Đa thức và hệ số Hilbert trên vành địa phương Noether

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM—————————— NGUYỄN SỸ ĐÔNG ĐA THỨC VÀ HỆ SỐ HILBERT TRÊN VÀNH ĐỊA PHƯƠNG NOETHER LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ M

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

——————————

NGUYỄN SỸ ĐÔNG

ĐA THỨC VÀ HỆ SỐ HILBERT

TRÊN VÀNH ĐỊA PHƯƠNG NOETHER

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ

Mã số: 60.46.05 Người hướng dẫn khoa học: GS NGUYỄN TỰ CƯỜNG

THÁI NGUYÊN - NĂM 2011

Công trình được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên 08/11/2011

Người hướng dẫn khoa học: GS-TSKH NGUYỄN TỰ CƯỜNG

Phản biện 1:

Phản biện 2:

Luận văn sẽ được bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn họp tại:

Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên

Ngày 08 tháng 10 năm 2011

Có thể tìm hiểu tại Thư viện Đại học Thái Nguyên

Mục lục

1.1 Vành, môđun Artin và Noether 5

1.2 Vành và môđun phân bậc 9

1.3 Định lý Artin-Rees 13

2 Đa thức và hệ số Hilbert trên vành địa phương Noether 16 2.1 Đa thức Hilbert 16

2.2 Chiều của môđun 21

2.3 Chiều của vành địa phương 25

2.4 Hệ tham số và số bội 31

Lời cảm ơn

Luận văn này được hoàn thành với một phần nỗ lực của bản thân và

sự hướng dẫn của GS Nguyễn Tự Cường, Viện Toán học Tôi xin tỏ lòngbiết ơn chân thành tới thầy hướng dẫn Với tinh thần làm việc nghiêmtúc, thầy đã tận tình giúp tôi có được phương pháp nghiên cứu khoa họcđúng đắn, hiệu quả trong suốt quá trình xây dựng đề cương cũng như hoànthành luận văn

Tôi cũng xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo của trườngĐại học Thái Nguyên, Viện Toán học, những người đã tận tình giảng dạy

và khích lệ, động viên tôi vượt qua những khó khăn trong học tập

Tôi xin cảm ơn Ban lãnh đạo trường Đại học Sư phạm - Đại học TháiNguyên, khoa Sau đại học, sở GD - ĐT Lạng Sơn và trường THPT ChiLăng đã tạo mọi điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tôi trong suốt thời gian tôihọc tập

Cuối cùng, tôi xin trân thành cảm ơn gia đình, người thân, bạn bè đãgiúp đỡ tôi cả về vật chất và tinh thần để tôi có thể hoàn thành bản luậnvăn cũng như khóa học của mình

Mở đầu

Cho A là một vành Artin, R = A[x1, , xm] là vành đa thứcm biến với

hệ số trongA Khi đóRlà một vành phân bậc NếuM = ⊕

n≥0

Mn là một Rmôđun phân bậc hữu hạn sinh thìMn là một A-môđun và `A(Mn) < +∞.Hơn nữa, vớin đủ lớn thì`A(Mn) là một đa thức với hệ số hữu tỉ Kết quảnày là nội dung của Định lí đa thức Hilbert Đa thức Hilbert đóng mộtvai trò quan trọng trong Đại số giao hoán và Hình học đại số; nó cho phépchúng ta nghiên cứu độ lớn, cấu trúc của môđun M thông qua những đạilượng số cụ thể như bậc của đa thức, hệ số của đa thức,

-Từ khi Định lí đa thức Hilbert được chứng minh đã có nhiều nhómnghiên cứu về vấn đề này Đa thức Hilbert trở thành một công cụ đượcnhiều nhà nghiên cứu Đại số giao hoán và Hình học đại số quan tâm Với

lí do đó, dưới sự hướng dẫn của GS Nguyễn Tự Cường, tác giả luận vănchọn đề tài "Đa thức và hệ số Hilbert trên vành địa phương Noether" làm

đề tài cho luận văn tốt nghiệp Thạc sĩ toán học của mình

Nội dung chính của luận văn là trình bày Định lí đa thức Hilbert trênvành địa phương Noether cùng với một số tính chất của nó về bậc đa thức,

hệ số cao nhất của đa thức (thông qua số bội) Ngoài phần mở đầu và kếtluận, luận văn được chia làm hai chương

Chương 1 Kiến thức cơ sở Chương này trình bày về vành và môđunNoether, Artin; vành và môđun phân bậc; Định lí Artin-Rees Đây là nhữngkiến thức cơ sở cho các chứng minh trong Chương 2, chương chính của luận

Chương 2 Đa thức và hệ số Hilbert trên vành địa phươngNoether Chương này trình bày về Định lí đa thức Hilbert; chiều củamôđun và vành địa phương; hệ tham số và số bội Nội dung của chương

là hệ thống một số kết quả quan trọng về đa thức Hilbert trên vành địaphương Noether

Các nội dung được trình bày trong luận văn dựa trên bài giảng của GS.Nguyễn Tự Cường và tham khảo thêm trong hai cuốn sách CommutativeAlgebra và Commutative Ring Theory của tác giả H.Matsumura Bên cạnh

đó, tác giả luận văn có chứng minh chi tiết một số vấn đề được trình bàyvắn tắt trong các tài liệu trên Một số ví dụ và bài tập minh họa cũngđược tác giả luận văn đưa vào để làm sáng tỏ cho những nội dung đượctrình bày

Với mong muốn hệ thống lại một số nội dung quan trọng về đa thứcHilbert, tác giả luận văn đã dành nhiều thời gian nghiên cứu những kếtquả này Tuy nhiên, do năng lực bản thân còn hạn chế, thời gian nghiêncứu chưa nhiều nên khó tránh khỏi những thiếu sót trong luận văn Tácgiả rất mong nhận được sự chỉ bảo của các thầy cô giáo và ý kiến góp ýcủa các bạn học viên cùng độc giả quan tâm để luận văn được hoàn thiệnhơn

Thái Nguyên, tháng 08 năm 2011

Tác giả

NGUYỄN SỸ ĐÔNG

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong toàn bộ luận văn này ta luôn xét các vành là giao hoán có đơnvị

Định nghĩa 1.1.1 Cho R là một vành, M là R-môđun

i) M được gọi là R-môđun Noether nếu với mọi dãy tăng các R-môđuncon của M: M1 ⊆ M2 ⊆ ⊆ Mn ⊆ đều dừng, nghĩa là ∃n0 ∈ N saocho Mi = Mi+1, ∀i ≥ n0

ii) M được gọi là R-môđun Artin nếu với mọi dãy giảm các R-môđuncon của M: M1 ⊇ M2 ⊇ ⊇ Mn ⊇ đều dừng, nghĩa là ∃n0 ∈ N saocho Mi = Mi+1, ∀i ≥ n0

Nếu xét vành R như môđun trên chính nó thì R được gọi là vànhNoether (Artin) khiRlàR-môđun Noether (Artin) Khi đó, tập các môđuncon của R-môđun R trùng với tập các iđêan của vành R

Định lý 1.1.2 Cho R là một vành Khi đó M là R-môđun Noether khi

và chỉ khi mọi R-môđun con của M là hữu hạn sinh

Chứng minh (=⇒): Lấy N là môđun con bất kỳ của M Đặt P là tập

tất cả các R-môđun con hữu hạn sinh của M chứa trong N Ta thấyP

6= φ vì 0 ∈ P, và mọi xích tăng các phần tử của P đều có chặn trên(doM là Noether) nên P có phần tử tối đại làN0 Suy raN0 ∈ P vàN0 làhữu hạn sinh NếuN0 6= N thì∃x ∈ N \N0, do đóR-môđunN1 = N0+(x)

là hữa hạn sinh và N ⊇ N1 ⊃ N0, mâu thuẫn Vậy N0 = N

(⇐=): Giả sử P là tập khác φ các môđun con của R-môđun M Lấy mộtxích tăng tùy ý trong P, chẳng hạn M1 ⊆ M2 ⊆ ⊆ Mn ⊆ (*) Đặt

Định lý 1.1.3 (Định lý cơ sở Hilbert) Cho R là vành Noether Khi đóvành đa thức n biến R[x1, , xn] cũng là vành Noether

Chứng minh Vì R[x1, , xn] = R[x1, , xn−1][xn] nên ta chỉ cần chứngminh cho vành R[x] là vành Noether

Lấy tùy ý một iđêan I củaR[x] Ta chứng minh I là hữu hạn sinh Đặt

J = {a ∈ R|∃f (x) ∈ I, f (x) có hệ số cao nhất là a} Suy ra J là iđêancủa R Vì R là vành Noether nên J là hữu hạn sinh, sinh bởi {a1, , an}.Với mỗi ai ∈ {a1, , an} tồn tại fi(x) ∈ I sao cho fi(x) = aixni + hi(x),với deghi(x) < ni, ∀i = 1, n Đặt I0 = (f1(x), , fn(x)) là iđêan của R[x]

và r = Max{ni|i = 1, n} Xét R-môđun con M = R + xR + + xrR của

R[x] Khi đó M là hữu hạn sinh và có một tập sinh là {1, x, , xr}, suy ra

M là R-môđun Noether (do R là Noether, M là hữu hạn sinh trên R).Ta

sẽ chứng minh I = I0 + M ∩ I

Hiển nhiên ta có I0 + M ∩ I ⊆ I

Mặt khác, lấy f (x) ∈ I, giả sử f (x) = axh + g(x), với degg(x) < h.Khi đó a ∈ J = (a1, , an), suy ra a = b1a1+, , +bnan, bi ∈ R, ∀i = 1, n

h(x) ∈ I suy rah(x) ∈ M ∩I Vậy I = I0+M ∩I vàI là hữu hạn sinh, do

đó R[x] là vành Noether Từ đó suy ra R[x1, , xn] là vành Noether.Định nghĩa 1.1.4 Cho R là một vành Một R-môđun M được gọi là có

độ dài hữu hạn nếu M có ít nhất một dãy hợp thành Khi đó độ dài của

M, kí hiệu là `(M ), chính là độ dài của một dãy hợp thành nào đó của

M

Hệ quả 1.1.5 Giả sử N là một môđun con của một R-môđun M Khi

đó M có độ dài hữu hạn khi và chỉ khi N và M/N là những R-môđun có

độ dài hữu hạn Hơn nữa, trong trường hợp này ta có

`(M ) = `(N ) + `(M/N )

Chứng minh (=⇒): Khi N = 0 hoặc N = M thì hiển nhiên kết luận của

hệ quả là đúng

Giả sử M là môđun có độ dài hữu hạn và 0 ⊂ N ⊂ M là một xích của

M, xích này có thể làm mịn thành một dãy hợp thành của M

A : 0 = A0 ⊂ A1 ⊂ ⊂ Ak = N ⊂ Ak+1 ⊂ ⊂ An = M

Khi đó xích0 = A0 ⊂ A1 ⊂ ⊂ Ak = N là một dãy hợp thành củaN, suy

raN có độ dài hữu hạn Vậy 0 = Ak/N ⊂ Ak+1/N ⊂ An/N = M/N (*)

là dãy hợp thành củaM/N do(Ak+i+1/N )/(Ak+i/N ) ∼= Ak+i+1/Ak+i, ∀i =

0, n − k − 1 là những môđun đơn Từ chứng minh trên suy ra

`(M ) = `(N ) + `(M/N )

là những môđun đơn Vậy xích

N ⊆ A0 ⊆ A1 ⊆ ⊆ Ak = N ⊆ B00 ⊆ B01 ⊆ ⊆ B0l = M

là một dãy hợp thành có độ dài hữu hạn và `(M ) = `(N ) + `(M/N )

Từ hệ quả trên ta có kết quả sau

Chứng minh Theo Hệ quả 1.1.5 ta có

`(Mi) = `(Ker fi) + `(Mi/ Ker fi), ∀i = 1, n − 1

Do T là dãy khớp nên ta có Im fi = Ker fi+1, ∀i = 1, n − 2 Vậy

Một phần tử x ∈ R sao cho x ∈ Ri được gọi là phần tử thuần nhất bậc

i, Ri được gọi là thành phần bậc i của R

ii) Một môđun M trên vành phân bậc R = ⊕∞

n=0Rn được gọi là R−

môđun phân bậc nếu M có phân tích M = ⊕∞

n=0Mn, trong đó Mn là cácmôđun con của M và RiMj ⊆ Mi+j, ∀i, j = 0, n

Một phần tử x ∈ M sao cho x ∈ Mi được gọi là phần tử thuần nhấtbậc i, Mi được gọi là thành phần bậc i của M

iii) Cho M là R-môđun phân bậc, N là môđun con của M N được gọi

là môđun con phân bậc của M nếu N = ⊕∞

n=0(N ∩ Mn) Ta cũng gọi N làmôđun con thuần nhất của M

Nếu R là vành phân bậc thì R cũng là R-môđun phân bậc Khi đó I

là một iđêan con phân bậc của R nếu I là một iđêan của R thỏa mãn

I = ⊕∞

n=0

(I ∩ Rn) I còn được gọi là iđêan thuần nhất

Mệnh đề 1.2.2 Cho N là môđun con của môđun phân bậc M trên vànhphân bậc R Khi đó, N là môđun con phân bậc khi và chỉ khi ∀x ∈ N thìcác phần tử thuần nhất của x cũng thuộc N.

Chứng minh (=⇒): Giả sử N là môđun con thuần nhất của M, khi đó

N = ⊕∞

n=0(N ∩ Mi) (*) Lấy tùy ý x ∈ N, từ (*) suy ra x = xi+ + xi+s,

xi 0 ∈ (N ∩ Mi0), ∀i0 = i, i + s Vậy xi 0 ∈ N, ∀i0 = i, i + s

(⇐=): Giả sử ∀x ∈ N đều có tính chất, nếu x = xi+ + xi+s với xj ∈

Mj, ∀j = i, i + s thì xj ∈ N, ∀j = i, i + s Ta chứng minh N thuần nhất,tức là chứng minh N = ⊕∞

j=0

(N ∩ Mj) Thật vậy, ta có ⊕∞

j=0

(N ∩ Mj) ⊆ N.Ngược lại lấy x ∈ N thì x ∈ M suy ra x = xi + + xi+s, xj ∈ Mj, ∀j =

i, i + s Theo trên xj ∈ N, do đó xj ∈ N ∩ Mj Vậy x ∈ ⊕∞

(3) Xét vành đa thức R = k[x1, , xn], k là một trường Khi đó R cóphân bậc R = ⊕∞

(5) Cho M là R-môđun Khi đó

n≥0Rn là iđêan thuần nhất của R

Vì R là Noether nên R+ hữu hạn sinh suy ra tồn tại a1, , an ∈ R sao cho

R+ = (a1, , an) Mặt khác, R+ là các iđêan thuần nhất nên ta có thể giảthiết được là ai thuần nhất có bậc là ni > 0 Đặt R0 là vành con của R

sinh bởi a1, , an trên R0, R0 = R0[a1, , an], ta sẽ chứng minh Rn ⊆ R0,

∀n ≥ 0 (*) bằng quy nạp

Nếu n = 0 thì hiển nhiên (*) đúng

Giả sử Ri ⊆ R0, với n ≥ i, n > 0 Ta chứng minh Rn+1 ⊆ R0 Lấy

Mà ni > 0, ∀i nên n + 1 − ni ≤ n, ∀i = 1, n Theo giả thiết quy nạp thì

bi ∈ R0, ∀i = 1, n do đóRn+1 ⊆ R0, suy ra (*) đúng Hơn nữaR0 ∼= R/R

+.Vậy R0 là Noether

(ii =⇒ i): Từ điều kiện ii) suy ra R có dạng R = R0[a1, , an], ai ∈ R,

∀i = 1, n Khi đó tồn tại toàn cấu vành

ϕ : R0[x1, , xn] −→ R0[a1, , an]

f (x1, , xn) 7−→ f (a1, , an)

Theo định cơ sở Hilbert thì R0[x1, , xn] là vành Noether (do R0 là vànhNoether) Mà R0[a1, , an] ∼= R0[x1, , xn]/ Ker ϕ là vành Noether suy ra

R0[a1, , an] là vành Noether Vậy R là vành Noether

Định lý 1.2.5 Cho R là vành Noether và I là iđêan của R Khi đói) R(I) và GI(R) là các vành phân bậc Noether

ii) Với M là R-môđun Noether thì RM(I) là R(I)-môđun Noether,

GI(M ) là GI(R)-môđun Noether

Chứng minh i) R(I) là vành Noether

Từ R(I) = ⊕

n≥0In, ImIn ⊆ Im+n suy ra R(I) là vành phân bậc Ta có

(R(I))0 = I0 = R là vành Noether do R là vành Noether theo giả thiết

Vì I là iđêan của R nên I là hữu hạn sinh, suy ra I = (a1, , an), trong

đó ai ∈ I, ∀i = 1, n Ta thấy a1, , an là các phần tử thuần nhất bậc 1 và

R(I) = R[a1, , an] theo định nghĩa, trong đó

Do I là iđêan của R nên I hữu hạn sinh suy ra I = (a1, , an), trong

đó ai ∈ I, ∀i = 1, n Ta thấy ai = ai+ I2 là các phần tử thuần nhất cấp 1

Từ GI(R) = ⊕

n≥0

In/In+1 và (Im/Im+1)/(In/In+1) ⊆ Im+n/Im+n+1,suy ra GI(R) là vành phân bậc

VìM là môđun Noether nên M là hữu hạn sinh, suy ra tồn tại x1, , xn

∈ M sao cho M = Rx1 + + Rxn Khi đó RM(I) = (x1, , xn) suy ra

RM(I) làR(I)-môđun hữu hạn sinh MàR(I)là vành Noether nên RM(I)

là R(I)-môđun Noether

Tương tự trên, ta có GI(M ) = (x1, , xn) với xi = xi + IM, ∀i = 1, n

suy ra GI(M ) là GI(R)-môđun hữu hạn sinh Theo trên GI(R) là vànhNoether nên GI(M ) là môđun Noether

Định nghĩa 1.3.1 i) ChoRlà một vành Một dãy giảm các iđêan{In}n≥0

của R được gọi là một lọc các iđêan nếu InIm ⊆ In+m, ∀m, n ≥ 0 Đặcbiệt, nếu I là iđêan của R thì dãy {In}n≥0 là một lọc, gọi là lọc I-adic.ii) Cho M là một R-môđun Một lọc các môđun con của M là một dãygiảm các môđun con {Mn}n≥0 của M

Với {In}n≥0 là một lọc các iđêan thì lọc {Mn}n≥0 gọi là tương thích vớilọc iđêan {In}n≥0 nếu InMm ⊆ Mn+m, ∀n, m ≥ 0.

Đặc biệt khi lọc iđêan là lọc I-adic thì lọc {Mn}n≥0 gọi là I-lọc tốt nếu

{Mn}n≥0 là tương thích với lọc {In}n≥0, và tồn tại m0 sao cho InMm ⊆

n≥0

In/In+1.Định lý 1.3.3 Cho R là vành Noether, M là R-môđun hữu hạn sinh, I

là iđêan của R, {Mn}n≥0 là lọc của M Khi đó các mệnh đề sau tươngđương

Ta thấy Mn∗ ⊆ M∗ Mặt khác Mi hữu hạn sinh với mọi i nên Qn

là hữu hạn sinh Giả sử Qn = (y1, ,k) suy ra Qn = y1R + + ykR

Do đó Mn∗ là môđun hữu hạn sinh của M∗ trên vành R(I), cụ thể hơn

Mn∗ = y1R(I) + + ykR(I)

Ta thấy ⊆ Mn∗ ⊆ Mn+1∗ ⊆ Mn+2∗ (*) là một dãy tăng dần các môđuncon của M, hơn nữa ∞∪

n=0Mn∗ = M∗ Vậy M∗ là R(I)-môđun Noether khi

và chỉ khi ra dãy (*) dừng (do ∞∪

n=0Mn∗ = M∗) hay tồn tại n0 sao cho

Mn∗

0 = Mn∗

0 +1 = , đây chính là điều kiện cần và đủ để {Mn}n≥0 là I-lọctốt Từ đó suy ra điều phải chứng minh

Hệ quả 1.3.4 (Định lý Artin-Rees) Cho R là một vành Noether, I là mộtiđêan của R Cho M là R-môđun hữu hạn sinh và N là môđun con của

M Khi đó ∃r > 0 sao cho InM ∩ N = In−r(IrM ∩ N ), ∀n ≥ r

R(I)- môđun phân bậc hữu hạn sinh khi và chỉ khi lọc {(InM ∩ N )}n≥0 là

I-lọc tốt Từ đó suy ra tồn tại r > 0 sao cho InM ∩ N = In−r(IrM ∩ N ),

Chứng minh Do N = InM ∩ N nên theo định lý Artin-Rees thì tồn tại

r > 0 sao cho N = InM ∩ N = In−r(IrM ∩ N ), ∀n > r, suy ra In−r ⊆ I

và N ⊆ IN Hơn nữa IN ⊆ N Vậy N = IN

Hệ quả 1.3.6 (Định lý giao Krull) Cho R là một vành Noether, I là mộtiđêan của R, M là R-môđun hữu hạn sinh, N là môđun con của M Giả

sử I ⊆ J (R) (J (R) là giao các iđêan cực đại của R gọi là căn Jacobsoncủa R) Khi đó T

R0Mn ⊆ Mn, ∀n ≥ 0, tức là Mn là R0-môđun ∀n ≥ 0.

Mệnh đề 2.1.1 Với các kí hiệu như trên ta có `A(Mn) < +∞

Chứng minh Do M là hữu hạn sinh nên giả sử M = y1R + + ykR Khi

đó ta có thể giả thiết thêm y1, , yk là các phần tử thuần nhất bậc nhấtbậc lần lượt là d1, , dk tức là y1 ∈ Rd1, , yk ∈ Rdk

Đặt ϕ : ⊕k

i=1R(di) −→ M, trong đó R(di) = +∞⊕

n=d i

Rn−di, ϕ(b1, , bk) =

Mệnh đề 2.1.3 Nếu A là một vành Artin,Rn = {f ∈ A[x1, , xn]|f là

đa thức thuần nhất bậc n} thì `A(Rn) = `(A)

(chứng minh quy nạp theo Bổ đề 2.1.2) Mặt khác, ta có dãy hợp thành

0 = A0 ⊂ A1 ⊂ ⊂ A` = A của A, với ` = `(A) Khi đó dãy các môđuncon của Ai là

0 = A0 ⊂ A1fi ⊂ ⊂ A`fi = Ai, ` = `(A) (***)

Vì Aj+1fi/Ajfi ∼= A

j+1Aj nên Aj+1fi/Ajfi là các môđun đơn với mọi

i = 1, 2, , t và j = 1, 2, , ` Suy ra (***) là dãy hợp thành của Ai Do đó

là một R-môđun phân bậc hữu hạn sinh Khi đó tồn tại một đa thứcPM(n)

sao cho FM(n) = PM(n) khi n đủ lớn (n  0) Ngoài ra PM(n) là đa thức

có hệ số hữu tỉ

Chứng minh Ta chứng minh bằng quy nạp theo độ lớn môđun con N ⊆

M Ta viết P (M/N ) nếu định lý đúng với M/N