Các chặn cho hệ số hilbert của môđun đối với iđêan tham số trên vành địa phương tt

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TOÁN HỌC PHẠM HỒNG NAM MỘT SỐ BẤT BIẾN CỦA MÔĐUN LIÊN KẾT VỚI HỆ THAM SỐ HẦU P-CHUẨN TẮC Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 46 01 04 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI - 2020 Luận án hồn thành tại: Viện Tốn học-Viện Hàn lâm khoa học Công nghệ Việt Nam Tập thể hướng dẫn khoa học: PGS TS Đoàn Trung Cường GS TS Lê Thị Thanh Nhàn Phản biện 1: Phản biện 2: Phản biện 3: Luận án bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp Viện họp tại: Viện Toán học - Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam vào hồi .giờ ngày tháng năm Có thể tìm hiểu luận án tại: - Thư viện Quốc gia - Thư viện Viện Toán học Mở đầu Một vấn đề quan trọng đại số giao hoán nhà toán học nghiên cứu từ lâu mối liên hệ cấu trúc đại số vành hay môđun với bất biến số Thông thường triệt tiêu độ lớn bất biến dẫn đến thông tin độ phức tạp cấu trúc tương ứng Việc tính tốn, đánh giá bất biến nói chung khơng dễ, phản ánh khó khăn việc nghiên cứu cấu trúc đại số Luận án tập trung nghiên cứu tính chất số bất biến mơđun hữu hạn sinh vành địa phương Noether liên kết với lớp hệ tham số đặc biệt, gọi hệ tham số hầu p-chuẩn tắc Một lớp môđun quan trọng đại số giao hốn mơđun Cohen-Macaulay Việc nghiên cứu mơđun thuận lợi thu nhiều kết quả, phần mơđun đặc trưng tồn hệ tham số dãy quy, dẫn đến nhiều bất biến mơđun tính tốn cụ thể Hệ tham số mơđun nói chung khơng dãy quy, nhiên có lớp hệ tham số có tính chất tương tự, mở rộng tính chất dãy Thơng thường, tính chất hệ tham số dãy quy mở rộng cho mơđun hữu hạn sinh theo hai hướng Một hướng xét hệ tham số đồng thời dãy lọc quy, nhà tốn học N.T Cường, Schenzel N.V Trung (1978) đưa nghiên cứu áp dụng Một hướng khác xét hệ tham số d-dãy, khái niệm Huneke (1982) đưa Ví dụ, hệ tham số chuẩn tắc vành môđun Buchsbaum hay Cohen-Macaulay suy rộng hệ tham số đồng thời d-dãy Nhờ tính chất tốt d-dãy nên hệ tham số d-dãy giúp định nghĩa tính tốn xác nhiều bất biến liên quan Ví dụ hệ tham số đồng thời d-dãy trường hợp tổng quát hệ tham số mà phần tử thuộc vào số iđêan linh hố tử mơđun đối đồng điều địa phương, gọi hệ tham số p-chuẩn tắc Khái niệm tác giả N.T Cường (1995) đưa có vai trò đặc biệt quan trọng lời giải Kawasaki cho toán Macaulay hoá giả thuyết Sharp điều kiện tồn phức đối ngẫu (xem [T Kawasaki, 2000 2002]) Các hệ tham số d-dãy đặc biệt, dẫn đến nhiều ứng dụng quan trọng lớp hệ tham số Cho (R, m) vành giao hoán Noether địa phương M R-môđun hữu hạn sinh với dim(M ) = d Kí hiệu mơđun đối đồng điều địa phương M với giá m Hmi (M ) (M ) = Ann(Hmi (M )) Đặt a(M ) = a0 (M ) ad−1 (M ) Một hệ tham số x1 , , xd môđun M gọi hệ tham số p-chuẩn tắc xd ∈ a(M ), xd−1 ∈ a(M/xd M ), , x1 ∈ a(M/(x2 , , xd )M ) (xem [N.T Cường, 1995]) Một tính chất quan trọng hệ tham số p-chuẩn tắc (M/(xn1 , , xnd d )M ) d = λi n1 ni , i=0 λi = e(x1 , , xi ; (0 : xi+1 )M/(xi+2 , ,xd )M ), với n1 , , nd > Từ tính chất này, suy hệ tham số p-chuẩn tắc d-dãy đặc biệt (xem [N.T Cường, 1995]) Từ dẫn tác giả N.T Cường Đ.T Cường (2007) đến việc định nghĩa khái niệm dd-dãy, cách mở rộng khái niệm hệ tham số p-chuẩn tắc cho dãy phần tử với số phần tuỳ ý, tập trung khía cạnh d-dãy hệ tham số Nhắc lại theo Huneke (1982), dãy phần tử x1 , , xr ∈ m d-dãy môđun M (x1 , , xi )M :M xj = (x1 , , xi )M :M xi+1 xj , với ≤ i < j ≤ r Một dãy x1 , , xr ∈ m gọi ni+1 dd-dãy M xn1 , , xni i d-dãy M/(xi+1 , , xnr r )M, với i = 1, , r với n1 , , nr > Khi đó, hệ tham số x1 , , xd M dd-dãy d (M/(xn1 , , xnd d )M ) = λi n1 ni i=0 đa thức theo n1 , , nd > (xem [N.T Cường-Đ.T.Cường, 2007]) Do hệ tham số p-chuẩn tắc dd-dãy M Các tác giả N.T Cường Đ.T Cường (2007) nghiên cứu đa thức Hilbert đặc trưng Euler Poincaré bậc cao phức Koszul hệ tham số dd-dãy thu nhiều kết thú vị Các dãy ứng dụng để nghiên cứu môđun CohenMacaulay dãy Cohen-Macaulay suy rộng dãy (xem [N.T Cường-Đ.T Cường, 2007]) Trong luận án này, tiếp tục nghiên cứu tính chất hệ tham số đồng thời dd-dãy sử dụng để nghiên cứu số bất biến môđun hữu hạn sinh vành địa phương Để thuận tiện gọi hệ tham số đồng thời dd-dãy hệ tham số hầu p-chuẩn tắc Chúng tập trung vào ba vấn đề nghiên cứu sau Vấn đề thứ liên quan đến việc nghiên cứu, tính tốn hàm độ dài, đặc trưng Euler-Poincaré bậc cao phức Koszul hệ số Hilbert môđun hệ tham số Cụ thể hơn, cho hệ tham số x1 , , xd ∈ m môđun M đặt I = (x1 , , xd ) Với ≤ r ≤ d, kí hiệu Hi (x1 , , xr ; M ) môđun đồng điều Koszul thứ i M dãy x1 , , xr Trong trường hợp môđun Hi (x1 , , xr ; M ) có độ dài hữu hạn với k ≤ r ≤ d đặc trưng Euler-Poincaré bậc k phức Koszul tương ứng với dãy x1 , , xr định nghĩa r (−1)i−k (Hi (x1 , , xr ; M )) χk (x1 , , xr ; M ) := i=k Mặt khác, với n ta có (M/I n+1 M ) = PM,I (n), d PM,I (n) = ed−i (I; M ) i=0 n+i i đa thức Hilbert-Samuel M I Các hệ số ei (I; M ) hay ei (x1 , , xd ; M ) gọi hệ số Hilbert M I (định nghĩa hệ số Hilbert sai khác dấu so với định nghĩa số tác giả khác) Ta xét hàm độ dài (M/(xn1 , , xnd d )M ), đặc trưng EulerPoincaré χk (xn1 , , xnd d ; M ), hệ số Hilbert ei (xn1 , , xnd d ; M ) hàm theo n1 , , nd > Trong trường hợp hệ tham số bất kỳ, khơng có nhiều liên hệ rõ ràng hàm số Tuy nhiên hệ tham số đặc biệt có số quan hệ thú vị Ví dụ, hệ tham số d-dãy tác giả Goto-Hong-Vasconcelos (2012) đưa cơng thức tính cho hệ số Hilbert qua đặc trưng Euler-Poincaré bậc cao phức Koszul sau ed−i (x1 , , xd ; M ) = χ1 (x1 , , xi+1 ; M ) − χ1 (x1 , , xi ; M ), với i = 0, 1, , d Mặt khác, x1 , , xd hệ tham số hầu p-chuẩn tắc hàm độ dài (M/(xn1 , , xnd d )M ) đa thức ta thấy Bên cạnh đó, tác giả N.T Cường Đ.T Cường (2007) chứng minh đặc trưng Euler-Poincaré bậc cao χk (xn1 , , xnd d ; M ) phức Koszul đa thức có dạng tương tự Các kết Goto-Hong-Vasconcelos N.T CườngĐ.T Cường thúc đẩy nghiên cứu sâu mối liên hệ hàm hàm trên, đặt vấn đề nghiên cứu sau Vấn đề Cho x1 , , xd hệ tham số hầu p-chuẩn tắc môđun M , tính tốn đa thức ứng với đặc trưng EulerPoincaré bậc cao phức Koszul χk (xn1 , , xnd d ; M ), hàm độ dài (M/(xn1 , , xnd d )M ) hệ số Hilbert ei (xn1 , , xnd d ; M ), qua so sánh đa thức Vấn đề thứ hai tính đa thức hàm độ dài iđêan bão hoà luỹ thừa iđêan Cụ thể hơn, với iđêan I vành R, ta xét h0I (n) := (Hm0 (R/I n+1 )) hàm nhận giá trị nguyên không âm theo n ≥ Nếu I iđêan m-nguyên sơ h0I (n) = (R/I n+1 ) hàm Hilbert-Samuel R I Do h0I (n) hàm đa thức, nghĩa có đa thức PI (n) cho h0I (n) = PI (n) với n Trong trường hợp iđêan I tuỳ ý, Ulrich Validashti (2011) chứng h0 (n) minh giới hạn lim supn→∞ d! Ind tồn tại, d = dim(R) Giới hạn gọi -bội R I, kí hiệu (I) Số bội dùng hiệu nghiên cứu đẳng kỳ dị Nếu h0I (n) hàm đa thức (I) số hữu tỷ việc nghiên cứu (I) nói chung thuận lợi Tuy nhiên, trường hợp h0I (n) hàm đa thức Năm 2005, Cutkosky, Ha, Srinivasan Theodorescu đưa ví dụ vành quy, địa phương R có chiều iđêan I cho (I) số vơ tỷ Do h0I (n) hàm đa thức Tuy vậy, việc xét trường hợp hàm h0I (n) hàm đa thức có nhiều ý nghĩa Vì đặt vấn đề nghiên cứu sau Vấn đề Phải h0I (n) hàm đa thức I sinh phần hệ tham số? Vấn đề thứ ba xây dựng bậc đối đồng điều Khái niệm bậc đối đồng điều (hay bậc mở rộng) tác giả Doering, Gunston Vasconcelos đưa vào năm 1998 thước đo độ phức tạp cấu trúc đại số vành môđun Trong trường hợp môđun bất kỳ, bậc đối đồng điều dẫn đến chặn cho hàng loạt bất biến quan trọng môđun số phần tử sinh tối tiểu, hệ số Hilbert, số quy Castelnuovo-Mumford vành phân bậc, số Betti, số Bass Ví dụ bậc đối đồng điều bậc đồng điều hdeg Vasconcelos nghiên cứu trước Ngay sau Gunston (1998) đưa luận án ví dụ bậc đồng điều thứ hai cách lấy giá trị nhỏ tất bậc đối đồng điều, kí hiệu bdeg Gần hai tác giả N.T Cường P.H Quý đưa ví dụ bậc đối đồng điều khác bậc không trộn lẫn udeg dựa hệ tham số p-chuẩn tắc Kết dẫn đến vấn đề nghiên cứu sau Vấn đề Sử dụng hệ tham số hầu p-chuẩn tắc để xây dựng bậc đối đồng điều Luận án chia làm chương Chương nhắc lại số kiến thức sở đối đồng điều địa phương, hệ số Hilbert, đặc trưng Euler-Poincaré bậc cao, hệ tham số p-chuẩn tắc dd-dãy Chương dành để nghiên cứu tính chất hệ tham số hầu p-chuẩn tắc áp dụng vào Vấn đề Cụ thể, Tiết 2.1 định nghĩa đưa số tính chất quan trọng hệ tham số hầu p-chuẩn tắc, dùng hiệu phần sau Hơn đưa điều kiện hữu hạn để kiểm tra hệ tham số hầu p-chuẩn tắc (Định lý 2.1.5 (ii)) Trong Tiết 2.2, ta xét hệ tham số hầu p-chuẩn tắc x = x1 , , xd môđun M Cố định i1 < i2 < · · · < ir đặt Λ = {i1 , , ir }, xΛ M = (xi1 , , xir )M Với ≤ i < i1 − ≤ d, đặt i,Λ UM, x := (0 : xi+1 )M/xΛ M i ≤ d − 1, M/xΛ M i=d Kí hiệu dãy xn1 , , xnd d x(n) Một kết quan trọng luận án i,Λ môđun UM, x(n) phụ thuộc vào i, Λ không phụ thuộc vào cách chọn hệ tham số hầu p-chuẩn tắc M số mũ n1 , , nd > i,Λ i,Λ (Mệnh đề 2.2.2) Lớp đẳng cấu UM,x(n) kí hiệu UM Các môđun ứng dụng xuyên suốt vấn đề nghiên cứu luận án Đầu tiên, chứng minh bậc khác không đa thức ứng với hàm độ dài (M/(xn1 , , xnd d )M ) không phụ thuộc vào cách chọn hệ tham số hầu p-chuẩn tắc dãy bất biến số quan trọng M (Định lý 2.2.7) Trong Tiết 2.3, chúng tơi đưa cơng thức tính hệ số đa thức ứng với hàm đặc trưng Euleri,Λ Poincaré χk (xn1 , , xnr r ; M ) qua bội môđun UM (Định lý 2.3.5) Trong trường hợp x1 , , xd d-dãy M , tác giả N.V Trung (1983) đưa mối liên hệ hệ số Hilbert với độ dài số môđun đối đồng điều địa phương (cũng xem báo GotoOzeki (2011)) Mối liên hệ độ dài mơđun đối đồng điều địa phương với mơđun đồng điều Koszul tác giả N.T Cường-N.Đ Minh đưa (1996) Sử dụng quan hệ chúng tơi thu cơng thức tính hệ số Hilbert ed−i (x1 , , xd ; M ) iđêan tham số sinh hệ tham số hầu p-chuẩn tắc i,Λ qua số bội môđun UM (Định lý 2.4.1) Hệ hàm ed−i (xn1 , , xnd d ; M ) đa thức theo n1 , , nd > (Hệ 2.4.2) Từ kết đưa so sánh hệ số đa thức ứng với hàm độ dài (M/(xn1 , , xnd d )M ), đặc trưng Euler-Poincaré bậc cao phức Koszul χk (xn1 , , xnd d ; M ) hệ số Hilbert ed−i (xn1 , , xnd d ; M ) (Định lý 2.4.3) Trong Chương 3, nghiên cứu Vấn đề 2, cụ thể tính đa thức hàm h0I (n) := (Hm0 (R/I n+1 )) Trong Tiết 3.1, h0I (n) hàm đa thức I iđêan (Định lý 3.1.5) Hơn chúng tơi đưa cơng thức tính cho hệ số đa thức tương ứng qua số bội độ dài số môđun đối đồng điều địa phương (Định lý 3.1.7) Trong Tiết 3.2, chứng minh h0I (n) hàm đa thức R không trộn lẫn I iđêan sinh phần hệ tham số hầu p-chuẩn tắc R (Định lý 3.2.5) Để tính hệ số đa thức phải hạn chế xuống trường hợp vành Cohen-Macaulay suy rộng Khi hệ số đa thức tính qua độ dài môđun đối đồng điều địa phương (Định lý 3.2.8) Vấn đề tìm hiểu Chương Trong Tiết 4.1, nhắc lại số khái niệm ví dụ bậc đối đồng điều Trong i,Λ Tiết 4.2, sử dụng môđun UM đặc trưng tính CohenMacaulay M số tính chất mở rộng Trong Tiết 4.3, chúng tơi xây dựng họ vô hạn bậc đối đồng điều i,Λ cách sử dụng số bội môđun UM (Định lý 4.3.4) Trong tiết cuối chương, đưa số so sánh bậc đối đồng điều xây dựng Tiết 4.3 với bậc đồng điều hdeg số lớp môđun đặc biệt Trong tồn luận án này, (R, m, k) ln vành giao hoán địa phương Noether với iđêan cực đại m trường thặng dư vô hạn k = R/m 1.3 Đa thức Hilbert Trong tiết nhắc lại số kết đa thức Hilbert môđun hữu hạn sinh khái niệm mở rộng đa thức Rees cặp iđêan 1.4 Đặc trưng Euler-Poincaré bậc cao Trong tiết cuối chương này, chúng tơi trình bày lại số kết biết đặc trưng Euler-Poincaré bậc cao phức Koszul Cho x1 , , xr ∈ m, xét phức Koszul tương ứng K(x1 , , xr ; M ) Kí hiệu Hk (x1 , , xr ; M ) môđun đồng điều Koszul thứ k giả sử mơđun có độ dài hữu hạn Đặc trưng Euler-Poincaré bậc k phức K(x1 , , xr ; M ) định nghĩa r (−1)i−k (Hi (x1 , , xr ; M )) χk (x1 , , xr ; M ) = i=k 10 Chương Hệ tham số hầu p-chuẩn tắc Trong chương này, chúng tơi nghiên cứu số tính chất hệ tham số dd-dãy mà luận án gọi hệ tham số hầu p-chuẩn tắc Từ hệ tham số hầu p-chuẩn tắc M , i,Λ định nghĩa họ môđun thương UM , i = 0, 1, , d − Λ ⊆ {i + 1, , d} i,Λ , đưa công Sử dụng số bội mơđun UM thức tính cho đặc trưng Euler-Poincaré bậc cao hệ số Hilbert hệ tham số hầu p-chuẩn tắc Chúng đưa so sánh hệ số đa thức ứng với hàm độ dài (M/(xn1 , , xnd d )M ), đặc trưng Euler-Poincaré bậc cao phức Koszul hệ số Hilbert hệ tham số hầu p-chuẩn tắc 2.1 Hệ tham số hầu p-chuẩn tắc Mục tiêu tiết nghiên cứu số tính chất hệ tham số hầu p-chuẩn tắc Hơn nữa, đưa điều kiện hữu hạn để kiểm tra hệ tham số hầu p-chuẩn tắc Định nghĩa 2.1.1 Một hệ tham số x1 , , xd môđun M gọi hệ tham số hầu p-chuẩn tắc tồn số 11 nguyên λ0 , , λd cho d (M/(xn1 , , xnd d )M ) = λi n1 ni , i=0 với n1 , , nd > Cho x = x1 , , xd hệ tham số môđun M Đặt x(n) = (xn1 , , xnnd ) với n1 , , nd > Xét hàm số I˜M, x (n) = (M/x(n)M ) − n1 nd e(x1 , , xd ; M ) d−1 − n1 ni e(x1 , , xi ; (0 : xi+1 )M/(xi+2 , ,xd )M ) i=0 theo n1 , , nd Khi ta có kết sau Định lý 2.1.5 (ii) Hệ tham số x1 , , xd hệ tham số hầu p-chuẩn tắc môđun M I˜M, x (n) = với ≤ n1 , , nd ≤ 2.2 Bậc không triệt tiêu hàm độ dài Cho x1 , , xd hệ tham số hầu p-chuẩn tắc M Cố định i1 < i2 < · · · < ir đặt Λ = {i1 , , ir } Kí hiệu xΛ M = (xi1 , , xir )M Với ≤ i ≤ d i + ∈ / Λ, đặt i,Λ UM, x := (0 : xi+1 )M/xΛ M i ≤ d − 1, M/xΛ M i=d i,Λ ij Đặc biệt, Λ = {i + 2, , j}, kí hiệu UM,x = UM,x Với số nguyên dương n = (n1 , , nd ), ta có mệnh đề quan trọng sau i,Λ Mệnh đề 2.2.2 Các môđun UM, x(n) phụ thuộc vào i, Λ không phụ thuộc vào cách chọn hệ tham số hầu p-chuẩn tắc 12 M số mũ n1 , , nd Cụ thể, y hệ tham số hầu i,Λ i,Λ p-chuẩn tắc khác M ta có UM, UM, x(n) y(m) , với n1 , , nd , m1 , , md ≥ i,Λ i,Λ Lớp đẳng cấu mơđun UM, x(n) kí hiệu UM Với i,Λ ij Λ = {i + 2, , j} kí hiệu UM = UM , ≤ i < j ≤ d Trước tiên, ta có mối quan hệ quan trọng môđun thương mệnh đề sau Mệnh đề 2.2.6 Giả sử M có hệ tham số hầu p-chuẩn tắc Các phát biểu sau (i) Cho i = 1, , d Λ ⊆ Λ ⊆ {i + 2, , d} Khi tồn đơn cấu i,Λ i,Λ , ϕ : UM → UM i,Λ cho Im(ϕ) thành phần trực tiếp UM (ii) Nếu Λ = {i + 2, , j − 1} Λ = {i + 2, , j}, kí hiệu ij Coker(ϕ) U M Khi ta có phân tích ij UM ij i,j−1 UM ⊕ UM i,i+2 ⊕ ⊕ UM i,i+1 ⊕ UM i,i+1 Để thuận tiện cho việc trình bày ta đặt U M môđun kết sau i,i+1 Ứng dụng := UM Định lý 2.2.7 Cho x = x1 , , xd hệ tham số hầu pchuẩn tắc M Khi ta có d (M/(xn1 , , xnd d )M ) id n1 ni e(x1 , , xi ; UM ), = i=0 với n1 , , nd > Hệ ta có biểu diễn r (M/(xn1 , , xnd d )M ) = λdj n1 ndj , j=0 λd0 , , λdr = bậc không triệt tiêu d0 , , dr không phụ thuộc vào cách chọn hệ tham số 13 2.3 Đặc trưng Euler-Poincaré bậc cao phức Koszul hệ tham số hầu p-chuẩn tắc Đối với đặc trưng Euler-Poincaré bậc cao ta có kết sau Định lý 2.3.5 Cho x1 , , xd hệ tham số hầu p-chuẩn tắc M Với < k ≤ r ≤ d, ta có r−k r−k r−j−2 k−2 χk (x1 , , xr ; M ) = t=0 j=t r Kí hiệu, Nr,r−k,t = t,j+1 e(x1 , , xt ; UM ) r−j−2 ⊕ k−2 t,j+1 (UM ) Khi đó, i=0 r−k e(x1 , , xt ; Nr,r−k,t ) χk (x1 , , xr ; M ) = t=0 2.4 Hệ số Hilbert iđêan sinh hệ tham số hầu p-chuẩn tắc Cho x1 , , xd hệ tham số M I = (x1 , , xd ) iđêan tham số sinh x1 , , xd Để thuận tiện cho trình bày ta kí hiệu ei (I; M ) = ed−i (x1 , , xd ; M ), với ≤ i ≤ d Khi đó, chúng tơi thu kết sau Định lý 2.4.1 Cho x1 , , xd hệ tham số hầu p-chuẩn tắc M I iđêan sinh x1 , , xd Khi với n > 0, ta có d (M/I n+1 M) = ed−i (x1 , , xd ; M ) i=0 i Hơn nữa, ed−i (x1 , , xd ; M ) = t=0 ≤ i ≤ d − 14 n+i i t,i+1 e(x1 , , xt ; U M ), với Định lý 2.4.1 cho ta hệ trực tiếp sau Hệ 2.4.2.Với giả thiết kí hiệu Định lý 2.4.1 Khi đó, i ed−i (xn1 , , xnd d ; M ) t,i+1 = n1 nt e(x1 , , xt ; U M ) t=0 đa thức có bậc nhỏ i, với ≤ i ≤ d − Trong định lý thứ hai tiết đưa quan hệ đặc biệt hàm độ dài, đặc trưng Euler-Poincaré bậc cao hệ số Hilbert hệ tham số hầu p-chuẩn tắc Trước đây, việc so sánh bất khả thi Tuy nhiên với việc tính tốn ij , ta thu hệ số đa thức thông qua bội môđun UM quan hệ thú vị chúng Định lý 2.4.3 Cho x1 , , xd hệ tham số hầu p-chuẩn tắc M với r (M/(xn1 , , xnd d )M ) = λdj n1 ndj , j=0 d0 < d1 < < dr bậc ứng với λdj = Khi đó, với ≤ i < d, ta có ed−i (xn1 , , xnd d ; M ) = µdj n1 ndj , dj ≤i χd−i (xn1 , , xnd d ; M ) = λi,dj n1 ndj , dj ≤i với n1 , , nd > Ở hệ số λi,dj , µdj thỏa mãn ≤ µdj ≤ λi,dj d−dj −1 ( ≤ (λdj ) d−i−1 ) 15 Chương Hàm độ dài iđêan bão hòa lũy thừa iđêan Mục đích chương đưa số điều kiện đủ để hàm h0I (n) hàm đa thức, nghĩa là, tồn đa thức PI (n) cho h0I (n) = PI (n) với n Vì Hm0 (R/I n ) = s>0 (I n :R ms )/I n nên gọi h0I (n) hàm độ dài iđêan bão hòa lũy thừa iđêan I Trong kết chương này, h0I (n) hàm đa thức hai trường hợp: I iđêan chính; R khơng trộn lẫn I iđêan sinh phần hệ tham số hầu p-chuẩn tắc R 3.1 Trường hợp iđêan Trong tiết này, chúng tơi xét I iđêan hàm h0I (n) hàm đa thức cách xét mối quan hệ hàm h0I (n) với hàm Hilbert môđun Artin Hm1 (R) Hơn nữa, hệ số đa thức tương ứng tính qua số bội độ dài môđun đối đồng điều địa phương Cụ thể ta có kết sau Định lý 3.1.5 Cho I = aR iđêan vành R Khi 16 đó, tồn đa thức PI (n) với deg(PI (n)) ≤ cho PI (n) = h0I (n) với n Ta đặt sat PI (n) = nesat (a; R) + e1 (a; R), sat I = aR hệ số esat (a; R), e1 (a; R) số nguyên Khi ta có cơng thức tính hệ số esat (a; R) sau Định lý 3.1.3 Giả sử R ảnh đồng cấu vành CohenMacaulay địa phương Cho I = aR iđêan vành R Khi đó, ta có esat (a; R) = Rp (HpRp (Rp ))e(a; R/p), p∈Ass(R)1 \V (I) Ass(R)1 = {p ∈ Ass(R) : dim(R/p) = 1} 3.2 Trường hợp iđêan sinh phần hệ tham số hầu p-chuẩn tắc Trong tiết này, xét iđêan I sinh phần hệ tham số nghiên cứu hàm h0I (n) hàm đa thức Đầu tiên, xét iđêan I sinh phần hệ tham số hầu p-chuẩn tắc đưa câu trả lời khẳng định cho câu hỏi Vấn đề Để tính hệ số đa thức tương ứng, phải hạn chế xuống trường hợp đặc biệt, R vành Cohen-Macaulay suy rộng Cụ thể chúng tơi có kết sau Trước tiên với ≤ i < j ≤ d, gọi t số nguyên dương cho t = i ≥ t = j + i = Đặt I1 = I :R xt Định lý 3.2.5 Giả sử R ảnh đồng cấu vành CohenMacaulay địa phương R không trộn lẫn Cho x1 , , xd hệ tham số hầu p-chuẩn tắc R Với ≤ i < j ≤ d, cho I 17 iđêan sinh xi+1 , , xj Khi đó, tồn đa thức PI (n) cho h0I (n) = PI (n) với n Hơn nữa, deg(PI (n)) + n n chiều môđun phân bậc ∞ n=1 I1 /I đại số Rees R(I) Định lý 3.2.8 Giả sử R vành Cohen-Macaulay suy rộng, địa phương Cho I iđêan R sinh phần hệ tham số chuẩn tắc R gồm i phần tử, i < d Khi h0I (n) i−1 t t=0 j=0 = h (R) + t j+1 h (R) j n+t , t với n ≥ Ở hj (R) = (Hmj (R)) Đặc biệt, h0I (n) = i < depth(R) deg(h0I (n)) = i − depth(R) ≤ i < d Ví dụ sau Định lý 3.2.7 mở rộng cho trường hợp tổng quát mà iđêan I sinh phần hệ tham số Ví dụ 3.2.9 Theo Cutkosky, Ha, Srinivasan Theodorescu (2005), tồn vành quy (A, n) có chiều iđêan I cho h0I (n) không đa thức với n Chọn hệ sinh I a1 , , ar Cho S = A[T1 , , Tr ](T1 , ,Tr )+n đặt J = (T1 +a1 , , Tr + ar ) Khi đó, S/J ∼ = A Do J iđêan sinh phần hệ tham số S Vì S quy nên S/J n Cohen-Macaulay với n Ta có AnnS (A) = (T1 , , Tr ) Do A/J n A = A/I n Đặt n = (T1 , , Tr ) + nS Hn0 (S/J n ) = Hn0 (A/J n A) ∼ = Hn0 (A/I n ) Cho R = S A vành iđêan hóa Đặt q = ((T1 +a1 , 0), , (Tr + ar , 0)) Lưu ý rằng, q iđêan vành địa phương R sinh phần hệ tham số R/qn S/J n A/I n , với n Gọi m iđêan cực đại R Khi đó, (Hm0 (R/qn )) = (Hn0 (A/I n )), không đa thức theo n 18 Chương Một họ bậc đối đồng điều ij Mục đích chương sử dụng bội môđun U M để xây dựng họ vô hạn bậc đối đồng điều Chúng so sánh bậc đối đồng điều với hdeg, udeg số trường hợp đặc biệt Cấu trúc chương gồm phần 4.1 Bậc đối đồng điều vành địa phương Mục đích tiết nhắc lại khái niệm tính chất bậc đối đồng điều biết: hdeg, udeg bdeg 4.2 Các cản trở Cohen-Macaulay Mục đích tiết sử dụng môđun thương xây dựng Chương để đặc trưng tính chất Cohen-Macaulay số tính chất mở rộng Một ví dụ kết sau Trước tiên, cho x1 , x2 , , xd hệ tham số hầu p-chuẩn tắc M D0 ⊂ D1 ⊂ Dt = M, với dim(Di ) = di , i = 0, , t lọc chiều M Khi ta có Di ∩ (xdi +1 , , xd )M = Do di ,d tồn đồng cấu nhúng tự nhiên τi : Di → UM , với i = 1, 2, , t di = dim(Di ) Khi ta có kết sau 19 Mệnh đề 4.2.4 Cho M R-môđun hữu hạn sinh chiều d Các phát biểu sau tương đương: (i) M môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy; jd (ii) (UM ) < ∞, với j = d0 , , dt−1 , (Coker(τi )) < ∞, với i = 0, , t − 1; jd (iii) dim(UM ) < j, với j = d0 , , dt−1 , dim(Coker(τi )) < di , với i = 1, , t − ij Đặc biệt, M Cohen-Macaulay e(U M )i = 0, với ≤ i < j ≤ d, d = dim(M ) 4.3 Một họ vô hạn bậc đối đồng điều Kết sau kết chương Trong kết này, ij sử dụng số bội môđun U M tiết trước để xây dựng họ vô hạn bậc đối đồng điều Cụ thể ta có kết sau Định lý 4.3.4 Giả sử R ảnh đồng cấu vành CohenMacaulay địa phương với dim(R) = n Cho Λ = {λijk ∈ R : ≤ i < j ≤ k ≤ n} tập số thực thỏa mãn λ01k = 1, với ≤ k ≤ n, λ0jk ≤ λ0,j+1,k+1 λijk ≤ λi+1,j+1,k+1 , với ≤ i < j ≤ k < n Định nghĩa hàm DegΛ : ModR → R cách cho tương ứng mơđun hữu hạn sinh M có chiều d với số thực ij λijd e U M DegΛ (M ) := e(M ) + 0≤i