = 1, , d Từ Định lí 2.1.4 ta có hệ quả sau 2.1.6 Hệ quả Cho Q là một iđêan của vành iđêan hóa R d = dim R phần tử Khi đó Q là một iđêan tham số của vành R M sinh bởi M nếu và chỉ nếu ρ(Q) là iđêan tham số của vành R Đặc biệt nếu dimR = dimM thì ρ(Q) cũng là iđêan tham số của môđun M Chứng minh Nếu Q là một iđêan tham số của vành iđêan hóa R M thì... Nakayama (⇐): Giả sử R là vành địa phương chính quy và M = 0 Khi đó R M ∼ =R nên ta có điều cần chứng minh 2.2.13 Hệ quả Nếu tồn tại một iđêan tham số của vành R M có dạng q × M , trong đó q là một iđêan tham số của vành R thì M = 0 Chứng minh Giả sử tồn tại một iđêan tham số của vành R M có dạng q × M , trong đó q là một iđêan tham số của vành R Do qM ⊆ M nên q × M là iđêan tham số thuần nhất Theo Định... iđêan thuần nhất Với n = d = dim R, mệnh đề trên cho ta ngay hệ quả sau đây 2.2.2 Hệ quả Cho Q là một iđêan tham số của vành R M Khi đó Q là iđêan tham số thuần nhất nếu và chỉ nếu ρ(Q) × ρ(Q)M ⊆ Q Mệnh đề sau đây cho ta thấy được sự tồn tại iđêan tham số thuần nhất trong vành R M 2.2.3 Mệnh đề Giả sử Q là một iđêan tham số của vành R luôn tồn tại iđêan tham số thuần nhất của R M Khi đó, M chứa trong. .. đủ để mọi iđêan trong vành R M là thuần nhất được thể hiện trong định lí sau đây 1.6.9 Định lí (i) Mọi iđêan trong vành R nếu mọi iđêan chính của vành R M đều thuần nhất nếu và chỉ M đều thuần nhất (ii) Nếu R là một miền nguyên thì mọi iđêan của vành R nhất nếu và chỉ nếu M là chia được M đều thuần 21 CHƯƠNG 2 IĐÊAN THAM SỐ TRONG VÀNH IĐÊAN HÓA Trong chương này ta luôn ký hiệu (R, m) là một vành giao... một hệ tham số của vành R thì x cũng là hệ tham số của môđun M Nếu AnnM ⊆ q = (x1 , , xd ) thì chiều ngược lại cũng đúng Chứng minh Nếu x = {x1 , , xd } là một hệ tham số của vành R thì q = (x1 , , xd ) là một iđêan tham số của vành R Khi đó tồn tại số tự nhiên 0 sao cho mn ⊆ q Do đó mn ⊆ q + AnnM và như vậy theo Mệnh đề n 1.4.7 thì q là iđêan tham số của M Ngược lại nếu q là iđêan tham số của... là iđêan tham số của vành R M vì số phần tử sinh tối tiểu của nó lớn hơn d 2.2 Iđêan tham số thuần nhất trong vành iđêan hóa Cho I là một iđêan của vành R, M là một R−môđun, N là một môđun con của M Khi đó I × N là iđêan của vành R M khi và chỉ khi IM ⊆ N Trong [6], Huckaba cho rằng mỗi iđêan của vành R M đều có dạng I × N Tuy nhiên, D Anderson và M Winders [3] đã chỉ ra rằng không phải iđêan nào... của ρ(Q) Như vậy suy ra số phần tử sinh tối tiểu của ρ(Q) bé hơn hoặc bằng n Định lí sau chỉ ra một mối liên hệ giữa một hệ tham số của vành iđêan hóa R M và một hệ tham số của vành R 2.1.4 Định lí Cho s = {(a1 , x1 ), , (ad , xd )} ⊆ R M Khi đó s là một hệ tham số của vành iđêan hóa R M khi và chỉ khi a = {a1 , , ad } là một hệ tham số của vành R Chứng minh Gọi Q là iđêan của R M sinh bởi các... tham số của vành iđêan hóa R M thì tồn tại một hệ tham số (a1 , x1 ), , (ad , xd ) của vành iđêan hóa R M là hệ sinh của Q Mặt khác ta có ρ(Q) là iđêan sinh bởi các phần tử a1 , , ad nên theo Định lí 2.1.4 thì {a1 , , ad } là một hệ tham số của vành R do đó ρ(Q) là một iđêan tham số của vành R Ngược lại, giả sử ρ(Q) là một iđêan tham số của vành R khi đó ρ(Q) là m−nguyên sơ, nên theo Mệnh đề... + ad rd Rõ ràng mỗi iđêan tham số của vành R M có dạng q × qM đều thuần nhất Vấn đề ngược lại, liệu mỗi iđêan tham số thuần nhất của vành R M có dạng q × qM hay không? Định lý sau đây là kết quả chính của tiết này đưa ra câu trả lời cho câu hỏi vừa nêu 2.2.10 Định lí Mọi iđêan tham số thuần nhất Q của vành R M đều có dạng q × qM Trong đó q = ρ(Q) là một iđêan tham số của vành R Chứng minh Giả sử... quả Cho q là iđêan của vành R và N là một môđun con của môđun M Khi đó q × N là iđêan tham số thuần nhất của vành R và chỉ nếu q là iđêan tham số của vành R và N = qM M nếu 33 Ta nhắc lại rằng, vành (R, m) với dimR = d được gọi là vành địa phương chính qui nếu tồn tại một hệ sinh của m gồm d phần tử Như vậy nếu R là vành địa phương chính qui thì iđêan cực đại của nó cũng là iđêan tham số Từ định lý ... 15 1.6 Vành iđêan hóa 17 Iđêan tham số vành iđêan hóa 21 2.1 Iđêan tham số vành iđêan hóa 21 2.2 Iđêan tham số vành iđêan hóa 25 Kết... hệ tham số iđêan tham số vành iđêan hóa Vì vậy, luận văn trình bày số kết iđêan tham số vành iđêan hóa Đặc biệt đưa câu trả lời cho câu hỏi mà tiếp cận vấn đề là: Mọi iđêan tham số vành iđêan hóa. .. văn, bao gồm: Iđêan nguyên tố, iđêan cực đại, iđêan nguyên sơ; Độ dài môđun; Chiều Krull; Vành phân bậc; Iđêan tham số hệ tham số; Vành iđêan hóa Chương 2: Iđêan tham số vành iđêan hóa Trong chương