Đa thức và hệ số hilbert trên vành địa phương noether

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM —————————— NGUYỄN SỸ ĐÔNG ĐA THỨC VÀ HỆ SỐ HILBERT TRÊN VÀNH ĐỊA PHƯƠNG NOETHER LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60.46.05 Người hướng dẫn khoa học: GS NGUYỄN TỰ CƯỜNG THÁI NGUN - NĂM 2011 Cơng trình hồn thành Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên 08/11/2011 Người hướng dẫn khoa học: GS-TSKH NGUYỄN TỰ CƯỜNG Phản biện 1: Phản biện 2: Luận văn bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn họp tại: Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên Ngày 08 tháng 10 năm 2011 Có thể tìm hiểu Thư viện Đại học Thái Nguyên Mục lục Lời cảm ơn Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Vành, môđun Artin Noether 1.2 Vành môđun phân bậc 1.3 Định lý Artin-Rees 13 Đa thức hệ số Hilbert vành địa phương Noether 16 2.1 Đa thức Hilbert 16 2.2 Chiều môđun 21 2.3 Chiều vành địa phương 25 2.4 Hệ tham số số bội 31 Kết luận 38 Tài liệu tham khảo 39 Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành với phần nỗ lực thân hướng dẫn GS Nguyễn Tự Cường, Viện Tốn học Tơi xin tỏ lịng biết ơn chân thành tới thầy hướng dẫn Với tinh thần làm việc nghiêm túc, thầy tận tình giúp tơi có phương pháp nghiên cứu khoa học đắn, hiệu suốt q trình xây dựng đề cương hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lịng cảm ơn sâu sắc tới thầy cô giáo trường Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học, người tận tình giảng dạy khích lệ, động viên tơi vượt qua khó khăn học tập Tơi xin cảm ơn Ban lãnh đạo trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, khoa Sau đại học, sở GD - ĐT Lạng Sơn trường THPT Chi Lăng tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ suốt thời gian học tập Cuối cùng, xin trân thành cảm ơn gia đình, người thân, bạn bè giúp đỡ vật chất tinh thần để tơi hồn thành luận văn khóa học Mở đầu Cho A vành Artin, R = A[x1 , , xm ] vành đa thức m biến với hệ số A Khi R vành phân bậc Nếu M = ⊕ Mn Rn≥0 mơđun phân bậc hữu hạn sinh Mn A-mơđun Hơn nữa, với n đủ lớn A (Mn ) A (Mn ) < +∞ đa thức với hệ số hữu tỉ Kết nội dung Định lí đa thức Hilbert Đa thức Hilbert đóng vai trị quan trọng Đại số giao hốn Hình học đại số; cho phép nghiên cứu độ lớn, cấu trúc môđun M thông qua đại lượng số cụ thể bậc đa thức, hệ số đa thức, Từ Định lí đa thức Hilbert chứng minh có nhiều nhóm nghiên cứu vấn đề Đa thức Hilbert trở thành công cụ nhiều nhà nghiên cứu Đại số giao hốn Hình học đại số quan tâm Với lí đó, hướng dẫn GS Nguyễn Tự Cường, tác giả luận văn chọn đề tài "Đa thức hệ số Hilbert vành địa phương Noether" làm đề tài cho luận văn tốt nghiệp Thạc sĩ tốn học Nội dung luận văn trình bày Định lí đa thức Hilbert vành địa phương Noether với số tính chất bậc đa thức, hệ số cao đa thức (thông qua số bội) Ngoài phần mở đầu kết luận, luận văn chia làm hai chương Chương Kiến thức sở Chương trình bày vành mơđun Noether, Artin; vành mơđun phân bậc; Định lí Artin-Rees Đây kiến thức sở cho chứng minh Chương 2, chương luận văn Chương Đa thức hệ số Hilbert vành địa phương Noether Chương trình bày Định lí đa thức Hilbert; chiều môđun vành địa phương; hệ tham số số bội Nội dung chương hệ thống số kết quan trọng đa thức Hilbert vành địa phương Noether Các nội dung trình bày luận văn dựa giảng GS Nguyễn Tự Cường tham khảo thêm hai sách Commutative Algebra Commutative Ring Theory tác giả H.Matsumura Bên cạnh đó, tác giả luận văn có chứng minh chi tiết số vấn đề trình bày vắn tắt tài liệu Một số ví dụ tập minh họa tác giả luận văn đưa vào để làm sáng tỏ cho nội dung trình bày Với mong muốn hệ thống lại số nội dung quan trọng đa thức Hilbert, tác giả luận văn dành nhiều thời gian nghiên cứu kết Tuy nhiên, lực thân hạn chế, thời gian nghiên cứu chưa nhiều nên khó tránh khỏi thiếu sót luận văn Tác giả mong nhận bảo thầy cô giáo ý kiến góp ý bạn học viên độc giả quan tâm để luận văn hoàn thiện Thái Nguyên, tháng 08 năm 2011 Tác giả NGUYỄN SỸ ĐÔNG Chương Kiến thức chuẩn bị Trong toàn luận văn ta xét vành giao hốn có đơn vị 1.1 Vành, mơđun Artin Noether Định nghĩa 1.1.1 Cho R vành, M R-môđun i) M gọi R-môđun Noether với dãy tăng R-môđun M : M1 ⊆ M2 ⊆ ⊆ Mn ⊆ dừng, nghĩa ∃n0 ∈ N cho Mi = Mi+1 , ∀i ≥ n0 ii) M gọi R-môđun Artin với dãy giảm R-môđun M : M1 ⊇ M2 ⊇ ⊇ Mn ⊇ dừng, nghĩa ∃n0 ∈ N cho Mi = Mi+1 , ∀i ≥ n0 Nếu xét vành R mơđun R gọi vành Noether (Artin) R R-môđun Noether (Artin) Khi đó, tập mơđun R-mơđun R trùng với tập iđêan vành R Định lý 1.1.2 Cho R vành Khi M R-môđun Noether R-môđun M hữu hạn sinh Chứng minh (=⇒): Lấy N môđun M Đặt tập tất R-môđun hữu hạn sinh M chứa N Ta thấy = φ ∈ , xích tăng phần tử (do M Noether) nên có chặn có phần tử tối đại N0 Suy N0 ∈ N0 hữu hạn sinh Nếu N0 = N ∃x ∈ N \N0 , R-mơđun N1 = N0 +(x) hữa hạn sinh N ⊇ N1 ⊃ N0 , mâu thuẫn Vậy N0 = N (⇐=): Giả sử tập khác φ môđun R-môđun M Lấy xích tăng tùy ý ∞ , chẳng hạn M1 ⊆ M2 ⊆ ⊆ Mn ⊆ (*) Đặt Mi Khi đó, N mơđun M suy N hữu hạn sinh, N = i=1 sinh phần tử x1 , , xk , xi ∈ N, ∀i = 1, k Suy tồn n0 cho x1 , , xk ∈ Mn0 , N ⊆ Mn0 Mt = Mn0 , ∀t ≥ n0 , từ suy (*) dừng Vậy M R-môđun Noether Định lý 1.1.3 (Định lý sở Hilbert) Cho R vành Noether Khi vành đa thức n biến R[x1 , , xn ] vành Noether Chứng minh Vì R[x1 , , xn ] = R[x1 , , xn−1 ][xn ] nên ta cần chứng minh cho vành R[x] vành Noether Lấy tùy ý iđêan I R[x] Ta chứng minh I hữu hạn sinh Đặt J = {a ∈ R|∃f (x) ∈ I, f (x) có hệ số cao a} Suy J iđêan R Vì R vành Noether nên J hữu hạn sinh, sinh {a1 , , an } Với ∈ {a1 , , an } tồn fi (x) ∈ I cho fi (x) = xni + hi (x), với deghi (x) < ni , ∀i = 1, n Đặt I = (f1 (x), , fn (x)) iđêan R[x] r = Max{ni |i = 1, n} Xét R-môđun M = R + xR + + xr R R[x] Khi M hữu hạn sinh có tập sinh {1, x, , xr }, suy M R-môđun Noether (do R Noether, M hữu hạn sinh R).Ta chứng minh I = I + M ∩ I Hiển nhiên ta có I + M ∩ I ⊆ I Mặt khác, lấy f (x) ∈ I , giả sử f (x) = axh + g(x), với degg(x) < h Khi a ∈ J = (a1 , , an ), suy a = b1 a1 +, , +bn an , bi ∈ R, ∀i = 1, n n Nếu deg f (x) = h > n f (x) = ( bi )xh + g(x) Xét hiệu i=1 n bi xh−ni fi (x) = g(x) ∈ I, deg g(x) < h f (x) − i=1 Sau hữu hạn bước ta đa thức h(x) có deg h(x) < r h(x) = cho f (x) = f (x) + h(x), f (x) ∈ I ⊆ I Từ h(x) ∈ M h(x) ∈ I suy h(x) ∈ M ∩I Vậy I = I +M ∩I I hữu hạn sinh, R[x] vành Noether Từ suy R[x1 , , xn ] vành Noether Định nghĩa 1.1.4 Cho R vành Một R-mơđun M gọi có độ dài hữu hạn M có dãy hợp thành Khi độ dài M , kí hiệu (M ), độ dài dãy hợp thành M Hệ 1.1.5 Giả sử N môđun R-môđun M Khi M có độ dài hữu hạn N M/N R-mơđun có độ dài hữu hạn Hơn nữa, trường hợp ta có (M ) = (N ) + (M/N ) Chứng minh (=⇒): Khi N = N = M hiển nhiên kết luận hệ Giả sử M mơđun có độ dài hữu hạn ⊂ N ⊂ M xích M , xích làm mịn thành dãy hợp thành M A : = A0 ⊂ A1 ⊂ ⊂ Ak = N ⊂ Ak+1 ⊂ ⊂ An = M Khi xích = A0 ⊂ A1 ⊂ ⊂ Ak = N dãy hợp thành N , suy N có độ dài hữu hạn Vậy = Ak /N ⊂ Ak+1 /N ⊂ An /N = M/N (*) dãy hợp thành M/N (Ak+i+1 /N )/(Ak+i /N ) ∼ = Ak+i+1 /Ak+i , ∀i = 0, n − k − môđun đơn Từ chứng minh suy (M ) = (N ) + (M/N ) (⇐=): Giả sử = A0 ⊆ A1 ⊆ ⊆ Ak = N = B ⊆ B ⊆ ⊆ B l = M/N hai dãy hợp thành N M/N Gọi π : M → M/N phép chiếu tắc đặt Bj = π − 1(Bj ), j = 1, l Rõ ràng ta có π(Bj ) = Bj N ⊆ B0 ⊆ B1 ⊆ ⊆ Bl = M Bj+1 /Bj môđun đơn nên từ đẳng cấu (Bj+1 /N )/(Bj/N ) ∼ = Bj+1 /Bj suy Bj+1 /Bj ,j = 1, l môđun đơn Vậy xích N ⊆ A0 ⊆ A1 ⊆ ⊆ Ak = N ⊆ B ⊆ B ⊆ ⊆ B l = M dãy hợp thành có độ dài hữu hạn (M ) = (N ) + (M/N ) Từ hệ ta có kết sau Hệ 1.1.6 Cho T: f1 f2 fn−1 −−→ M1 −−→ M1 −−→ −−→ Mn −−→ dãy khớp R-mơđun có độ dài hữu hạn Mi Khi n (−1)i (Mi ) = i=1 Chứng minh Theo Hệ 1.1.5 ta có (Mi ) = (Ker fi ) + (Mi / Ker fi ), ∀i = 1, n − Mặt khác, ta biết Mi / Ker fi ∼ = Im fi , (Mi ) = (Ker fi ) + (Im fi ), ∀i = 1, n − Suy n n−1 i (−1)i (l(Ker fi ) + l(Im fi )) + (−1)n (Mn ) (−1) (Mi ) = i=1 i=1 (i =⇒ iii): Xét tương ứng ψ : R −→ M n = M × × M a −→ (am1 , , amn ) Rõ ràng ψ ánh xạ đồng cấu mơđun Ta xét a ∈ R, ψ(a) = a = 0, ∀mi ∈ M, i = 1, n hay a ∈ AnnR M Vậy R/AnnR M ∼ = Im ψ Xét tương ứng ψ : R/AnnR M −→ M n a −→ (am1 , , amn ) ψ ánh xạ a = b a − b ⊂ AnnR M , (a − b)mi = suy ami = bmi , ∀i = 1, n Hơn ψ đồng cấu môđun ψ đơn cấu ψ đơn cấu Do R/AnnR M ∼ = Im ψ Vì M môđun Artin nên M n Artin Do Im ψ môđun M n nên Im ψ mơđun Artin Từ suy R/AnnR M Artin 2.3 Chiều vành địa phương Cho (R, m) vành địa phương Noether Định nghĩa 2.3.1 Một iđêan I (R, m) gọi iđêan định nghĩa (R, m), ∃n > cho mn ⊆ I ⊆ m (tức I iđêan m-nguyên sơ) Khi đó, theo Mệnh đề 2.2.4, I iđêan định nghĩa dim(R/I) = √ dim(R/ I) = dim(R/m) = 0, R/I vành Artin Suy (R/I) < +∞, (R/I m ) < +∞ (vì mmn ⊆ I n ⊆ m nên I n iđêan định nghĩa) Cho I iđêan định nghĩa vành địa phương (R, m) Ta xét vành GI (R) = ⊕ I n /I n+1 Với M R-môđun hữu hạn sinh, xét môđun n≥o 25 GI (M ) = ⊕ I n M/I n+1 M Giả sử I = a1 R + + ak R Khi GI (R) ∼ = n≥0 (R/I)[a1 , , ak ], = + I ∈ I/I Đặt FM,I (n) = (GI (M ))n = (I n M/I n+1 M ) n HM,I (n) = n (I n M/I n +1 M ) FM,I (i) = i=0 n = (M/I) + + (I n M/I n+1 M ) = (M/I n+1 M ) Theo Định lý đa thức Hilbert FM,I (n) = PM,I (n), với n đa thức Hilbert Suy HM,I (n) = PM,I (n) n 0, PM,I (n) Khi PM,I (n) gọi Đa thức Hilbert-Samuel M I Mệnh đề 2.3.2 Cho (R, m) vành địa phương Noether M R-mơđun hữu hạn sinh Khi bậc Đa thức Hilbert-Samuel PM,I (n) không phụ thuộc vào cách chọn iđêan định nghĩa I Chứng minh Giả sử I, J hai iđêan định nghĩa M , ta chứng minh degPM,I (n) = degPM,J (n) Thật vậy, I idean m nên tồn t cho I ⊇ mt suy J t ⊆ mt ⊆ I, (M/I n+1 M ) ≤ (M/J t(n+1) M ) hay PM,I (n) ≤ PM,J (tn), ∀n Vậy degPM,I (n) ≤ degPM,J (n) Vì I J đóng vai trò nên ta chứng minh degPM,I (n) ≥ degPM,J (n) Từ suy degPM,I (n) = degPM,J (n) Mệnh đề 2.3.3 Cho −−→ M −−→ M −−→ M −−→ dãy khớp ngắn R-môđun Noether,I iđêan định nghĩa M Khi i) d(M ) = Max(d(M ), d(M )) 26 ii) Hệ số bậc cao PM,I (n) − PM ,I (n) PM ,I (n) iii) deg(PM,I (n) − PM ,I (n) − PM ,I (n)) < degPM ,I (n) Chứng minh Ta có M = M/M , suy M /I n M = (M/M )/I n (M/M ) Vì I n (M/M ) = (I n M + M )/M nên M /I n M = (M/M )/((I n M + M )/M ) = M/(I n M + M ) Do (M/I n M ) = (M/(I n M + M )) + ((M + I n M )/I n M ) = (M/(I n M + M )) + (M /M ∩ I n M ) Đặt ϕ(n) = (M /M ∩ I n+1 M ) Khi PM,I (n) = PM ,I (n) + ϕ(n) (1) Theo Định lý Artin-Rees ∃c > cho M ∩ I n+1 M = I n+1−c (I c M ∩ M ), ∀n + > c Vì M ⊆ M nên ta có I n+1 M ⊆ I n+1 M ∩ M = I n+1−c (I c M ∩ M ) ⊆ I n+1−c M ∩ I n+1−c M suy M /I n+1 M ⊇ M /I n+1 M ∩ M ⊇ M /I n+1−c M Vậy PM ,I ≥ ϕ(n) ≥ PM ,I (n − c) (2) i) Từ (1) ta có degPM,I (n) = Max(degPM ,I (n), degϕ(n)), suy d(M ) = Max(d(M ), degϕ(n)) (3) Từ (2) ta có degϕ(n) = d(M ) Kết hợp với (3) ta d(M ) = Max{d(M ), d(M )} iii) Từ (1) suy PM,I (n) − PM ϕ(n) PM,I (n) − PM ,I (n) ,I (n) = ϕ(n) Do hệ số cao hệ số cao PM ,I (n) (do (2)) ii) Từ (1) (2) suy deg(PM,I (n)−PM ,I (n)−PM ,I (n)) = deg(ϕ(n)− PM ,I (n)) ≤ degPM ,I (n) (4) Theo iii) hệ số cao PM,I (N ) − 27 PM ,I (n) PM ,I (n) nên deg(PM,I (N )−PM ,I (n)−PM ,I (n)) degPM ,I (n) Mệnh đề 2.3.4 Cho (R, m) vành địa phương Noether M R-môđun hữu hạn sinh dim M = r, ∃x1 , , xr ∈ m cho (M/(x1 , , xr )M ) < +∞ Chứng minh Quy nạp theo r Nếu r = M vành Artin nên (M/(x1 , , xr )M ) < +∞ suy mệnh đề Giả sử mệnh đề với r − 1, r > 0, ta cần chứng minh mệnh đề với r Giả sử {p1 , p2, , pt } iđêan nguyên tố tối thiểu tập AssR (M ) suy m ∈ / {p1 , p2, , pt } (vì m = pi ht(pi ) = ht(m) = dim M = r > 0, mà pi ∈ AssR (M ) pi tối thiểu suy ht(pi ) = 0, vơ lí) Theo Định lý t tránh ngun tố, tồn x ∈ m\ pi Xét môđun M = M/xM , ta chứng i=1 minh dim M = r − Thật vậy, hiển nhiên dim M ≥ r − Mặt khác, ta có p= p∈Ass(M/xm) Ann(M/xM ) = (x) + AnnR M (*) Từ (*) suy ra, p ∈ AssR (M ) √ x ∈ p AnnM ⊆ p Do tồn i ∈ {1, 2, , t} cho pi ⊂ p, suy dim(R/pi ) > dim(R/p), ta dim M > dim(M/xM ) = dim M Từ suy dim M ≤ r − Vậy dim M = r − Áp dụng giả thuyết quy nạp cho M = M/xM , tồn x1 , , xr−1 cho (M /(x1 , , xr−1 )M ) < +∞ Vì M /(x, x1 , , xr−1 )M ∼ = M/(x, x1 , , xr−1 )M nên (M/(x, x1 , , xr−1 )M ) < +∞ Vậy mệnh đề với r 28 < Đặt δ(M ) = min{r|∃x1 , , xn ∈ m, (M/(x1 , , xn )M ) < +∞} Khi ta có đẳng thức chiều đa thức Hilbert với chiều môđun M δ(M ) Điều khẳng định định lí Định lý 2.3.5 Cho (R, m)là vành địa phương Noether M R-môđun hữu hạn sinh Khi δ(M ) = d(M ) = dim M Chứng minh Ta chứng minh dim M ≥ δ(M ) ≥ d(M ) ≥ dim M (1) dim M ≥ δ(M ) Thật vậy, giả sử dim M = r Khi đó, theo Mệnh đề 2.3.4, tồn x1 , , xr ∈ m cho (M/(x1 , , xr )M ) < +∞ Suy r ≥ δ(M ) hay dim M ≥ δ(M ) (2) δ(M ) ≥ d(M ) Giả sử δ(M ) = r, suy tồn x1 , , xr ∈ m cho (M/(x1 , , xr )M ) < +∞ Đặt M = M/(x1 , , xr )M, J = (x1 , , xr )R Khi AnnR M ⊇ J suy (M /I n+1 M ) = (M ) < +∞, PM ,I (n) = (M ) số n Vậy degPM ,I (n) = d(M ) = Xét I iđêan định nghĩa M mà (x1 , , xr ) = J ⊆ I (chẳng hạn I = m) Trong mơđun thương M/x1 M ta có (M/x1 + I n+1 M ) = (M/I n+1 ) − ((x1 + I n+1 M )/I n+1 M ) suy PM ,I (n) = PM,I (n) − ((x1 + I n+1 M )/I n+1 M ), (với n 0) (∗) Tức degPM ,I (n) ≥ depPM,I (n) − suy d(M/xM ) ≥ d(M ) − Tiếp tục làm cho tất phần tử x2 , , xr ta d(M/(x1 , , xr )M ) ≥ d(M ) − r 29 suy ≥ d(M ) − r Vậy δ(M ) ≥ d(M ) (3) d(M ) ≥ dim M Trước hết ta chứng minh cho vành M = R quy nạp theo d(M ) = d(R) Nếu d(R) = degPR,m (n) = (M/mn+1 ) = Suy ra, tồn t cho mt = mt+1 = Theo Định mt = suy mt = = mt+k = = Do lý giao Krull ta có t≥0 R vành Artin (vì R có dn iđêan nguyên tố) Từ (R) < +∞ suy dim R = 0, d(R) ≥ dim R Giả sử d(R) > Nếu dim R = ta có bất đẳng thức d(M ) ≥ dim R Giả sử dim R = k > Khi tồn p0 ⊇ p2 ⊇ ⊇ pk−1 ⊇ pk = p xích nguyên tố R có độ dài k Chọn x ∈ pk−1 /p, ta p0 /xR ⊇ p1 /xR ⊇ ⊇ pk−1 /xR xích nguyên tố R/xR có độ dài k − 1, dim R − ≥ dim R/xR suy dim R/(xR + p) ≥ k − Xét dãy khớp x −−→ R/p −−→ R/p −−→ R/xR + p −−→ Theo Mệnh đề 2.3.3 ta có d(R/p) > d(R/(xR+ p)) suy d(R/(xR+ p)) ≥ dim(R/(xR+p)) ≥ k−1 Do d(R) ≥ d(R/p) ≥ k suy d(R) ≥ dim R Vậy tồn R-môđun M : M = M1 ⊃ ⊃ Mk+1 = (**) cho Mi /Mi+1 ∼ = R/pi , pi ∈ Spec R Từ (**) ta có dãy khớp ngắn −−→ Mk+1 −−→ Mk −−→ Mk /Mk+1 −−→ 0 −−→ Mk −−→ Mk−1 −−→ Mk−1 /Mk −−→ −−→ M2 −−→ M1 = M −−→ M/M2 Suy d(M ) = Max{d(M2 ), d(M/M2 )} = Max{d(M2 ), d(R/p1 )} 30 −−→ = Max{d(M2 ), d(R/p1 )} = Max{d(M3 ), d(M2 /M3 ), d(R/p1 )} = Max{d(M3 ), d(M/p2 ), d(M/p1 )} = = Max{d(R/pi )|i = 1, 2, , k} ≥ Max{dim(R/pi )|i = 1, 2, , k} = dim M Vậy d(M ) ≥ dim M Hệ 2.3.6 Nếu (R, m) vành địa phương Noether dim R < +∞ 2.4 Hệ tham số số bội Định nghĩa 2.4.1 Cho M R-môđun, dim M = d Một hệ d phần tử x1 , , xd ∈ m gọi hệ tham số M R (M/(x1 , , xd )M ) < +∞ Chú ý 2.4.2 (1) Định lý 2.3.5 đảm bảo hệ tham số M tồn (2) Nếu hệ tham số M , I = (x1 , , xd ) I + AnnR M iđêan định nghĩa M Đặc biệt M = R I iđêan định nghĩa R Thật vậy, {x1 , , xd } hệ tham số M nên dim M/IM = d − d = suy M/IM R-môđun Artin, R/AnnR (M/IM ) vành Artin Xét dãy môđun (iđêan) R/AnnR (M/IM ) (khi coi môđun R) m + AnnR (M/IM ) ⊇ ⊇ mn + AnnR (M/IM ) ⊇ Dãy dừng nên tồn k > cho AnnR (M/IM ) = mk + AnnR (M/IM ), ∀n ≥ k suy mk ⊆ AnnR (M/IM ) Vậy ta có m = √ AnnR (M/IM ) = I + AnnR M Từ suy I + AnnR M iđêan định nghĩa 31 Mệnh đề 2.4.3 Cho M R-môđun, {x1 , , xd } hệ tham số M , dim M = d Khi dim(M/(x1 , , xd )M ) = d − i, ∀i = 1, d Chứng minh Đặt M = M/(x1 , , xd )M , ta có M /(x1 , , xd )M = [M/(x1 , , xi )M ]/[(xi+1 , xd )(M/(x1 , , xi )M )] ∼ = [M/(x1 , , xi )M ]/[((xi+1 , , xd )M + (x1 , , xi )M )/(M/(x1 , , xi )M )] ∼ = M /[(x1 , , xd )M )/(M/(x1 , , xi )M )] ∼ = M/(x1 , , xd )M Vậy (M /(x1 , , xd )M ) = (M/(x1 , xd )M ) < +∞ suy d − i = δ(M ) = dim M Đặt dim M = t Khi tồn t phần tử y1 , , yt ∈ m cho {y1 , , yt } hệ tham số M , tức (M /(y1 , , yt )M ) < +∞ Khi (M/(x1 , , xi , y1 , , yt )M ) < +∞ suy i + t ≥ δ(M ) = dim M = d, ta t ≥ d − i Vậy t = d − i, tức dim(M/(x1 , , xd )M ) = d − i, ∀i = 1, d Định nghĩa 2.4.4 Một iđêan I vành R gọi iđêan tham số M tồn hệ tham số x1 , , xd ∈ m M cho I = (x1 , , xd ) Cho I = (x1 , , xd ) iđêan tham số M, dim M = d, suy (M/I n+1 M ≤ (M/IM ) < +∞ Đặt PM,I (n) = (M/I n+1 M ) n đủ lớn Khi PM,I (n) gọi đa thức Hilbert-Samuel M I n đủ lớn Tức ∃e0 (I, M ) > 0, e1 (I, M ), , ed (I, M ) ∈ Z cho PI,M (n) = e0 (I, M ) n+d n+d−1 −e1 (I, M ) + +(−1)d ed (I, M ) d d−1 e0 (I, M ) gọi số bội M I 32 Mệnh đề 2.4.5 Cho I iđêan định nghĩa R, x1 , , xd hệ tham số R, x1 , , xd ∈ I , giả sử M R-môđun hữu hạn sinh, s = 1, d Khi e0 (I/(x1 , , xs ), M/(x1 , , xs )M ) ≥ v1 vs e0 (I, M )) (1), với xi ∈ I vi , i = 1, s Chú ý s = d ta có e0 (I/(x1 , , xs ), M/(x1 , , xs )M ) = (M/(x1 , , xd )M ) Chứng minh Theo quy nạp ta cần chứng minh (1) với s = Đặt R = R/x1 R, I = I/x1 R, M = M/x1 M, v = v1 Khi dim M = dim M − = d − (a) Mặt khác (M /I n M ) = ((M/x1 M )/((I/x1 R)n (M/x1 M )) = ((M/x1 M )/(I n /x1 R).(M/x1 M )) = ((M/x1 M )/((I n M + x1 M )/x1 M )) = (M/(x1 M + I n M )) = (M/I n M ) − l ((x1 M + I n M )/I n M ) Ta lại có (x1 M + I n M )/I n M ∼ = x1 M/(x1 M ∩ I n M ) Xét tương ứng f : x1 M/(x1 M ∩ I n M ) −→ M/(I n M : x1 ) x1 m + x1 M ∩ I n M −→ m + (I n M : x1 ) Dễ dàng kiểm tra đẳng cấu môđun, (x1 M + I n M )/I n M ∼ = x1 M/(x1 M ∩ I n M ) ∼ = M/(I n M : x1 ) 33 Mà x1 ∈ I v1 nên I n−v M ⊆ I n M : x1 , suy ((I n M + x1 M )/x1 M )) = (M/(I n M : x1 )) ≤ (M/I n−v M ) Do (M /I n M ) ≥ l (M/I n M ) − (M/I n−v M ) (2), với n 0, Từ (2) (a) ta có e0 (M , I ) d−1 e0 (M, I) d e0 (M, I) n ≥ n − (n − v)d + P (n) (−1 + d)! d! d! (với degP (n) ≤ d − 2) suy e0 (M , I ) d−1 e0 (M, I) d n ≥ (n − (n − v)d ) + P (n) (d − 1)! d! Do P (n) e0 (M , I ) e0 (M, I) ≥ v + d−1 (d − 1)! (d − 1)! n Khi n e0 (M , I ) e0 (M, I) ≥ v (d − 1)! (d − 1)! suy e0 (M , I ) ≥ e0 (M, I)v Vậy e0 (I/(x1 , , xs ), M/(x1 , , xs )M ) ≥ v1 , , vs e0 (I, M ) Áp dụng Mệnh đề 2.4.5 với s = d ta hệ sau Hệ 2.4.6 Nếu I iđêan tham số R-mơđun M (M/IM ) ≥ e0 (I, M ) 34 Bổ đề 2.4.7 Cho −−→ N −−→ M −−→ M/N −−→ dãy khớp R-môđun Noether (R môđun địa phương Noether), I iđêan định nghĩa R, dim M = dim N = dim M/N Khi e0 (I, M ) = e0 (I, N ) + e0 (I, M/N ) Chứng minh Ta có N mơđun M Khi (M/I n M ) = ((M/N )/I n (M/N )) + (N/(N ∩ I n M )) (*), hiển nhiên I n N ⊆ N ∩ I n M Áp dụng Định lý Artin-Rees, tồn c > cho N ∩ I n M ⊆ I n−c (I c M ∩ N ), ∀n > c I n N ⊆ N ∩ I n M ⊆ I n−c N , ∀n > c Ta (N/I n N ) ≥ (N/I n M ∩ N ) ≥ (N/I n−c N ) (*’) Từ (*) (*’) suy d! (N/N ∩ I n+1 M ) = e0 (I, N ) d x→∞ n e0 (I, M ) − e0 (I, M/N ) = lim Vậy e0 (I, M ) = e0 (I, N ) + e0 (I, M/N ) Định lý 2.4.8 (Công thức bội liên kết) Đặt {p1 , , pt } tập tất iđêan nguyên tố cực tiểu (theo quan hệ bao hàm) thỏa mãn dim R/p = d Khi t e0 (I, M ) = e0 (Ii , R/pi ) (Mpi ) (*) i=1 Trong đó, Ii ảnh I R/pi (Mp ) độ dài Rp -môđun Mp 35 Chứng minh Đặt n = Nếu n = t i i (Mpi ) ta chứng minh quy nạp theo n (Mpi ) = 0, (Mpi ) = 0, ∀pi , i = 1, t Suy e0 (Ii , A/pi ) (Mpi ) = Mà dim M < d nên e0 (I, M ) = Vậy (*) i=1 Giả sử (*) với n − ta chứng minh (*) với n Từ n > suy ∃p ∈ {p1 , , pt } cho (Mp ) > 0, Mp > Suy p phần tử tối tiểu Supp M p ∈ Ass M , nghĩa ∃N môđun M cho N R/p Từ dãy khớp −−→ N −−→ M −−→ M/N −−→ suy e0 (I, M ) = e0 (I, M ) + e0 (I, M/N ) (theo Bổ đề 2.4.7) Mặt khác, từ N ∼ = Rp /pRp Vì pRp = (R/p)p ∼ = R/p dẫn đến Np ∼ iđêan tối đại nên Np trường, suy (Np ) = Với pi = p, xét Npi ∼ / pi Vì = (R/p)pi Lấy x ∈ (R/p)pi ta có x = as , với a = a + p, s ∈ t ∈ p nên x = a s = suy (R/p)pi = nghĩa Npi = 0, ∀pi = p Từ suy (Npi ) = 0, ∀pi = p Xét dãy khớp −−→ N −−→ M −−→ M/N −−→ Suy −−→ Npi −−→ Mpi −−→ (M/N )pi −−→ khớp ∀pi Do −−→ (R/p)pi −−→ Mpi −−→ (M/N )pi −−→ khớp ∀pi Vậy (Mpi ) = ((R/p)pi ) + ((M/N )pi ), ∀pi (Mpi ) = t ((M/N )pi ),∀pi = p Suy (M/N ) = i=1 ((M/N )pi ) = n − 1, (*) cho M/N Hơn e0 (I, N ) = e0 (I, R/p) = e0 (I, R/p), I = 36 (I + p)/p Suy e0 (I, M ) = e0 (I, M ) + e0 (I, M/N ) t = e0 (I, R/p) + e0 (Ii , R/pi ) ((M/N )pi ) i=1 t = e0 (I, R/p) + e0 (Ii , R/pi ) (Mpi ) i=1 t = e0 (I, R/p)(1 + ((M/N )p )) + e0 (Ii , R/pi ) (Mpi ) i=1,p=pi t = e0 (I, R/p)( ((M )p ) + e0 (Ii , R/pi ) (Mpi ) i=1,p=pi t = e0 (Ii , R/pi ) (Mpi ) i=1 Vậy (*) cho n 37 Kết luận Tóm lại, luận văn chúng tơi trình bày lại chứng minh chi tiết số vấn đề quan trọng đa thức Hilbert vành địa phương Noether dựa giảng GS Nguyễn Tự Cường có tham khảo thêm hai sách Commutative Algebra Commutative Ring Theory tác giả H.Matsumura Kết luận văn bao gồm nội dung sau 1) Hệ thống lại số kiến thức vành mơđun Noether, Artin; vành mơđun phân bậc; Định lí Artin-Rees 2) Hệ thống lại số tính chất quan trọng đa thức Hilbert vành địa phương Noether, bao gồm: Định lí đa thức Hilbert; chiều mơđun vành địa phương; hệ tham số số bội 3) Chứng minh chi tiết số vấn đề trình bày vắn tắt giảng GS Nguyễn Tự Cường sách Commutative Ring Theory tác giả Matsumura 4) Đưa thêm số ví dụ tập minh họa cho nội dung trình bày luận văn 38 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Tự Cường, Bài giảng chuyên đề Hình học đại số, 2010 [2] Nguyễn Tự Cường, Giáo trình Đại số đại (tập I) Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, 2007 [3] M F Atiyah, I G Macdonald, Introduction to Commutative Algebra Addison - Wesley, 1969 [4] H Matsumura, Commutative Algebra Second edition Benjamin/Cummings Publ., Massachusetts 1980 [5] H Matsumura, Commutative Ring Theory Cambridge University Press, 1986 39 ... dụng Hệ 1.3.5 ta có n≥o 15 Chương Đa thức hệ số Hilbert vành địa phương Noether 2.1 Đa thức Hilbert Ta biết A vành Artin A vành Noether (A) < +∞ Xét vành đa thức m biến R = A[x1 , , xm ] với hệ số. .. kiến thức sở cho chứng minh Chương 2, chương luận văn Chương Đa thức hệ số Hilbert vành địa phương Noether Chương trình bày Định lí đa thức Hilbert; chiều mơđun vành địa phương; hệ tham số số bội... đề tài "Đa thức hệ số Hilbert vành địa phương Noether" làm đề tài cho luận văn tốt nghiệp Thạc sĩ toán học Nội dung luận văn trình bày Định lí đa thức Hilbert vành địa phương Noether với số tính