2 Đa thức và hệ số Hilbert trên vành địa phương Noether
2.3Chiều của vành địa phương
Cho (R,m) là vành địa phương Noether.
Định nghĩa 2.3.1. Một iđêan I của (R,m) gọi là iđêan định nghĩa của (R,m), nếu ∃n > 0 sao cho mn ⊆ I ⊆ m (tức I là iđêan m-nguyên sơ).
Khi đó, theo Mệnh đề 2.2.4, nếu I là iđêan định nghĩa thì dim(R/I) = dim(R/√
I) = dim(R/m) = 0, do đóR/I là vành Artin. Suy ra `(R/I) < +∞, do vậy `(R/Im) < +∞ (vì mmn ⊆ In ⊆ m nên In là iđêan định nghĩa).
Cho I là một iđêan định nghĩa của vành địa phương (R,m). Ta xét vành GI(R) = ⊕
n≥o
GI(M) = ⊕
n≥0
InM/In+1M. Giả sử I = a1R+...+akR. Khi đó GI(R) ∼=
(R/I)[a1, ...,ak], ai = ai + I2 ∈ I/I2. Đặt FM,I(n) = `(GI(M))n = `(InM/In+1M) và HM,I(n) = n X i=0 FM,I(i) = n X n0 `(In0M/In0+1M)
= `(M/I) +...+`(InM/In+1M) =`(M/In+1M).
Theo Định lý đa thức Hilbert thì FM,I(n) = PM,I(n), với n 0,PM,I(n) là đa thức Hilbert. Suy ra HM,I(n) = PM,I(n) khi n 0 .
Khi đó PM,I(n) gọi là Đa thức Hilbert-Samuel của M đối với I.
Mệnh đề 2.3.2.Cho(R,m) là vành địa phương Noether vàM làR-môđun hữu hạn sinh. Khi đó bậc của Đa thức Hilbert-Samuel PM,I(n) không phụ thuộc vào cách chọn iđêan định nghĩa I.
Chứng minh. Giả sử I, J là hai iđêan định nghĩa của M, ta chứng minh degPM,I(n) = degPM,J(n).
Thật vậy, vì I là idean của m nên tồn tại t sao cho I ⊇ mt suy ra Jt ⊆ mt ⊆ I, do đó `(M/In+1M) ≤ `(M/Jt(n+1)M) hay PM,I(n) ≤
PM,J(tn),∀n. Vậy degPM,I(n) ≤ degPM,J(n).
Vì I và J đóng vai trò như nhau nên ta cũng chứng minh được rằng degPM,I(n) ≥ degPM,J(n). Từ đó suy ra degPM,I(n) = degPM,J(n).
Mệnh đề 2.3.3. Cho
0 −−→ M0 −−→ M −−→ M00 −−→ 0
là dãy khớp ngắn các R-môđun Noether,I là iđêan định nghĩa của M. Khi đó
ii) Hệ số bậc cao nhất của PM,I(n) − PM00,I(n) và của PM0,I(n) bằng nhau.
iii) deg(PM,I(n)−PM0,I(n)−PM00,I(n)) < degPM0,I(n).
Chứng minh. Ta cóM00 = M/M0, suy raM00/InM00 = (M/M0)/In(M/M0). Vì In(M/M0) = (InM + M0)/M0 nên M00/InM00 = (M/M0)/((InM + M0)/M0) = M/(InM +M0). Do đó
`(M/InM) =`(M/(InM +M0)) +`((M0+ InM)/InM) = `(M/(InM +M0)) +`(M0/M0 ∩InM).
Đặt ϕ(n) = `(M0/M0 ∩ In+1M). Khi đó PM,I(n) = PM00,I(n) + ϕ(n) (1). Theo Định lý Artin-Rees thì ∃c > 0 sao cho
M ∩In+1M0 = In+1−c(IcM ∩M0),∀n+ 1> c. Vì M0 ⊆ M nên ta có
In+1M0 ⊆In+1M ∩M0 = In+1−c(IcM ∩M0) ⊆ In+1−cM0 ∩In+1−cM0 suy ra M0/In+1M0 ⊇ M0/In+1M ∩M0 ⊇ M0/In+1−cM0.
Vậy PM0,I ≥ϕ(n) ≥ PM0,I(n−c) (2).
i) Từ (1) ta có degPM,I(n) = Max(degPM00,I(n),degϕ(n)), suy ra d(M) = Max(d(M00),degϕ(n)) (3).
Từ (2) ta códegϕ(n) = d(M00). Kết hợp với (3) ta đượcd(M) = Max{d(M0), d(M00)}. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
iii) Từ (1) suy ra PM,I(n)−PM00,I(n) = ϕ(n). Do vậy hệ số cao nhất của ϕ(n) và PM,I(n)−PM00,I(n) là bằng nhau và bằng hệ số cao nhất của PM0,I(n) (do (2)).
ii) Từ (1) và (2) suy radeg(PM,I(n)−PM0,I(n)−PM00,I(n)) = deg(ϕ(n)−
PM00,I(n)và củaPM0,I(n)bằng nhau nêndeg(PM,I(N)−PM0,I(n)−PM00,I(n)) < degPM0,I(n).
Mệnh đề 2.3.4. Cho (R,m) là vành địa phương Noether. M là R-môđun hữu hạn sinh và dimM = r, khi đó ∃x1, ..., xr ∈ m sao cho
`(M/(x1, ..., xr)M) < +∞.
Chứng minh. Quy nạp theo r.
Nếu r = 0 thì M là vành Artin nên `(M/(x1, ..., xr)M) < +∞ suy ra mệnh đề đúng.
Giả sử mệnh đề đúng với r−1, r > 0, ta cần chứng minh mệnh đề đúng với r.
Giả sử{p1,p2,..,pt}là các iđêan nguyên tố tối thiểu trong tậpAssR(M) suy ra m ∈ {/ p1,p2,..,pt} (vì nếu m = pi thì ht(pi) = ht(m) = dimM = r >0, mà pi ∈ AssR(M) và pi là tối thiểu suy ra ht(pi) = 0, vô lí). Theo Định lý tránh nguyên tố, tồn tại x ∈ m\ t S i=1 pi. Xét môđun M = M/xM, ta chứng minh dimM = r −1.
Thật vậy, hiển nhiên dimM ≥ r −1. Mặt khác, ta có T
p∈Ass(M/xm)
p =
p
Ann(M/xM) =p(x) + AnnRM (*). Từ (*) suy ra, nếu p ∈ AssR(M) thì x ∈ p và √
AnnM ⊆ p. Do đó tồn tại i ∈ {1,2, .., t} sao cho pi ⊂ p, suy ra dim(R/pi) > dim(R/p), ta được dimM > dim(M/xM) = dimM. Từ đó suy ra dimM ≤r −1. Vậy dimM = r −1.
Áp dụng giả thuyết quy nạp cho M = M/xM, tồn tại x1, ..., xr−1 sao cho `(M /(x1, ..., xr−1)M) < +∞. Vì
M /(x, x1, ..., xr−1)M ∼= M/(x, x
1, ..., xr−1)M nên `(M/(x, x1, ..., xr−1)M) < +∞. Vậy mệnh đề đúng với r.
Đặt δ(M) = min{r|∃x1, ..., xn ∈ m, `(M/(x1, ..., xn)M) < +∞}. Khi đó ta có đẳng thức giữa chiều của đa thức Hilbert với chiều của môđun M và δ(M). Điều này được khẳng định trong định lí dưới đây.
Định lý 2.3.5. Cho (R,m)là vành địa phương Noether. M là R-môđun hữu hạn sinh. Khi đó δ(M) = d(M) = dimM.
Chứng minh. Ta sẽ chứng minh dimM ≥δ(M) ≥d(M) ≥ dimM.
(1) dimM ≥ δ(M). Thật vậy, giả sử dimM = r. Khi đó, theo Mệnh đề 2.3.4, tồn tại x1, ..., xr ∈ m sao cho `(M/(x1, ..., xr)M) < +∞. Suy ra r ≥ δ(M) hay dimM ≥δ(M).
(2) δ(M) ≥ d(M). Giả sử δ(M) = r, suy ra tồn tại x1, ..., xr ∈ m sao cho `(M/(x1, ..., xr)M) < +∞.
Đặt M0 = M/(x1, ..., xr)M, J = (x1, ..., xr)R. Khi đó AnnRM0 ⊇ J suy ra `(M0/In+1M0) = `(M0) < +∞, và PM0,I(n) = `(M0) là hằng số khi n 0. Vậy degPM0,I(n) =d(M0) = 0.
Xét I là một iđêan định nghĩa nào đó của M mà (x1, ..., xr) = J ⊆ I (chẳng hạn I = m). Trong môđun thương M/x1M ta có
`(M/x1 +In+1M) =`(M/In+1)−`((x1 +In+1M)/In+1M) suy ra
PM ,I(n) = PM,I(n)−`((x1 +In+1M)/In+1M),(với n 0) (∗). Tức là
degPM ,I(n) ≥ depPM,I(n)−1 suy ra
d(M/xM) ≥d(M)−1.
Tiếp tục làm như trên cho tất cả các phần tử x2, ..., xr ta được d(M/(x1, ..., xr)M) ≥ d(M)−r (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
suy ra 0≥ d(M)−r. Vậy δ(M) ≥ d(M).
(3) d(M) ≥ dimM. Trước hết ta chứng minh cho vành M = R bằng quy nạp theo d(M) = d(R). Nếu d(R) = 0 thì degPR,m(n) = `(M/mn+1) = 0. Suy ra, tồn tại t sao cho mt = mt+1 = .... Theo Định lý giao Krull ta có T
t≥0
mt = 0 suy ra mt = ... = mt+k = ... = 0. Do đó R là vành Artin (vì R có dn iđêan nguyên tố). Từ `(R) < +∞ suy ra dimR = 0, do vậy d(R) ≥ dimR.
Giả sử d(R) > 0. Nếu dimR = 0 thì ta có bất đẳng thức d(M) ≥
dimR. Giả sử dimR = k > 0. Khi đó tồn tại p0 ⊇ p2 ⊇ ...⊇ pk−1 ⊇ pk =
p là một xích nguyên tố của R có độ dài k. Chọn x ∈ pk−1/p, ta được
p0/xR ⊇ p1/xR ⊇ ... ⊇ pk−1/xR là một xích nguyên tố của R/xR có độ dài làk−1, do đó dimR−1≥ dimR/xRsuy ra dimR/(xR+p) ≥k−1.
Xét dãy khớp
0 −−→ R/p −−→x. R/p −−→ R/xR+p −−→ 0.
Theo Mệnh đề 2.3.3 ta cód(R/p) > d(R/(xR+p)) suy rad(R/(xR+p)) ≥
dim(R/(xR+p)) ≥ k−1. Do đód(R) ≥d(R/p) ≥ ksuy rad(R) ≥dimR. Vậy tồn tại các R-môđun con của M:M = M1 ⊃ ...⊃ Mk+1 = 0 (**) sao cho Mi/Mi+1 ∼= R/p i,pi ∈ SpecR. Từ (**) ta các có dãy khớp ngắn 0 −−→ Mk+1 −−→ Mk −−→ Mk/Mk+1 −−→ 0 0 −−→ Mk −−→ Mk−1 −−→ Mk−1/Mk −−→ 0 . . . 0 −−→ M2 −−→ M1 = M −−→ M/M2 −−→ 0. Suy ra d(M) = Max{d(M2), d(M/M2)} = Max{d(M2), d(R/p1)}
= Max{d(M2), d(R/p1)} = Max{d(M3), d(M2/M3), d(R/p1)} = Max{d(M3), d(M/p2), d(M/p1)} = . . . = Max{d(R/pi)|i = 1,2, .., k}. ≥Max{dim(R/pi)|i = 1,2, .., k} = dimM. Vậy d(M) ≥dimM.
Hệ quả 2.3.6. Nếu (R,m) là vành địa phương Noether thì dimR <+∞.